2机械控制工程基础第二章答案
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2机械控制工程基础第二章
答案
-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
习 题
什么是线性系统其最重要的特性是什么下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统 (1) x x x x x i
o
o
o
o 222=++ (2) x tx x x
i
o
o
o
222=++ (3) x x x x
i
o 222o
o
=++ (4) x tx x x x
i
o
o
o
222o
=++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。
图（题）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题
解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有
x
m x c x x c i
o
o
2
o
1)(=-- 即 x
c x c c x m i
1
2
1
o o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有
)1()()(1
x x
c k x x o
i
-=- )2()(2
x
k x x c o
o
=-
消除中间变量有 x ck x k k x k k c
i
o
1
2
1
o
2
1
)(=--
(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x
k x x k x x c o
o
i
o
i
2
1
)()(=-+-
即 x k x c x k k x
c
i
i
o
o
1
2
1
)(+=++ 求出图(题所示电系统的微分方程。
图（题）
解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有
⎰+=idt C
i R u o
12
2
i R u u o i 1
1=-
dt i i C
u u o i )(1
1
1
⎰-
=
-
消除中间变量,并化简有
u R C u C
C R R u
R C u R C u C C R R u R C i
i
i
o
o
o
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1)()1(1+++=-+++ (2)对图(b)
所示系统，设i 为电流，则有
⎰++=idt
C i R u u o
i
11
1
⎰+=i R idt C
u o
2
2
1 消除中间变量,并化简有 u C
u R u C C u R R i
i
o
o
2
2
2
1
2
1
1)11()(
+=+
++
求图(题所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩,C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。
解：设系统输入为M （即），输出θ(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
)(x R Rk C J M m -++=θθ
θ x
c x m x R k +=-)(θ 消除中间变量x ,即可得到系统动力学方程
KM M c M
m C R c k KJ c C km R cJ mC mJ m
m
m
++=++-++++ θ
θθθ）（2
2
)()()
4( 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+x 3(t)。
（1）求当工作点为x o =0,x o =1,x o =2时相应的稳态时输出值； （2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。
解: (1) 将 x o =0,x o =1,x o =2分别代入y(t)= 2x(t)+x 3(t)中,即当工作点为
x o
=0,x o
=1,x o
=2时相应的稳态输出值分别为0=y o
,5.20
=y ,
8=y o
。
(2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点)(,y x o
o
附近,将非
线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得 x
x x x y y x x o
o
o
o ∇•=+++=∇+
|)5.12(5.022
3
∴ x
x y x
x o
∇
•=+=∇|)5.12(2
若令x x
∇=
,y y ∇=有 x x y
)5.12(20+=
当工作点为0=
x o 时, x
x x y
2)5.12(20
=+= 当工作点为1=x o 时, x x x y 5.3)5.12(20=+=
当工作点为2
=
x o 时, x x x y
8)5.12(2
=+=