2018年高考真题理科数学(全国卷Ⅰ)含解析
2018年高考全国卷理科数学一题多解
2018年高考全国卷理科数学一题多解(总26页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2018年高考全国卷理科数学一题多解1、（2018年天津高考真题理科和文科第13题）已知R b a ∈,，且063=+-b a ，则ba 812+的最小值为 . 思路一：基本不等式ab b a 2≥+解析一：由于063=+-b a ，可得63-=-b a ， 由基本不等式可得，412222222222281236333=⨯===•≥+=+-----b a b a b a b a ， 当且仅当⎩⎨⎧=+-=-063223b a b a ，即⎩⎨⎧=-=13b a 时等号成立。
故b a 812+的最小值为41。
思路二：轮换对称法(地位等价法）方法二：轮换对称性：因为b a 3,-的地位是样的，当取最值时，b a 3,-在相等的时候取到：33-=-=b a ，得1,3=-=b a ，4181281213=+=+-b a 所以最小值为41 思路三：换元+等价转化 方法三：令x a =2，y b=81，则x a 2log =，y b 2log 3=-， 则已知问题可以转化为：已知06log log 22=++y x ，则y x +的最小值为 . 已知06log log 22=++y x ，可得62-=xy ，412223=•=≥+-xy y x ， 当且仅当y x =，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=063812b a ba ，即⎩⎨⎧=-=13b a 时取得等号， 故b a 812+的最小值为41。
2、【2018课标2卷理12】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）．A ．23B ．12C ．13D ．14解法一：由题意：(,0),(2),A a P c -所以026AP k c a -==+，即4a c =，所以14e =，选D ． 解法二：由题可得PA的方程为)y x a =+，2PF的方程为)y x c =-，可求解6,)5p p a c x y a c +==+，又22(,0),PF F c k -=所以)565a c a c c +=++ 解得14e =，选D 解法三：在2ΔAF P 三角形中，由余弦定理可得：则PA ==22tan PAF PAF ∠=∠==又22PF c = 在212Δ,ΔAPF PF F 中利用等高建立等式，2c ==， 所以14e =，选D解法四：因为12ΔPF F 为等腰三角形，12120F F P ∠=，所以2122PF F F c ==，由余弦定理可知：1PF =，因为11111sin sin(),sin 1313APF PAF AF P PAF PAF ∠=∠+∠∠=∠=，所以1sin 26APF ∠=，在1ΔAPF 中，由正弦定理可知：1111sin sin AF PF APF PAF =∠∠=所以离心率为14，选D ． 解法五：因为12ΔPF F 为等腰三角形，12120F F P ∠= ，所以2122PF F F c ==， 由AP2tan PAF ∠=，所以22sin PAF PAF ∠=∠=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ===+-∠ 所以4a c =，解得14e =，选D ．3、（2018全国理科第16题）已知函数()sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值为___________解法一2()sin sin 22sin (1cos )4sin cos 2cos 222x x xf x x x x x =+=+=⨯()[]32262()64sin cos 641,sin 0,1222x x x f x t t t ⎛⎫==-=∈ ⎪⎝⎭()()433264643t 11127()6413t 13344+-+-+-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭t t t f x t t t 当且仅当14t =时，2max 27()4f x = 此时211sin ,sin 2422==-x x，min ()f x = 考点：四元均值不等式，三角恒等变换解法二：先求()f x 的最大值，设sin 0,cos 0x x >>()2sin 2sin cos =+=f x x x x ()22222211112sin 2sin cos sin sin cos ⎛⎫+≤+++ ⎪⎝⎭a xb x x a x b x x a b a b222211sin cos a b x x a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，2,23a b ⎛== ⎝⎭即22()2sin 2sin cos f x x x x x x =+≤=，3x π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故根据()()f x f x -=-奇函数知，min ()f x =解法三：求导法.()()2cos 2cos22(2cos 1)cos 1f x x x x x '=+=-+当0,,()03x f x π⎛⎫'∈> ⎪⎝⎭；5,,()033x f x ππ⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭；5,2,()03x f x ππ⎛⎫'∈> ⎪⎝⎭∴min 5()()3f x f π==解法四：()f x 为奇函数，可考虑x 为锐角，由琴生不等式等2()sin sin sin(22)3sin()3++-=++-≤=x x x f x x x x ππ()≥f x 解法五 ()sin sin 2f x x x =+，()2sin (1cos )=+f x x x 设cos ,sin ==m x n x ，则221+=m n ，2(m 1)=+t n ，2(m 1)=+tn ，设两曲线切于,x y，则有22212(1)2(1)⎧⎪+=⎪⎪=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩x y t y x t x，解得2=±t，()[22∈-f x解法六柯西不等式法()sin sin2f x x x=+，22()2=⋅f x xxcosx22223sin+≤x27=16，()[∈f x解法七：构造单位圆中的正三角形，单位圆中的正三角形面积最大(1,0),(cos sin),(cos,0)D(cos,0)-A B x x C x x，，，1|2sin(1cos)|2∆=⋅+≤ABCS x x解法七万能代换：()sin sin2f x x x=+为奇函数，不妨设,0>x02tan>=xt。
2018高考全国卷1理科数学试题及答案(word版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设121iz i i-=++，则z =（ ）A ．0B ．12C ．1D 2．已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -≤≤C ．{}{}|1|2x x x x <->D ．{}{}|1|2x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ） A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ） A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ） A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．334B ．233C ．324D ．32二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S =________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．三、解答题（共70分。
