第七讲谓词逻辑的性质及前束范式
第七章谓词逻辑
整个公式中，
是自由出现。
z
约束出现，
x
既有约束出现又有自由出现，
y
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变元的约束讨论
❖ 从约束变元的概念可以看出，P(x1,x2, … ,xn)是n元谓词， 它有n个相互独立的自由变元。
❖ 若对其中k个变元进行约束，则P成为n-k元谓词。
❖ 当k = n，即谓词公式中没有自由变元出现时，则该公式就 成为一个命题。
请将下列命题符号化： (1) 某些实数是有理数。 (2) 没有不犯错误的人。 (3) 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
解：(1) R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 (x)(R(x)Q(x) )
(2) M(x)：x是人。F(x)：x犯错误。 (x)(M(x)F(x))
(3) M(x)：x是人。S(x)：x聪明。 (x)(M(x)S(x)) (x)(M(x)S(x))
某种性质或具有某种关系，需要引入量词。 例如： (1) 某些人会跳舞； (2) 所有人都会跳舞；
14
量词
❖ [定义]量词 表示数量的词
1.全称量词: 表示任意的,所有的,每一个，凡是 x 表示对个体域中所有的x……
2.存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个，有些 x 表示在个体域中存在x……
❖ 在∀x A(x)和∃x A(x)中： ❖ 紧跟量词的x称为量词的指导变元或作用变元 ❖ A称为量词的辖域或作用域
回答：(1)(2)是谓词合式。
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谓词逻辑
❖7.1.1 谓词与命题函数
▪ 1. 谓词 ▪ 2. 命题函数
❖7.1.2 量词
▪ 1. 全称量词 ▪ 2. 存在量词
❖7.1.3 谓词合式
❖7.1.4 约束元与自由元
1.7谓词演算的永真公式
P(x)：x今天没来校上课。
1 xP(x)：不是所有的大学生今天都来上课。
与 xP(x)：存在一些大学生今天没来上课。（含义相同）
2 xP(x)：今天没有(不存在)来上课的大学生。
与 xP(x)：所有的大学生今天都没来上课。（含义相同）
10
NUIST
3．量词辖域的扩张与收缩律
设P是不含自由变元x的任一谓词公式(包括命题公式)，
3
谓词公式类型的判断
NUIST
方法一：真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的，谓词变元的解释也
是有限的时，原则上可以用真值表来判断。
方法二：指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的，或谓词变元的解释
是无限的时，谓词公式A的指派就是无限多个，无法实 现用真值表来判断，一般根据联结词、量词的意义，直 接用自然语言来叙述进行证明。
命题演算的等价式就转化为谓词演算的等价式。 依据：永真式的任何代入实例也必永真。 例如：1 由 P P
得： A(x) A(x) 2 由 P→Q P∨Q
得：xA(x)→xB(x) (xA(x))∨(xB(x))
二、由于引入量词而产生的谓词演算中特有的逻辑等价式、 永真蕴含式。
8
与量词有关的逻辑等价式
NUIST
1．量词的消去律
(1)设个体域为有限集D={a1, a2, …,an}时，则有
∀x P(x)
P(a1)∧P(a2)∧…∧P(an) （1）
∃x P(x)
P(a1) ∨P(a2) ∨…∨P(an) （2）
(2) 设A是不含自由变元x的谓词公式，则有
xA A
（3）
xA A
（4）
(因为A的真值与自由变元x无关)
7谓词逻辑
第七章 谓词逻辑
在命题逻辑中,主要研究命题和命题演算,其基本组 成单位是原子命题,并视为不可再分解. 命题逻辑中的推理有很大的局限性. 例如:著名的苏格拉底三段论: 所有的人都是要死的; 苏格拉底是人; 所以苏格拉底是要死的.
在命题逻辑中的符号化:
用P、Q、R分别表示以上三个命题,
则可用
P Q R表示这一推理过程.
