《对数函数的应用》导学案.doc
对数函数导学案.doc
2.2.1对数与对数运算（一）一【学习目标】 （一） 教学知识点1.对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1.理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． 二、教学重点：对数的定义． 三、教学难点：对数概念的理解． 四【新课讲授】(导学)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？列出表达式： （自学）知识点1 ： 对数的概念1.对数定义：一般地，如果 ，)1,0(≠>a a 且则数 b 叫做以a 为底 N 的对数， 记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. （b N N a a b =⇔=log ）（1）底数的取值范围 ；真数的取值范围（2）对数式和指数式关系式 子名称 a b N指数式 对数式思考1．将下列指数式写成对数式： （1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（知识点2 两种重要对数1.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数N 10log 简记作 ． 思考2：5log 10简记作； 5.3log 10简记作2.自然对数：用以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数， N e log 简记作思考3：3log e 简记作 10log e 简记作 思考4． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．知识点三 : 重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ， 1log =a a ⑶对数恒等式N aNa =log五【典例欣赏】（互学） 1对数概念应用例1.求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.2对数基本运算例2求下列各式中的x 的值：（1）32log 64-=x ；（2）68log =x ；（3）x =100lg ；（4）x e =-2ln 。
对数导学案
3.2 对数函数 第一课时 对数一、学习目标1、熟练地进行指数式与对数式的互化；2、了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法； 二、课前预习1、一般地，如果(0,1)a a a >≠的b 次幂等于N ，即 那么就称b 是以a 为底的对数（logarithm ）,记作 ，其中，a 叫做对数的底数（base of logarithm ）,N 叫做真数（proper number ）。
2、对数的性质：① 零和负数没有对数 ② log 10a = ③ log 1a a = 3、两种特殊的对数①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N ;②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 2.718 28…… ， log e N 简记为ln N4、对数恒等式（1）log ba a = （2）log a Na=三、典型例题例1 将下列指数式改写成对数式：（1）4216= （2）31327-=（3）520a=（4）10.452b⎛⎫= ⎪⎝⎭例2 将下列对数式改写成指数式（1）5log 1253= （2）13log32=-（3）lg 0.012=- （4）ln10 2.303= 例3 求下列各式的值 （1）2log 64 （2）21log 16（3）lg10000 （4）31log 273（5）(23)log (23)+-例4 求未知数x 的值 （1）33log 4x =-（2）()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=四、检测反馈1、完成下列指数式与对数式的互化： （1）26416=-⇔ ， （2）73.5)31(=m ⇔ ， （3）0.5log 164=-⇔ ， （4）7128log 2=⇔ ， （5）201.0lg -=⇔ ， （6）303.210ln =⇔ ． 2、求下列对数的值（1）1162log = ，（2）01.0lg = ，（3）ln e = ， （4） 2.5log 6.25= ，（5）(21)log (322)-+=3、对数式的值为 12log 21+- （ ）（A ） 1 （B ）-1 （C ） （D ）-4、若log 7[ log 3( log 2x)] = 0，则x 21-为( )．(A)．321 (B)．331 (C)．21 (D)．425、计算 （1）3(2log 2)3+= （2）52log 35=6、计算284log log 5a b +=，且284log log 7b a +=，则ab =7、已知0a >且1a ≠，log 2a m =，log 3a n =，求2m na +的值。
【高教版】中职数学基础模块上册4.7《指数函数、对数函数的应用》教案