2018年高考真题理科数学(全国乙卷) 含解析
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2018年新课标I 高考数学（理科）答案与解析1． {}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭． 故332AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．2． 由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi + 故选B ．3． 由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=． 故选C ．4． 如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟 根据几何概型，所求概率10101402P +==． 故选B ．5． 222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<< 故选A ．6． 原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯ 故选A ．7． ()22288 2.80f e =->->，排除A()22288 2.71f e =-<-<，排除B0x >时，()22x f x x e =-()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C故选D ．8． 对A ： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误对B ： 由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误对C ： 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b 和ln a a构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确 对D ： 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误故选C ．9．输出32x =，6y =，满足4y x = 故选C ．10． 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：设(0A x，2p D ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22ypx =上，∴082px =……①点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ．11． 如图所示：111∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥ 同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111BC BD CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=． 故选A ．F12． 由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减故选B ．13． 由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．14． 设展开式的第1k +项为1k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈∴()5552155C 2C 2k kkkkkk T x x---+==．当532k -=时，4k =，即454543255C 210T x x --== 故答案为10．15．由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩． 故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()()21174932 (472)22412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64．16． 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为 **1.50.51500.3905360000x y x y x y x y x N y N⎧+⎪+⎪⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪∈⎪∈⎪⎩≤≤≤≥≥ 目标函数2100900z x y =+作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯=17．⑴ ()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=>∴2cos 1C =，1cos 2C = ∵()0πC ∈， ∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=18．⑴ ∵ABEF 为正方形∴AF EF ⊥ ∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DFEF F∴AF ⊥面EFDCAF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒∵AB EF ∥AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC∴AB ∥平面ABCDAB ⊂平面ABCD∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥ ∴CD EF ∥∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =()()000020E B a ，，，，()02202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，()020EB a =，，，22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()200AB a =-，， 设面BEC 法向量为()m x y z =，，. 00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩11101x y z ===-，()301m =-，，设面ABC 法向量为()222n x y z =，， =00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即222220220a x ay ax ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 22204x y z ===，()034n =，设二面角E BC A --的大小为θ. cos 3m n m nθ⋅===+⋅ ∴二面角E BC A --的余弦值为19．⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B == 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯= ()()()44220.20.20.04P x P A P B ===⨯=⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++≥ 则n 的最小值为19⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯= 所以应选用19n =BE AC ∥，则C EBD =∠∠，由,AC AD D C ==则∠∠，EBD D ∴=∠∠，则EB ED = 4AE EB AE ED AD ∴+=+==所以E 的轨迹为一个椭圆，方程为22143x y +=，(0y ≠)；⑵ 221:143x y C +=；设:1l x my =+，因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立1l C 与椭圆 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=；()2212134m m +=+；圆心A 到PQ 距离d ==所以||PQ =，()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+21．⑴ 由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意；② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增 当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减 即：故()f x 在()1,+∞上至多一个零点，在(),1-∞上至多一个零点 由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t =，21t =+， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：而极大值()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()l n 20fx f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解 而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a ea -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 即：故当()ln 2x a -≤时，()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-，那么()0f x e -<≤恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞．⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--设()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = 那么()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增． 设0m >，构造代数式：()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111mm h m e m -=++，0m >则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．22．⑴ 设圆的半径为r ，作OK AB ⊥于K∵120OA OB AOB =∠=︒，∴30sin302OAOK AB A OK OA r ⊥∠=︒=⋅︒==，， ∴AB 与O ⊙相切 ⑵ 方法一：假设CD 与AB 不平行CD 与AB 交于F2FK FC FD =⋅① ∵A B C D 、、、四点共圆∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ⋅=⋅=-+ ∵AK BK =∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ⋅=-+=-② 由①②可知矛盾 ∴AB CD ∥方法二：因为,,,A B C D 四点共圆，不妨设圆心为T ，因为,OA OB TA TB ==，所以,O T 为AB 的中垂线上，同理,OC OD TC TD ==，所以OT CD 为的中垂线，所以AB CD ∥．23．⑴ cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==， ∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+= 即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -= ∴1a =24．⑴ 如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x <<当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x <∴≤或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，。
2018年全国卷1高考理科数学试题及答案
2018年全国卷1⾼考理科数学试题及答案绝密★启⽤前2018年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（新课标I卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡对应题⽬的答案标号涂⿊。
如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号。
回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上⽆效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
