2019高考数学大二轮复习专题3平面向量与复数第1讲平面向量真题押题精练文
(理通用)2019届高考数学大二轮复习-第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语等 第2讲 向量运算与复
• (4)掌握各种推理的特点和推理过程，同时要区分不同的推理形式 ，对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类比推理要找到事物的 相同点，做到类比合，对演绎推理要做到过程严密．
• 预测2019年命题热点为：
• (1)利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线 等问题，与三角函数、解析几何交汇命题．
第一部分
专题强化突破
专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、 算法、推理与证明、不等式及线性规划
第二讲 向量运算与复数运算、算法、推理与证明
1
高考考点聚焦
2
核心知识整合
3
高考真题体验
4
命题热点突破
5
课后强化训练
高考考点聚焦
高考考点
平面向量的 运算及运用
复数的概念 及运算
程序框图
合情推理
考点解读
B．－45＋35i
C．－35－45i
D．－35＋45i
[解析] 11－＋22ii＝1－12＋i21i＋2 2i＝11－－4＋2i42i＝－35＋4i＝－35＋45i.
故选 D．
3．(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)＝( B )
A．4
B．3
1．忽略复数的定义： 在解决与复数概念有关的问题时，在运用复数的概念时忽略某一条件而致误． 2．不能准确把握循环次数 解答循环结构的程序框图(流程图)问题，要注意循环次数，防止多一次或少一次 的错误． 3．忽略特殊情况：两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于 0 不等价；两个向 量夹角为钝角与向量的数量积小于 0 不等价．
【2019届高考二轮臻品资源-数学】专题二 第3讲 平面向量(学生版)
5．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
(1)a2＝a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a．
(2)|a±b|＝ （a±b）2＝ a2±2a·b＋b2．
(3)若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2．
【训练
2】(1)(2015·福建卷)已知A→B⊥A→C，|A→B|＝1t ，|A→C|＝t，若点
2
2
2
又������������������������������������中������������ ⊥ ������������，所以���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� ⋅ ���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� =
1 2
���⃑⃑���⃑⃑���⃑���2=
1 2
|���⃑⃑���⃑⃑���⃑���|2
答案 D
热点二 平面向量的数量积 命题角度 1 平面向量数量积的运算
【例 2－1】(1) (2019·株洲质检)在������������������������������������中，点������为斜边������������的中点，|������������| = 8，|������������| = 6，则���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� ⋅ ���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� =（ ）
=
1 2
(���⃑⃑���⃑⃑���⃑���
+
���⃑⃑���⃑⃑���⃑���)，
数学
所以 ���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� ⋅ ���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� = 1 (���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� + ���⃑⃑���⃑⃑���⃑���) ⋅ ���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� = 1 ���⃑⃑���⃑⃑���⃑���2 + 1 ���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� ⋅ ���⃑⃑���⃑⃑���⃑���，
专题02+平面向量与复数(仿真押题)-2019年高考数学(理)命题猜想与仿真押题
1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，解得m ＝－6，则m ＝－6时，a ＝(－1,2)，a ＋b ＝(2，－4)，所以a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A.答案：A2．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则m n ＝( ) A ．－3 B ．－13C.13D ．3 解析：过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →，所以m n ＝1－13＝－3. 答案：A3．已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( )A ．1 B. 2C. 3 D ．2解析：因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝±12＋32＝2，故选D.答案：D4．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(m ，－1)，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a |＝( )A ．1 B.62 C. 2 D ．4解析：∵a ＝(m,1)，b ＝(m ，－1)，∴a ＋b ＝(2m,0)，a －b ＝(0,2)，又|a ＋b |＝|a －b |，∴|2m |＝2，∴m ＝±1，∴|a |＝m 2＋12＝ 2.故选C.答案：C5．已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝( )A.π3B.π6C.π4D.π126．在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( )A ．－94 B.94C.274 D ．－274解析：依题意得|CD →|＝32，CD →·AB →＝0，CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋CD →·AB →＝CD →·CA →＝|CA →|·|CD →|·cos60°＝3×32×12＝94，故选B. (2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12； ③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝12. 26．设复数z=a+i （i 是虚数单位，a ∈R ，a ＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限，求实数m 取值范围． 【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<.27．已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =．（1）若35c =，且//a c ，求c 的坐标；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的单调区间． 20．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；学=科网(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，∴a ＋c ≤2，又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．。
2019届高考数学二轮复习平面向量与复数课件(43张)(全国通用)
π 3 ＋cos
π 3 cos
β－sin
π 3 sin
β＝0,
整理得 cosβ＋π3 ＝－12,
∴
β
＋
π 3
＝
2π 3
＋
2k
π
(k∈Z)
或
β
＋
π 3
＝
4π 3
＋
2k
π
(k∈Z),
∵β∈(0,π),∴β＝π3 .
