八年级数学上册2.1三角形第1课时三角形的有关概念及三边关系作业课件2新版湘教版
湘教版(2012)初中数学八年级上册2.1 三角形 与三角形有关的角 教案
第二章三角形2.1 与三角形有关的角教学目标：1、掌握三角形内角和定理2、掌握三角形的内角与外角的关系重点：三角形内角和定理难点：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和教学过程：一、引入我们都知道一个三角形的内角和为180゜，你知道三角形的内角和为什么是180゜呢？二、探究（一）三角形内角和定理1、学生探究剪拼法2、你能运用几何证明方法证明三角形的三个内角的和为180゜吗？试一试。
（由学生完成，教师辅助）（学生通过动手拼图，再通过证明，总结出三角形的三个内角和是180゜，能够加深理解）（二）三角形的分类1、议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？2、直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”，在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角边的对边叫作斜边。
两条直角边相等的三角形叫作等腰直角三角形。
3、例题：在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定理，得,∠A +∠B+ ∠C=180°即∠A +∠B+ 90°=180°，所以∠A +∠B= 90°.也就是说，直角三角形的两个锐角互余.4、练习：如图，已知△ABC中，CE△AB，AD△BC，AD、CE相交于点O,△B=60゜.求△AOE的度数。
(由学生完成，教师辅助)（三）三角形的外角1、定义：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形的外角，如下图中的∠ACD是△ACB的一个外角，它与内角∠ACB相邻。
2、探究：在图中，外角∠ACD和∠A、∠B之间有什么大小关系？归纳结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
3、练习：如图，△ABC中，点D是AC上一点，点E是BD上一点，问：（1）△ADE是那个三角形的外角？（2）△CDE是那个三角形的外角？三、随堂练习P48练习学生合作完成四、小结师生共同小结五、作业教材“习题2.1”中第4、5、7题。
XJ湘教版 初二八年级数学 上册第一学期秋季(教学设计 教案)第2章 三角形 (全章 分课时 含反思)
第2章 三角形 2．1 三角形第1课时 三角形的有关概念及三边关系1．理解三角形的有关概念；2．掌握三角形的三边关系．(重点，难点)一、情境导入生活中的这些图形，你能找出三角形吗？二、合作探究探究点一：三角形的有关概念 【类型一】三角形的概念如图，图中有多少个三角形？把它们分别表示出来．解析：在线段BE 上数出所有线段的条数，这些线段再与点A 可构造出三角形．解：图中有6个三角形，它们分别是：△ABC ，△ABD ，△ABE ，△ACD ，△ACE ，△ADE . 方法总结：在较复杂图形中数三角形的个数的时候，要有规律地去数，做到不重不漏．一般可以考虑先固定一个顶点，变换其他两个顶点，按顺序计数．【类型二】三角形的边、角如图所示，∠BAC 的对边是( )A ．BDB ．DC C ．BCD ．AD解析：∠BAC 在△ABC 中，对边为BC ，故选C. 方法总结：找对边、对角时，先必须找出边或角本身所在的三角形，再根据所处位置“相对”确定结果．角的顶点与对边的两个端点，边的两个端点与对角的顶点分别构成一个三角形．【类型三】等腰三角形与等边三角形的概念等边三角形的边长为2，则周长为________．解析：等边三角形的三边长都相等，一边长为2，则周长为2＋2＋2＝6.方法总结：等边三角形是特殊的等腰三角形，即腰和底边长相等的等腰三角形，所以等边三角形的三边长都相等．探究点二：三角形的三边关系【类型一】判断三条线段是否能构成三角形判断下列各组线段是否能构成三角形，为什么？ (1)a ＝1cm ，b ＝2cm ，c ＝4cm ； (2)a ＝3cm ，b ＝3cm ，c ＝6cm ； (3)a ＝2cm ，b ＝5cm ，c ＝5cm.解析：选取最长边与其他两边的和进行大小比较． 解：(1)1＋2＜4，因而不能构成三角形； (2)3＋3＝6，因而不能构成三角形；(3)2＋5＞5，5－2＜5，因而可以构成三角形．方法总结：判断三条线段能否构成三角形，从中选取最长边与其他两边的和比较，如果最长边大于其他两边的和，就能构成三角形，如果最长边小于或等于其他两边的和，就不能构成三角形．【类型二】已知三角形两边的长度，确定第三边长度的取值范围已知三角形的两边长分别为3、5，则第三边a 的取值范围是( ) A ．2＜a ＜8 B ．2≤a ≤8 C ．a ＞2 D ．a ＜8解析：5－3＜a ＜5＋3，∴2＜a ＜8.故选A.方法总结：根据三角形的三边关系，已知两边的长，即可求出第三边的取值范围．方法是：第三边的长大于已知的两边的差，而小于已知两边的和．【类型三】与等腰三角形相结合的三边关系一个等腰三角形的两条边分别为4cm 和8cm ，则这个三角形的周长为________．解析：(1)当等腰三角形的腰为4cm ，底为8cm 时，不能构成三角形．(2)当等腰三角形的腰为8cm ，底为4cm 时，能构成三角形，周长为4＋8＋8＝20cm. 故这个等腰三角形的周长是20cm.故答案为：20cm. 方法总结：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知的两条边没有明确指出腰和底边，一定要考虑两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．