1．设，则A．B．C．D．2．已知集合，则A．B．C．D．3．某地区经过⼀年的新农村建设，农村的经济收⼊增加了⼀倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收⼊变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收⼊构成⽐例，得到如下饼图：建设前经济收⼊构成⽐例建设后经济收⼊构成⽐例则下⾯结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收⼊减少B．新农村建设后，其他收⼊增加了⼀倍以上C．新农村建设后，养殖收⼊增加了⼀倍D．新农村建设后，养殖收⼊与第三产业收⼊的总和超过了经济收⼊的⼀半4．设为等差数列的前项和，若，，则A．B．C．D．5．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线⽅程为A．B．C．D．6．在中，为边上的中线，为的中点，则A．B．C．D．7．某圆柱的⾼为2，底⾯周长为16，其三视图如图．圆柱表⾯上的点在正视图上的对应点为，圆柱表⾯上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧⾯上，从到的路径中，最短路径的长度为A．B．C．3D．28．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A．5B．6C．7D．89．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）10．下图来⾃古希腊数学家希波克拉底所研究的⼏何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直⾓三⾓形ABC的斜边BC，直⾓边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，⿊⾊部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取⼀点，此点取⾃I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p311．已知双曲线C：，O 为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直⾓三⾓形，则|MN|=A．B．3C．D．412．已知正⽅体的棱长为1，每条棱所在直线与平⾯α所成的⾓相等，则α截此正⽅体所得截⾯⾯积的最⼤值为A．B．C．D．⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
(完整版)2018年全国卷理科数学真题及答案
•选择题（共12小题） 1 .设 z =+2i ，则 |z|=( )1+1则 |z|= 1 . 故选：C . 2.已知集合 A ={x|x 2-x - 2> 0}，则？R A =( )A . {x|- 1 v x v 2}B . {x|- 1 w x w 2}C . {xX <- 1} U {x|x > 2}D . {xX <- 1} U {x|x > 2}【解答】解：集合A = {x|x 2- x -2>0}, 可得 A = {x|x <- 1 或 x >2}, 则：？RA = {x|— 1w x W 2}. 故选：B . 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面结论中不正确的是（ ）A .新农村建设后，种植收入减少B .新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后，养殖收入增加了一倍D .新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【解答】解：设建设前经济收入为 a ,建设后经济收入为 2a . A 项，种植收入 37% x 2a -60%a = 14%a >0,A . 0 【解答】解:C . 11-1 +2i =1+i+2i =- i+2i = i ,种植收入則也收入建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 義瘡帧入第三庐11收入沖植收入第三产业收入耳他收入盖殖收入第1页（共16页）故建设后，种植收入增加，故A项错误.B项，建设后，其他收入为5%x 2a= 10%a,建设前，其他收入为4%a,故10%a - 4%a= 2.5 > 2,故B项正确.C项，建设后，养殖收入为30% x 2a= 60%a,建设前，养殖收入为30%a,故60%a-30%a = 2,故C项正确.D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为(30%+28% )x 2a= 58%x 2a,经济收入为2a,故(58% x 2a)- 2a = 58% > 50%,故D项正确.因为是选择不正确的一项，故选：A.4. 记S n为等差数列｛a n｝的前n项和.若3S3= S2+S4, a i= 2,贝U a5=( )A . - 12B . - 10 C. 10 D. 12【解答】解：••• S n为等差数列｛a n｝的前n项和，3S3= S2+S4, a1= 2,. 3X2 、4X3•••沁S] r-d) = a1+a1+d+4a1+^^d,把a1 = 2,代入得d=- 3••• a5= 2+4X( - 3)=- 10.故选：B.3 25. 设函数f (x)= x + (a- 1) x +ax.若f (x)为奇函数，则曲线y= f (x)在点(0, 0)处的切线方程为( )A . y=- 2xB . y=- x C. y= 2x D. y= x【解答】解：函数 f (x)= x3+ (a - 1) x2+ax，若f (x)为奇函数，f (- x)=- f (x),-x3+ (a- 1) x2- ax=-( x3+ (a - 1) x +ax) =- x3_( a - 1) x2- ax.所以：(a - 1) /=—( a- 1) x2可得 a = 1，所以函数 f (x )= x 3+x ，可得 f '( x )= 3X 2+1, 曲线y = f (x )在点(0, 0)处的切线的斜率为：1, 则曲线y = f (x )在点(0, 0)处的切线方程为：y = x . 故选：D .【解答】解：在△ ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点,7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应路径中，最短路径的长度为(直观图以及侧面展开图如图:圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的路径中, 最短路径的长度:&设抛物线C : y 2= 4x 的焦点为F ，过点(-2, 0)且斜率为2的直线与C 交于M , N 两3点，则丨F'? N=( )6.在△ ABC 中，AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点，则 ■ '■=(点为A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的C .【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16,高为:2,)故选：A .A BNA . 5B . 6 C. 7 D. 8【解答】解：抛物线C : y2= 4x的焦点为F ( 1, 0)，过点(-2, 0)且斜率为2的直线|3为：3y= 2x+4,联立直线与抛物线C: y2= 4x,消去x可得：y2-6y+8 = 0,解得y i = 2, y2= 4，不妨M (1, 2) , N ( 4, 4),丽二2)，丽=(百4)•则山？；；」=(0, 2)?( 3, 4)= 8.故选：D.9.已知函数f (x)=| °, g (x)= f (x) +x+a.若g (x)存在2 个零点，贝U ax>0的取值范围是( )A . [ - 1 , 0)B . [0 , + s) C. [ - 1, + s) D . [1 , + s)【解答】解：由g (x)= 0得f (x)=- x - a,作出函数f (x)和y=- x- a的图象如图：当直线y=- x- a的截距-a< 1，即a>- 1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g (x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[-1, + s),故选：C.