均值不等式典型题

均值不等式

1、①当a 、b 都是正数，且ab 是定值时，ab b a 2≥+（定值），当且仅当a=b 时，等号成立，a+b 取最小值。

②当a 、b 都是正数，且a+b 是定值时，则4

)(2

b a ab +≤（定值），，当且仅当a=b 时，等号成立，ab 取最大值。

2、几个常用的结论：

由ab b a 222≥+和ab b a 2≥+可以得到一些常用的结论：

（1）

)0(2>≥+ab b

a a

b （2） n n n

n a a a n

a a a a a a a n n ......,,...,,,)2(2121321≥++≥有

个整数 （3）),(2211222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab b

a 3、函数和单调性)0()(>+=a x

a x x f 4、典型题目：

（1）均值不等式的理解

给出下面四个推导过程：

①22,,=⨯≥+∴∈+b

a a

b b a a b R b a ②y x y x R y x lg lg 2lg lg ,,⨯≥+∴∈+

③ 4424,3=⨯≥+∴>x

x x x x ④2)2

)((2]-)[(,0,,=---≤+--=+∴<∈+y y x x y y x x y y x xy R y x ）（ 其中正确的推导符号：

（2）应用均值不等式证明不等式

例1已知9111,1,,,≥++

=++∈+c

b a

c b a R c b a 求证不等式且

例2已知3,,>-++-++-+c

c b a b b a c a a c b c b a 求证：

是三个不全等的正数， （3）均值不等式在求最值方面的应用

例1、变形后求最值： 已知的最大值求是正实数，且y x u y x y x lg lg ,2052,+==+ 例2、分类讨论法求最值： 求函数的值域x x x f +-=2

1)( （4）展开后求最值

例1、已知的最小值）求（都是正数，且)11(11,2,++=+b a b a b a

(5) 配凑法求最值

例1已知的最大值求函数)32(,3

20x x y x -=<< (6)利用“1”的代换求最值 例1已知的最小值求且y x y

x y x +=+>>,191,0,0 例2的最小值是常数，求函数，设x b x a y b a R b a x 22

22cos sin ,,,20+=∈<<+π