第三讲 定点运算(加减法)

相加两数都是负数,则其和也一定是负数。
∵[ｘ]补＝2＋ｘ,
[ｙ]补＝2＋ｙ
∴[ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋ｘ＋2＋ｙ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ)
上式右边分为”2”和(2＋ｘ＋ｙ)两部分.既然(ｘ＋ｙ)
是负数,而其绝对值又小于1,那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定
是小于2而大于1的数,进位”2”必丢失.又因(ｘ＋
ｙ)<0, 所以
3、补码减法运算
公式： [x-y]补= [x]补+[-y]补
连同符号位一起相加，符号位产生的进位自然丢掉
举例
例 18 设 A = 0.1011，B = – 0.0101
求 [A + B]补
验证
解： [A]补 = 0 . 1 0 1 1
0.1011
+ [B]补 = 1 . 1 0 1 1
– 0.0101
移位操作 移位前
左移一位 左移两位 右移一位 右移两位
机器数 1,1100110 1,1001100 1,0011000 1,1110011 1,1111001
机器数 1,1100101 1,1001011 1,0010111 1,1110010 1,1111001
对应的真值 – 26 – 52
– 104 – 13 –7
解： A = – 26 = – 11010
原码
移位操作 移位前
左移一位 左移两位 右移一位 右移两位
机器数 1,0011010 1,0110100 1,1101000 1,0001101 1,0000110
对应的真值 – 26 – 52
– 104 – 13 –6
补码 反码
移位操作 移位前
左移一位 左移两位 右移一位 右移两位
[ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补
连同符号位一起相加，符号位产生的进位自然丢掉
结论： 至此证明了在模2意义下，任意两数的
补码之和等于该两数之和的补码。
其结论也适用于定点整数。
补码加法的特点：
（1）符号位要作为数的一部分一起参加 运算；
（2）在模2的意义下相加，即大于2的进 位要丢掉。
二、补码加/减法
1.原码加/减法运算
加法规则： 先判符号位，若相同，绝对值相加，结果符号不变; 若不
同，则作减法， |大| - |小|，结果符号与|大|相同。 减法规则：
两个原码表示的数相减，首先将减数符号取反，然后将被 减数与符号取反后的减数按原码加法进行运算。
2、补码加法运算
公式：[x]补+[y]补 =[x+y]补
证明：假设︱ｘ︱﹤1, ︱ｙ︱﹤1, ︱ｘ＋ｙ︱﹤1
现分四种情况来证明
(1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,则ｘ＋ｙ﹥0 [ｘ]补=x, [ｙ]补=y, [ｘ＋ｙ]补=x+y
所以等式成立.
(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0,则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0 [ｘ]补=x, [ｙ]补=2+y, [ｘ]补＋[ｙ]补=x+ 2+y 当ｘ＋ｙ>0时,2 ＋ (ｘ＋ｙ) > 2,进位2必丢失,又因
(ｘ＋ｙ)>0， 故 [ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补 当ｘ＋ｙ<0时,2 ＋ (ｘ＋ｙ) < 2,又因(ｘ＋ｙ)<0， 故 [ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补
所以上式成立
(3)ｘ<0,ｙ>0,则ｘ＋ｙ>0或 ｘ＋ｙ<0
这种情况和第2种情况一样,把ｘ和ｙ的位置对调即得
证。
(4)ｘ<0,ｙ<0,则ｘ＋ｙ<0
逻辑左移 低位添 0，高位移丢
逻辑右移 高位添 0，低位移丢
例如
01010011
0
0 10110010
逻辑左移 10100110
算术左移 00100110
高位 1 移丢
逻辑右移 01011001 算术右移 11011001（补码）
Cy 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
移位操作
移位前 左移一位 左移两位
机器数 [A]原=[A]补 =[A]反 0,0011010
0,0110100
0,1101000
对应的真值
+26 + 52 +104
右移一位 右移两位
0,0001101 0,0000110
+13 +6
例17
设机器数字长为 8 位（含１位符号位），写出 A = –26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表 示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。
2. 算术移位规则
符号位不变
码制
添补代码
正数 原码、补码、反码
0
负数
原码 补码 反码
Baidu Nhomakorabea
0 左移 添 右 0 移 添 1
1
例16
设机器数字长为 8 位（含１位符号位），写出 A = +26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表 示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。
解： A = +26 = +11010 则 [A]原 = [A]补 = [A]反 = 0,0011010
例 20 设机器数字长为 8 位（含 1 位符号位）
且 A = 15， B = 24，用补码求 A – B
解： A = 15 = 0001111
B = 24 = 0011000
[A]补 = 0, 0001111 [B]补 = 0, 0011000
+ [– B]补 = 1, 1101000
[A]补 + [– B]补 = 1, 1110111 = [A – B]补
第三讲
定点运算（一）
本讲主要内容
移位运算 补码加法 补码减法 益处概念与检测方法 基本的二进制加法/减法器
一、移位运算
1. 移位的意义 15. m = 1500. cm
小数点右移 2 位 机器用语 15 相对于小数点 左移 2 位
（ 小数点不动 ） 左移 绝对值扩大 右移 绝对值缩小 在计算机中，移位与加减配合，能够实现乘除运算
[A]补 + [B]补 = 1 0 . 0 1 1 0 = [A + B]补 0.0110
∴A+B= 0.0110 例 19 设 A = –9，B = –5
求 [A+B]补 解： [A]补 = 1 , 0 1 1 1
+ [B]补 = 1 , 1 0 1 1
验证
– 1001 + – 0101
[A]补 + [B]补 = 1 1 , 0 0 1 0 = [A + B]补 – 1110 ∴ A + B = – 1110
对应的真值 – 26 – 52
– 104 – 13 –6
3. 算术移位的硬件实现
0
0
0
1
0
（a）真值为正 （b）负数的原码 （c）负数的补码 （d）负数的反码
丢 1 出错
出错
正确
正确
丢 1 影响精度
影响精度
影响精度
正确
4. 算术移位和逻辑移位的区别
算术移位 有符号数的移位
逻辑移位 无符号数的移位