第二章 第七节 对数 人教版
2021届新高考数学一轮：第二章 第7讲 对数式与对数函数
(续表)
loga(MN)＝logaM＋logaN；
运算 性质
logaMN ＝logaM－logaN； logaMn＝nlogaM (a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0，n∈R)
换底 公式
logbN＝llooggaaNb(a，b＞0，且 a，b≠1，N＞0). logba·logab＝1(a，b＞0，且 a，b≠1). logan bm＝mn logab(a＞0，且 a≠1，b＞0)
2.对数函数的图象及性质
对数函数
y＝logax(a>1)
图象
定义域 值域
(0，＋∞) R
y＝logax(0<a<1)
__(_0_，__＋__∞_)___ _____R_______
(续表)
对数函数
y＝logax(a>1)
单调性 在(0，＋∞)上单调递增
定点
过定点(1,0)
y＝logax(0<a<1) 在(0，＋∞)上_单__调__递__减__
域和值域相同的是( D )
A.y＝x
B.y＝lg x
C.y＝2x
D.y＝
1 x
3.已知函数 f(x)＝log 1 x，x∈14， 22，则 f(x)的值域是(
)
2
A.12，2
B.－12，2
C.[0,2]
D.0，12
解析：函数 f(x)＝log 1 x，x∈14， 22是减函数， 2
∴函数的最小值为 f
22＝log 1
22＝12，函数的最大值为
2
f14＝log 1 14＝2. 2
∴函数 f(x)的值域为12，2.故选 A.
高中数学人教版必修1课件：2.2.1对数与对数运算运算性质
1.定义：一般地，如果 a x N a 0, a 1
那么数 x叫做 以a为底 N的对数，记作 loga N x
a叫做对数的底数，N叫做真数。
2.对数的基本性质:
① 零和负数没有对数. ② loga1= 0 ③ logaa = 1
3.对数恒等式：aloga N N
2.2.1对数与对数运算(2)
(2)
log M aN
loga M
loga N;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ两数商的对数，等于对数的差；
(3) loga M n n loga M (n R).
幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．
例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)
xy loga z
;
(2)
loga
x2
3
y. z
解 : 1原式 loga xy loga z
对数运算
学习目标：
1.掌握对数的运算性质。 2.能熟练运用运算性质解题。
重、难点：
对数的运算性质的理解与应用。
(自主学习P64~65,记忆对数运算性质) 对数运算性质：
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么：
(1) loga (M N ) loga M loga N;
两数积的对数，等于对数的和；
loga x loga y loga z
2原式 loga x2 y loga 3 z
1
loga x2 loga y 2 loga 3 z
2 loga
x
1 2
loga
y
1 3
log
a
z
例2 求下列各式的值：
(1)log2（47×25）； (2) lg 5 100 ；
对数的教案人教版
对数的教案人教版标题：对数的教案（人教版）教学目标：1. 理解对数的定义和基本性质。
2. 能够运用对数的性质解决实际问题。
3. 掌握对数运算法则，包括对数的乘方和换底公式。
教学重点：1. 对数的基本概念和性质。
2. 对数运算法则的掌握与应用。
教学难点：对数运算法则的灵活应用。
教学准备：1. 课件、投影仪等教学工具。
2. 白板、彩色粉笔。
3. 练习册或问题集。
教学步骤：一、导入（约5分钟）1. 介绍对数在现实生活中的应用，如测量震级、音量等。
2. 引导学生思考对数的含义，了解对数是指幂运算的逆运算，即loga(x) = b可以转化为ab = x的形式。
二、讲解对数的基本概念和性质（约15分钟）1. 定义对数：loga(x) = b表示a的b次幂等于x，其中a称为底数，x称为真数，b称为对数。
2. 解释对数的基本性质，如loga(a) = 1, loga(1) = 0等。
3. 引导学生发现对数运算的运用，如解决指数方程、计算乘方等。
三、掌握对数运算法则（约20分钟）1. 解释对数的乘方法则：loga(M*N) = loga(M) + loga(N)，引导学生发现该法则的运用场景。
2. 演示对数乘方法则的应用，解答相关例题。
3. 引导学生发现对数换底公式：loga(M) = logb(M) / logb(a)，讲解换底公式的推导过程。
4. 练习换底公式的应用，解答例题。
四、巩固和拓展（约15分钟）1. 组织学生参与小组讨论，解决一些实际问题，如声音的分贝计算、地震震级的计算等。
2. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决相关问题。
五、课堂总结（约5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，确保学生对对数的基本概念和运算法则有清晰的理解。
2. 鼓励学生在日常生活中发现更多对数的应用场景。
教学反思：本节课通过概念讲解、演示和实际问题解决等多种形式，帮助学生逐步理解对数的定义、基本性质和运算法则。
同时，通过小组讨论和课后作业的安排，激发学生的思维能力和问题解决能力。
2020年高考数学一轮复习第二章第7节对数函数
2020年高考数学一轮复习第二章第7节对数函数 题组一 对数的化简与求值1.设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，假设f (x 1x 2…x 2018)＝8，那么f (1x )＋f (2x )＋…＋f (x 22010x )＝( )A.4B.8C.16D.2log a 8解析：∵f (x 1x 2…x 2018)＝f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (2018)＝8，∴f (21x )＋f (22x )＋…＋f (22010x )＝2[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2018)]＝2×8＝16.答案：C2.log 23＝a ，log 37＝b ，那么用a ，b 表示log 1456为 .解析：∵log 23＝a ，log 37＝b ，∴log 27＝ab ，∴log 1456＝log 256log 214＝3＋log 271＋log 27＝3.1ab ab ++ 答案：31ab ab ++题组二 对数函数的图象 3.(2018·广东高考)假设函数y ＝f (x )是函数y ＝a (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象通过点(a ，a )，那么f (x )＝ ( )A.log 2xB.12xC.log 12x D.x 2 解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12， ∴f (x )＝log 12x .答案：C4.假设函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如下图，其中a ，b 为常数，那么函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：由题意得0＜a ＜1,0＜b ＜1，那么函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是D.答案：D5.