对几道高考数学全国卷导数试题命题规律的探究

２０　中学数学教学　２０１７年第６期　对几道高考数学全国卷导数试题命题规律的探究　安徽省宁国中学　陈晓明　（邮编：２４２３９９）　

摘要　导数试题的考查方式灵活，所蕴含的思维量比较大，很多人对导数题如何备考有无所适　从的感觉．其实，高考数学全国卷导数试题命题大有规律可循．作为教师，在日常教学中要加强对真题　的研究，注重创新意识的培养，很抓数学思想的渗透．　关键词　高考数学；全国卷；导数试题；命题规律　

近些年来的全国高考数学试卷中，导数题往　往作为最后一道压轴题出现，起到区分学生层　次、选拔人才的作用，所以深受广大一线师生的　关注．因为导数试题的考查方式灵活，所蕴含的　思维量比较大，因此即使解题工具众所周知，很　多人仍然对导数题如何备考有无所适从的感觉．　也就是说，在面对“山重水复疑无路”的困境时，　如何找到“柳暗花明又一村”的途径，是同学们最　需解决的问题．＿】　因为“对函数和导数的考查侧重于理解和应　用，试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧　密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类　讨论思想等都进行深入的考查，体现能力立意的　命题原则”　，所以这类题的备考确实也是不容　易的，但也不能说没有规律可循．下面以几道高　考数学全国卷导数试题为例来探究其命题规律，　从而更好地备考．　１　真题再现　例１　（２０１５年新课标全国卷Ｉ文科第２ｌ　题）设函数厂（　）一ｅ　一口ｌｎｘ．　（１）讨论ｆ（　）的导函数ｆ　（ｚ）零点的　个数；　０　（２）证明：当ｎ＞０时，ｆ（ｚ）≥２ａ＋口Ｉｎ三．　

“　标准答案（命题组提供答案）：　

（１）ｆ（ｚ）的定义域为（０，＋Ｏ０），ｆ　（　）一　

２ｅ　一　ｆｚ＞０１．　Ｚ　

当ａ≤０时，ｆ　（ｚ）＞０，ｆ　（ｚ）没有零点；　

当ａ＞０时，因为ｅ　单调递增，～　单调递　ｌｚ　增，所以ｆ　（　ｚ）在（０，＋ｏ。）单调递增．又　

厂　（ａ）＞ｏ，当６满足０＜６＜导且６＜　１时，　ｆ　（６）＜０，故当ａ＞０时，ｆ　（ｚ）存在唯一　零点．　（３）由（１），可设厂　（　）在（０，＋Ｏ０）的唯一　零点为３５＇。，当ｚ∈（Ｏ，ｚ。）时，　（ｚ）＜０；当　∈　（ｚ　ｏ，＋∞）时，　（ｚ）＞０．故　（．２５）在　（０，　ｏ）单调递减，在（ｚ　ｏ，＋∞）单调递增，所以　当ｚ—ｚ。时，ｆ（ｚ）取得最小值，最小值　为ｆ（　。）．　

由于２ｅ２－ｒ～　一ｏ，所以ｆ（ｘ　ｏ）一去＋　ｎ　厶　ｎ　

２ａｘ　ｏ＋口ｉｎ＿＝＿≥２ａ＋ｎＩｎ三．故当ｎ＞０时，　９　＿厂（ｚ）≥２ｎ＋ｎＩｎ＿＝Ｉ．　

对标准答案的困惑（１）“当６满足０＜６＜　导，且６＜　１时，＿厂　（６）＜０’’怎么想到的？就算　

是“ｆ　（ｎ）＞Ｏ”也不太容易想到．　（２）设出“隐零点”（设而不求或根本无法求　出具体数值的零点）３５。，得到一个关于“隐零　

点”ｚ。的等式２ｅ　一　一０，然后进一步得到　５７５＂０　

ｅ。　一　，ｌｎｘ。一一２ｘ。－－ｌｎ　，从而将ｆ（－ｚ。）一　

ＡＺ　ｎ　ａ　、　

ｅ。　＆ｌｎｘ　ｏ中的ｅ。　和ｌｎｘ　ｏ替换掉，得到　

，（　。）一　＋２ａｚ。＋。ｌｎ＿兰＿，这样就可以利用　

基本不等式解决问题．怎么想到将ｅ。　。和Ｉｎ　。都　替换掉？不替换或者只替换其中一个行吗？　无独有偶，类似的困惑竟然在接下来的高考　中再次出现，请看下面的例子．　２０１７年第６期　中学数学教学　２１　例２　（２０１６年新课标全国卷Ｉ第２ｌ题文　（２）、理（１））已知函数ｆ（Ｌｚ）＝（ｚ一２）ｅ　＋ａ　（ｚ一１）　有两个零点，求ａ的取值范围．　标准答案（命题组提供答案）：　（ｚ）＝（ｚ一１）ｅ　＋２ａ（　一１）　：（ｚ一１）（ｅ　＋２口）．　①若ａ＝０，贝０　ｆ（ｚ）一（ｚ一２）ｅ　，ｆ（ｚ）只　有一个零点．　②若ａ＞０，则当　∈（一。０，１）时，　厂　（ｚ）＜０；当ｚ∈（１，＋∞）时，厂　（ｚ）＞Ｏ．所　以ｆ（Ｘ）在　（一∞，１）内单调递减，在　（１，＋。。）内单调递增．又ｆ（１）一一ｅ，、厂（２）一ｎ，　