三、板书设计三角形⎩⎪⎨⎪⎧三角形及其边、角的概念等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧等腰三角形——两边相等等边三角形——三条边相等三边关系：任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边本节课学习了三角形的有关概念及三角形的三边关系，重点和难点都是三角形的三边关系及应用．在学习中，引导学生分析、观察、概括得出三角形的三边关系，并通过实例让学生加深理解．对三角形有关概念的学习，由于在小学学过三角形，可以鼓励学生先用自己的语言总结归纳，再结合课本用严谨的语言定义各个概念．第2课时 三角形的高、中线和角平分线1．理解三角形的高、中线和角平分线的概念；(重点) 2．会画三角形的高、中线和角平分线；(重点，难点) 3．了解三角形的重心的概念．一、情境导入从前有一个老财主，他有一块面积很大的三角形土地，其中BC 边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？二、合作探究探究点一：三角形的高【类型一】三角形的高的概念如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，垂足分别为C ，D ，E ，则下列说法不正确的是( )A ．AC 是△ABC 的高B ．DE 是△BCD 的高C ．DE 是△ABE 的高D ．AD 是△ACD 的高解析：根据高的概念可知：AC 是△ABC 的高，DE 是△BCD 的高，AD 是△ACD 的高，故选项A ，B ，D 正确；DE 是△BDC 、△BDE 、△EDC 的高，但DE 不是△ABE 的高，故选项C 错误；故选C.方法总结：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．【类型二】三角形的高的画法画△ABC 的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )解析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．画△ABC 的边AB 上的高，即过点C 向AB 所在直线作垂线段，所以画法正确的只有选项D.故选D.方法总结：三角形的高是线段．作三角形的高时，通过一个顶点向对边或对边所在直线作垂线．顶点和垂足间的线段就是三角形的高．探究点二：三角形的角平分线如图，AE 是∠BAC 的平分线，∠1＝∠D .试说明：∠1＝∠2.解析：由∠1＝∠D，根据同位角相等，两直线平行可证AE∥DC，根据两直线平行，内错角相等可证∠EAC＝∠2，再根据角平分线的性质即可求解．解：因为∠1＝∠D，所以AE∥DC(同位角相等，两直线平行)，所以∠EAC＝∠2(两直线平行，内错角相等)，因为AE是∠BAC的平分线，所以∠1＝∠EAC，所以∠1＝∠2.方法总结：当三角形的角平分线与另一边平行时，这时有四个角相等，如本题中∠1＝∠EAC＝∠2＝∠D.探究点三：三角形的中线如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，若△ABC的面积为60，求△BDE 的面积．解析：先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，从而△ABD的面积等于△ABC的面积的一半，△BDE的面积等于△ABD的面积的一半．解：因为AD为△ABC的中线，所以S△ABD＝12S△ABC.因为BE为△ABD的中线，所以S△BDE＝12S△ABD.所以S△BED＝14S△ABC＝14×60＝15.方法总结：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．三角形的中线是线段．三、板书设计1．三角形的高2．三角形的角平分线3．三角形的中线→重心本节课学习了三角形的三种重要线段：三角形的高、角平分线、中线．可让学生根据三种重要线段的概念自己画三种线段，根据画出的图形总结出各种线段相应的性质．作三角形的高是本节课的难点和易错点，应让学生加强训练，结合解题中的错误分析原因，举一反三．第3课时 三角形内角和与外角1．理解并掌握三角形的内角和定理；(重点)2．会按角的大小把三角形进行分类，了解直角三角形的有关概念；(难点) 3．理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质．(重点)一、情境导入请同学们准备一块三角形纸板，把纸板的三个角剪下拼在一起，你有什么发现？二、合作探究探究点一：三角形的内角和定理 【类型一】三角形的内角和如图，△ABC 中，D 在BC 的延长线上，过D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于F .已知∠A＝30°，∠FCD ＝80°，求∠D .解析：由三角形内角和定理，可将求∠D 转化为求∠CFD ，即∠AFE ，再在△AEF 中求解即可．解：因为DE ⊥AB (已知)，所以∠FEA ＝90°(垂直定义)．因为在△AEF 中，∠FEA ＝90°，∠A ＝30°(已知)，所以∠AFE ＝180°－∠FEA －∠A ＝180°－90°－30°＝60°.(三角形内角和等于180°)又因为∠CFD ＝∠AFE (对顶角相等)， 所以∠CFD ＝60°.所以在△CDF 中，∠CFD ＝60°，∠FCD ＝80°(已知)， ∠D ＝180°－∠CFD －∠FCD ＝180°－60°－80°＝40°.方法总结：三角形中求角度，首先要考虑的是三角形内角和．根据三角形内角和定理，已知三角形中任意两个角的度数，可以求出第三个角的度数．【类型二】三角形内角和与平行线结合求角度如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥BC ，∠A ＝50°，∠B ＝70°，求∠EDC ，∠BDC的度数．