2021届高考数学(理)一轮复习学案：第2章函数第7节对数与对数函数

第七节 对数与对数函数[最新考纲] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．必备知识填充1．对数的概念如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质： ①alog aN＝N ；②log a a b＝b (a ＞0，且a ≠1)．(2)换底公式：log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的定义、图像与性质 定义函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数图像a ＞10＜a ＜1定义 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)当0＜x ＜1时，y ＜0； 当x ＞1时，y ＞0 当0＜x ＜1时，y ＞0； 当x ＞1时，y ＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．[常用结论]1．换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n m log a b .其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ，n ∈R ，m ≠0. 2．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．自我检测一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (2)log 2x 2＝2log 2x .( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．(log 29)·(log 34)＝( ) A ．14 B ．12 C ．2D ．4D [(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.故选D.]2．已知a ＝2，b ＝log 213，c ＝log 13，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [因为0＜a ＜1，b ＜0，c ＝log 13＝log 2 3＞1.所以c ＞a ＞b .故选D.] 3．函数y ＝log2x －1的定义域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 [由log (2x －1)≥0， 得0＜2x －1≤1. ∴12＜x ≤1. ∴函数y ＝log2x －1的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.] 4．函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图像恒过点________． (3,1) [当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图像恒过点(3,1)．]课堂考点探究考点1 对数式的化简与求值对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1.设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A ．10B ．10C ．20D ．100A [由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.]2．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100＝________.－20 [原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.]3．计算：1－log 632＋log 62·log 618log 64＝________.1 [原式＝1－2log 63＋log 632＋log 663·log 66×3log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 632log 64＝21－log 632log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.]4．已知log 23＝a,3b＝7，则log 221的值为________．2＋a ＋ab 2a ＋ab [由题意3b＝7，所以log 3 7＝b .所以log221＝log84＝log 284log 263＝log 222×3×7log 232×7＝2＋log 23＋log 23·log 372log 23＋log 23·log 37＝2＋a ＋ab2a ＋ab.]对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．考点2 对数函数的图像及应用对数函数图像的识别及应用方法(1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a ＞0，且a ≠1)的图像可能是( )A B C D(2)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.(1，2) D.(2，2)(1)D (2)B [(1)对于函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当y ＝0时，有x ＋12＝1，得x ＝12，即y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图像恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除选项A 、C ；函数y ＝1a x 与y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12在各自定义域上单调性相反，排除选项B ，故选D.(2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22， 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.] [母题探究]1．(变条件)若本例(2)变为：若不等式x 2－log a x ＜0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．[解] 由x 2－log a x ＜0得x 2＜log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2＜log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图像在f 2(x )＝log a x 图像的下方即可．当a ＞1时，显然不成立；当0＜a ＜1时，如图所示．要使x 2＜log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a ＜1. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. 2．(变条件)若本例(2)变为：当0＜x ≤14时，x ＜log a x ，求实数a 的取值范围．[解] 若x ＜log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14成立，则0＜a ＜1，且y ＝x 的图像在y ＝log a x 图像的下方，如图所示，由图像知14＜log a 14，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 12＞14，解得116＜a ＜1. 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．(2019·合肥模拟)函数y ＝ln(2－|x |)的大致图像为( )A BC DA [令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C ，D. 当x ＝32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 12＜0，排除选项B ，故选A.]2．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0＜a ＜1,0＜c ＜1.] 3．设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1D [作出y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的大致图像，如图． 显然x 1＜0，x 2＜0.不妨令x 1＜x 2，则x 1＜－1＜x 2＜0， 所以10x 1＝lg(－x 1)，10x2＝－lg(－x 2)， 此时10x 1＜10x2，即lg(－x 1)＜－lg(－x 2)， 由此得lg(x 1x 2)＜0，所以0＜x 1x 2＜1，故选D.] 考点3 对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．比较大小(1)(2019·天津高考)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 13，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b(1)A (2)D [(1)因为a ＝log 52＜log 55＝12，b ＝log 0.50.2＞log 0.50.5＝1，c ＝0.50.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞12，0.50.2＜1，所以a ＜c ＜b ，故选A.(2)因为a ＝log 2e ＞1，b ＝ln 2∈(0,1)，c ＝log 13＝log 23＞log 2e ＞1，所以c ＞a ＞b ，故选D.]对数值大小比较的主要方法(1)化同底数后利用函数的单调性． (2)化同真数后利用图像比较．(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．解简单对数不等式(1)若log a 34＜1(a ＞0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．(2)若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则a 的取值范围是________．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [(1)当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34； 当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)． (2)由题意得a ＞0且a ≠1，故必有a 2＋1＞2a ， 又log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，所以0＜a ＜1， 同时2a ＞1，所以a ＞12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.] 对于形如log a f (x )＞b 的不等式，一般转化为log a f (x )＞log a a b，再根据底数的范围转化为f (x )＞a b 或0＜f (x )＜a b .而对于形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)因为a ＞0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax ＞0恒成立． 所以3－2a ＞0.所以a ＜32.又a ＞0且a ≠1，所以a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，因为a ＞0， 所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1,2]上为减函数， 所以y ＝log a t 为增函数，所以a ＞1，当x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a 3－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．1.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]D [令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，因为f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，所以函数g (x )在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，所以12a ≤2且g (2)＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4.故选D.]2．函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.2或12 [分两种情况讨论：①当a ＞1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0＜a＜1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log －x ，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(－1,0)∪(1，＋∞) [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log －a ＞log 2－a ，解得a ＞1或－1＜a ＜0.]。