取ｂ满足ｂ＜０且ｂ＜ｉｎ　，则厂（ｂ）＞　号（６—２）＋ｎ（ｂ－１）。一ｎ（６　一　６）＞。，故　ｆ　）存在两个零点．　③若口＜０，此略．　例３　（２０１７年新课标全国卷Ｉ理科第２１　题）　已知函数ｆ（　）一ａｅ。　＋（ａ一２）ｅ。一　．　（１）讨论ｆ（ｚ）的单调性；　（２）若ｆ（　）有两个零点，求ａ的取值范围．　部分标准答案（命题组提供答案）：　（２）当口∈（０，１）时，ｆ（ｚ）的最小值为　

厂（～ｌｎ口）一１一÷＋Ｉｎｎ＜０．又ｆ（一２）一口ｅ　＋　（口一２）ｅ　＋２＞一２ｅ一　＋２＞０，由（１）知　ｆ（ｚ）在　（一∞，一ｌｎａ）内单调递减，故　ｆ（ｚ）在（一∞，一ｌｎａ）内有一个零点．设正整数　

。满足ｎ　ｏ＞ｉｎｆ旦一１］，则　ａ　／　ｆ（　０）＝ｅ　（　ｅ　＋ａ一２）一　０＞ｅ　一　０＞　

２　一ｎ　ｏ＞ｏ．由于ｌｎｆ三一１］＞一ｌｎ口，由（１）知　ａ　／，　

ｆ（ｚ）在（一ｌｎａ，＋∞）单调递增，因此ｆ（ｘ）在　（一ｌｎａ，＋∞）有一个零点．　例４（２０１７年新课标全国卷ＩＩ理科第２１　题）　已知函数ｆ（ｚ）一口ｚ　～ａｘ—ｘｌｎｘ，且　，（　）≥０．　（１）求ａ；　（２）证明：ｆ（　）存在唯～的极大值点Ｘ。，　且ｅ　＜ｆ（ｚ。）＜２～．　部分标准答案（命题组提供答案）：（１）ａ一１・　（过程此略）　（２）证明：由（１）知ｆ（ｚ）一ｚ　一　—ｘｌｎｘ，　ｆ　（ｚ）一２ｘ一２一ｌｎｘ．设ｈ（ｚ）一２ｘ一２一ｌｎｘ，　则　（ｚ）一２一　．当ｚ∈（。，丢］时，　（ｚ）＜　。；当ｚ∈（１２，＋ｏｏ）时，　（ｚ）＞。．所以　（ｚ）在（０，丢］内单调递减，在（丢，＋∞］内　单调递增．又　（ｅ　）＞。，＾（丢］＜。，　（１）一。，　所以　）在ｆ。，　１）内有唯一零点ｚ。，在　『丢，＋∞］内有唯一零点１，且当ｚ∈　（０，ｚ。）时，ｈ（ｚ）＞０；当ｌｚ∈　（ｚ　ｏ，１）时，　ｈ（　）＜０；当ｚ∈（１，＋∞）时，ｈ（ｚ）＞０．因为　ｆ　）一　），所以　—ｚ。是厂　）的唯一极　大值点．由ｆ　（ｚ。）一０得ｌｎｚ。一２（ｚ。一１），故　ｆ（ｚ。１一Ｘ　ｏ（１一ｚ。）．（这里用到了利用关于“隐　零点”的等式进行代换）．由　。∈　（。，丢），得　厂（ｚ。）＜二Ａ．因为　—ｚ。是ｆ（ｚ）在（Ｏ，１）内的　最大值点，由ｅ　∈（０，１），厂　（ｅ　）≠０得　ｆ　。）＞ｆ（ｅ　）一ｅ～，所以，ｅｑ＜ｆ（　ｏ）＜２＿。．　２对标准答案解析及命题规律探究　（１）文［３１的看法：作者雷波老师研究的问　题是例１，而且只分析第（１）问，因为他认为“此题　只要突破了第（１）问，第（２）问则迎刃而解”．另　外，认为标准答案的解法“看似自然的解法，学生　却往往止步于寻找使得．厂　（６）＜０的ｂ的值，‘当　１　ｂ满足０＜ｂ＜÷且ｂ＜÷时’就如魔法师帽子　４　４　里蹦出‘兔子’，几乎很难让人想到，有些勉强”．　于是，巧妙转化函数式的结构，提出了两种新的　解法，前者“直白、明了”，后者“自然、合理”，而且　“学生更加容易理解和掌握”．　（２）文【４１的看法：作者黄桂君老师研究了　前面的例ｌ、例２，以及其它省份高考题，并对文　【３】的看法提出了自己的观点．在文【４】中，黄　老师一方面肯定了雷老师在文［３］中善于将函　数表达式通过巧妙的转化，使得复杂的问题得以　２２　中学数学教学　２０１７年第６期　化解，从而轻松解决．另一方面也指出“当ｂ满足　，．　１　０＜ｂ＜　且ｂ＜二时”并非“魔术”、唐突，而是

