考研数学考前必背常考公式集锦(高等数学篇)

2016考研数学考前必背：常考公式集锦（高等数学篇）

离考试还有最后几天，跨考教育数学教研室牛老师为考生整理了2016年数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生最后冲刺复习有所帮助。本文内容为高数的常考公式汇总。

1、无穷小的比较

设在某极限过程x →中，函数(),()x x αβ都为无穷小量，并且都不为0.

若()

lim

0()

x x x αβ→

=，则称当x →时，()x α为()x β的高阶无穷小量，或()x β为()x α的低阶无穷小量，记作()(())x o x αβ=； 若()

lim

0()

x x C x αβ→

=≠，则称当x →时，()x α与()x β同阶无穷小量， 若()

lim

1()

x x x αβ→

=，则称当x →时，()x α与()x β为等价无穷小量，记作()~()x x αβ. k 阶无穷小：设在某极限过程x →中，函数(),()x x αβ都为无穷小量，并且都不为0.若

[]

()

lim

0()k

x x C x αβ→

=≠，则称当x →时，()x α是()x β的k 阶无穷小. 2、导数的四则运算法则：设函数()f x 与()g x 均可导，则

[]()()()()f x g x f x g x '''±=±，

[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''=

+，

2

()()()()()

()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦

. 3、常用函数的n 阶导数公式

（1）x

e y = x

n e y =)(

（2）)1,0(≠>=a a a y x

n x n a a y )(ln )

(=

（3）x y sin = )2sin()

(πn x y

n +

= （4）x y cos = )2

cos()

(πn x y

n +

=

（5）x y ln = n n n x n y

----=)!1()1(1)

(

（6）a

y x = ()(1)...(1)n a n

y a a a n x -=--+

4、五个常用的麦克劳林公式

211...2!!(1)!

n x

n x x e e x x n n ξ

+=++++++，ξ在x 与0之间.

321123cos sin ...(1)(1),3!(21)!(23)!

n n

n n x x x x x n n ξ+++=-++-+-++ξ在x 与0之间.

()22122cos cos 1...(1)(1),2!2!(22)!n n n n x x x x n n ξ++=-++-+-+ξ在x 与0之间. 211

1

(1)ln(1)...(1),2(1)(1)

n

n n n n x x x x x n n ξ-++-+=-++-+++ξ在x 与0之间. 211(1)(1)...(1)(1)...()

(1)1...(1),2!!(1)!

a n n n a a a a a n n x ax x x x n n ααααξ--+---+--+=++

+++++ξ在x 与0之间.

5、极值

第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续，并在0x 的某去心邻域0000(,)(,)x x x x δδ-+内

可导.

①若00(,)x x x δ∈-时'

()0,f x >而00(,)x x x δ∈+时'

()0,f x <则()f x 在0x 处取得极大值；

②若00(,)x x x δ∈-时'

()0,f x <而00(,)x x x δ∈+时'

()0,f x >则()f x 在0x 处取得极小值；

③若0000(,)

(,)x x x x x δδ∈-+时，'()f x 符号保持不变，则()f x 在0x 处不能取到极值.

第二充分条件：设函数()f x 在0x 处存在二阶导数且'0()0f x =， ①若''0()0,f x >则()f x 在0x 处取得极小值； ②若''0()0,f x <则()f x 在0x 处取得极大值； ③若''0()0,f x =则()f x 在0x 处是否取极值未知.

6、基本积分公式 （1）1

1,(1)1

a

a x dx x C a a +=

+≠-+⎰

，1ln ,dx x C x =+⎰

（2）1,ln x

x

x x a dx a C e dx e C a

=

+=+⎰

⎰ （3）cos sin ,sin cos xdx x C xdx x C =+=-+⎰⎰

（4）2

2

sec tan ,csc cot xdx x C xdx x C =+=-+⎰

⎰

， （5）sec tan sec ,csc cot csc x xdx x C x xdx x C =+=-+⎰⎰

，

（6）

21

arctan 1dx x C x =++⎰，

（7）

arcsin x C =+

7、定积分的性质 1）规定： （1）()()()b

b b

a a

a

f x dx f u du f t dt ==⎰

⎰⎰

（2）

()(),()0,()0b

a a b

a

b

a

b

f x dx f x dx f x dx f x dx =-==⎰

⎰⎰⎰特例:

2）线性性质 （1）[]()()()()b

b

b

a a a

f x

g x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰，

（2）()()b

b

a

a

kf x dx k f x dx =⎰

⎰，k 为常数

3）

1b

a

dx b a =-⎰

4）区间可加性：

()()()b

c b

a

a

c

f x dx f u du f t dt =+⎰

⎰⎰

注：不要求a c b <<，只要()c

a

f x dx ⎰

和()b

c

f x dx ⎰都存在就可以使用定积分的区间可加性.

5）比较定理：

（1）若在区间[,]a b 上恒有()()f x g x ≥，则有

()()b

b

a

a

f x dx

g x dx ≥⎰

⎰；

推论：（1）若在区间[,]a b 上恒有()0f x ≥，则有()0b a

f x dx ≥⎰

（2）

()()b

b

a

a

f x dx f x dx ≤⎰

⎰

（3）估值定理：