钢混凝土组合梁挠度的近似算法分析
钢_混凝土连续组合梁滑移与挠度耦合分析_余志武
COUPLING ANALYSIS OF SLIP AND DEFLECTION OF CONTINUOUS COMPOSITE BEAMS OF STEEL AND CONCRETE
YU Zhi-wu , ZHOU Ling-yu , JIANG Li-zhong
(Civil and architecture college. Central South University, Changsha 410075, China)
j j j j j
连接件间距
负弯矩区配筋 正弯矩区配筋 6Φ 12 6Φ 12 6Φ 12 6Φ 12 6Φ 12 5Φ 10 6Φ 12 9Φ 12 6Φ 12 6Φ 12 5Φ 12
Rp
0.61 0.55 0.72 0.35 0.92 0.58 0.69 1.26 0.69 0.69 0.26
PPR 0.61 0.34 0.78 0.54 0.61 0.73 0.61 0.67 0.61 0.61
1~CCB－11。试件跨度为 2 × 3 .84 m ，试件尺寸如图 1 所示。主要试件参数为负弯矩区综合力比 R p 、部 分预应力比 PPR 和剪力连接度 λ 。
(a) 无板托混凝土叠合板有粘结预应力筋试件截面
(b) 现浇有板托混凝土板无粘结预应力试件截面 图1 试件截面图
Fig.1 Sections of composite beams
从图 2、3 中可以看出滑移规律：(1) 滑移随荷 载的增加而逐步增大；(2) 滑移在集中荷载作用位 置改变方向，且该点相对滑移为零；(3) 滑移曲线
(1) (2)
钢—混凝土连续组合梁滑移与挠度耦合分析
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为简化分析，忽略掀起对组合梁的影响，假设 混凝土板和钢梁两者竖向变形一致，即 y1 = y 2 = y 如上图所示，分别根据混凝土和钢梁的受力和 平衡条件： ∑ x = 0 、 ∑ y = 0 和 M = 0 ，可得到混 凝土板和钢梁微段内力表达式以及混凝土板和钢 梁内力与位移的关系式为：
梁挠度计算公式范文
梁挠度计算公式范文梁的挠度指的是梁的中点的竖直偏移量，通常用来描述梁的刚度和承载能力。
在工程设计中，梁的挠度是一个非常重要的参数，它关系到梁的安全性和使用性能。
梁的挠度可以通过公式计算得到，不同类型的梁有不同的挠度计算公式。
下面将介绍几种常见的梁的挠度计算公式。
1.简支梁的挠度计算公式：在简支梁的情况下，梁两端都可以自由转动，公式如下：δ=(5*q*L^4)/(384*E*I)其中，δ表示梁的挠度，q表示单位长度上的荷载，L表示梁的长度，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩。
2.两端固定梁的挠度计算公式：在两端固定梁的情况下，梁两端都不可以转动，公式如下：δ=(q*L^4)/(8*E*I)其中，δ、q、L和E的含义与简支梁的公式相同。
3.悬臂梁的挠度计算公式：在悬臂梁的情况下，梁的一端固定而另一端自由，公式如下：δ=(q*L^4)/(8*E*I)其中，δ、q、L和E的含义与两端固定梁的公式相同。
4.混合支承梁的挠度计算公式：对于混合支承梁，即一端支承，一端固定δ=(q*L^4)/(8*E*I)+(5*q*a^4)/(384*E*I)其中，δ表示梁的挠度，q表示单位长度上的荷载，L表示梁的长度，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，a表示梁的支承长度。
这些挠度计算公式可以用于梁的静态分析，但需要注意的是，实际工程中的梁往往更加复杂，具体情况需要根据实际情况进行分析和计算。
同时，在计算挠度时，还需要对材料的弹性模量、截面惯性矩等参数进行准确的测量或估算。
总结起来，梁挠度的计算公式主要涉及到荷载和几何参数，根据梁的支承方式和边界条件的不同，可以选择相应的挠度计算公式。
在实际工程应用中，还需要根据具体情况进行修正和调整，确保计算结果的准确性和可靠性。
混凝土梁的挠度计算与控制
混凝土梁的挠度计算与控制混凝土梁作为一种常见的结构元素，承载着重要的荷载。
在使用过程中，梁的挠度是一个非常重要的参数，直接影响到结构的稳定性和使用寿命。
因此，对于混凝土梁的挠度计算与控制有着重要的研究价值。
一、混凝土梁挠度的计算方法混凝土梁的挠度计算是一项复杂的工作，涉及到多个因素的综合考虑。
通常的计算方法包括弹性计算法和塑性计算法。
1. 弹性计算法弹性计算法是最常用的一种计算梁挠度的方法，它基于弹性理论，假定混凝土梁在荷载作用下弹性变形，不考虑梁的破坏。
这种方法适用于小荷载下的梁挠度计算。
具体的计算步骤是：首先，根据梁的截面形状、材料弹性模量、截面惯性矩和截面高度等参数，计算梁的刚度；然后，根据荷载大小和作用位置，计算出梁的弯矩分布情况；最后，根据梁的刚度和弯矩分布，计算出梁的挠度。
2. 塑性计算法塑性计算法是一种考虑梁的破坏情况的计算方法，适用于大荷载下的梁挠度计算。
该方法通过建立混凝土梁的破坏机制和塑性曲线模型，以及考虑梁的非线性行为，计算梁的挠度。
具体的计算步骤是：首先，根据梁的截面形状、材料弹性模量、截面惯性矩和截面高度等参数，建立梁的塑性曲线模型；然后，根据荷载大小和作用位置，计算出梁的塑性区域和破坏模式；最后，根据梁的塑性曲线模型和破坏模式，计算出梁的挠度。
二、混凝土梁挠度的控制方法混凝土梁的挠度控制是为了确保结构的安全和正常使用。
常用的控制方法包括材料选择、截面形状设计和施工工艺控制。
