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定积分概念与性质
x → 积分变量 f ( x )dx → 被积表达式 ,
a → 积分上限 ,
[a,b] → 积分区间
b → 积分下限
注
(1)定积分是一个数值 (1)定积分是一个数值 (2)定积分的值与区间的分法无关,与 (2)定积分的值与区间的分法无关, ξ i 的取法无关 定积分的值与区间的分法无关 (3)定积分的值只与区间长度有关， 与被积函数有关。 (3)定积分的值只与区间长度有关， 定积分的值只与区间长度有关 与被积函数有关。
3 求和
0
∑
i =1
n
i 2 1 ∆ Ai = ( ) n n i =1
∑
n
=
1 n3
(1 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 )
1 n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) = 3 6 nn
4 0 取极限
λ→0
lim
∑
f (ξ i ) ∆ x i
i =1
即
∫
1
0
1 n( n + 1)(2n + 1) 1 = lim 3 = n →∞ n 6 3 1 2 x dx = 3
定理表明: 定理表明: (1)连续函数一定存在原函数 (1)连续函数一定存在原函数 牛顿---------莱布尼兹公式 二.牛顿-----莱布尼兹公式 (2) 把定积分与原函数之间 建立起联系 定理 3 .
如果函数 F ( x )是连续函数 f ( x )
b
在区间[a , b]上的一个原函数 , 则 f ( x )dx = F (b ) − F (a )
2 0 若 V = 变量， 则可通过下面的步骤 变量，
（1）分割
第一讲 定积分的概念和性质
f ( x) g( x)dx
b a
lim f (x i ) g(x i )xi
n
0
i 1 n
lim f (x i )xi lim g(x i )xi
0
b
n
i 1
0
i 1
f ( x )dx g( x ) dx.
一点x i （x i xi ），作乘积 f (x i )x i ( i 1,2,)
并作和 S f (x i )x i ，
n
记 max{x1 , x 2 , , x n }，如果不论对[a , b ]
i 1
怎样的分法， 也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上
x b 所围成.
A?
o
a
b x
求曲边梯形的面积 A 的思路如下：
用矩形面积近似取代曲边梯形面积：
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形的面积
曲边梯形：在直角坐标系下， 由闭区间[a, b] 上的连续曲线 y = f (x) ≥ 0， 直线 x = a，x = b 与 x 轴围成的平面图形 AabB.
当 f (x) > 0 时， 定积分在几何上表示曲边 y = f (x) 在区间 [a, b] 上方的曲边梯形面积， f ( x )dx A.
a b
如果 f (x) < 0 ，曲边梯形在 x 轴下方，
此时该定积分为负值，
定积分
∫
f (ax + b )dx ， ∫ x n−1 f (ax n + b )dx ，
∫
1 1 f ( x )dx ， ∫ f (ln x )dx ， ∫ e x f ( e x )dx ， x x
1 1 f (arctan x ) dx ， ∫ 1 + x2 ∫ 1 − x 2 f (arcsin x )dx ，
∫ [ f ( x) ± ⋅ ⋅ ⋅ ± f
1
k
（4）
基本积分公式：
4．积分方法 （1） 直接积分法： 将所求积分整理、变形、转化， 利用不定积分的基本性质和 基本积分公式求出不定积分
1
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（2） 第一换元积分法（凑微分法） ： 主要解决一个复合函数的积分，两个乘积函数 （其中一个为简单函数、一个为复合函数）的积分。 常见的几种凑微分形式如下：
∫
arctan x x+ x
3
dx
（原式= 2∫ arctan xd (arctan x ) ）
∫
ln( x + 1 + x 2 ) dx 1 + x2
（原式
8
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∫
dx e2 x − 1
=∫
= −∫
= − arcsin e − x + c
x2 （4）求 ∫ dx 1 + x4
解 x2 ∫ 1 + x 4 dx : =
1 x2 + 1 1 x2 − 1 1 1 + x12 1 1 − x12 dx + ∫ dx = ∫ 1 dx + ∫ 1 dx 2 ∫ 1 + x4 2 1 + x4 2 x2 + x 2 2 x2 + x 2
第一讲 定积分的概念和性质
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
17
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
xn= b x
11
(3) 求和
n
把 n 个小矩形面积加起来， 得 和 式 f (i ) xi ,
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
i 1
(4) 取极限
n
n
A Ai f (i ) xi .
i 1
i 1
当分点个数 n 无限增加，且小区间长度的最大值
(即 = max{xi})趋近于 0 时， 上述和式的极限就是
y B
y = f (x)
A x=a
x=b
Oa
b
x
9
可按下面四步计算曲边梯形面积.
