考研数学重要公式定理

高等数学重要定理及公式

作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫

说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word 及MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式

1.矩阵与其转置矩阵关系：E A AA =*

2.矩阵行列式：*1

1A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ⎪

⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(*

3.矩阵与其秩：{}()min (),()()()()

(,)()()

(,)max(()())

r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+

4.齐次方程组0=Ax ：非0解⇔线性相关⇔n A R =)(

5.非齐次方程组b Ax =：有解⇔⇔=)()(A R A R 线性表出

6.相似与合同：相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1

则A 与B 相

似，记作：B A ~；合同—A,B 为n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T

=则称A

与B 合同。（等价，A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。）

7，特征值与特征向量：λαα=A ，求解过程：求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值，再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。矩阵A 的特征值与A 的主对角元及

行列式之间有以下关系：⎪

⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑A a n n

ii n i λλλλ...2111。上式中∑==n i ii a A 1)(tra 称为矩阵的迹。

8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向

量线性无关；若n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则A 能与对角矩阵相似；n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根，齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。

9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ，使得

AC C AC C T 1-=为对称矩阵。

10.施密特正交矩阵化方法：一般地，把线性无关向量组s ααα...,21化为与之等价的标准正交向量组的施密特正交过程如下：

1

111222211112

222311113331

11122211)

,()

,(...),(),(),(),(..........

)

,()

,(),(),()

,()

,(--------

=--

=-==s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ

再令：i i

i ββγ1

=

则s γγγ...,21是一组与s ααα...,21等价的标准正交向量组。

11.正交矩阵的定义：如果实矩阵A 满足：E AA A A T

T ==则称A 为正交矩阵。 12.设A ，B 为n 阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使得AC C B T

=，则称A 与B 合同。 13.用正交变换化二次型为标准型步骤：

a) 写出二次型对应的对称矩阵A ；

b) 求A 的特征值i λ和特征向量，（0=-A E λ）i α；

c) 将特征向量i α正交化（实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交，多重

特征根在取特征向量时尽量取正交向量，方便计算）、单位化得i β

d) 令⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n x x x X ...21 ， []n C βββ,...,21=，⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y Y ...21则CY X =，是正交变换，且2

22221121...),...,,(n n n y y y x x x f λλλ+++=。

14.如果任一非零向量X 都使得二次型0>AX X T

，则称之为正定二次型，对应的矩阵A 为正定矩阵。二次型为正定矩阵的充要条件是矩阵A 的特征值全部为正实数、正惯性指

数是n 、矩阵A 与E 合同、矩阵A 的顺序主子式全大于零，且以上条件等价。

概率论与数理统计重要知识点及公式： 1.条件概率：

)

()

()|(B P AB P B A P =

如果(|)()()P A B P A P B =,则A 与B 独立。 2.常用概率公式：()()()()()()()()()(|)()P A B P A P B P A B P A B P AB P A P AB p AB P A B P B ⋃=+-⋂⎧⎪

-==-⎨⎪=⎩

（对于给定如：A B ⊂这样的条

件，常常通过画图（如下图）来解决，直观明了）

()()()()()()

p AB p B p AB p AB p A p AB ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩

3.全概率公式：1

()()(|)n

i

i

i P A P A P A B ==

∑

4.贝叶斯公式：1

()

()()

(|)()

()(|)

i i i i n

i j

j

j p AB p B p B A p B A p B p B p A B ==

=∑（结合条件概率公式和全概率公

式推导而出） 5.几个重要分布：

a) 二项分布（n 次重复，伯努利类型）：()(1)n n

m n m p A C p p -=-

b) 泊松分布：二项分布当m,很大，p

很小且np λ=时，

{}~(),,0,1,2...!

k

X p p x k e k k λλλ-==

=

c) 均匀分布：1,~(,),()0,a x b X U a b f x b a otherelse ⎧⎫

<<⎪

⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭

d) 指数分布：,0()0,0x e x f x x λλ-⎧⎫

>=⎨⎬≤⎩⎭