1. 材料选择在混凝土梁的设计和施工中，合理选择材料是挠度控制的关键。
通常采用高强度混凝土和高强度钢筋，以提高结构的刚度和抗弯能力。
此外，还可以采用预应力混凝土，通过预应力力和混凝土的共同作用，减小梁的挠度。
2. 截面形状设计混凝土梁的截面形状对于挠度的控制也有着重要的影响。
合理选择截面高度和宽度比例，增加梁的刚度，可以有效减小挠度。
此外，可以采用变截面和梁肋设计等方法，增加截面的刚度和抗弯能力，进一步控制挠度。
钢-混凝土组合梁扰度分析与研究
钢-混凝土组合梁扰度分析与研究摘要：组合梁由于其良好的整体性能和经济效益，在目前的建筑结构领域得到了广泛的应用。
界面滑移效应使其挠度增大，而在工程设计中，组合梁的挠度验算是主要矛盾，由此带来的设计问题因而也成为了关注的热点。
当前组合梁挠度计算方法还有待改进，对于连接程度和挠度之间的直接影响关系没有精确的分析，影响组合梁挠度的具有明确物理意义的关键参数亦未有定论，本文就钢－混凝土组合梁考虑滑移效应的挠度计算方法进行述评，为下一步找出这个关键参数对组合梁考虑滑移效应下变形规律的深入研究有很大的益处。
关键词：组合梁；扰度；预应力；迭代－修正刚度；预应力钢－混凝土组合梁是普通钢－混凝土组合梁和预应力钢束组合而成的结构型式．它既发挥了钢材抗拉强度高和混凝土抗压强度高的优点，弥补了单一材料的短处，具有施工简便、承载能力高、延性好、刚度大等特点；又改善了普通钢－混凝土组合梁变形大、负弯矩区域由于混凝板受拉而易开裂等缺点，延缓和抑制了混凝土板的开裂，提高了截面的抗弯刚度和抗弯承载力．预应力钢－混凝土组合梁拓宽了普通钢－混凝土组合梁和体外预应力钢束的应用领域，兼有普通钢－混凝土组合梁与预应力结构的优点，是现代预应力技术在组合结构领域的进一步发展和应用.国内外对预应力钢－混凝土组合梁的研究工作起始于２０世纪５０年代，研究工作不断深入；随着预应力钢－混凝土组合梁在工程实践中得到越来越多的应用，现有的科研成果和设计方法尚不能满足预应力组合梁应用发展的需要．目前的研究工作主要集中于预应力钢－混凝土组合梁的承载能力和滑移问题等方面，关于预应力钢－混凝土组合梁挠度的研究还比较少．为了推动预应力钢－混凝土组合梁的应用，本文在考虑了预应力钢束在荷载作用下的张力增量和滑移效应的基础上，提出了计算预应力钢－混凝土组合梁挠度的迭代－修正刚度法．１基本思想根据钢－混组合梁和预应力钢梁的各自特点，本文提出了迭代－修正刚度法，其基本思想是：简单梁的理论为基础，将混凝土翼缘和钢梁之间的滑移效应对组合梁刚度的削弱作用[3]和预应力钢束的预加力对组合梁刚度的加强作用[4]都转换成对简单梁刚度的修正．滑移和预加力对刚度的修正都与梁的挠度相关的，通过迭代法计算滑移和预应力效应在相互影响的情况下组合梁的挠度，同时还计算出了预应力钢束的张力增量2刚度修正１)预应力钢束对钢梁刚度的加强作用[5]抛物线式预应力钢束对钢梁刚度的修正系数：式中：Ｔ为单位长度钢束一端的张力，ΔＴ为钢束另一端张力增量，为钢梁的截面刚度，为梁轴向的欧拉临界力．索的张力量力ΔＴ可表示为式中：Ｅｙ为钢束的弹性模量，Ａｙ为钢束的有效截面面积，Ｌ为钢束长度．体外预应力体系钢束应力增量的计算方法大致可分为三类：基于试验数据的经验公式，基于结构变形的计算方法和基于能量守恒的计算方法，详见文献【6】２）滑移效应对组合梁刚度的削弱【7】式中为组合梁的截面换算刚度，为考虑滑移效应时短期刚度折减系数．由于在预应力钢－混凝土组合梁中，体外预应力钢束多直接锚固在钢梁上，而不与上部的混凝土翼缘直接联系，故可以将预应力钢－混凝土组合梁看作是预应力钢梁和混凝土板组合而成的组合结构，预加应力和预应力钢束的应力增量都对钢梁起到增强刚度的作用．3计算步骤１）施工时首先对钢梁施加预应力，然后浇筑混凝土翼缘板．混凝土凝固前，混凝土的自重是以荷载的形式作用到预应力钢梁上的，而混凝土本身并不作为结构的一部分参与受力．因此，依据式（１）计算此时预应力钢梁的刚度修正系数λ、挠度ｆ０和预应力钢束的张力增量ΔＴ１．２）混凝土凝固后，混凝土翼缘板作为组合梁的顶板，与下部的预应力钢梁组成整体而参与受力，因为此时几乎没有任何滑移发生，可以按换算截面法，计算预应力钢－混凝土组合梁的截面刚度此时的预加应力是通过加强了下部钢梁的截面刚度对整个组合梁的截面刚度进行加强的，并不是直接加强组合梁的刚度．而此时组合梁的截面刚度才能反映，当后期荷载作用到结构上时，预应力钢－混凝土组合梁承受变形的能力．３）当二期恒载和活载作用到预应力钢－混凝土组合梁上时，混凝土翼缘板和钢梁之间会发生滑移，预应力钢束会因结构挠度的增大，应力增大会继续发生，而且此时的滑移现象和应力增量是同时发生、相互影响的．计算此时结构的挠度和预应力钢束的应力增量的步骤可以具体分为以下几步．（１）根据２）中计算的预应力钢－混凝土组合梁的截面刚度，考虑滑移效应，根据式（３）计算滑移对组合梁刚度的修正系数ξ′ｓ和此时整个组合梁的刚度，并以此计算预应力钢－混凝土组合梁的挠度ｆ′．（２）将挠度ｆ′代入式（２）计算出预应力钢束的张力增量ΔＴ′．（３）将张力增量ΔＴ′代入式（１）计算此时预应力钢束对换算截面后预应力钢梁刚度的修正系数λ′，进而可以计算预应力钢－混凝土组合梁的截面刚度．（４）重复以上（１）－（３）各步骤，循环计算以上各变量的数值，当相邻两次计算的挠度值之差小于δ时，则本次计算即停止．（５）此时计算的挠度值即为该荷载作用下预应力钢－混凝土组合梁产生的挠度，而此时的预应力Ｔ′＋ΔＴ′即为预应力钢束中的内力值．4结论１）根据对比分析结果，可以看出本文提出的数值计算法和有限元法趋势基本一致，能够反映预应力钢－混凝土组合梁在正常使用阶段的挠度变化和预应力钢束的张力增量变化趋势，应用迭代－修正刚度法计算预应力钢－混凝土组合梁的挠度基本可行．２）数值计算法与有限元法相比，在荷载较小时吻合良好；随着荷载增大，两者的差距也逐渐增大．这表明，随着组合梁翼缘板内应力水平的增加，其有效宽度并不是固定的．有效宽度逐渐增大，其对结构性能影响也随着增大．参考文献：［１］李晨光，刘航，段建华，等．体外预应力结构技术与工程应用［Ｍ］．北京：中国建筑工业出版社，２００８：１６４－１６５．［２］聂建国．钢－混凝土组合结构桥梁［Ｍ］．北京：人民交通出版社，２０１１：２１１．［３］黄远，聂建国，易伟建．考虑滑移效应的钢－混凝土组合框架梁的刚度研究［Ｊ］．工程力学，２０１２，１１（１１）：８８－９２．。