函数f (x )＝288(1),65(1),x x x x x -⎧⎨-+>⎩≤ g (x )＝ln x ，那么f (x )与g (x )两函数的图象的交点个数为 ( )A.1B.2C.3D.4解析：画出f (x )＝288(1),65(1),x x x x x -⎧⎨-+>⎩≤g (x )＝ln x 的图象如图，两函数的图象的交点个数为3，应选C.答案：C题组三对数函数的性质 6.(2018·天津高考)设a ＝13log 2，b ＝12log 3，c ＝(12)0.3，那么 ( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜c ＜a D.b ＜a ＜c解析：∵13log 2＜13log 1＝0，∴a ＜0；∵121log 3＞121log 2＝1，∴b ＞1； ∵(12)0.3＜1，∴0＜c ＜1，应选B. 答案：B7.(2018·诸城模拟)假设定义运算f (a *b )＝ 那么函数f [log 2(1＋x )*log 2(1－x )]的值域是( )A.(－1,1)B.[0,1)C.(－∞，0]D.[0，＋∞)解析：f (log 2(1＋x )*log 2(1－x )) ＝22log 1log 0x x x x ⎧⎨⎩<<<(1+),(0≤),(1-),(-1). 借助函数图象易知，该函数的值域为[0,1).,,,a a b b a ⎧⎨⎩<≥b答案：B8.(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，那么a 的值为( )A.14B.12C. 2D. 4 解析：故y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)单调性相同且在[0,1]上的最值分不在两端点处取得.最值之和：f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＋1＝0，∴a ＝12. 答案：B(理)函数f (x )＝a x ＋log a x 在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－14，最大值与最小值之积为－38，那么a 等于 ( )A.2B.12C.2或12D.23解析：a x 与log a x 具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f (1)＋f (2)＝－14，f (1)·f (2)＝－38，解得a ＝12. 答案：B9.f (x )＝log a (ax 2－x )(a ＞0，且a ≠1)在区间[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范畴.解：设t ＝ax 2－x ＝a (x －12a )2－14a， 假设f (x )＝log a t 在[2,4]上是增函数，0<<1,>1,114,4,22164>042>0,0<<1,>1,11,,>1.8411>,>,24a a a aa a a a a a a a a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪--⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩需≥或≤即≤或≥ 因此实数a 的取值范畴为(1，＋∞).10.(2018·辽宁高考)函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1).那么f (2＋log 23)＝ ( )A.124B.112C.18D.38解析：∵2＜3＜4＝22，∴1＜log 23＜2.∴3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224) ＝242log 12()＝242log 2 ＝1242log 2＝124. 答案：A11.假设函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )＞0，那么f (x )的单调递增区间是 .解析：定义域为(0，＋∞)∪(－∞，－12)，当x ∈(0，12)时，2x 2＋x ∈(0,1)，因为a ＞ 0，a ≠1，设u ＝2x 2＋x ＞0，y ＝log a u 在(0,1)上大于0恒成立，∴0＜a ＜1，因此函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0，a ≠1)的单调递增区间是u ＝2x 2＋x (x ∈(－∞，－12)∪(0，＋∞))的递减区间，即(－∞，－12). 答案：(－∞，－12) 12.(文)假设f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1).(1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)假设f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范畴.解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2.∴f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝221(log -)2x 2＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意知22222log log 2>2,log 2<2.x x x x ⎧-+⎪⎨+⎪⎩()(-) 222log <0log >1,0<2<4.0<<1>2,1<<2.0<<1.x x x x x x x x ⎧⎪∴⎨-+⎪⎩⎧∴⎨-∴⎩或或 (理)f (x )＝log a x ，g (x )＝2log a (2x ＋t －2)(a >0，a ≠1，t ∈R).(1)当t ＝4，x ∈[1,2]，且F (x )＝g (x )－f (x )有最小值2时，求a 的值；(2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，有f (x )≥g (x )恒成立，求实数t 的取值范畴. 解：(1)当t ＝4时，F (x )＝g (x )－f (x )＝log a (2x ＋2)2x，x ∈[1,2]， 令h (x )＝(2x ＋2)2x ＝4(x ＋1x＋2)，x ∈[1,2]，那么 h ′(x )＝4(1－1x 2)＝4(x －1)(x ＋1)x 2>0， ∴h (x )在[1,2]上是单调增函数，∴h (x )min ＝16，h (x )max ＝18.当0<a <1时，有F (x )min ＝log a 18，令log a 18＝2求得a ＝32>1(舍去)；当a >1时，有F (x )min ＝log a 16，令log a 16＝2求得a ＝4>1.∴a ＝4.(2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，有f (x )≥g (x )恒成立，即当0<a <1，x ∈[1,2]时，log a x ≥2log a (2x ＋t －2)恒成立，由log a x ≥2log a (2x ＋t －2)可得log a x ≥log a (2x ＋t －2)， ∴x ≤2x ＋t －2，∴t ≥－2x ＋x ＋2.设u (x )＝－2x ＋x ＋2＝－2(x )2＋x ＋2＝－2(x －14)2＋178， ∵x ∈[1,2]，∴x ∈[1，2].∴u(x)max＝u(1)＝1.∴实数t的取值范畴为t≥1.。
人教版高中数学必修1：2.2.1《对数》课件【精品课件】
20
例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5
31log3 2