解析：根据三角形内角和求出∠ACB 的度数，再由CD 是∠ACB 的平分线可求出∠BCD 的度数，再根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求解．解：因为∠A ＝50°，∠B ＝70°，所以∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝180°－50°－70°＝60°.因为CD 是∠ACB 的平分线，所以∠BCD ＝12∠ACB ＝12×60°＝30°.因为DE ∥BC ，所以∠EDC ＝∠BCD ＝30°，在△BDC 中，∠BDC ＝180°－∠B －∠BCD ＝180°－70°－30°＝80°. 方法总结：本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质沟通角与角的关系．【类型三】三角形内角和与角平分线、高结合已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠B ＝60°，求∠DAE的度数．解析：首先根据三角形的内角和定理求得∠BAD ，再根据和差关系和角平分线的定义求得∠DAE .解：因为AD ⊥BC ，所以∠BDA ＝90°.因为∠B ＝60°，所以∠BAD ＝180°－∠BDA －∠B ＝180°－90°－60°＝30°. 因为∠BAC ＝80°，所以∠DAC ＝∠BAC －∠BAD ＝80°－30°＝50°. 因为AE 平分∠DAC ，所以∠DAE ＝12∠DAC ＝12×50°＝25°.方法总结：在三角形中，由高这一条件可以得到90°的角，根据三角形的内角和，在得到的直角三角形中，已知一个锐角的度数可以求另一个锐角的度数．从三角形一个顶点出发的角既有角平分线又有高时，要注意这个顶点处几个角的位置关系和数量关系．探究点二：三角形按角分类具备下列条件的△ABC中，是锐角三角形的是( )A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝58°，∠B＝60°C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2D．∠A－∠B＝90°解析：根据三角形内角和定理，∠A＋∠B＋∠C＝180°.选项A中，∠A＋∠B＝∠C，则∠C＝90°，这个三角形是直角三角形；选项B中，∠A＝58°，∠B＝60°，则∠C＝62°，这个三角形是锐角三角形；选项C中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，这个三角形是等腰直角三角形；选项D中，∠A－∠B＝90°，那么∠A＞90°，这个三角形是钝角三角形．故选B.方法总结：把三角形按角分类，应先求出这个三角形中最大的角，最大的角是什么角，这个三角形相应的就是什么三角形．探究点三：三角形的外角【类型一】三角形的外角、外角性质如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A等于( )A．90°－αB．90°－12αC．180°－12αD．180°－2α解析：α＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝180°－12(∠CBE＋∠BCF)＝180°－12(∠A＋∠ACB＋∠BCF)＝180°－12(180°＋∠A)＝90°－12∠A.则∠A＝180°－2α.故选D.方法总结：注意此题中的结论：∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A＝180°－2α.熟记这一结论，便于计算简便．【类型二】三角形内角和与外角性质的应用如图所示，点D是AB上一点，点E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，求∠BFC的度数．解析：本题可以利用三角形的外角的性质，也可应用三角形内角和定理求∠BFC的度数．解：方法1：∵∠BDC是△ADC的外角，∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝97°.又∵∠BFC是△BDF的外角，∴∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝97°＋20°＝117°.方法2：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－62°＝118°.在△BFC中，∠FBC＋∠FCB＝∠ABC＋∠ACB－∠ABE－∠ACD＝118°－20°－35°＝63°∴∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝180°－63°＝117°.方法总结：方法1充分利用三角形外角的性质，方法2充分利用了三角形的内角和定理，解这类题目，观察角度不同，会有不同的解题方法．三、板书设计三角形内角和定理→三角形外角的性质↓三角形按角分类2．2命题与证明第1课时定义与命题2．了解命题的概念，能把一个命题写成“如果……，那么……”的形式；(重点)3．会写出一个命题的逆命题．(难点)一、情境导入神舟十号是中国神舟号系列飞船之一，主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱组成．神舟十号在酒泉卫星发射中心“921工位”，于2013年6月11日17时38分02.666秒发射，由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”发射成功．在轨飞行十五天左右，加上发射与返回，其中停留天宫一号十二天，共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球．