钢筋混凝土板梁挠度计算
钢筋混凝土板梁挠度计算简介钢筋混凝土板梁是建筑结构中常用的一种梁型。
在设计过程中，准确计算板梁的挠度非常重要，以确保结构的可靠性和安全性。
挠度计算方法钢筋混凝土板梁的挠度可以使用以下公式进行计算：挠度 = (5wL^4)/(384EI)其中，w为单位长度上的荷载，L为梁的跨度，E为混凝土的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
详细步骤1. 确定梁的几何形状和跨度，包括长度和截面形状。
2. 计算荷载w，可以根据设计要求或标准规范进行确定。
3. 根据梁的截面形状和尺寸，计算截面惯性矩I。
4. 获取混凝土的弹性模量E，可以根据材料性质或实验数据进行确定。
5. 将上述参数代入挠度计算公式，得到板梁的挠度。
注意事项- 在实际工程中，注意荷载的变化和组合，以获得更准确的挠度计算结果。
- 考虑梁的边界条件，如支座约束和边梁的限制，以确保计算的准确性。
示例计算假设一根钢筋混凝土板梁的跨度为6米，荷载为10 kN/m，截面形状为矩形，尺寸为宽度0.3米，高度0.5米，混凝土的弹性模量为30 GPa。
根据上述信息，可以进行以下计算：荷载w = 10 kN/m截面惯性矩I = (1/12) * 0.3 * 0.5^3 = 0. m^4混凝土弹性模量E = 30 * 10^9 Pa挠度 = (5 * 10 * 6^4) / (384 * 30 * 10^9 * 0.) = 0. m因此，该钢筋混凝土板梁的挠度为0.米。
结论通过使用挠度计算公式，我们可以准确计算钢筋混凝土板梁的挠度。
这有助于确保结构设计的可靠性和安全性，在实际工程中具有重要意义。
混凝土梁的挠度计算
混凝土梁的挠度计算混凝土梁的挠度计算在土木工程中，混凝土梁是一种常见的结构元素，广泛应用于建筑、桥梁等领域。
挠度是评估梁在负载作用下的变形程度的重要参数，对于保证梁的结构安全性和使用性具有重要意义。
本文将深入探讨混凝土梁的挠度计算方法，并分享一些相关的观点和理解。
1. 挠度的定义挠度是指负载作用下梁的变形程度，即梁受力后弯曲的程度。
挠度可以分为弹性挠度和塑性挠度两种情况。
弹性挠度是指梁在负载作用下，恢复不变形状态后的挠度；塑性挠度是指梁发生塑性变形后的挠度，一般需要通过增加截面尺寸或采用预应力等措施来限制。
2. 混凝土梁挠度计算的常用方法混凝土梁的挠度计算可以采用很多方法，其中常用的方法包括弯曲理论、有限元分析等。
以下是一些常见的计算方法：2.1 线性弹性理论线性弹性理论是最简单和常用的计算方法之一。
它假设梁的材料是线性弹性的，梁在负载作用下的变形服从胡克定律。
该方法需要获取梁的截面性能参数（如惯性矩、抗弯强度等）以及荷载情况，通过弯曲方程计算出梁的挠度。
2.2 有限元分析有限元分析是一种更为精确和通用的计算方法，能够考虑梁的非线性和复杂荷载情况。
该方法将梁划分成小的单元，建立单元方程，并通过求解方程组得到梁的挠度。
有限元分析的计算结果更为准确，但计算量较大，需要专业的软件进行计算。
3. 深入理解挠度计算对于混凝土梁的挠度计算，除了选择合适的计算方法外，还需考虑以下几个关键因素：3.1 材料性质材料的性质对于挠度计算有着重要影响。
混凝土与钢筋等材料的弹性模量、抗弯强度等参数直接影响梁的刚度与变形情况。
在计算中需要准确获取这些参数，并合理考虑材料非线性的影响。
3.2 荷载情况荷载是导致梁产生挠度的关键因素。
不同的荷载情况会导致梁的不同变形。
在挠度计算中，需要详细了解梁所承受的各种荷载情况，并按照实际情况进行合理的模拟。
3.3 界限状态设计挠度是梁的重要变形指标之一，应根据结构设计的要求和使用的目的来确定梁的挠度限值。
多因素影响下钢-混连续组合梁的挠度计算分析
多因素影响下钢-混连续组合梁的挠度计算分析冀伟;孙斌;邓露;赵彦华;蔺鹏臻【摘要】为精确计算钢-混凝土连续组合梁的挠度,在综合考虑钢梁与混凝土板之间的滑移效应及组合梁剪切变形影响的基础上,运用能量变分法推导出了钢-混凝土组合梁挠度计算的平衡微分方程,并给出了相对应的边界条件.通过引入均布荷载作用下钢-混凝土两跨连续组合梁的边界条件,求得了考虑滑移效应和剪切变形效应下组合梁的挠度计算公式,并对计算公式的正确性进行了验证.对钢-混凝土连续组合梁挠度做进一步分析表明:滑移效应会降低钢-混凝土连续组合梁的刚度,使组合梁产生附加挠度,并且会在中支点处引起梁负弯矩的增加,对混凝土板的受力产生不利影响.层间滑移位移随剪力连接件抗剪刚度的增大而减小,当剪力连接件抗剪刚度小于1 200 MPa时,层间滑移效应产生的附加挠度较大,对总挠度的影响也较大,应当考虑滑移效应对组合梁挠度的影响;当剪力连接件抗剪刚度大于1 200 MPa时,层间滑移效应产生的附加挠度较小,对总挠度的影响也较小,可以忽略滑移效应对组合梁挠度的影响.