第5页（共i6页）10•如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC ,直角边AB , AC . △ ABC 的三边所围成的区.S I = S n ,.P i = P 2,故选：A .渐近线的交点分别为 M , N .若厶OMN 为直角三角形，则|MN|=（ ）此图由三个半圆构成， 三个半圆域记为I ，黑色部分记为n,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I,A . p i = p 2B . p i = p 3C . p 2= p 3D . p i = P 2+P 3 【解答】解：如图：设 BC = 2r i , AB = 2r 2,AC = 2r 3,2 2 2r i 2=「22+「31 2Sn = 一 x 冗r32+S I =x 4「2r 3= 2r 2r 3, S m = 2X 冗r 2 —2 2 22n i 2- 2r 2r 3,2 L 2冗「2 -— x n i +2r 2r 3= 2r 2r 3,ii .已知双曲线C : -y 2= i , O 为坐标原点,F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条5n,川的概率分别记为 p i , p 2, p 3,则（I C. 2. ■:66【解答】解：双曲线C :虽_-y 2= 1的渐近线方程为:360°,不妨设过F （2, 0）的直线为：y =.上-_ ,\-2y-2< 0x-y+l>0，则z = 3x+2y 的最大值为 y<o【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z = 3x+2y 得 y = — - — x+__z ,2 2y= ■,,渐近线的夹角为:12.已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则a 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时, a 截此正方体所得截面面积的最大， 此时正六边形的边长 _ ',a 截此正方体所得截面最大值为:6孚爭普.13•若x , y 满足约束条件),第9页（共16页）平移直线y =- . -x+- -z ,2 2由图象知当直线y =-3x+丄z 经过点A （2, 0 ）时，直线的截距最大，此时z 最大,\2\ \2\最大值为z = 3 X 2= 6,故答案为：614.记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.若 S n = 2a n +1，则S s = - 63 【解答】解：Si 为数列｛a n ｝的前n 项和，S n = 2a n +1,①当 n = 1 时，a i = 2a i +1，解得 a i =- 1, 当 n >2 时，S n -1 = 2a n -1+1 ,②， 由①-②可得a n = 2a n - 2a n - 1,--a n = 2a n -1,二｛a n ｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列,故答案为：-6315•从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法 共有16种.（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C 21C 42= 12, 2女1男，有C 22C 』=4 根据分类计数原理可得，共有12+4= 16种，S 6=-IX (1-26)1-2=-63,2 —方法二，间接法： C 63 - C 43= 20 - 4= 16 种, 故答案为：16f (x )= 2sinx+sin2x ,则 f (x )的最小值是【解答】解：由题意可得 T = 2 n 是f (x )= 2sinx+sin2x 的一个周期, 故只需考虑f (x )= 2sinx+sin2x 在［0 , 2 n)上的值域,先来求该函数在［0, 2n)上的极值点,16.已知函数 求导数可得f '( x )= 2cosx+2cos2x=2cosx+2 2(2cos x - 1) = 2 (2cosx - 1) (cosx+1),令 f '( x )=0可解得 cosx = 丄或 cosx =- 1,2可得此时x =-l••• y = 2sinx+sin2x 的最小值只能在点 x =计算可得f (—)= ；,f (n)3/3=0, f (5兀)=-^-, f (0)= o ,2和边界点x = 0中取到, 三•解答题(共5小题)17.在平面四边形 ABCD 中，/ ADC = 90°,/ A = 45°, AB = 2, BD = 5.(1 )求 cos / ADB ; (2 )若 DC = 2 .役求 BC .【解答】 解：(1)v/ ADC = 90°,/ A = 45°, AB = 2, BD = 5. •••由正弦定理得： ——些——=一，即 ---- 1——=——》^,SIEL Z ADB sinZ ： A sinZ^AEB sin45• sin /ADB =二亠」=」5 5• BC = " ■ ：- ■ H ： " : 「：I ■■: . .-：■ 'T第8页(共16页)•/ AB < BD ，•/ ADB </ A ,•/ DC = 2 :'：,【解答】(1)证明：由题意，点 E 、F 分别是AD 、BC 的中点,11 1则扯tAD ，B 卩号BC ，由于四边形 ABCD 为正方形，所以 EF 丄BC . 由于PF 丄BF , EF A PF = F ,贝U BF 丄平面 PEF . 又因为BF?平面ABFD ，所以：平面 PEF 丄平面 ABFD . (2)在平面PEF 中，过P 作PH 丄EF 于点H ，连接DH , 由于EF 为面ABCD 和面PEF 的交线，PH 丄EF , 贝U PH 丄面ABFD ，故PH 丄DH .在三棱锥P - DEF 中，可以利用等体积法求 PH , 因为DE // BF 且PF 丄BF , 所以PF 丄DE , 又因为△ PDFCDF ,所以/ FPD = Z FCD = 90F 分别为AD , BC 的中点，以DF 为折痕把厶DFC折起，使点C 到达点P 的位置，且PF 丄BF .(1)证明：平面 PEF 丄平面ABFD ;(1 )当I 与x 轴垂直时，求直线 AM 的方程; (2)设0为坐标原点，证明：/ OMA = Z OMB . 【解答】解：(1) c = ' = 1, 二 F (1, 0), •/ I 与x 轴垂直, x = 1,所以PF 丄PD ,由于DE A PD = D ，贝U PF 丄平面PDE ,因为BF II DA 且BF 丄面PEF ,所以DA 丄面PEF , 所以DE 丄EP .设正方形边长为 2a ,贝U PD = 2a , DE = a所以 h/3 3 又因为故 V F -PDE 'V PDV 322所以在△ PHD 中，sin / PDH =PD过F 的直线I 与C 交于A , B 两点，点 M 的坐标故 V F -PDE =■'.二■'!