(2)a·b＝cos α＋cos2α－sin2α＝cos α＋2cos2α－
(2)在△ABC 中,P 为 BC 边中点,点 A、B、C 的对边 长分别是 a、b、c.若 cA→C＋aP→A＋bP→B＝0,则△ABC 的形 状为( )
A.等边三角形 B.等腰三角形非等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选 A. 将P→A·P→B都用基向量A→B、A→C表示出来可得 cA→C－a2 (A→B＋A→C)－b2(A→C－A→B)＝0, c－a2－b2A→C－a2－b2A→B＝0, ∴a2c－－a2b2－＝b20＝，0， ∴a＝b＝c,∴△ABC 为等边三角形.
5.数量积运算不适合结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c),这是由
于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量,a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线,因此(a·b)·c 与 a·(b·c)不一 定相等.
6.若 a＝0,则 a·b＝0,但由 a·b＝0,不能得到 a＝0 或 b
第 2 讲 平面向量与复数
对于平面向量要把握破解平面向量与“三角”交汇 题的关键：一是巧“化简”,即活用诱导公式、同角三角 函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数 进行化简；二是会“转化”,把向量共线、向量垂直形式 出现的条件还其本来面目,转化为“对应坐标乘积之间的 关系”.
2019年全国高考数学·分类汇编 专题03 平面向量(解析版)
专题03 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国II 卷理数】已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【母题来源二】【2018年高考全国II 卷理数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B【母题来源三】【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【命题意图】高考对本部分内容的考查以运算求解和数形结合为主,重点考查平面向量数量积定义和坐标运算以及相关的参数取值问题.【命题规律】主要以选择或者填空的形式，考查平面向量数量积的定义、转化法、坐标运算等内容．【答题模板】解答本类题目,以2017年高考真题为例,一般考虑如下三步：第一步：根据已知条件建立平面直角坐标系第二步：用坐标表示向量；第三步：利用坐标表示平面数量积进而求范围．【方法总结】（一）平面向量的概念及线性运算1. 解决向量的概念问题应关注六点：（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量. （6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.2. 平面向量线性运算问题的求解策略.（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.3. 共线向量定理的应用（1）证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线.（2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB u u u r =λAC u u u r ，则A ，B ，C 三点共线.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.（4）对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA u u u r 、OB uuu r 不共线，满足OP uuu r =x OA u u u r ＋y OB uuu r （x ，y ∈R ），则P 、A 、B 共线⇔x ＋y =1.（二）平面向量基本定理及坐标表示1. 对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.（2）平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.（3）用平面向量基本定理可将任一向量分解成形如a =λ1e 1＋λ2e 2的形式，是向量线性运算知识的延伸.2. 平面向量共线的坐标表示（1）两向量平行的充要条件若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是a =λb ，这与x 1y 2－x 2y 1=0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.（2）三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.（三）平面向量的数量积1. 计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2. 求向量模的常用方法：利用公式|a |2=a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.4. 在解题时，注意数形结合、方程思想及转化与化归数学思想的运用.（四）平面向量的应用1. 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2. 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.3. 向量的两个作用：（1）载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；（2）工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.4. 向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.1．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,)x =c 满足(3)10+⋅=a b c ，则x =A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A2．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学试题】已知O 为V ABC 内一点且满足OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，若AOC △2AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，则ABC ∠= A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π 【答案】A3．