(1) 分割
在区间[a, b]内任意插入 n – 1 个分点：
a = x0 < x1 < x2 < ··· < xi-1 < xi < ··· < xn-1 < xn =
把区间[a, b]分成 n 个小区间：
[x0, x1]，[x1, x2]，··· ，[xi-1, xi ]，··· ，[xn-1, xn].
4
一、引进定积分概念的两个例子(问题的提出) 实例1 （求曲边梯形的面积）
何谓曲边梯形？ 请看下列两图形。
平面封闭图形均可理解成 数个曲边梯形的集合。
图C 5
如图，有一曲边梯形置于直角坐标系xoy中。
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
17
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
xn= b x
11
(3) 求和
n
把 n 个小矩形面积加起来， 得 和 式 f (i ) xi ,
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
i 1
(4) 取极限
n
n
A Ai f (i ) xi .
i 1
i 1
当分点个数 n 无限增加，且小区间长度的最大值
(即 = max{xi})趋近于 0 时， 上述和式的极限就是
y B
y = f (x)
A x=a
x=b
Oa
b
x
9
可按下面四步计算曲边梯形面积.
(1) 分割
在区间[a, b]内任意插入 n – 1 个分点：
a = x0 < x1 < x2 < ··· < xi-1 < xi < ··· < xn-1 < xn =
把区间[a, b]分成 n 个小区间：
[x0, x1]，[x1, x2]，··· ，[xi-1, xi ]，··· ，[xn-1, xn].
4
一、引进定积分概念的两个例子(问题的提出) 实例1 （求曲边梯形的面积）
何谓曲边梯形？ 请看下列两图形。
平面封闭图形均可理解成 数个曲边梯形的集合。
图C 5
如图，有一曲边梯形置于直角坐标系xoy中。
一元函数积分学及其应用(课件)
注意：利用MATLAB的int函数求不定积分时，只是求出被积函数的一个原函数，不 会自动补充常数项 C 。
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
感谢观看
原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
§3.2 柯西积分定理与原函数
外面的闭曲线C 按逆时针进行,
内部的闭曲线C1 按顺时针进行,
(即沿 的正向进行时, 的 内部总在 的左手边),
那末
A
D1
C
F
A
F E
E
C1
B
B
f ( z )dz 0.
D
解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理
19
2. 复合闭路定理 设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 ,
2
i
1 1 1 2 2 2 sin( ) sin . sin z 2 2 2 0
(使用了微积分学中的“凑微分”法)
15
例5 解
求 z cos zdz 的值.
0
i
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
依题意知,
在 内作两个互不包含也互 不相交的正向圆周 C1 和 C 2 ,
o
1
x
22
C1 只包含奇点z 0,
C2 只包含奇点 z 1,
根据复合闭路定理,
2z 1 dz 2 z z
2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 z z z z C1 C2
i 0 0 i
i
i
i [ z sin z cos z ]0 e 1 1.
此方法使用了微积分中“分部积分法”
16
例6 解
求
1 i
1
ze dz 的值.