「，所以PH 即/ pDH 为DP 与平面A BFD 所成角的正弦值为：：2证明：(2)当I 与x 轴重合时，/ OMA = Z OMB = 0° ,当I 与x 轴垂直时，0M 为AB 的垂直平分线，•/ OMA = Z OMB , 当I 与x 轴不重合也不垂直时，设 I 的方程为y = k (x - 1), k z 0 , A (X 1 , y 1), B (X 2, y 2),则 X 1V 近 ,X 2V . | , 从而 k MA +k MB = 0,x=lX=1 _ V2 'V- -----2 •直线AM 的方程为y =-世2x 忖㊁,y=±Z x-#E ,直线MA , MB 的斜率之和为 k MA , k MB 之和为k MA +k MB丫H 1 -2 七-2由 y i = kx i - k , y 2= kx 2- k 得 k MA +k MB2kx | s 2-3k (jc L +x 2)(誉厂 2)Gg-2)将y = k (x - 1)代入+/= 1 可得(2^+1) x 2 - 4k 2x+2k 2- 2 = 0 ,…X 1+x 2 = ,X 1X 2 =2t 2+l二 2kx x2k 2+13‘..33(4k - 4k - 12k +8k +4k )= 0••• A (1.，或(1,-故MA , MB的倾斜角互补,•••/ OMA = Z OMB ,综上/ OMA = Z OMB .20. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品•检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验•设每件产品为不合格品的概率都为p ( 0v p v 1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1 )记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f( p),求f ( p)的最大值点P0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1 )中确定的p0作为p的值•已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.X,求(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解答】解：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f( p),则f3)=够吓々1-戸)退•••(p)二C务［邓18-lSp£(l-p )门］=2C和(1-p ) 17(l-10p)，令f'( p)= 0,得p= 0.1,当p € ( 0, 0.1)时，f'( p)> 0,当p € ( 0.1, 1)时，f'( p)v 0,••• f (p)的最大值点p o= 0.1.(2) (i )由(1 )知p = 0.1,令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知丫〜B (180, 0.1),X = 20X 2+25Y,即X= 40+25Y,E (X)= E ( 40+25Y)= 40+25E (Y)= 40+25 X 180 X 0.1 = 490.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，•/ E (X)= 490 > 400,• ••应该对余下的产品进行检验.21. 已知函数f (x)=2 - x+alnx.x(1)讨论f (x)的单调性；(2)右f (x)存在两个极值点X1, X2,证明：^ " v a- 2.【解答】解：(1)函数的定义域为(0, + R),函数的导数f'( x)=-—-- 1+乂,2 v2X X设g (x)= x2- ax+1,当a w 0时，g (x)> 0恒成立，即f'( x)v 0恒成立，此时函数f( x)在(0, +^)上是减函数，当a>0时，判别式厶=a2- 4,①当O v a w 2时，0，即g (x )> 0, 即卩f '( x )< 0恒成立，此时函数+ m)上是减函数,)上是增函数.(2)由(i )知 a >2, 0v x i v i v x 2, x i x 2= i ,则问题转为证明 即证明 Inx i — Inx 2>x i — x 2,1 If (幻在(0, ②当a >2时，x , f ' (x ) , f ( X )的变化如下表:f '( X ) f ( X )(0,((+ m)递减递增递减综上当a w 2时，f (X )在(0, +m)上是减函数,当a > 2时，在(0, ~T)，和(,+m)上是减函数,则( 则 f (X i ) — f ( X 2) = ( X 2 — X i ) ( i +)+a (Inx i - InX 2) =2 (X 2 - X 1) +a (Inx i - InX 2),=—2+a.tin 苴iv 1即可,即 Inx i +Inx i >x i — ---- ,设 h (x )= 2lnx — x+— ,(0V x v i ),其中 h (i )= 0,2 — i —1K ^-2Z -I -12 I2 Xv 0,则 Inx i — I> x i —即证 2lnx i >x i(0, i ) 上恒成立,求导得h '( x )• h （乂）在（1, + g ）上单调递减, ••• h (x )v h (1)= 0,••• 2alnx - ax+-L v 0 成立，即 2alnx 2 - ax 2v a - 2成立.四、选做题22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1的方程为y = k|x|+2 .以坐标原点为极点, 一 2极轴建立极坐标系，曲线 C 2的极坐标方程为 p +2 pcosQ- 3= 0. （1 ）求C 2的直角坐标方程；（2 ）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求 C 1的方程.则h （乂）在（0, 1）上单调递减, /• h (x )> h (1),即 2lnx - x > 0,故 2lnx >x -v a - 2成立.（2）另解：注意到f （丄）=x - -alnx =- f (x ),即 f (x ) +f (二)=0, k由韦达定理得X 1x 2 = 1, X 1+X 2= a >2，得 0v x 1 v 1 v x 2, x 1 = 可得 f (x 2)+f ()=0，即 f ( x 1 ) +f (x 2)= 0,要证v a - 2,只要证-f Cx 2)-f (即证 2alnx 2 - ax 2+-v 0, ( x 2> 1 ),2构造函数 h (x )= 2alnx - ax+—x 轴正半轴为v 0, ( x 2> 1)成立.第20页（共16页）【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为p2+2 pCOs B-3 = 0. 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x- 3= 0,转换为标准式为：（x+1 ）2+y2= 4.第15页(共16页)(2)由于曲线C 1的方程为y = k|x|+2，则：该射线关于 y 轴对称，且恒过定点(0, 2). 由于该射线与曲线 C 2的极坐标有且仅有三个公共点. 所以：必有一直线相切，一直线相交. 则：圆心到直线 y = kx+2的距离等于半径 2. 当k = 0时，不符合条件，故舍去,23. 已知 f (x )= |x+1| - |ax - 1|.(1 )当a = 1时，求不等式f (x )> 1的解集;(2)若x € (0, 1 )时不等式f (x )> x 成立，求a 的取值范围. \(2, «>1【解答】解：(1)当 a = 1 时，f (x )=x+1|-|x - 1| = -1 , —占 x<-l由 f (x )> 1,.f2x>l J2>1或(Ql ，解得x>—, [2故不等式f (x )> 1的解集为(亍，+m),(2 )当x € (0, 1 )时不等式f (x )> x 成立,/• |x+1| - |ax - 1| - x > 0, 即 x+1 - |ax - 1|- x >0,即 |ax - 1| v 1,同理解得: 一或0解得：k =上或0,经检验，直线 与曲线C 2.有两个交点.故C i 的方程为:第22页（共16页）/• 0 v ax v 2,x€ (0, 1),••• a > 0,• 0 v x v「a• 0v a w 2,故a的取值范围为（0, 2].。