【期刊名称】《湖南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(046)005【总页数】9页(P30-38)【关键词】钢-混凝土连续组合梁;剪切变形;层间滑移;抗剪刚度;挠度计算【作者】冀伟;孙斌;邓露;赵彦华;蔺鹏臻【作者单位】兰州交通大学土木工程学院,甘肃兰州730070;湖南大学土木工程学院,湖南长沙410082;重庆市铁路集团有限公司,重庆401120;湖南大学土木工程学院,湖南长沙410082;兰州交通大学土木工程学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学土木工程学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】U448.21钢-混凝土组合结构通过抗剪连接件使钢梁与混凝土板结合在一起协同工作，这种结构克服了传统钢材在受压时容易发生屈曲及混凝土结构在受拉时易开裂的缺点，充分发挥了钢材和混凝土材料各自的优点[1].工程中的钢-混组合梁通常采用栓钉剪力连接件，该剪力连接件可有效避免组合梁在荷载作用下混凝土板和钢梁结合面的应力集中，但其变形也会引起钢梁与混凝土板接触面的相对滑移，降低组合梁的刚度，进而产生附加挠度[2-6].因此，钢梁与混凝土板接触面的滑移特性是钢-混凝土组合梁的重点研究内容之一.国内外学者已对钢-混凝土组合梁的滑移特性展开了大量研究，其中Nguyen等[7]在考虑层间滑移与混凝土收缩、徐变效应的基础上，基于矩阵位移法推导出了部分连接的钢-混凝土组合梁挠度和弯矩的计算公式；João等[8]基于柔性刚度矩阵法对多层部分连接的简支组合梁的层间滑移效应进行了分析；Uddin等[9]考虑材料非线性，针对部分连接的钢-混凝土组合梁，提出了一种一维有限元分析模型，并对所得钢-混凝土简支组合梁的滑移位移及挠度进行了对比分析.国内学者周凌宇等[10]在考虑钢-混凝土组合梁界面滑移、剪切变形的影响下，推导了部分连接的钢-混凝土简支组合梁的挠度计算公式，并对界面滑移特性进行了分析；聂建国等[11]通过将组合梁连接界面假想为剪切薄层，并在考虑钢梁与混凝土板之间的相对滑移的基础上，对四边简支组合板的弹性弯曲与稳定性做出了分析；朱力等[12]依据虚功原理，利用位移法对钢-混凝土组合梁的滑移及剪力滞后效应进行了分析.综上所述，国内外学者针对简支体系的钢-混凝土组合梁滑移效应及挠度研究较多，并取得了一定的研究成果，但对连续体系的钢-混凝土组合梁研究相对较少.国内外学者在研究方法上主要采用单元微元体的力学平衡和变形协调关系对钢-混凝土组合梁滑移效应引起的附加弯矩及附加挠度进行理论推导，所得的挠度解析解待定系数较多，计算颇为复杂.本文通过将滑移界面模拟为Goodman弹性夹层[10，13]，综合考虑由于剪力连接件变形引起的钢梁与混凝土板接触面滑移效应和钢-混凝土组合梁的剪切变形影响，以滑移位移函数、平面弯曲角位移函数及剪切角位移函数为广义函数，运用能量变分原理推导钢-混组合梁挠度计算的控制微分方程，推导过程较为简洁.通过引入均布荷载作用下钢-混凝土两跨连续组合梁的边界条件，求得其挠度计算公式、滑移位移计算公式及滑移效应引起附加弯矩的计算公式，其中所得的挠度计算公式解待定系数较少，物理含义明确，计算简单方便.最后，分析研究了剪力连接件的抗剪刚度对滑移位移和总挠度的影响，所得结论可为实际工程中钢-混凝土连续梁的挠度计算和研究提供理论依据和科学指导.1 钢-混凝土组合梁挠度控制微分方程的建立1）组合梁在使用荷载作用下，钢梁与混凝土一般处于弹性工作阶段[14]，在此情况下做出如下基本假定：[15-16]a）钢梁截面与混凝土板截面在变形前后分别符合平截面假定；b）钢梁与混凝土板均为各向同性的弹性体，即应力-应变关系为线性关系，可运用叠加原理求解；c）钢-混凝土组合梁的竖向纤维无挤压，不考虑混凝土板的掀起，钢梁与混凝土两者的挠曲位移完全相等，不考虑组合梁的横向变形；d）剪力连接件等效为连续的弹性介质；e）组合梁截面应力以拉为正、压为负，弯矩以梁底受拉为正，受压为负.2）组合梁的滑移效应：假定层间滑移界面符合Goodman弹性夹层假设（如图1所示），ks为剪力连接件的抗剪刚度，对于单一主梁栓钉对称布置的组合梁都可应用此假定简化计算，工程中应对剪力连接件进行抗剪试验确定抗剪刚度.Ec、Ac与Es、As分别为混凝土与钢材的弹性模量和截面面积.图1 弹性夹层假设Fig.1 Elastic sandwich assumption考虑层间滑移界面的水平方向剪力使组合梁整个截面轴力自平衡条件，可得组合梁层间相对滑移引起的混凝土与钢梁的滑移应变εc、s、εs、s：式中：n=Es/Ec为钢梁弹性模量与混凝土弹性模量之比；u′（x）为层间相对滑移应变.截面的应变变化如图2所示，图2中Oc、Os分别为混凝土板和钢梁的截面形心，O为组合截面形心.在组合截面形心处建立直角坐标系，x、y、z分别为纵向、横向、竖向坐标，dc和ds分别为混凝土板截面和钢梁截面各自中性轴到组合梁中性轴的距离，d为dc和ds两者之和.图2 组合梁截面应变分布Fig.2 Sectional strain distribution of composite girder依据图2的应变分布，服从平截面假定的弯曲应变εm可表示为：从而可以得到组合梁混凝土板和钢梁包括滑移应变εm及弯曲应变的总应变εc（x，z）、εs（x，z）：3）组合梁的剪切变形：当组合梁高跨比较大时，剪力所产生的剪切变形不可忽略（如图3所示），使梁变形后的横截面不再与中性轴垂直，引起梁的附加挠度.