2018年深圳中考数学试卷第22题解答过程

如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC ，BC=2，10

10

cos =∠B ，点D 在劣弧AC 上运动，延长AD 交BC 的延长线于点E 。 （1） 求AB 的长。

（2）AE AD ⋅是否为定值，如果是，求出这个值，如果不是，说明理由。

（3）如图2，A H ⊥BD ，求证BH=CD+DH

图1

图2

解答：

（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ∵AB=AC

∴F 是△ABC 底这上的中线 ∵BC=2 ∴BF=1 ∵1010

cos =

=

∠AB BF B ∴1010

10

=÷=BF AB

（2）连接CD

∵∠B 与∠ADC 是弦AC 所对的异侧圆周角 ∴∠B+∠ADC=180° ∠ACB 与∠ACE 邻补角 ∴∠ACB+∠ACE=180° ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠ACE=∠ADC 又∵∠DAC=∠CAE

∴△ADC ∽△ACE ∴1022===⋅AB AC AE AD

(3)延长CD至G,使FG=DH

∵∠ABC与∠ADC是弦AC所对的异侧圆周角

∴∠ABC+∠ADC=180°

∵∠ADG+∠ADC=180°

∵∠ADH=∠ACB=∠ABC

∴∠ADG=∠ADH

又∵AD=AD

DH=DG

∴△ADH≌△ADG(SAS)

∴AG=AH

∠AGD=∠AHD=∠AHB=90°

又∵∠ABD与∠ACD是弧AD所对的圆周角

∴∠ABD=∠ACD

∴△ABH≌△ACG(AAS)

∴CH=BG

∵CG=CD+DG=CD+DH

∴BH=CD+DH