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)数学试题】向量(2,1), (1,1), (, 2)k ==-=a b c ，若()-⊥a b c ，则k 的值是A ．4B ．-4C ．2D ．-2 【答案】B4．【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学试题】等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，则2122210log log log a a a ++⋯+=A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+ 【答案】C5．【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟考试数学试题】已知平面向量a ,b 的夹角为3π，且2=a ，1=b ，则2-=a b A ．4B ．2C ．1D ．166．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r ，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v ⋅+=A ．B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C7．【甘、青、宁2019届高三5月联考数学试题】在ABC △中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u r u u u r ，13CE AB AC μ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+= A ．13 B ．13- C ．76 D ．76- 【答案】B8．【黑龙江省大庆市实验中学2019届高三下学期数学二模考试数学试题】在矩形ABCD 中，AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若AB AF ⋅=u u u r u u u r AE BF ⋅u u u r u u u r 的值为AB ．2C ．0D ．1【答案】A 9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学试题】已知向量()1,1=a ，()2,x =b ，若()-∥a a b ，则实数x 的值为A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】D10．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学试题】已知非零向量a ,b 的夹角为60o ,且满足22-=a b ,则⋅a b 的最大值为A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B11．【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测数学】O 是ABC △的外接圆圆心，且OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r ，1OA AB ==u u u r u u u r ，则CA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为A ．12-B ．C ．12D 【答案】B12．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u r u u u rA ．4B ．6C ．D ．【答案】B13．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】已知单位向量a ，b 的夹角为3π4，若向量2=m a ，4λ=-n a b ，且⊥m n ，则=nA ．2-B ．2C ．4D ．6 【答案】C。
教辅-高考数学大二轮专题复习常考小题的几种类型之复数与平面向量
． ．
(3)O 为△ABC 的垂心⇔ (4)O 为△ABC 的内心⇔
□03 O→A·O→B＝O→B·O→C＝O→C·O→A □04 aO→A＋bO→B＋cO→C＝0
． ．
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
专题作业
2
PART TWO
热点考向探究
考向 1 复数的概念及运算
例 1 (1)(2020·山东省淄博市高三一模)复数(a－i)·(2－i)的实部与虚部
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
专题作业
1．若复数 z＝1＋2 i，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是(
)
A．z 的虚部为－i B．|z|＝2
C．z2 为纯虚数 D．z 的共轭复数为－1－i
答案 C
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
专题作业
解析 由题意得 z＝1＋2 i＝（1＋2（i）1－（i1）－i）＝1－i.由 z＝1－i 得复数 z 的虚部为－1，所以 A 不正确．|z|＝|1－i|＝ 2，所以 B 不正确．由于 z2＝(1 －i)2＝－2i，所以 z2 为纯虚数，所以 C 正确．z＝1－i 的共轭复数为－z ＝1＋ i，所以 D 不正确．故选 C.
AC 的中点，所以A→E＝12A→C＝12O→B，所以O→E＝O→A＋A→E＝O→A＋12O→B，因为 BC
＝3BF，所以B→F＝13B→C＝13O→A，所以O→F＝O→B＋B→F＝O→B＋13O→A，因为O→C＝
mO→E＋nO→F，所以O→C＝m＋13nO→A＋12m＋nO→B，在▱OACB 中，O→C＝O→A＋O→B，
答案 A
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
2019年高考数学大二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式平面向量算法复数推理与证明1.3平面向量练习
3．已知向量 a＝ (1,1) ， 2a＋ b＝ (4,2) 则向量 a， b 的夹角的余弦值为 ( )3 A. 10 10来自3 B．－ 10 10
2 C.
2
2 D．－ 2
解析： 因为向量 a＝(1,1) ，2a＋b＝ (4,2) ，所以 b＝ (2,0) ，则向量 a，b 的夹角的余
1×2＋1×０ 2
1 3BC.
若
A→B＝
a，A→C＝
b，
则P→Q＝ (
)
11 A. 3a＋3b
11 B．－ 3a＋ 3b
11 C. 3a－3b
11 D．－ 3a－ 3b
解析：
P→Q＝
P→B＋B→Q＝
23A→B＋13B→C＝
23A→B＋
1 3(
A→C－
A→B)
＝
13A→B＋
13A→C＝13a＋
1 3b，故选
A.
答案： A
( － 7，－ 4) ，∴ A→C＝ A→B＋ B→C＝( － 11，－ 7) ，∴ x－ 0＝－ 11， y－ 1＝－ 7，
解得 x＝－ 11， y＝－ 6，
故 C( － 11，－ 6) ．故选 C.