z
利用分部积分法可得
ze z 的一个原函数为( z 1)e z ,
定积分概念与性质
0
n
n
（4）取极限
S lim V ( t i) i
i 1
n
( mxa { t i})
1 i n
分割，取近似，求和，取极限
二.定积分的定义 1.定义 在[a, b]中任意插入若干个 分点
设函数f(x)在[a , b]上有界，
a x x x x x b 0 1 2 n 1 n
对于c在区间 则 m ( b a ) f ( x ) dx M ( b a ) [a,b]之内或之外, a 结论同样成立
b
7设 M .m 分别是 f (x )在 [a ,b ] 上的最大值与最
0
8 定积分中值定理
0
设函 f( 数 x ) 在闭区 [ a ,b 间 ] 上连续，
则在 [a, b] 上 至少存在一个点 ，
在 [ a , b ] 上 , f ( x ) 0 , f ( x ) 单调
2 2 2 故 最大值 M f () , 最小值 m f () 4 2
1 2sin x 2 即 dx 2 x 2
4
定积分与原函数的关系
一.变上限的定积分及其导数
设函数 f(x ) 在区间 [ a ,b ] 上连续，
在时间间隔 [T 内任意插入若干个分 1,T 2]
[ t , t ], [ t , t ], [ t , t ] 0 1 1 2 n 1 n
每个小时间段的长度分 别为 ti ti ti 1
（2）取近似
在每个小时间段上任取 i [ti ti1]
以 时的 V ( 速 来 度 近[ 似 t , t 代 ] 上 替 i i) i 1 i
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数是( x)
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
( x)
x
a
f
(t )dt为f
( x)在[a,b]上的一个原函数.
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定理3（原函数存在定理）
如果 f ( x) 在[a,b] 上连续，则积分上限的函数
( x)
x
a
f
(t )dt 就是 f
( x) 在[a,b] 上的一个原函数.
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
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f ( x)在[a,b]上连续, x [a,b]
( x)
d dx
ax
f (t)dt
f (x)
一般地 如果 f (t)连续，a( x)、b( x) 可导，
则F ( x)
证
F ( x)
0
a( x)
b( x) 0
f (t)dt
b( x)
0
f
(t )dt
a( x)
f (t)dt,
0
F( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
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例1 求
lim
x
0
cos
t
2dt
.
x0 x
例2
已知
x y
t2
2
2
t 3
cos u du u
sin u du u
,求
dy dx
.
例 3 设 f ( x)在[0,)内连续，且 f ( x) 0.证明函数
F(x)
x
0
tf
0x f
(t )dt
在(0,)内为单调增加函数.
(t )dt
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例4
已知F
(
x)
x
0
(
x
2
t
2
)
sin
tdt
,
求F
(
x).
定理4（微积分基本公式）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{ x, x2 }
y x
x2, 2 x 0
x
,
0 x1 ,
2
o 1 2x
x2 , 1 x 2
原式
0
2
x
2dx
1
0
xdx
2
1
x
2dx
11. 2
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例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x 轴所围
成的平面图形的面积.
注意 当a b时，ab f ( x)dx F (b) F (a)仍成立.
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例5 求 例6 设
02(2cos x sin x 1)dx.
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f ( x)dx.
y
o 12x
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例7 求
2
2
max{
x
,
x
2
}dx.
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牛顿(Newton)—莱布尼茨(Lebniz)公式
ab f ( x)dx
F(b) F(a)
F ( x)ba
F
(
x
)
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它的任 意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
定积分与原函数的关系 微积分基本公式
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设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点， 考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对于每
一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所以它在
[a, b]上定义了一个函数，的一个原函数来自则baf
(
x )dx
F
(b)
F
(a).
证 已知F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
又 ( x) ax f (t )dt 也是 f ( x)的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
令 x a F (a) (a) C ,
(a) aa f (t )dt 0 F (a) C ,
b( x)
a( x)
f
(t)dt 的导数F( x)
为
F (
x)
d dx
b( x)
a( x)
f
(t )dt
f b( x)b( x) f a( x)a( x)
特别
d dx
b
x
f
(t )dt
f
(
x)
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F( x)
d dx
b( x)
a( x)
f
(t )dt
f b( x)b( x) f a( x)a( x)
解 面积
A
0
sin
xdx
y
o
cos x0 2.
x
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小结
1.积分上限函数
x
( x) a f (t)dt
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的
关系．
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记
x
( x) a
f (t)dt.
积分变上限函数
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积分上限函数的性质
定理1
若f
(
x)在[a
,
b]上可积,则(
x
)
x
a
f (t)dt
在[a , b]上连续.
定理 2 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x) ax f (t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
思考题
设
f
(
x
)
在[a,
b]上连续，则
x
a
f
(t )dt 与
b
x
f
(u)du是
x
的函数还是
t
与
u
的函数？它们的
导数存在吗？如存在等于什么？
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与
b
x
f
(u)du都是 x的函数
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
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