要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？二、合作探究探究点一：定义【类型一】定义的判断下列语句中，属于定义的是( )A．直线AB和CD垂直吗B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解D．同旁内角互补，两直线平行解析：定义是对概念的特征性质进行描述，它必须是严密的，只有选项C符合，故选C.方法总结：疑问句、感叹句、作图过程的叙述、性质等都不是定义，定义常用“……叫……”“……称为……”来表示．【类型二】给概念下定义请叙述下列概念的定义：(1)三角形；(2)代数式．解：(1)不在同一条直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形；(2)把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式．方法总结：给数学概念下定义时，语言要准确、精练，要描述出概念的特征性质．探究点二：命题【类型一】命题的判断下列语句中，不是命题的是( )A．两点之间线段最短B．对顶角相等C．不是对顶角不相等D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线解析：根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句，故选D.方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须作出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题．②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．【类型二】 把命题写成“如果……那么……”的形式把下列命题写成“如果……那么……”的形式． (1)同位角相等，两直线平行；(2)平行于同一条直线的两条直线平行； (3)等角的余角相等．解：(1)如果两个角是同位角，那么两条直线平行；(2)如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行； (3)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等．方法总结：把命题写成“如果……，那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．【类型三】 命题的条件和结论写出命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论． 解析：先把命题写成“如果……，那么……”的形式，再确定条件和结论．解：把命题写成“如果……，那么……”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．所以命题的条件是“两条直线平行于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．方法总结：每一个命题都一定能用“如果……，那么……”的形式来叙述．“如果”后面的部分是“条件”，“那么”后面的部分是“结论”．探究点三：互逆命题请写出下列命题的逆命题：(1)如果a ＝b ，那么a 2＝b 2；(2)如果两个有理数相等，那么它们的平方相等； (3)两直线平行，同旁内角互补．解析：分别找出各个命题的条件和结论，再把条件和结论对调．解：(1)如果a 2＝b 2，那么a ＝b ；(2)如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等； (3)同旁内角互补，两直线平行．方法总结：写出一个命题的逆命题，应先分清命题的条件和结论，再把条件和结论对换即可．有时还可以把原命题写成“如果……，那么……”的形式，以方便写出条件和结论．三、板书设计 1．定义 2．命题 3．互逆命题本节课通过生活中的实例引出定义，学习了定义、命题、逆命题等概念，在学习中让学生理解并熟记概念的含义．本节课的易错点是写出命题的逆命题，可要求先把命题写成“如果……，那么……”的形式，再把条件和结论对调．第2课时真命题、假命题与定理1．会判定一个命题的真假；(重点)2．理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念；(难点)3．会用基本事实去判定其他命题的真假．(难点)一、情境导入下列命题中，哪些正确，哪些错误？说出你的理由．(1)角的两边是一条射线；(2)一个数如果能被2整除，那么这个数一定能被4整除；(3)同位角与内错角不会相等．让同学们小组讨论交流，从而引出真命题、假命题的概念．二、合作探究探究点一：真命题、假命题【类型一】判断真命题与假命题下列命题中，是真命题的是( )A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题，如果命题不正确，就是假命题．【类型二】举反例举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab ＝0，则a ＋b ＝0.解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件，但不满足结论．解：(1)如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等； (2)如：当a ＝5，b ＝0时，ab ＝0，但a ＋b ≠0.方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．探究点二：基本事实与定理 【类型一】基本事实下列命题是定理但不是基本事实的是( ) A ．对顶角相等B ．同位角相等，两直线平行C ．