答案： C
5．(2018 ·广东广雅中学等四校 ∈R，则 | a－ kb| 的最小值为 ( )
2 月联考 ) 已知两个单位向量 a， b 的夹角为 120°， k
3
3
A. 4
B． 2
C． 1
3 D．2
1 解析： ∵两个单位向量 a，b 的夹角为 120°，∴ | a| ＝| b| ＝ 1，a·ｂ＝－ 2，∴ | a－
kb| ＝ a2－2ka· b＋ k2b2＝ 1＋ k＋k2＝
1 k＋2
【2019最新】高考数学深化复习+命题热点提分专题02平面向量与复数文
【2019最新】高考数学深化复习+命题热点提分专题02平面向量与复数文1．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝ ( ) A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD →D.12AB →＋34AD → 【答案】：B【解析】：因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12()AB →＋AC →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.2．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn等于( ) A ．－12B.12 C ．－2 D ．2【答案】：C【解析】：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m －λ＝2，故m n＝－2.3.如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →)＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32【答案】：A4．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13B.13 C ．－1 D ．0【答案】：B【解析】：由已知可得，a ·b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13，故选B.5.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB 中，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为()A.12 B.22C.34 D ．1【答案】：D6．设复数z 满足z －i z ＋i＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝( ) A ．21 008B ．21 008i C ．－21 008D ．－21 008i【答案】：A 【解析】：由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i 1－i ＝2i1＋i 1－i 1＋i＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，从而z2 016＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A.7．如图在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA 、OB ，则复数 ）A ．﹣1+2iB ．﹣2﹣2iC ．1+2iD ．1﹣2i 【答案】A8．设复数i i z 510)2(-=+⋅（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ）A ．i 43+-B ．i 43--C ．i 43+D ．i 43- 【答案】C【解析】因为105105234222i i iz i i i i ---==⋅=-++-，所以34z i =+.9．复数z 满足） A ．1+i B ．1i - C ．1i -- D ．1+i - 【答案】A.A ．10.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA→＋OB →)·AB →＝()A.4B.6C.1D.2【答案】 B【解析】 由条件可得B (3，1)，A (2，0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 11.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6【答案】 A【解析】 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6.12.已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝3，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t ＝________. 【答案】 213. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.【答案】 3【解析】 法一 如图，建立平面直角坐标系. 由题意知：A (3，0)，B (0，3)，设M (x ，y )，由BM →＝2MA →， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)，所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.14.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).【答案】 垂心15.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值.【解析】 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以|a ＋b |＝2cos x .(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ， 即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时， f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝12.16．设复数z=a+i （i 是虚数单位，a∈R，a ＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m 取值范围．【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<.17．已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =．（135c =，且//a c ，求c 的坐标；（235b =，且(4)(2)a b a b -⊥+，求a 与b 夹角θ的余弦值．【答案】（1）(3,6),(3,6)c=--；（2【解析】18．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C与直线y=kx（k ＞0）在第一象限的交点为A．①设，且OA OB=6⋅k的值；②若A与D关于x的轴对称，求△AOD 的面积的最大值．【答案】（1）（2【解析】解：（1）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，因为直线l ：x﹣y+2=0与圆O 相切，故有，所以．因为，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．所以椭圆C的方程为．（2）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0．由解得，2OA OB=⋅，∴（k=0舍去）．②∵，（当且仅当时取等号），∴S △AOD 的最大值为．19．(1)向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，求|a ＋b |和a ＋b 与c 的夹角； (2)设O 为△ABC 的外心，已知AB ＝3，AC ＝4，非零实数x ，y 满足AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，求cos ∠BAC 的值．20．已知向量a ＝(1，3sin ωx )，b ＝(cos 2ωx －1，cos ωx )(ω>0)，设函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的单调区间．20．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．。
2019高考数学二轮专项练习精品--平面向量
2019高考数学二轮专项练习精品--平面向量 【考纲解读】 1.理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义. 2、了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3、理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【考点预测】 高考对平面向量的考点分为以下两类: (1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大. (2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强. 【要点梳理】 1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法那么、三角形法那么、多边形法那么，加法的运算律; 2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义； 3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；