谓词逻辑的任务: 对原子命题作进一步的分析,研究其内部的逻辑结构,并 在此基础上更深入地刻画推理.
第七章
§7.1 谓词与量词
谓词逻辑
§7.2 谓词公式与变元约束 §7.3 谓词演算的等价式与永真蕴含式
左到右的顺序读出.
习题:P178
1、2
§7.2 谓词公式与变元约束
引入命题演算合式公式:为了使命题的符号化更准确 和规范,以及正确进行谓词演算和推理. 定义7.2.1 设 R( x1 , x2 ,, xn ) 是n元谓词,其中 x1 , x2 ,, xn 是个体变元,则 R( x1 , x2 ,, xn ) 称为谓词演算的原子公式. 定义7.2.2 谓词演算的合式公式定义如下:
0 元谓词:不含个体变元的谓词,如:原子命题
谓词 P ( x1 , x2 ,, xn ) 不是命题,真值无法确定,只有当以
n个个体常元代替变元后,才有确定的真值,从而成为命 题.
注:命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中仍然可用且含
义不变.
二、量词: 谓词逻辑中表示数量的词.
例:所有的人都是要死的,有些人是要死的 两个命题中的个体词和谓词均相同,区别在于“所有 的”和“有些”两个量词. 量词可分为:全称量词和存在量词 全称量词:对应自然语言中的“一切”、“所有的” 、 “任意的”等,表示对个体域中的所有个体,用符号“ ” 表示.
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
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谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
3.2前束范式谓词推理
1/11/2011
discrete math
前束合取范式
Logic 一阶逻辑
定义：一个谓词公式A如果具有如下形式 如果具有如下形式， 定义：一个谓词公式 如果具有如下形式， 则称为前束合取范式： 则称为前束合取范式： 前束合取范式 (Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)[(A11∨A12∨…∨ 1k1)∧( ∨…∨A ∧ A21∨A22∨…∨ 2k2)∧…∧(Am1∨Am2∨…∨ mkm)] ∨…∨A ∧ ∨…∨A 其中Q 为客体变元， 其中 i (1≤i≤n）为∃或∀，xi为客体变元， ） Aij是原子变元或其否定。 是原子变元或其否定。
1/11/2011 discrete math
谓词演算的推理理论
Logic 一阶逻辑
在谓词逻辑中，如果A 在谓词逻辑中，如果 1∧A2∧…∧An→B ∧ 是逻辑有效式，则称B是 是逻辑有效式，则称 是A1, 效结论， 效结论，记作 A1∧A2∧…∧An⇒B ∧ A⇒B 当且仅当 A→B是重言式 ⇒ → 是重言式 例如： 例如： ∀xF(x) ⇒∃xF(x) A2, …，An的有 ，
1/11/2011
discrete math
前束范式例子
Logic 一阶逻辑
(3) ∀x∀y (∃z(P(x,z)∧P(y,z))→∃z Q(x,y,z)) ∀ ∃ ∧ ∃ ⇔∀x∀y (┐∃z(P(x,z)∧P(y,z))∨∃z Q(x,y,z)) ⇔∀ ∀ ∃ ∧ ∨ ⇔∀x∀ ∀ ∨ ∨ ⇔∀ ∀y(∀z(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨∃z Q(x,y,z)) ⇔∀x∀y (∀z(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨∃u Q(x,y,u)) ⇔∀ ∀ ∀ ∨ ∨ ⇔∀x∀ ⇔∀ ∀y ∀z∃u (┐P(x,z)∨┐P(y,z)∨Q(x,y,u)) ∃ ∨ ∨ （或⇔∀x∀y ∀z∃u (P(x,z)∧P(y,z)→Q(x,y,u))） ⇔∀ ∀ ∃ ∧ ）
《离散数学》教学大纲
《离散数学》教学大纲（专科）《离散数学》教学大纲（专科）说明一．课程的性质本课程是为计算机科学与技术专业专科开设的专业基础课。
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是学习专业理论不可少的数学工具。
离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个和可数个元素，充分描述了计算机科学离散性的特点。