两点之间，线段最短D ．两点确定一条直线解析：选项A 是定理但不是基本事实，选项B ，C ，D 都是基本事实，故选A. 方法总结：①基本事实是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据．②定理是真命题，它的正确性可以以基本事实或其他定理为基础进行证明，可以作为判断其他命题真假的依据．【类型二】逆定理下列定理没有逆定理的是( ) A ．直角三角形的两锐角互余 B ．对顶角相等 C ．等角的补角相等D ．两直线平行，同旁内角互补解析：选项A 的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，这个逆命题正确，原定理有逆定理．选项B 的逆命题是：相等的角是对顶角，这个逆命题不正确，原定理没有逆定理．选项C 的逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，这个逆命题正确，原定理有逆定理．选项D 的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，这个逆命题正确，原定理有逆定理．故选B.方法总结：判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．三、板书设计命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题⎩⎪⎨⎪⎧基本事实定理——证明假命题——举反例本节课学习了真命题和假命题，通过具体事例让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例．涉及的概念较多，应当让学生在理解的基础上进行识记．常出的错误是：由于“任何一个命题都有逆命题”是正确的，于是错误地认为“任何一个定理都有逆定理”也是正确的．第3课时 命题的证明1．了解证明的基本步骤和书写格式；(重点) 2．掌握反证法证明的基本步骤和格式；(难点)3．掌握三角形外角和定理的证明，并能进行简单的运用．一、情境导入要说明一个命题是真命题时，我们可以证明，那么怎样证明一个命题呢？证明一个命题的一般步骤是什么？二、合作探究探究点一：证明的一般步骤 【类型一】证明的过程如图，已知∠A ＝∠F ，∠C ＝∠D .求证：BD ∥CE .解析：先由∠A ＝∠F 可推出DF ∥AC ，利用平行线的性质结合已知条件，得到∠DBA ＝∠C ，进而判断出BD ∥EC .证明：∵∠A ＝∠F (已知)，∴DF ∥AC (内错角相等，两直线平行)，∴∠D ＝∠DBA (两直线平行，内错角相等)， 又∵∠C ＝∠D (已知)，∴∠DBA ＝∠C (等量代换)，∴BD ∥EC (同位角相等，两直线平行)．方法总结：本题巧妙结合了平行线的性质和平行线的判定，先用判定定理判断出DF ∥AC ，再根据平行的性质判断出相等的角，从而得出BD ∥CE .【类型二】与图形有关的命题的证明求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．解析：按证明与图形有关的命题的一般步骤进行．要证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法来证明．证明：如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被直线MN 所截，交点分别为P ，Q ，PG 平分∠BPQ ，QH 平分∠CQP .∵AB ∥CD (已知)，∴∠BPQ ＝∠CQP (两直线平行，内错角相等)， 又∵PG 平分∠BPQ ，QH 平分∠CQP (已知)，∴∠GPQ ＝12∠BPQ ，∠HQP ＝12∠CQP (角平分线的定义)，∴∠GPQ ＝∠HQP (等量代换)，∴PG ∥HQ (内错角相等，两直线平行)．方法总结：证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论，是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知求证，然后进行证明．探究点二：反证法 【类型一】假设用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )A ．有一个内角大于60°B ．有一个内角小于60°C ．每一个内角都大于60°D ．每一个内角都小于60°解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C.方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．【类型二】用反证法证明一个命题求证：△ABC 中不能有两个钝角． 解析：用反证法证明，假设△ABC 中能有两个钝角，得出与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．证明：假设△ABC 中能有两个钝角，即∠A ＜90°，∠B ＞90°，∠C ＞90°， 所以∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾， 所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC 中不能有两个钝角． 方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．三、板书设计证明⎩⎪⎨⎪⎧证明的依据——已知、基本事实、定理、定义证明命题的步骤——画出图形，写出已知求证，然后进行证明反证法——反设、归谬、结论通过命题的证明学习，让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力．本节课的易错点是反证法，在假设时，结论的反面找不准确或不全面．