高一数学教案---平面向量基本定理
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第六教时
教材:平面向量基本定理
目的:要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;
或一个向量分解为两个向量。
过程:一、复习:1.向量的加法运算(平行四边形法则)。
2.实数与向量的积 3.向量共线定理 二、由平行四边形想到:
1.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量?且分解是唯一? 2.对于平面上两个不共线向量1e ,2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示?
——提出课题:平面向量基本定理
三、新授:1.(P105-106)1e ,2e 是不共线向量,a
是平面内任一向量
=1e OM =λ11e =a =OM +ON =λ11e +λ22e
=2e ON =λ22e
得平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对
于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a
=λ11e +λ22e 注意几个问题:1 1e 、2e 必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基底
2 这个定理也叫共面向量定理
3 λ1,λ2是被a
,1e ,2e 唯一确定的数量
2.例一( P106例三)已知向量1e ,2e 求作向量 2.51e +32e 。
作法:1 取点O ,作= 2.51e =32e
2 作 OACB ,即为所求+ 例二、(P106例4) ABCD 的两条对角线交于点M ,且=a ,=b ,
1e
2e
a
O
N B
C
1
e
2e
O
用a ,b
表示,,和
解:在
∵
AC
= =a b
∴
= 21= 21(a +b )= 21a 21b
=21=21(a b )=21a 21b =21=21a +2
1b
= = 21= 21a +2
1b
例三、已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ,O 是任意一点, 求证:+++=4OE 证:∵E 是对角线AC 和BD 的交点 ∴== ==
在△OAE 中 +=
同理:OB +BE =OE OC +CE =OE OD +DE =OE 以上各式相加,得:OA +OB +OC +OD =4OE
例四、(P107 例五)如图,OA ,OB 不共线,AP =t AB (t R)用OA ,OB 表示OP 解:∵AP =t AB ∴
OP =OA +AP =OA + t AB
=OA + t(OB OA )
P
B
A
O
=+ t t
=(1 t) OA+ t OB
四、小结:平面向量基本定理,其实质在于:同一平面内任一向量都可以表
示为两个不共线向量的线性组合。
五、作业:课本P107 练习P108 习题5.3 3-7