图3 考虑剪切变形的梁转角示意图Fig.3 Angle of the girder considering shear deformation组合梁的弯曲角为θ，考虑剪切效应的影响后，w′（x）可表示为：组合梁的平均剪应变可表示为：则钢-混组合梁的剪切变形应变能可表示为：式中：k为截面剪切形状系数，是对平均剪应变能的修正系数；A为组合梁按混凝土材料换算的截面面积，A=nAs+Ac.4）控制微分方程的建立：组合梁混凝土层应变能为组合梁钢梁层应变能为：弹性夹层滑移应变能为：外荷载势能为：式中：M（x）为外荷载作用下的弯矩函数.总势能为Π=U+V，根据最小势能原理，在外力作用下，结构处于平衡状态时，其结构体系总势能的一阶变分为零，即：结构平衡时总势能一阶变分将表达式（3）～（12）代入式（13），以混凝土材料换算，整理可得：对式（14）作分部积分，运用变分法计算可得微分方程和边界条件：式中：Io为以混凝土材料换算的组合梁截面惯性矩Io=Ic+Acd2c+nIs+nAsd2s；Ao=nAsAc/（nAs+Ac）；Ic、Is分别为混凝土板截面和钢梁截面对各自中性轴的惯性矩.整理式（15）～（17），并令k1=Io/（Io-Aod2），k2=边界条件为：由微分方程式（21）得滑移效应的一般解形式为：式中：u*为与M′（x）分布有关的微分方程特解，即与梁段剪力Q（x）分布有关，依据所研究的结构、荷载及边界而定；C1、C2为实常数，根据梁的边界条件而定. 方程（15）为组合梁挠度转角和滑移的基本微分方程，整理可得：式中：Ms（x）=-EcAodu′（x），Ms（x）为滑移效应产生的附加弯矩，与滑移函数的一阶导数有关.由式（23）可知，考虑滑移效应后，组合梁曲率与弯矩已不再是初等梁理论的关系，增加了附加弯矩Ms（x）修正项，组合梁各层梁的滑移将增大结构曲率，造成结构刚度降低.将式（7）代入式（17）中并整理可得：积分可得组合梁的挠度计算公式：式中：w0为初等梁理论计算所得的组合梁挠度；w1为组合梁剪切变形所产生的附加挠度；w2为组合梁层间滑移所产生的附加挠度；C3、C4、C10、C11、C12、C13、C14、C15均为实常数，其值由边界条件确定.2 均布荷载下两跨连续组合梁的挠度解析解如图4所示的两跨连续组合梁受均布荷载q作用时，A、B、C 支座的反力分别为R0、R1、R2.图4 均布荷载下的两跨连续组合梁Fig.4 Continuous composite girder under uniform load组合梁结构及所受荷载为对称结构，取左跨（0≤x≤1）为研究对象，则组合梁的弯矩、剪力函数可表示为：1）层间滑移位移u：将弯矩、剪力函数代入式（20）得方程通解为：由边界条件：x=0 时，u′=0；x=l时，u=0 可得将式（29）代入式（28）可得滑移位移为：2）初等梁理论挠度w0：由边界条件：x=0 时，w0=0；x=l时，w0=0 得3）剪切变形所产生的挠度w1：由边界条件：x=0 时，w0=0；x=l时，w0=0 得4）层间滑移所产生的挠度：滑移位移一阶偏导数为滑移效应产生的附加弯矩为：根据边界条件：x=0时，w2=0；x=l时，w2=0 可得3 算例验证为了验证本文有限元模型建立的正确性，首先以文献[17]钢-混凝土组合试验梁试件E1和U3为例，两试件钢梁与混凝土翼板尺寸一样，梁跨均为5 490 mm，混凝土翼板宽1 220 mm，厚152 mm，腹板厚度为10.2 mm，梁高为305 mm，顶底翼板宽152 mm，厚18.2 mm.试件 E1有φ12.7×50栓钉100个，U3有φ19×102栓钉56个，均呈两个栓钉一排均匀布置在连接界面，混凝土泊松比为0.15.试件E1抗剪刚度为ks=18.3 kN/mm2，混凝土翼板弹性模量为3.16×104MPa，钢梁弹性模量为2.05×104MPa，承受荷载为跨中集中荷载196 kN.试件U3抗剪刚度为7.6 kN/mm2，混凝土翼板弹性模量为3×104MPa，钢梁弹性模量为2.02×104MPa，承受荷载为满跨均布荷载32.13 kN/m.根据文献 [18]介绍的有限元建模方法，运用ANSYS 15.0有限元建模软件建立试件E1与U3有限元模型，其中混凝土板采用Solid45实体单元，钢梁采用Shell43壳单元进行模拟，采用弹簧单元Combin39模拟层间栓钉连接，并对弹簧单元两端节点进行自由度耦合，用于准确模拟钢-混凝土组合梁的结构特点，建立的试验梁有限元模型如图5所示.钢-混凝土组合梁有限元计算值与试验实测值的对比结果见表1.图5 试验梁试件有限元模型示意图Fig.5 Finite element model of experimentalbeams表1 试件E1和U3跨中挠度计算值Tab.1 Calculated values of mid-span deflection of E1 and U3试件跨中挠度/mm有限元实测值E1 -7.07 -7.1 U3 -4.13 -4.2由表1可知两试件跨中挠度的有限元值与实测值吻合较好，验证了本文ANSYS有限元建模的可靠性.钢-混连续组合梁的算例验证选取文献[3]中Dezi和Tarantino所研究的工字钢-混凝土两跨连续组合梁.组合梁跨径布置为2×25 m，结构尺寸示意图如图6所示.图6 组合梁截面尺寸（单位：mm）Fig.6 Section size of composite girder （unit：mm）图6 中Oc、Os分别为混凝土板和钢梁截面的形心，混凝土板为C30混凝土，弹性模量为3.0×104 MPa，截面面积为Ac=46 000 mm2，截面惯性矩为Ic=15.33×108mm4，钢梁弹性模量为2.1×105MPa，截面面积为As=4 275 mm2，截面惯性矩为Is=15.949×109 mm4，剪力连接件抗剪刚度为ks=400 MPa.