同时用反证法证明时，一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知相矛盾，也可以与基本事实、定义、定理相矛盾．教学中让学生大胆参与练习，从中发现问题并纠正．2．3 等腰三角形第1课时 等腰(边)三角形的性质1．掌握等腰三角形的性质定理；(重点) 2．掌握等边三角形的性质定理；(重点)3．能运用等腰(边)三角形的性质进行有关的证明或计算．(重点，难点)一、情境导入我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？二、合作探究探究点一：等腰三角形的性质【类型一】运用“等边对等角”求角的度数如图，AB ＝AC ，∠A ＝100°，AB ∥CD ，求∠BCD 的度数．解析：根据等腰三角形的性质，可推出∠B ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )，依据已知条件可知∠BCD ＝∠B .解：∵∠A ＝100°，∴∠B ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝180°－100°＝80°. ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝40°. ∵AB ∥CD ，∴∠BCD ＝∠B ＝40°.方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，两个邻补角之和等于180°.【类型二】 分类讨论在等腰三角形求角度中的运用等腰三角形的一个角等于30°，求它的顶角的度数．解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论．解：①当底角是30°时，顶角的度数为180°－2×30°＝120°； ②顶角即为30°.因此等腰三角形的顶角度数为30°或120°.方法总结：本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．注意：已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．【类型三】 利用等腰三角形“三线合一”进行计算如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝30°.求∠ADC 和∠CAD 的。
最新湘教版八年级数学上册2.1 三角形3 第1课时 三角形的基本概念
课题三角形的基本概念【学习目标】1．理解并掌握三角形的概念，会用符号表示三角形．2．掌握三角形三边之间的不等关系，能初步理解组成三角形的三条线段应满足的条件．3．能运用三角形的概念及三边关系解决相关问题．【学习重点】三角形三边之间关系．【学习难点】运用三角形三边的不等关系解决相关问题．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．方法指导：要判断三条线段是否能组成三角形，就是看它们是否满足三角形三边之间的关系．其关键是看两条较短的线段之和是否大于最长的线段．情景导入生成问题知识回顾：(1)一条线段有两个端点，如图，线段有端点A和B，可表示线段AB或线段BA也可表示为线段a．(2)线段的中点：点在线段上，这个点把线段分成两条相等的线段，这个点叫作线段的中点．(3)连接两点之间的所有线中，线段最短．自学互研生成能力知识模块一探究三角形中的基本概念自主学习阅读教材P42，完成下面的填空：1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形叫作三角形．如图：用线段连接不在同一直线上的三点D、E、F所组成的图形叫作三角形，记作△DEF．它的三个顶点分别是点D、点E、点F．它的三个内角分别是∠D、∠E、∠F．2．其中，两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三边都相等的三角形叫作等边三角形．知识模块二三角形三边的不等关系(一)合作探究如图，请量出线段AB、BC、AC的长度(精确到1mm)，根据测量结果填空(选填“>”或“<”)：AB＋BC>AC，BC＋AC>AB，AB＋AC>BC.AB－BC<AC，BC－AC<AB，AB－AC<BC.归纳：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．(二)自主学习1．教材P43做一做．2．阅读教材P43例1.练习：有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)4cm、5cm、10cm；(2)5cm、6cm、11cm；(3)6cm、7cm、12cm.解：(1)因为4＋5<10，所以它们不能组成三角形；(2)因为5＋6＝11，所以它们不能组成三角形；(3)因为6＋7>12，所以它们能组成三角形．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步远算时都要自觉地注意有理有据．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究三角形中的基本概念知识模块二三角形三边的不等关系检测反馈达成目标【当堂检测】见学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
相似三角形的判定——利用三边关系课件(湘教版)
类似三角 形的判定
判定定理3
三边成比例的两个三 角形类似.
完成与本课教学内容相对应的习题
知识点 1 三边成比例的两个三角形类似
知1－导
我们学习过判定三角形全等的 SSS 方法，能不能通 过三边来判定两个三角形类似呢?
任意画 两个三角形△ABC 与△A′B′C′，使△ABC 的 边长是△A′B′C′ 的边长的 k 倍.