2018年全国高考理科数学(全国一卷)试题及参考答案(2021年整理)
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2018年全国普通高等学校招生全国统一考试(全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。
) 1、设z=，则∣z ∣=（）A 。
0B.C.1D.2、已知集合A={x|x 2-x —2>0｝,则A =（）A 、{x ｜-1〈x 〈2｝B 、｛x ｜—1≤x ≤2｝C 、｛x ｜x<-1｝∪{x ｜x>2}D 、｛x|x ≤-1｝∪｛x ｜x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n ｝的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4，a 1=2,则a 5=（)建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例A、—12B、—10C、10D、125、设函数f（x)=x3+（a—1）x2+ax。
2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设z=1-i1+i +2i ，则|z|=A ．0B ．12 C ．1 D ．2 解析：选C z=1-i1+i +2i=-i+2i=i 2．已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则∁R A =A ．{x|-1<x<2}B ．{x|-1≤x ≤2}C ．{x|x<-1}∪{x|x>2}D ．{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 解析：选B A={x|x<-1或x>2}3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5= A ．-12B ．-10C ．10D ．12解析：选 ∵3(3a 1+3d)=(2a 1+d )+(4a 1+6d) a 1=2 ∴d=-3 a 5=-105．设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A ．y=-2xB ．y=-xC ．y=2xD ．y=x解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x 3+x f′(x)=3x 2+1 f′(0)=1 故选D 6．在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →= A ．34AB → - 14AC →B ． 14AB → - 34AC →C ．34AB → + 14AC →D ． 14AB → + 34AC →解析：选A 结合图形，EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14AC → 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．2 5C ．3D ．2解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →= A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D F(1,0)，MN 方程为y=23 (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则FM →=(0,2),FN →=(3,4) ∴FM→·FN →=8 9．已知函数f(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0lnx ，x>0，g(x)=f(x)+x+a ．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）解析：选C g(x)=0即f(x)=-x-a ，即y=f(x)图象与直线y=-x-a 有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a<110．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p1，p2，p3，则A ．p1=p2B ．p1=p3C ．p2=p3D ．p1=p2+p3解析：选A ∵AC=3，AB=4，∴BC=5，∴12AC=32，12AB=2 , 12BC=52∴以AC 和AB 为直径的两个半圆面积之和为12×π×(32)2+12×π×22=258π∴以BC 为直径的半圆面积与三角形ABC 的面积之差为12×π×(52)2- 12×3×4=258π-6； ∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于258π-(258π-6)=6=ΔABC 面积 ∴p1=p211．已知双曲线C ：x 23 - y 2 =1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|= A ．32B ．3C ．2 3D ．4解析：选B 依题F(2,0),曲线C 的渐近线为y=±33x,MN 的斜率为3，方程为y=3(x-2),联立方程组解得M(32,- 32),N(3,3),∴|MN|=312．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．334B ．233C ．324D ．32解析：选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。
2018年高考全国1卷理科数学试题与答案解析
WORD格式整理绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