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log 3 2
.
21
例3 计算：
2 log 5 2 log 5 3 1 1 log 5 10 log 5 0.36 log 5 8 2 3
对数与对数运算
第二课时
对数的运算
13
问题提出
1.对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？
2.指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？
14
15
知识探究（一）：积与商的对数
思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之 间有哪些内在联系？ 思考2:将log232＝log24十log28推广到一 般情形有什么结论？
48
思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的 位置关系？由此说明对数函数 y log a x x 的图象与指数函数 y a 的图象有怎样 的位置关系？ y Q P o x
49
思考4:一般地，对数函数的图象可分为 几类？其大致形状如何？ y 0 <a <1 y a >1
1 0 1 x 1 0 1
(5) lg0.01=－２;
化为指数式：
3
(6) ln10＝2.303.
10
2
例2.求下列各式中ｘ的值：
2 (1)log64x＝ ; (2) logx8＝6 ; 3
(3)lg100=x;
(4)－lne2＝ｘ .
2021年高考数学 第二章 第7课时 对数与对数函数知能演练轻松闯关 新人教A版
2021年高考数学 第二章 第7课时 对数与对数函数知能演练轻松闯关新人教A 版1．若log a (2a )＝2，则log a (2＋a )＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．由log a (2a )＝2得a 2＝2a ，因为a ＞0，a ≠1，所以a ＝2，所以log a (2＋a )＝log 24＝2.2．函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )解析：选D ．因为y ＝lg 1|x |是单调递减的偶函数，关于y 轴对称，则y ＝lg 1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的． 3．(xx·宁夏银川质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0log 12（－x ），x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)解析：选C ．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0log 12（－a ）＞log 2（－a ），解得a ＞1或－1＜a ＜0.4．(xx·高考课标全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c解析：选D ．a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32，b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52，c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72，∵log 32>log 52>log 72，∴a >b >C ．5．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，12)C ．(12，1) D ．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：选C ．由题意得a ＞0，故必有a 2＋1＞2a ，又log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，所以0＜a ＜1，同时2a ＞1，∴a ＞12，综上，a ∈(12，1)． 6．(xx·高考安徽卷)函数y ＝ln(1＋1x)＋1－x 2的定义域为________． 解析：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >01－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0，1]．答案：(0，1]7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝________． 解析：由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 答案：328．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析：令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)9．计算：(1)(lg 14－lg 25)÷100－12； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－2lg 2＋1.解：(1)(lg 14－lg 25)÷100－12＝－2×lg 2＋lg 5100－12 ＝－2×lg 10÷110＝－20. (2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2）2－2lg 2＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.10．(xx·吉林长春模拟)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞03－x ＞0，得x ∈(－1，3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. [能力提升]1．(xx·高考天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0，2] 解析：选C ．∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2. 2．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )A ．(－∞，1]B ．[－1，43] C ．[0，32) D ．[1，2) 解析：选D ．法一：当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1，2)上单调递增．法二：f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1，2)上为增函数．3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________． 解析：由2a ＝5b＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m＝2， ∴1lg m＝2，即m ＝10. 答案：104．(xx·河南郑州模拟)已知函数y ＝F (x )的图象与函数y ＝2－x －1的图象关于直线y ＝x 对称，则F (3)＝________．解析：由题意y ＝F (x )的图象与函数y ＝2－x －1的图象关于直线y ＝x 对称，令F (3)＝a ，则点(a ，3)必在函数y ＝2－x －1的图象上，所以2－a －1＝3，解得a ＝－2，即F (3)＝－2.答案：－25．已知函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x .(1)判断函数的奇偶性；(2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 的定义域为R.又f (－x )＝log 12(a 2－3a ＋3)－x＝－log 12(a 2－3a ＋3)x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，知a 2－3a ＋3＞1，解得a ＜1或a ＞2.所以a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．6．(选做题)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞03a －1a＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.,[;32408 7E98 纘19991 4E17 丗39190 9916 餖L37235 9173 酳h36342 8DF6 跶38744 9758 靘36511 8E9F 躟37320 91C8 釈27943 6D27 洧。