Ａ　４　吐　

真正的简单、有效；另外，雷老师说的“此题只要　突破了第（１）问，第（２）问则迎刃而解”，其实并非　如此．　（３）笔者的看法　文『３１中的解法２虽然“直白、明了”，但是　图象直观不能代替严格的逻辑推理，解答题不能　用．解法３利用等价转化，分离参数，回避了难点，　将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，　这一点非常好．对于雷老师说的“‘当ｂ满足０＜ｂ　１　＜“＿且　＜÷时’如魔法师帽子里蹦出的‘兔Ａ　ｂ　

吐　４　子’；此题只要突破了第（１）问，第（２）问则迎刃而　

解”，笔者赞同文【４］中黄老师的观点，即“其实　并非如此”．　

文［４】中黄老师认为“当ｂ满足０＜ｂ＜÷　１　且ｂ＜÷时”并非“魔术”、唐突，而是真正的简　

４　

单、有效，为什么可以这么说？笔者认为还能解　

释得更透彻些．　首先，要让学生明白问题是什么？问题是要　证明当ｎ＞０时，．厂　（ｚ）在（０，＋。。）内存在唯　

一零点．如何判断函数ｆ　（ｚ）的零点存在且唯一　呢？可以用零点存在性定理判断零点存在，由　ｆ　（ｚ）在（０，＋００）内单调判断零点唯一，单调　问题较容易（也可以与提供答案不同，而是通过　求导来判断），难点在哪ＪＬ？找到零点存在性定　理满足的条件，即在（０，＋。。１内找到两个自变　量ｌｚ　、ｚ　，满足＿ｆ　（ｚ。）ｌ，　（ｚ　）＜０．如何找？找　哪两个？受思维定式影响，学生习惯具体数据，　不习惯抽象的字母；习惯答案就是一个，不习惯　灵活地探寻（多了反而找不到）．这就是高考要考　查的目的，即考查学生的创新意识及数学学科素　

养．其实，有表达式ｆ　ｆｚ１—２ｅ　一　（ｚ＞０）的结构特征，前面２ｅ　不含参数ａ，后　面一　含参数ｎ，因此，自变量　或ｚ　不可能　正　是一个具体的数据，应含参数ａ或是一个与参数　

ｎ有关的范围　这时我们可以尝试，命题组提供答　案是令　一“，有／　（　）一＿厂　（ａ）＝２ｅ妇一１＞０．　

其实这样的　很多，如Ｘｌ一　，有ｆ　（ｚ　）一　（号）＝２ｅ￣－２＞２ｅ￣－２＝Ｏ．甚至ｚ　为一个范　围，如　＞　时，厂　（ｚ　）＞　（号）＝２ｅ￣－２＞　２ｅ。一２一Ｏ．但是要找到ｚ　，使得ｆ　（　）＜０却　不容易．命题组提供的答案“当６满足ｏ＜　＜手　

且６＜亡时，厂　（６）＜ｏ”ｉｒｌ“当ｚ　ｚ满足０＜ｚ　ｚ　＜导且ｚ　ｚ＜÷时，－厂　（　ｚ）＜０，’是怎么来的呢？　真是魔法师帽子里蹦出的“兔子”吗？其实，因为　ｚ＞０，当ｚ一０时，２ｅ２　一２，　一＋ｏ０（ａ＞０），　

厂　（ｚ）一２　ｅ２　一　＜Ｏ．不妨令｛　＞４，这样　

就有　（　）一２　ｅ２　＜Ｏ，所以｛　＜寻，进　

一步｛　，’又｛＜　，所以“当ｚ　满足。　

＜ｚ　ｚ＜导且　。＜÷时，厂　（　ｚ）＜０，’显然成　立．把　１改为　１，百１

，……也是正确的．我们也可　

以令｛　＞６，这样仍然有　（ｚ　）一２　ｅ２　一　

＜　ｌｎ３，所以当　。满足。＜ｚ　＜詈且ｚ　＜　１　

时，　（ｚ　）＜２ｅ一６＜０显然成立．把　１改为　÷，　１，…也是正确的．　再来看例３中“设正整数　。满足　。＞　ｌｎ（丢一１）”是怎么想到的？其实，要证－厂（　。）一　

１—２　又　３一　～２　＜　步　一　进　０以　昕　＜