4.两个向量夹角的范围是:[0,]; 5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件. 【考点在线】 考点一向量概念及运算
例1.(2017年高考山东卷理科12)设1A，2A，3A，4A是平面直角坐标系中两两不同的四
点，假设1312AAAA(λ∈R)，1412AAAA(μ∈R)，且112,那么称3A，4A调和分割1A，2A,点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，那么下面说法正确的选项是() (A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点 (C)C，D可能同时在线段AB上 (D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上 【答案】D 考点二平面向量的数量积 例2.〔2017年高考海南卷文科13)a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,假设向量ab
【2019届高考二轮臻品资源-数学】专题二 第3讲 平面向量(学生版)
3
2
∵ ������ ∈ (������ , ������)，∴ ������ = 5 ������．
A．48
B．40
C．32
D．16
(2)(2016·山东卷)已知非零向量 m，n 满足 4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13．若 n⊥(tm＋n)，则实数 t 的值为（ ）
A．4
B．－4
C．94
D．－94
解析
(1)因为点������为斜边������������的中点，所以���⃑⃑���⃑⃑���⃑���
【训练
3】(2018·天津七校)在平面直角坐标系������������������中，已知向量������
=
(cos������,
sin������),
���⃑ ���
=
(1,
√3),
������
∈
(������
3
,
������)．
（1）若������ ⊥ ���⃑���，求������的值；
（2）若������与���⃑���的夹角为���6���，求cos������的值．
5．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
(1)a2＝a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a．
(2)|a±b|＝ （a±b）2＝ a2±2a·b＋b2．
(3)若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2．
【训练
2】(1)(2015·福建卷)已知A→B⊥A→C，|A→B|＝1t ，|A→C|＝t，若点
答案 D
热点二 平面向量的数量积 命题角度 1 平面向量数量积的运算
【例 2－1】(1) (2019·株洲质检)在������������������������������������中，点������为斜边������������的中点，|������������| = 8，|������������| = 6，则���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� ⋅ ���⃑⃑���⃑⃑���⃑��� =（ ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1讲 平面向量
1.(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝( )
A.34AB→－14AC→ B.14AB→－34AC→
C.34AB→＋14AC→ D.14AB→＋34AC→
解析：作出示意图如图所示．
EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB
→
－
1
4
AC
→
.故选A.
答案：A
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与
BD
相切的圆上．若AP→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．22
C.5 D．2
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，
y
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程
为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为212＋22＝25，所
以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝45，因为P在圆C上，
所以P1＋255cos θ，2＋255sin θ，又AB→＝(1,0)，AD→＝(0,2)，AP→＝λAB→＋μAD→＝
(λ，2μ)，所以 1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2
＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取
得最大值3.故选A.
答案：A
3．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
PA→·(PB→＋PC
→
)的最小值是( )
A．－2 B．－32
C．－43 D．－1
解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为
x
轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则
A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA
→
＝(－
x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y
)，
所以PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2
x
2
＋2y－322－32，当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取
得最小值，为－32.
答案：B
4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝
________.
解析：易知|a＋2b|＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝23.
答案：23
1.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(
AB
→
＋AC→)，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：设BC的中点为D，则由OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，可得AP→＝λ(AB→＋AC→)＝2λAD→，所
以点P在△ABC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故
选C.
答案：C
2.如图所示，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，
M为BC边的中点，则AM→·AO
→
的值为( )
A．23 B．12
C．6 D．5
解析：延长AO交圆O于点D，连接BD，CD(图略)，则∠ABD＝∠ACD＝90°.因为M为
BC
边的中点，所以AM→＝12(AB→＋AC→).易知AO→＝12AD→，所以AM→·AO→＝14(AB→＋AC→)·AD→＝14(AB→·AD→＋
AC→·AD→)＝14(|AB→|·|AD→|cos∠BAD＋|AC→|·|AD→|cos∠CAD)＝14(|AB→|2＋|AC
→
|2)＝14(42＋22)
＝5.故选D.
答案：D
3．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；
③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则( )
A．a⊥b B．a⊥(a－b)
C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
解析：由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，
所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，
所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.
因为上式对任意t∈R恒成立，
所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，
即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.
于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，
所以b⊥(a－b)．故选C.
答案：C
4.如图所示，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，动点
P在以AB为直径的圆弧APB上，则PC→·PD
→
的取值范围是
________．
解析：设CD的中点为M，连接PM(图略)，则PC→·PD→＝(
PM
→
－12CD→)·(PM→＋12CD→)＝|PM→|2－14|CD→|2＝|PM→|2－4.易知
|PM→|∈[2，25]，故PC→·PD→的取值范围是[0,16]．
答案：[0,16]