高中数学第二章对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学案(含解析)新人教版
§2.2对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).知识点1 对数1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2.常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样.( )(3)对数的运算实质是求幂指数.( )提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确.知识点2 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1). (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1). 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1. 答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2，3)∪(3，4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3.解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3；(2)因为ln a ＝b ，所以e b＝a ；(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ； (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值.①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值. ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2. 答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23＝43×(－23)＝4－2＝116； ②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816＝23×16＝2；③由lg 100＝x ，得10x＝100＝102，即x ＝2； ④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x＝e 2， 所以－x ＝2，即x ＝－2.规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想.在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解. (2)基本方法.①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值. (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log 75；(2)100⎝⎛⎭⎪⎪⎫12lg 9－lg 2； (3)alog ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0).解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1102lg 2 ＝9×110lg 4＝94.(3)原式＝(alog ab )log bc＝blog bc＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.【训练3】 (1)设3log 3(2x ＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x ＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确. 答案 B2.使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A.a >12且a ≠1B.0<a <12C.a >0且a ≠1D.a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3.方程lg(2x －3)＝1的解为________.解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324.计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________.解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. (1)2－3＝18；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3；(4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫17a＝b 得log 17b ＝a ；(3)由lg 11 000＝－3可得10－3＝11 000；(4)ln 10＝x 可得e x＝10.课堂小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2)a log a N ＝N .2.在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化基础过关1.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①②D.③④解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e，故④错误. 答案 C2.log a b ＝1成立的条件是( ) A.a ＝b B.a ＝b 且b >0 C.a >0，a ≠1D.a >0，a ＝b ≠1解析 由log a b ＝1得a >0，且a ＝b ≠1. 答案 D3.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b 的值为( )A.107B.710C.1049D.4910解析 3a －b＝3a÷3b＝3log 310÷3log 37＝10÷7＝107.答案 A4.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2， 解得x ＝0或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 故x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3. 