在计算机科学中，离散数学与数据结构、操作系统、逻辑设计、算法分析、编译原理、人工智能、系统结构等课程联系紧密。
学习离散数学不仅为后续课程作必要的理论准备，而且其课程内容中所提供的一些把科学理论应用于实践的范例，可以培养学生逐步增强如何实施“科学理论---技术---生产力”转化的观念和方法，提高学生在知识经济时代中的适应能力。
同时本课程在培养学生的创新能力，提高学生的科研素质方面都有着重要作用。
二．课程的教学目的和要求在计算机科学教学中，离散数学主要是为专业服务的基础理论课，是一门概念较多、理论性较强，应用性较广的课程。
本课程主要教授数理逻辑、集合论、代数系统、图论方面的基础知识，是计算机科学与技术教学中一些后续课程学习的基础和工具。
通过本课程的学习，要使学生掌握离散数学的基本概念和基本原理，以现代数学的观点和方法，初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。
同时，也要培养学生抽象思维、慎密概括、逻辑推理的能力，从而使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力。
三．课程的主要教学内容1.集合论：集合的基本概念，集合的运算，包含排斥原理。
2.二元关系：集合的笛卡尔乘积，关系的定义，关系的表示法，特殊关系，复合关系和逆关系，关系的闭包运算。
3. 函数：函数的定义，特殊函数，复合函数和逆函数。
4. 代数结构：代数系统，特殊运算和特殊元素；同构概念，半群、群；子群，循环群，置换群；陪集和拉格朗日定理。
环、域；格与布尔代数。
5．图论：图的基本概念，通路、回路及图的连通性，赋权图的最短通路，图与矩阵表示、欧拉图与哈密顿图、平面图与二部图、无向树，有向树及其应用。
数理逻辑_谓词逻辑_2
谓词逻辑王剑§2.5谓词演算中的范式（前束范式和斯柯林范式）定义: 一个公式，若它的所有量词均非否定地出现在公式的最左边，而它们的辖域一直延伸到公式之末，且公式中不出现联接词“→”及“↔”，则此种形式的公式称前束范式。
EX1 :(1) ∀x∃y∀z (P(x) ∨Q(y)∧R(x, z))(2) ∃x∀y∀z ((P(x,y)∧(⌝Q(x))) ∨(R(y,z)∨(⌝Q(x))))都是前束范式。
定理任一谓词公式都可以化成为与之等值的前束范式。
任一公式化归为前束范式的过程如下:1. 消去联结词→, ↔。
2. 将联结词⌝向内深入, 使之只作用于原子公式。
3. 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同, 并且自由变元与约束变元的符号也不同。
4. 利用量词辖域的扩张和收缩律, 将所有量词以在公式中出现的顺序移到公式最前面, 扩大量词的辖域至整个公式。
EX2: 求公式A：(∀x P(x)∨∃y Q(y)) →∀x R(x)的前束范式。
解:A ⇔⌝(∀xP(x)∨∃yQ(y))∨∀xR(x)消去联结词→⇔(⌝∀xP(x)∧⌝∃yQ(y))∨∀xR(x)德.摩根律⇔(∃x⌝P(x)∧∀y⌝Q(y))∨∀zR(z)换名⇔∃x∀y ∀z ((⌝P(x)∧⌝Q(y))∨R(z))量词辖域扩张EX3：求公式(∀x P(x,y) →∃yQ(y))→∀xR(x,y)的前束范式解原式⇔(∀xP(x,t) →∃yQ(y)) →∀xR(x,t) 代入⇔(∀xP(x,t) →∃yQ(y)) →∀z R(z,t)换名⇔⌝(⌝∀xP(x,t)∨∃yQ(y))∨∀zR(z,t)消去联结词→⇔(∀xP(x,t)∧⌝∃yQ(y))∨∀zR(z,t)⌝向内深入⇔(∀xP(x,t)∧∀y⌝Q(y))∨∀zR(z,t)量词转换⇔∀x(P(x,t)∧∀y⌝Q(y))∨∀zR(z,t)量词辖域扩张⇔∀x∀y(P(x,t)∧⌝Q(y))∨∀zR(z,t)量词辖域扩张⇔∀x∀y∀z(P(x,t)∧⌝Q(y))∨R(z,t)量词辖域扩张⏹前束范式的优点在于它的量词全部集中在公式的前面, 此部分称为公式的首标。
数理逻辑-谓词逻辑
体事物或抽象的概念 ；个体域 个体域是个体（客体）的取 个体域 值范围；谓词 谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间 谓词 的关系的词
大写字母表示谓词，小写字母表示个体（客体） 注意：单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体
词和谓词分开不是命题.