组合梁承受的荷载为满跨均布荷载，大小为64.56 kN/m.采用ANSYS 15.0有限元软件建立了钢-混凝土两跨连续组合梁的空间有限元模型，文献[3]中栓钉连接件具体的布置形式未给出，有限元建模时采用双排布置，轴向间距为1 m，建立的有限元模型如图7所示.图7 钢-混凝土组合梁的空间有限元模型示意图Fig.7 Finite element model of steel-concrete composite girder为验证本文所得工字钢-混凝土两跨连续组合梁挠度计算公式的正确性，采用以下方式进行验证：1）考虑层间滑移效应（R）得到的挠度计算值与Nguyen[7]等人基于矩阵位移法计算结果对比；2）考虑剪切变形及滑移效应（Q+R）得到的挠度计算值与有限元值进行对比验证（如图8所示）.图8 组合梁挠度分布图Fig.8 Deflection distribution of composite girder从图8中可看出，本文考虑层间滑移效应（R）得到的挠度计算值与文献[7]计算值吻合良好，变化趋势一致，挠度偏差最大为2.3%；考虑剪切变形及滑移效应（Q+R）得到的挠度计算值与有限元值吻合良好，挠度偏差最大为3.3%.基于以上分析可验证本文所得钢-混凝土连续组合梁挠度计算公式的正确性.为分析剪切变形、层间滑移对工字钢-混凝土两跨连续组合梁挠度和弯矩的影响，进行以下3种情况下的挠度计算值对比：初等梁理论；考虑滑移变形（R）；考虑剪切变形（Q）、层间滑移（R）（如图 9所示）；同时考虑层间滑移会产生附加弯矩，而剪切变形不会引起附加弯矩，故假定混凝土不开裂的条件下，分析了初等梁理论计算所得弯矩和考虑层间滑移（R）附加弯矩两种情况下的弯矩对比（如图10所示）.图9 不同情况计算所得的挠度Fig.9 Deflection calculated by different cases 图10 层间滑移产生的附加弯矩Fig.10 Additional bending moment generated by interlayer slip从图9中可看出，钢-混凝土两跨连续组合梁考虑层间滑移效应计算所得挠度与采用初等梁理论计算挠度相比跨间最大挠度增长了23.2%，考虑层间滑移效应和剪切变形所得挠度与初等梁理论计算挠度相比跨间最大挠度增长了37.4%，其中考虑剪切变形引起的挠度较初等梁理论计算挠度增长了14.2%.此时，在计算钢-混凝土连续组合梁挠度时，剪切变形及层间滑移效应的影响较大，不能忽略，否则将出现较大的误差.从图10中可以看出，钢-混凝土两跨连续组合梁由于层间滑移的影响，跨间会产生附加弯矩，其中中支点处产生的附加弯矩值最大，与初等梁理论计算值相比增长了约67%.实际钢-混凝土组合连续梁的工程应用中，为避免混凝土板的开裂，在进行连续组合梁预应力筋的布置时应考虑层间滑移效应对混凝土板受拉区域的影响.4 剪力连接件抗剪刚度对钢-混凝土组合梁滑移位移及挠度的影响分析本文算例中的剪力连接件的抗剪刚度为ks=400 MPa，参考文献[7]选取的抗剪刚度变化范围，本文选取剪力连接件抗剪刚度分别为ks1=0.4 MPa、ks2=4 MPa、ks3=40 MPa、ks4=400 MPa、ks5=4 000 MPa，研究剪力连接件抗剪刚度变化对组合梁层间滑移位移的影响规律（如图11所示）.图11 不同抗剪刚度下组合梁的滑移位移Fig.11 Slip displacements under different shear stiffness从图11中可以看出，层间滑移位移随着剪力连接件抗剪刚度的增长而减小，当ks 趋近于0时，滑移位移趋于最大值，相当于无剪力连接件的组合梁；当ks趋近于∞时，滑移位移趋于零，相当于完全剪力连接的组合梁.选取工字钢-混凝土两跨连续组合梁的跨间挠度最大值截面为研究对象，以总挠度w作为分母，以式（38）层间滑移效应产生的挠度w1与总挠度w的比值J1作为表示层间滑移效应引起的挠度对总挠度的影响程度（如图12所示），同时分析了总挠度随剪力连接件抗剪刚度变化的情况（如图13所示）.图12 J1随剪力连接件抗剪刚度变化示意图Fig.12 J1variation with the shear stiffness change图13 总挠度随剪力连接件抗剪刚度变化示意图Fig.13 Deflection variation with the shear stiffness change从图12中可以看出，工字钢-混凝土两跨连续组合梁层间滑移效应对总挠度的影响随着剪力连接件抗剪刚度的增长而减小，当ks大于1 200 MPa时，层间滑移效应引起的挠度占总挠度的百分比J1小于5%，此时可以忽略层间滑移效应对总挠度的影响.从图13中可以看出，工字钢-混凝土两跨连续组合梁跨间最大挠度随剪力连接件抗剪刚度的增长而减小，当ks大于1 200 MPa时，总挠度的变化趋于稳定，此时可以忽略层间滑移效应对总挠度的影响.图11～图13中，计算结果均假定连接件处于弹性工作阶段，而实际情况中，当连接件抗剪刚度较小时，易发生塑性变形，引起更大的附加挠度，因此工程中对抗剪连接件进行选择时，可根据本文抗剪刚度对挠度影响的简化分析方法及连接件的抗剪试验数据对抗剪连接件的选取进行优化.5 结论1）本文在综合考虑钢梁与混凝土板接触面的滑移效应及组合梁剪切变形影响的基础上，采用能量法推导所得的钢-混凝土两跨连续组合梁的挠度计算公式解，物理含义明确，计算简单方便，所得附加挠度及附加弯矩计算公式适用于正常使用阶段的钢-混连续组合梁.2）钢-混凝土连续组合梁的层间滑移效应会降低其弯曲刚度，产生附加挠度，并会引起中支点截面负弯矩的增大.