马鞍山二中理科实验班招生数学试题

2017年马鞍山二中理科实验班招生数学试题

一选择题（30分）

1.将一枚四个面编号为1、2、3、4的质地均匀的正四面体骰子先后投掷两次并记录朝下的面上的点数，第一次掷出的点数记为a ，第二次掷出的点数记为b ，则使关于x 、y 的方程组⎩⎨

⎧=+=+223y x by ax 只有正数解的概率为（ ）（A ）21 （B ）165 （C ）163 （D ）16

7

2.关于x 的不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是x ＜1或x ＞3，则不等式cx 2+bx+ a ＞0的解集是（ ）

（A ）x ＜31或x ＞1 （B ）31＜x ＜1 （C ）x ＜—1或x ＞—31 （D ）—1 ＜x ＜—3

1

3.如图，在Rt ΔABC 中，AB=BC=8，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边AC 上的一个动点，则ΔPEF 周长的最小值是（ ）（A ）4+74 （B ）4745+

（C ）42+74 （D ）42+8

E

4.若关于x 的不等式2331-+-x x ≤a 有实数解，则实数a 的最小值是 （A ）1（B ）2（C ）4（D ）6

5.如图，⊙C 的圆心坐标为C （—1，0），半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与Y 轴交于点E ，则ΔABE 面积的最小值是（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）2—2

2 （D ）

2—2

6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲第一个写，那么甲写数字（ ）时有必胜策略

（A ）10 （B ） 9 （C ）8 （D ）6

二填空题（60分）

7.如果（x+3）（x+a ）—2可以因式分解为（x+m ）（x+n ）（m 、n 均为整数），则a=

8若x ＞0，规定f （x ）=1

+x x ，例如f （2）=2/（2+1）=2/3 ，f(1/3)=(1/3)/( 1/3+1)=1/4 那么:f(1/2017)+f(1/2016)+…+ f(1/3)+f(1/2)+f(1)+f(2)+…+f(2017)=

9.若x=2

51+，则x 4+8x 3+17x 2+4x+1= 10.已知正方形ABCD 的边长为5，P 为形内一点，且PA=5，PC=5，则PB=

11.已知有理数a 、b 、c 满足a 2+b 2+1=2（c 2+ab+b —a ），则a —b —c=

12.我们将自数数1、2、3、4、5、6、7、8经适当排列写成一列数a 1、a 2、…，a 8，并设代数式 1887766554433221.a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+-+-+-的最大值为m ，最小值为n ，则m+2n=

13.若实数x 、y 满足51=-+xy y x ，则22111y

x xy ++-=

14.如图，在Rt ΔABC 中，∠ABC=900，D 是线段BC 的中点，E 在AB 内，CE 与AD 交于点F ，若AE=EF ，且AC=7，FC=3，则cos ∠ACB 的值为

B C D E

15.黑板上写有1，21，31，41，…，2018

1共2018个数字，每次操作先从黑板上的数中选取2个数a 、b ，然后删去a 、b ，并在黑板上写上数a+b+ab,则经过2017次操作后,黑板上剩下的数是（ ）．

16．我们注意到182=324，242=576，他们分别是由三个连续数码2，3，4以及5，6，7经适当排列而成，而662=4356是由四个连续数码3，4，5，6经适当排列而成;那么下一个这种四位平方数是 （请写出形如662=4356的算式）

三解答题（60分）17．（10分）已知ΔABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2—（2k+3）

x+k 2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC 长为5，则k 为何值时，ΔABC 是直角三角形？

18.（12分）如图，顶点为（4，—1）的抛物线交Y 轴于A （0，3），交X 轴于点B 、C （点B 在点C 的左侧），（1）求此抛物线的解析式

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴L 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明。

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A 、C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，ΔPAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和ΔPAC 的最大面积。

19.（12分）如图，在锐角ΔABC 中，∠BAC=600，AB ＞AC ，O 、H 分别是ΔABC 的外心、垂心，直线OH 分别与AB 、AC 交于P 、Q 。证明：PO=QH

C

⎧=++d ca bc ab 9101010

21.（14分）如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB、，A、B为切点，再过P作圆的一条切割线分别与圆交于点C、D，过弦AB上任一点Q作PA的平行线分别与AC、AD交于点E、F

证明：QE=QF