2.1 谓词逻辑基本概念
个体词与谓词
谓词也称为命题函数 命题函数或简单命题函数 命题函数 相关概念：零元谓词，n元谓词，全总个体域，复合命题
求在解释I下各公式的真值.
(1) x( F(x)∧G(x,a)) (2) xy L(x,y)
2.3 谓词的等值演算
谓词公式分类
在任何解释下，谓词公式A取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)； 在任何解释下谓词公式A取真值0，公式A为 永假式； 至少有一个解释是公式A取真值1，公式A称 为可满足式。
函数
命题是谓词的特殊情况
2.1 谓词逻辑基本概念
全称量词与存在量词
量词是在命题中表示数量的词 量词有两类：
全称量词，表示“所有的”，“任何的”，或 “每一个”； 存在量词，表示“存在某个”或“至少有一 个”.
命题符号化必须指明个体域
2.1 谓词逻辑基本概念
全称量词与存在量词
对于一个谓词，如果其中每个变量都有一个量词作 用之下，则它就不再是命题函数，而是一个命题了。 在谓词逻辑，使用量词应注意以下几点：
2.2 谓词公式
相关概念：
字母表 项：递归定义 P43 原子公式
2.2 谓词公式
合式公式
递归定义：P43
命题常数0，1，一个命题和命题变元以及一个命题 0 1 函数P(x1,x2, ,xn) P(x ,…,x )，统称原子公式 由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定 义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式。
离散数学第2章 谓词逻辑
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
谓词逻辑 离散数学
实例3
例3 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y)) (2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y)) 可见：命题符号化在谓词逻辑中不是唯一的。
12
实例4
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖 解 (1) F(x): x是人, G(x): x呼吸
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
(2) F(x): x是人, G(x): x喜欢吃糖 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
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约束变元换名（2/2）
例 对(x)(P(x)R(x,y))Q(x,y)换名。 解：可换名为：(z)(P(z)R(z,y))Q(x,y)。 但是不能换名为：(y)(P(y)R(y,y))Q(x,y)、 (z)(P(z)R(x,y))Q(x,y)。
22
自由变元代入（1/2）
10
实例2
例 2 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (3) x(F(x)G(x)) （对 ，特性谓词做蕴含的前件） (4) x(F(x)G(x)) （对 ，特性谓词做合取项） 1. 引入特性谓词F(x) ，用于限制全总个体域的范围； 2. (3),(4)是谓词逻辑中两个“基本”公式。
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第七讲