分别度量 ∠A和∠A′， ∠B 和 ∠B′ ，∠C 和∠C′ 的 大小，它们分别相等吗 ? 由此你有什么发现 ?
知2－讲
例2 图a、图b 中小正方形的边长均为1，则图 b 中的哪一 个三角形 ( 阴影部分 ) 与图 a 中的△ABC 类似?
图a
图b
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣
“三边成比例的两个三角形类似”判断 .
知2－讲
解：易知 AC = 2， BC =2， AB = 10. 图 b①中，三角形的三边长分别为 1， 5 ，2 2；
总结
知1－讲
由三边成比例判定两三角形类似的方法与三边对应 相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应 相等改为三边成比例即可.
应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形 的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意 边的对应情况，用大边对大边，小边对小边的思路 找定
∴ AD AE DE . AB AC BC
又 A′D = AB ，
AB AC BC , AB AC BC
∴ A′E = AC ，DE=BC.
∴△A′DE≌△ABC .
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
知1－讲
归纳
由此得到类似三角形的判定定理 3： 三边成比例的两个三角形类似.
知1－讲
八年级数学上册 2.1 三角形 第2课时 三角形的高、角平分线和中线课件 (新版)湘教版.pptx
第2课时 三角形的高、角平分线 和中线
1
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直 线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形 的高线，简称三角形的高.
如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是 △ABC的BC边上的高.
2
做一做
如图，试画出图中△ABC 的 BC 边上的高.
3
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
× ②BE是⊿ABD边AD上的中线( ) × ③BE是⊿ABC边AC上的中线( )
12 E
G F
√ ④CH是⊿ACD边AD上的高( )
H
B
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
9
尝试应用
在ΔABC中,CD是中线,已知BC-
AC=5cm, ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC
的周长.
三角形的中线将原三角形分
如图1，∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角 平分线.
在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段叫作 三角形的中线.
如图2，BE=EC，则线段AE是△ABC的BC边上的中线.
4
任意画一个三角形，画出三边上的中线.你发现了 做一做 什么？
事实上，三角形的三条中线相交于一点.我们把这三条 中线的交点叫作三角形的重心.
21
（2）∠BAD= ∠CAD = ∠BAC ；
2
A
（3）∠AFB= ∠AFC =90°；
1 BC•AF
2 （4）SΔABC=
.
C
EDF
B
8
尝试应用
如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC 于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正 确的,哪些是错误的.
全等三角形++全等三角形的定义及性质++课件+-+2024—-2025学年湘教版八年级数学上册
［猜想判断］
（1）求证： .
解：因为 ，所以 ， .又因为 ，所以
（2）当 满足什么条件时， ？
图17
解：因为 ，所以 .因为 ，所以 .所以 .又因为点 ， ， 在同一直线上，所以 .故当 满足 为直角时， .
重合
对应边
对应角
（2）表示：全等用符号“____”表示，读作“全等于”.当 与 全等，且 ， ， 的对应顶点依次是 ， ， 时，记作_ ________________.
3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边______，对应角______.
相等
相等
课前自测
图1
1.如图1， ，则与 相等的角是( ) .
（八年级 上册）
2023
第2章 三角形
2.5 全等三角形（5课时）
第1课时 全等三角形的定义及性质
起航加油
知识梳理
1.全等图形：能完全______的两个图形叫作全等图形.
重合
2.全等三角形：
（1）定义：能完全______的两个三角形叫作全等三角形.在全等三角形中，互相重合的顶点，叫作对应顶点；互相重合的边叫作________；互相重合的角叫作________.
图4
例1 （教材第75页例1变式）如图4，已知 ，写出全等三角形的对应边和对应角．
思路点拨 由“全等三角形对应顶点写在对应位置上”，可知点 与点 是对应顶点，点 与点 是对应顶点，根据对应顶点可写出对应边和对应角.
图4
解：对应边： 与 ， 与 ， 与 .对应角： 与 ， 与 ， 与 .
方法指导 找全等三角形对应元素的方法：（1）字母顺序法：根据书写规则，按照对应顶点确定对应边和对应角；（2）图形位置法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（3）图形大小法：最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.