在工程设计中，混凝土板抗拉能力较差，应当重视层间滑移效应产生的附加弯矩对中支点处负弯矩的影响，避免混凝土板的开裂. 3）钢-混凝土连续组合梁剪切变形对挠度的影响较大，在计算挠度时应计入其影响.4）钢-混凝土连续组合梁的层间滑移位移随着剪力连接件抗剪刚度的增大而减小.当ks趋近于0时，滑移位移趋于最大值，相当于无剪力连接件的组合梁；当ks趋近于∞时，滑移位移趋于零，相当于完全剪力连接的组合梁.5）钢-混凝土两跨连续组合梁的层间滑移效应对总挠度的影响和跨间最大挠度均随剪力连接件抗剪刚度的增大而减小，当剪力连接件抗剪刚度大于1200 MPa时，可忽略层间滑移效应对总挠度的影响.参考文献【相关文献】［1］ TAIG G，RANZI G.Generalised beam theory（GBT）for composite beams with partial shear interaction ［J］.Engineering Structures，2015，99：582—602.［2］ WANG S H，TONG G，ZHANG L.Reduced stiffness of composite beams considering slip and shear deformation of steel ［J］.Journal of Constructional Steel Research，2017，131：19—29.［3］ DEZI L，TARANTINO A M.Creep in composite continuous beams.II：parametric study ［J］.Journal of Structural Engineering，1993，119（7）：2112—2133.［4］ NIE J G，CAI C S.Steel-concrete composite beams considering shear slip 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钢筋混凝土简支梁挠度计算算例
钢筋混凝土简支梁挠度计算算例编写王行耐某装配式钢筋混凝土 T 形截面简支梁，计算跨径L=19.5m,跨中截面尺寸b=24cm. h=100cm 、bi=178cm 、hi=12cm,配置 HRB400 钢筋(12里32, £=96.51601?),跨中截面恒载 弯矩标准值M GK =912.52kN.m,汽车荷载弯矩标准值(包括冲击*)M QIK =859.57kN.m,冲击 系数(1+M )=1.19,人群荷载弯矩标准值M Q2K =85.44kN.m o 试验算此梁跨中截而裂缝宽度。
斛：荷载短期效应作用下的跨中截而挠度按下式近似计算：‘ 5 Ml 2 J = ------------ 48 B其中：荷载短期效应组合M S =M GK +°・7Mg /(l + “) + Mg2K= 912.52+0.7x859.51/(1.19) + 85.44= 1503.59AMwL=19.50m=19.5X105mm心为全截而抗弯刚度，Bu=O ・95EJo ，按全截而参加匸作计算，取丹 =Es/E 0=2X 105/3X 104^6.67,换算截而重心至受压缘的距离y 0=386.2mm,至受拉缘的 距离＞o = 1000-386.2=613.8mm c 换算截而惯性矩J o =5.9881X 1010mm 4,对受拉边缘的弹性抵 抗矩= J 0/y 0 = 5.9881 X 10,0/613.8=9.7557X 107mm\换算截而朿心以上部分而积对乘心 轴的而积矩为：So =240 X 386.22/2+(1780-240) X 120X(386.2-120/2)=78179812.8mm 2取Ec=3.0X104MPa,将以上数据代入公式得B O =O.95X1O 4X5.9881 X 10^=17.0661 X 1014N.mm 2B ：「为开裂截面的抗弯刚度，B CT =EeJ cr .开裂截面的换篡截而儿何特征值，按有关公式计 算求得：混凝土受压区高度-r 0=247.2mm换算截而惯性矩Jcr=3.52O2XlO ,o mmB :r =3.0X 104X3.5202X10,o =10.5607X10,4N.mm开裂弯矩 Me 严汎肌y =2So/W (y=2X 78179812.8/9.7557X 107=1.6028,=2.01 MPa,代入上式得:M J B cr2Mc r = 1.6028X2.01 X9.7557X I0=310.29X lO^.mn^SlO^kN.mM s =1503.59kN.m将以上数据代入公式得314.29 V ( L 314.29 V 17.006lx IO 14(1503.59丿 +[ "1503.59； 10.5607xIO 14=10.738x101映 M/nzw荷载短期效应作用卜•跨中截而挠度为: 1503 ・59乂10\19500 210.738 xlO'4 长期挠度为:/；=%/=1.6x53.2 = 85.2呦 >L /1610 =19500 /1600 =12.19呦应设置预拱度，预拱度值按结构口稹和1/2可变作用频遇值计算的长期挠度值之和采用o『・ _ 5 {M GK +0.5[0.7%山 /(1+“)+ “02门}芒J p — Hn X X -------------------------------------------------------- "10 48 B讣 5 [912.52 + 0.5(0.7 x 859.57/1.19+85.44) xl06xl 9500248 10.738x10"= 71.38wm消除口朿影响后的长期挠度为X —X "，G 48(1503.59 - 912.52) x 10& x 1950(f10.738xl0,4=34.9/nzw >L /600 = 19500/600 = 32.5mm计算挠度略人于规范限值，但仅相差2.4mm,可以认为基本满足规范要求。