谓词逻辑的性质及前束范式
1.在命题逻辑中成立的基本等价式（详见第三讲）可以推广到谓词逻辑中：例如：
幂等律在谓词逻辑中表述为：
∃x A（x）∧∃x A（x）⇔∃x A（x）
蕴涵律在谓词逻辑中表述为：
∀x（ A（x）→B）⇔∀x（┓A（x）∨B）
2.量词和否定的交换：
┓∀x A（x）⇔∃x ┓A（x）
┓∃x A（x）⇔∀x ┓A（x）
3.量词辖域的扩张和收缩
【这里注意∀x（A（x）→B）和∀xA（x）→B 的区别：
比如A（x）: x遵纪守法 B：社会和谐
∀xA（x）→B表述为：只要人人遵纪守法，社会就会和谐
∀x（A（x）→B）表述为：对于每一人，只要他遵纪守法，社会就会和谐】以下是等价公式：
（1）∀x（A（x）∨B）⇔∀xA（x）∨B
（2）∀x（A（x）∧B）⇔∀xA（x）∧B
（3）∃x（A（x）∨B）⇔∃xA（x）∨B
（4）∃x（A（x）∧B）⇔∃xA（x）∧B
（5）∀x（A（x）→B）⇔∃xA（x）→B
该公式看上去难以理解，所以证明如下：
∀x（A（x）→B）⇔∀x（┓A（x）∨B）蕴涵律
⇔∀x┓A（x）∨B
⇔┓∃xA（x）∨B 否定的交换
⇔∃xA（x）→B 蕴涵律
（6）∀x（B→A（x））⇔ B→∀xA（x）
（7）∃x（A（x）→B）⇔∀xA（x）→B （证明类似公式（5））
（8）∃x（B→A（x））⇔ B→∃xA（x）
4.量词和联结词的关系的等值式
∀xA（x）∧∀xB（x）⇔∀x(A（x）∧B（x）)
∃xA（x）∨∃xB（x）⇔∃x(A（x）∨B（x）)
5.量词和联结词的重言蕴含式
∀xA（x）∨∀xB（x）⇒∀x（A（x）∨ B（x））
∃x（A（x）∧ B（x））⇒∃xA（x）∧∃x B（x）
后者是不能推出前者的，比如对于第一个公式：
x有两个取值，x取0时，A（x）为True, B（x）为False; x取0时，A（x）为False, B（x）为True. 此时，前者能推出后者，后者不能推出前者。
利用以上规则及前面命题逻辑中相应的公式，我们可以进行公式的等价性证明.
举例来说：
证明┓∀x∀y（F（x）∧G(y) → H(x,y)）⇔∃x∃y（F（x）∧G(y) ∧┓H(x,y)）
证：┓∀x∀y（F（x）∧G(y) → H(x,y)）
⇔∃x ┓（∀y（┓（F（x）∧G(y)）∨ H(x,y)））
⇔∃x∃y┓（┓（F（x）∧G(y)）∨ H(x,y)）
⇔∃x∃y（F（x）∧G(y) ∧┓H(x,y)）
6.前束范式
所谓前束范式，通俗来讲，就是将命题公式中所有的量词提到最前面。
举例来说：
∀x F（x）∧┓∃x G(x)
化为前束范式：∀x F（x）∧┓∃x G(x)
⇔∀x F（x）∧∀x ┓G(x)
⇔∀x （F（x）∧┓G(x)）
有时，我们需要变换变元的名称：
比如：(∀x F（x，y）→∃yG(y)) →∀x H（x，y）
⇔(∀x F（x，y）→∃zG(z)) →∀t H（t，y）
⇔(┓∀x F（x，y）∨∃zG(z)) →∀t H（t，y）
⇔┓(┓∀x F（x，y）∨∃zG(z)) ∨∀t H（t，y）
⇔(∀x F（x，y）∧┓∃zG(z)) ∨∀t H（t，y）
⇔(∀x F（x，y）∧∀z┓G(z)) ∨∀t H（t，y）
⇔∀x∀z ∀t (( F（x，y）∧┓G(z)) ∨ H（t，y）)
这里需要注意：我们看到在∀x F（x，y）→∃yG(y) 中，量词的作用范围只局限在其后面一个谓词，所以尽管后面∃yG(y)含有y,但此y不是F（x，y）中的y. 所以∃yG(y)可以变为∃zG(z)；但是∀x H（x，y）中的y,由于前面没有量词来约束y,所以此y和F（x，y）中的y是同一个y.。