湘教版八上数学课件：2.1.2《三角形高、角平分线、中线》
小结
通过这节课的学习活动你有哪些收获？
从知识上，在小学学习的基础上，我们又学习了什么？ 从方法上，我们是怎么认识这些重要线段的。对你 后续的学习有什么启示吗？
(2)△ABE的面积； (3)△ABE和△ACE的周长差．
A
B
ED C
解：(1)∵S△ABC＝12AB·AC＝12×6×8＝24 cm2. ∵S△ABC＝12AD·BC＝24 cm2，BC＝10 cm，
∴ AD＝4.8 cm；
(2) S△ABE＝12BE·AD＝12×12BC·AD ＝14BC·AD＝12 cm2；
你还有什么想法吗？ 有什么需要同学们帮助解决的问题吗？
作业：P49A3B6
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这 个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，∠BAD=∠CAD， 则线段AD是△ABC的一条角平分线.
在三角形中，连接一个顶点和它的对边 中点的线段叫作三角形的中线.
如图，BE=EC， 则线段AE是△ABC的BC边上的中线.
想一想： 任何一个三角形有几条高？
A
1
CD=；AF=ABD；
2
（2）若S△ABC=12cm2，
则S△ABD=．
6cm²
E
F
G
5、在ΔABC中,CD是中线,已知
C
D
B
BC-AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm, 求ΔADC的周长.
A
D
B
C
课堂作业
1.如图：AD，AE分别是△ABC的高和中线，且 AB=8㎝，AC=6㎝，BC＝10cm,∠CAB＝90°.试 求：(1)AD的长；
八年级数学上册 2.1 三角形(第2课时)课件 (新版)湘教版
任意画一个三角形，画出三边上的 中线.你发现了什么？
事实上，三角形的三条中线相交于一点.
我们把这三条中线的交点叫作 三角形的重心. 如图，△ABC的三条中线AD， BE，CF相交于点G， 则点G为△ABC的重心.
想一想
F G
E
D
任意三角形的三条高、三条角平分线 也交于一点吗？
例2 如图，AD是△ABC的中线， AE是△ABC的高 （1） 图中共有几个三角形？ 请分别列举出来. （2） 其中哪些三角形的面积相等？
D
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对 边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫作 三角形的角平分线. 如图， ∠BAD=∠CAD， 则线段AD是△ABC的一条角平分线.
A
B
D
C
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构
成的图形叫作三角形.
三角形可用符号“△”来表示，如图中的三角形可记 作“△ABC”，读作“三角形ABC”. 其中，点A，B，C叫作△ABC的顶点； ∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角） 线段AB，BC，CA叫作△ABC的边. 通常∠A，∠B，∠C的对边 BC，AC，AB 可分别用a，b，c来表示.
( 1 )∠ADB=∠ ADC = 90 ； ( 2 ) BБайду номын сангаас = AE = 1 AB ； 2 ( 3 ) ∠DBF =∠ EBF= 1∠ DBE . 2
课堂总结 1.从知识上，在小学学习的基础上，我 们又学习了什么？
2.从方法上，我们是怎么认识这些重要 线段的，对你后续的学习有什么启示吗？
解（1） 图中有6个三角形， 它们分别是： △ABD， △ADE， △AEC， △ABE， △ADC， △ABC.
湘教版八年级上册三角形
湘教版八年级上册三角形一、三角形的基本概念。
1. 定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形有三个顶点、三条边和三个角。
例如，在△ABC中，A、B、C是顶点，AB、BC、AC是边，∠A、∠B、∠C是角。
2. 三角形的表示方法。
- 三角形用符号“△”表示，如三角形ABC记作“△ABC”。
3. 三角形的分类。
- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
直角三角形可以用“Rt△”表示，如Rt△ABC，其中直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两边相等的三角形。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都是60°。
二、三角形的性质。
1. 三角形三边关系。
- 三角形两边之和大于第三边。
例如，在△ABC中，AB + BC>AC，AB+AC > BC，BC + AC>AB。
- 三角形两边之差小于第三边。
即AB - BC<AC，AB - AC<BC，BC - AC<AB。
2. 三角形的内角和定理。
- 三角形三个内角的和等于180°。
即∠A+∠B + ∠C = 180°。
- 直角三角形的两个锐角互余。
在Rt△ABC中，∠A+∠B = 90°（∠C = 90°）。
3. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
例如，在△ABC中，∠ACD （∠ACD是∠ACB的外角）=∠A+∠B。
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
即∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。
三、三角形中的重要线段。