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钢混凝土组合梁挠度的近似算法分析
摘要：介绍钢-混凝土组合梁挠度的几种近似算法，通过与试验结果进行对比，分析组合梁挠度与抗剪连接程度的相互关系，总结各算法的适用范围及精确程度，方便工程设计人员根据需要使用。
关键字：钢-混凝土组合梁，挠度，近似算法
0 引言
钢-混凝土组合梁是一种利用抗剪连接件连接钢梁与混凝土板使其共同受力的受弯构件，由于其具有良好的受力性能和技术经济指标，已经越来越广泛地应用于大跨度结构及高层建筑当中。
但是钢-混凝土组合梁的跨高比较大，变形控制成为设计过程中的控制因素，使得正常使用极限状态下的挠度计算变得尤为重要。
本文介绍几种组合梁挠度的近似算法，通过与试验结果对比分析，总结各算法的适用范围及精确程度，方便工程设计人员根据需要使用。
1近似算法
1.1 截面等价代换法
截面等价代换法是假定钢与混凝土两种材料完全共同作用，忽略界面滑移的影响，将钢与混凝土的截面面积作内力等效代换，使变形前后的面积上的应力对中和轴的合力矩保持等效。
根据直梁挠曲线近似微分方程，可得组合梁的挠度计算公式。
1.2 刚度内插法
Jonson等[1,2]提出采用部分抗剪连接进行组合梁设计，并给出刚度内插法，该方法是根据完全抗剪连接组合梁和纯钢梁的抗弯承载力，按抗剪连接程度进行1/2次幂插值，经插值得到的组合梁等效刚度为：
其中，为钢材弹性模量，为型钢截面惯性矩，为组合梁换算截面惯性矩，为界面抗剪承载力的合力，为混凝土截面应力的合力。
1.3 刚度折减法
聂建国等[3,4]对组合梁的界面滑移引进的附加挠度进行了研究，通过建立相对滑移的微分方程，得到不同加载条件下组合梁因滑移效应引起的附加挠度变形的一般公式，提出的“刚度折减法”可以考虑滑移效应对组合梁挠度变形的影响。
得到的折减刚度为：
张莉华[5]利用刚度折减法，根据完全抗剪连接组合梁及纯钢梁的挠度进行二次拟合，得到部分抗剪连接组合梁的挠度计算公式
其中，为完全抗剪连接组合梁的挠度，为纯钢梁的挠度，为抗剪连接程度，为不考虑滑移时组合梁的挠度。
1.4 组合系数法
王景全[6]等采用应力等效的简化方法，分别推导了无剪力连接和完全剪力连接组合梁的组合系数，该方法不需要进行截面换算，将无剪力连接、部分剪力连接和完全剪力连接组合梁的挠度计算统一起来。
根据内插方法的不同，组合系数法分为线性内插和1/2次幂内插，具体表达式为：
2试验结果对比
根据本文列出的四种近似算法，分别计算以抗剪连接程度作为控制变量的SCB-1、SCB-2和SCB-3三个试件在屈服弯矩作用下的挠度[7]，计算及比较结果详见表1。
从表1的对比结果可以得出以下结论：
⑴截面等价代换法得到的挠度值较试验值偏小，且抗剪连接程度越小偏差越大。
这是因为截面等价代换法忽略了混凝土翼板与钢梁之间的滑移效应，而抗剪连接程度越低，滑移效应对组合梁挠度的影响就越大。
⑵当时，刚度内插法和组合系数法得到的挠度值与截面等价代换法一致。
说明的情况下，刚度内插法和组合系数法也忽略组合梁界面滑移对挠度的影响。
⑶刚度内插法和组合系数法得到的挠度值较试验值偏小，但组合系数法在抗剪连接程度较低时有更高的精确度。
⑷在抗剪连接程度较低的情况下，1/2次幂内插组合系数法得到的组合梁挠度值较线性内插组合系数法得到的组合梁挠度值偏小，此时选用线性内插组合系数法较为安全。
⑸刚度折减法考虑了组合梁界面滑移对挠度的影响，通过对刚度折减得到组合梁的挠度，在抗剪连接程度较高时，聂建国与张莉华提出的两种刚度折减法均与试验结果吻合较好，但是当抗剪连接程度较低时，聂建国提出的算法得到的挠度值较试验值偏小，张莉华提出的算法得到的挠度值较试验值偏大。
这是由于张莉华是在聂建国研究的基础上对抗剪连接程度较低的情况下的组合梁的挠度进行二次拟合。
表1 组合梁挠度近似算法的比较（单位：mm）
试件SCB-1SCB-2SCB-3n/nf1.140.760.43屈服弯矩My(kN?m)58.9951.4243.14试验值7.407.718.86截面等价代换法5.544.834.05Jonson刚度内插法 5.545.355.48聂建国刚度折减法7.506.545.49张莉华刚度折减法7.508.128.64王景全线性内插组合系数法5.545.736.44王景全1/2次幂内插组合系数法5.545.485.223结语近年来，一些学者通过研究钢-混凝土组合梁的滑移规律以及滑移对挠度的影响，提出了钢-混凝土组合梁挠度的精确算法，得到的理论值与试验值吻合较好。
目前的精确算法均是通过建立界面滑移的微分方程得到，计算过程繁杂，因此在保证精确度的条件下，近似算法应用性更广。
本文介绍了截面等价代换法、刚度内插法、刚度折减
法以及组合系数法这四种近似算法。
经过与试验数据的对比分析，可以看出由刚度折减法得到的完全抗剪连接组合梁挠度的计算值与试验值吻合较好，而另外三种方法得到的结果均忽略了完全抗剪连接组合梁的滑移效应，所得到的挠度计算值均较试验值偏小；在抗剪连接程度较小的情况下，二次拟合的刚度折减法所得到的组合梁挠度值与试验值吻合较好。
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