答案 －35.若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)＝________.解析 由log 3(a ＋1)＝1得a ＋1＝3，即a ＝2，所以log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 21＝1＋0＝1. 答案 16.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－4＝81；(4)27＝128.7.求下列各式中的x 的值. (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 2719，得27x＝19，即33x＝3－2， ∴x ＝－23.能力提升8.对于a >0且a ≠1，下列说法正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；(2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；(3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；(4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A.(1)(2)B.(2)(3)(4)C.(2)D.(2)(3)解析 (1)中若M ，N 小于或等于0时，log a M ＝log a N 不成立；(2)正确；(3)中M 与N 也可能互为相反数且不等于0；(4)中当M ＝N ＝0时不正确. 答案 C9.已知log 3(log 5a )＝log 4(log 5b )＝0，则a b的值为( ) A.1 B.－1 C.5D.15解析 由log 3(log 5a )＝0得log 5a ＝1，即a ＝5，同理b ＝5，故a b＝1. 答案 A 10.方程3log 2x ＝127的解是________. 解析 3log 2x ＝3－3，∴log 2x ＝－3，x ＝2－3＝18.答案 1811.若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b＝________.解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，则a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，即4a ＝2k，27b ＝3k ，所以108ab ＝6k，∴108ab ＝a ＋b ，∴108＝1a ＋1b.答案 10812.(1)若f (10x)＝x ，求f (3)的值； (2)计算23＋log 23＋35－log 39.解 (1)令t ＝10x，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3. (2)23＋log 23＋35－log 39＝23·2log 23＋353log 39 ＝23×3＋359＝24＋27＝51.13.(选做题)若log 2(log 12(log 2x ))＝log 3(log 13(log 3y ))＝log 5(log 15(log 5z ))＝0，试确定x ，y ，z 的大小关系.解 由log 2(log 12(log 2x ))＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝212＝(215)130.由log 3(log 13(log 3y ))＝0，得log 13(log 3y )＝1，log 3y ＝13，y ＝313＝(310)130.由log 5(log 15(log 5z ))＝0，得log 15(log 5z )＝1，log 5z ＝15，z ＝515＝(56)130.∵310>215>56，∴y >x >z .。
人教版高一对数函数知识点
人教版高一对数函数知识点对数函数是高等数学中的重要概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍人教版高一对数函数的一些重要知识点。
一、定义和性质对数函数是指以一个正实数作为底数，另一个正实数作为真数的幂等于某个给定的正实数。
对数函数的定义可以表示为y=logₐx，其中a为底数，x为真数，y为对数。
对数函数的性质包括：1. 对数函数定义域：对数函数对于底数a来说，定义域为正实数集合。
2. 对数函数值域：对数函数的值域为实数集合。
3. 对数函数的图像特点：对数函数的图像呈现出一条曲线，其特点是，在定义域的左半部分和右半部分都为无穷大时，函数值趋于负无穷；在定义域的中间部分，函数值逐渐增加，但增长趋势逐渐变缓。
二、对数函数的表示方法1. 指数幂函数与对数函数的关系：对数函数和指数幂函数是互为反函数关系。
即logₐx=y等价于a^y=x。
这里的a为底数，x为真数，y为对数。
2. 常见的对数函数表示方法：常见的对数函数有自然对数函数（底数为e）和常用对数函数（底数为10）。
自然对数函数表示为y=lnx，其中ln表示以e为底的对数。
常用对数函数表示为y=log₍₁₀₎x，其中log表示以10为底的对数。
三、对数函数的基本性质1. 对数函数的单调性：自然对数函数和常用对数函数都是单调递增函数，即随着变量的增大，函数值也递增。
2. 对数函数的性质之一：对数函数满足性质logₐM+N=logₐM+logₐN。
即对数函数中的加法可以转化为对数函数的乘法。
3. 对数函数的性质之二：对数函数满足性质logₐM-N=logₐM-logₐN。
即对数函数中的减法可以转化为对数函数的除法。
四、对数函数的应用对数函数在实际生活和数学中都有广泛应用，下面简要介绍几个常见的应用。
1. 对数函数在生物学中的应用：对数函数可以描述生物种群的增长规律，如人口增长、微生物繁殖等。
2. 对数函数在经济学中的应用：对数函数可以用来描述经济增长的规律，如GDP增长、财富分布等。
人教版高中数学必修1 第二章对数与对数运算 同步教案
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) ；
2
2
在给定区间内，若函数 f (x) 的图象向下凹进，则函数 f (x) 在该区间上为凹函数，结合图象易得到
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
2
2
巩固训练
1、计算： log1 32 ?
2
； lg0.001=
2、 求下列各式的值.
6
【例 1】下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1） 53 125 ；（2） 27 1 ；（3） 3a 27 ； 128 （4） 102 0.01 ； （5） log1 32 5 ；
2
（6）lg0.001= 3 ； （7）ln100=4.606.
【例 2】求下列各式中 x 的值：
（1）
（1） log5 25
；
（2）
log
2
1 16
；
（3） lg 10000.
3
3. 设 lg 2 a , lg 3 b ，试用 a 、 b 表示 log5 12 . 4. 已知 lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求 lg6、lg12. lg 3 的值.
5. 计算：（1） lg14 2lg 7 lg 7 lg18 ；（2） lg 243 .
（2）
log2
1 2
log 1
2
2
.
8. 计算： lg 3 1 lg 5 523
； .
9. 计算： log (3 2 2)
.
2 1
10.
若 logx (
2 1) 1，则 x=________，若 log 8 y ，则 y=___________. 2
【能力提升】