求函数最值常用的方法及经典例题讲解

求函数最值常用的方法及经典例题讲解

知识点：

一、函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；

（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．

那么，称M 是函数()y f x =的最大值．

思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义．

注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．

)

二、求函数最大（小）值常用的方法．

案例分析：

例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征

①()3f x x =-+ ②()3

[1,2]f x x x =-+∈-

？

③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-

，

类型一、直接观察法

对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。

例 1、求函数

1

,[1,2]

y x

x

=∈

的值域

A、单调递减，无最小值

B、单调递减，有最小值

B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值—

小试牛刀：

1、求函数

2

1

y

x

=

-

在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

2

|

类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)

例： 求函数3456x y x +=

+值域。

'

实战训练场：

1) 求函数2

13-+=x x y 的值域；

2) 函数.11的值域是x x y +-=

类型三、倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

^

()5522++=x x x f 例1

、求函数

y =

的值域。

例2、求函数

的值域。

类型四、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一

(二次函数）（02

≠++=a c bx ax y ]44(0);44[022a b ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时)。 例、求函数

225,y x x x R =-+∈的值域。 ！

实战训练场：

1、]53(2

32，求函数-∈+-=x x x y 的值域；

-

2、求562---=

x x y 函数 的值域；

类型五、根判别式法

—

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简

例1、求222231

x x y x x -+=-+的最值

例2、求函数x

x y 1+=的值域；

例3、已知函数)(1

2R x x b ax y ∈++=的值域为[],4,1-求常数b a ,

<

实战训练场：

（1）求函数1

22+--=x x x x y 的值域

(2) 求函数3

274222++-+=x x x x y 的值域

| 二、[]),(2f e x n

mx c bx ax y ∈+++=类型 解法：用代定系数法将它化为2()()()p mx n q mx n k k y p mx n q mx n mx n

++++==+++++ (),k b pt q t mx n y ax t x

=++=+=+再利用函数的图象和单调性来解。 例1、求2335(2)22

x x y x x -+=<≤-的最小值 三、2([,])mx n y x e f ax bx c

+=∈++类型 解法：用代定系数法将它化为：

211(),()()()mx n y t mx n k k p mx n q mx n k p mx n q pt q mx n t +====+++++++

++++ 再利用函数b y ax x =+

的图象和单调性来解。

例1、求22(56)36

x y x x x -=

≤≤-+的最值

{

变式训练：

1、求函数. )2

5(42542的值域≥-+-=x x x x y

2、函数4522++=

x x y 的最小值

,

类型六、换元法：“;)0(d cx t ac d cx b ax y +=≠+±+=的函数，可令形如

例1、求函数x x y -+=142的值域

,

例2、求函数y x =+

练习：

(1) 求函数. 12的值域x x y --=

—

类型七、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。