x1．已知集合A={x|x<1}，B={x|3 1}，则A．A B{x|x0}B．A B RC．A B{x|x1}D．A B2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1πA．B．48C．12D．π43．设有下面四个命题p：若复数z满足11zR，则z R；p：若复数z满足22z R，则z R；p：若复数z1,z2满足z1z2R，则z1z2；3专业技术参考资料WORD 格式整理p ：若复数z R，则z R.4其中的真命题为A．p1, p3 B．p1, p4 C．p2 , p3 D．p2, p44．记S为等差数列{ a n} 的前n项和．若a4 a5 24 ，S6 48 ，则{ a n} 的公差为nA．1 B．2 C．4 D． 85．函数 f (x) 在( , ) 单调递减，且为奇函数．若 f (1) 1，则满足 1 f (x2) 1的x 的取值范围是A．[ 2,2] B．[ 1,1] C．[0,4] D．[1,3]6．16(1 )(1 x)2x展开式中 2x 的系数为A．15 B．20 C．30 D．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．168．右面程序框图是为了求出满足 3n- 2n>1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000 和n=n+1B．A>1 000 和n=n+2C．A 1 000 和n=n+1D．A 1 000 和n=n+29．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2 x+ 2π) ，则下面结论正确的是3专业技术参考资料WORD 格式整理A．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得6到曲线C2B．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π个单位长度，得12到曲线C2C．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得6到曲线C2D．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π个单位长度，得12到曲线C210．已知 F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，过F作两条互相垂直的直线l2=4x 的焦点，过F作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1 与C交于A、B两点，直线l 2 与C交于D、E两点，则|AB|+| DE| 的最小值为A．16 B．14 C．12 D．10x y z11．设x yz 为正数，且 2 3 5 ，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100 且该数列的前N项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440 B．330 C．220 D．110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到，根据复数模的公式，得到，从而选出正确结果.详解：因为，所以，故选C.2. 已知集合，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B.3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.4. 设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.5. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.6. 在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.7. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.8. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.9. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A详解：设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.11. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.14. 记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.详解：根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.16. 已知函数，则的最小值是_____________．【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17. 在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】(1) .(2).【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.详解：（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.18. 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF⊥PF，BF⊥EF，又因为，利用线面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF，又平面ABFD，利用面面垂直的判定定理证得平面PEF⊥平面ABFD.(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD的法向量，设DP 与平面ABFD所成角为，利用线面角的定义，可以求得，得到结果.详解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.则为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.19. 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【答案】(1) AM的方程为或.(2)证明见解析.【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得点A 的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.详解：（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.（2）当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，则，直线MA，MB的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.20. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】】(1).(2) （i）490.（ii）应该对余下的产品作检验.【解析】分析：(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；(2)先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.详解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.21. 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（1）当时，在单调递减.，当时，在单调递减，在单调递增.（2）证明见解析.【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，. 所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.（二）选考题：共10分。