“15/20/10”集体备课导学案
课题：指数函数、对数函数实际应用第课时总第个导学案
任课教师：授课时间：年月日
教学
三维
目标
知识目标：指数型函数、对数型函数的实际应用；
能力目标：掌握由指数型函数求幂的问题转化为求对数值的问题的方法；
情感目标：培养良好的思维习惯，树立数学应用于实际的理念。
解：设在他工作后的第x年，他当年的存款额为
Y=1000(1+20%)x
由1000(1+20%)x=4000，
得1.2x=4
两边取常用对数，得x㏒1.2=lg4
利用计算器求得x= ≈7.6
所以，从他工作后的第八年开始，他当年的存款数额超过4000元
例2通常候鸟每年秋天从北方飞往南方过冬。若某种候鸟的飞行速度y（m/s）可以表示为函数y=5log,其中x为这种候鸟在飞行过程中耗氧量的单位数。
(1）该种候鸟的耗氧量是40个单位时，它的飞行速度是多少？
（2）该种候鸟的飞行速度为15 m/s时，它的耗氧量是多少个单位？
解：（1）由题意，y=5㏒2 =5㏒24=10
因此，候鸟此时飞行速度为10m/s。
(2)由题意，15=5㏒2
所以3=㏒2 ， =23
X=80
因此，候鸟此时耗氧量是80个单位。
1.认真读题，找出函数解析式模型
教学重点
从实际背景中抽象出函数模型的方法
教学难点
从实际背景中抽象出函数模型
教具学具
教学
环节
教学活动过程
思考与调整
活动内容
学生活动
教师活动
温故知新
自主体验
活动一：指数函数、对数函数的实际应用
对数函数习题课导学案
对数函数习题课导学案姓名：________班级____________【学习目标】1、掌握对数函数的图象和性质，能利用图象和性质解决对数函数的问题；2、自主学习、合作交流， 探究解决对数函数的几种常见题型，并总结出规律与方法；3、激情投入，全力以赴，体会数形结合的魅力。
探究一：简单对数不等式的解法例1解不等式()09log 9log 25.025.0≤++x x练习：1.._________,1log 32的取值范围是则实数a a < []()的最值时，求函数当4222log log 8,22.2x x x f x ∙=∈。
探究二：一元二次型不等式恒成立问题例2.函数的取值范围。
，求实数的定义域为a R ax ax y )1lg(2++=探究三：对数函数图像的应用数形结合就是对题目的题设和结论既分析其代数意义，又分析其几何意义，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想方法。
例3.(1)方程解的个数是（）x x 3log )4(2=+ (2).2100log 2的取值范围上恒成立，求实数，在若不等式a x x a ⎥⎦⎤ ⎝⎛≤-练习：.1,,,log log 55的大小关系与试确定实数已知n m m n >探究四：研究对数型复合函数的值域与单调区间先认识出函数为复合型函数，再引进中间变量，分解出内层函数与外层函数，然后找到内层函数的单调区间及外层函数的单调性，最后通过复合函数单调性的结论，从而找到复合函数的单调区间。
例4.求函数()2235.0log x x y -+=的值域与单调区间练习：求函数())10(log 223≠>=-+a a y x x a 且的值域与递减区间 作业：P74—75习题2.2。
《对数函数图像及其性质》导学案
《对数函数图像及其性质》导学案对数函数图像及其性质导学案1. 引言本导学案旨在介绍对数函数的图像及其性质。
对数函数是数学中一种重要的函数类型，具有广泛的应用领域。
通过研究对数函数的图像和性质，我们可以更好地理解和应用对数函数。
2. 对数函数的定义对数函数是指以某个正数为底的对数函数，一般表示为 $y = \log_{a}x$，其中 $a>0$ 且 $a \neq 1$。
对数函数的定义域为正实数集合 $x>0$，值域为实数集合。
3. 对数函数的图像对数函数的图像在直角坐标系中呈现一条曲线，具体的图像形状和走势与底数 $a$ 的大小有关。
下面以底数 $a=2$ 和底数$a=\frac{1}{2}$ 为例进行说明。
3.1 底数为2的对数函数图像当底数 $a=2$ 时，对数函数 $y = \log_{2}x$ 的图像如下所示：.png)3.2 底数为1/2的对数函数图像当底数 $a=\frac{1}{2}$ 时，对数函数 $y =\log_{\frac{1}{2}}x$ 的图像如下所示：.png)4. 对数函数的性质对数函数具有以下几个重要的性质：- 对于任意正实数 $x_1$ 和 $x_2$，以及任意实数 $k$，都有$\log_{a}(x_1 \cdot x_2) = \log_{a}x_1 + \log_{a}x_2$ 和$\log_{a}(x_1^k) = k \cdot \log_{a}x_1$。
- 对于任意正实数 $x$ 和 $a > 1$，有 $\lim_{x \to +\infty}\log_{a}x = +\infty$。
换言之，当自变量 $x$ 趋向正无穷时，对数函数的取值趋向正无穷。
- 对于任意正实数 $x$，有 $\lim_{x \to 0^{+}} \log_{a}x = -\infty$。
《对数的运算》教案、导学案与同步练习
《第四章 指数函数与对数函数》 《4.3.2对数的运算》教案【教材分析】学生已经学习了指数运算性质，有了这些知识作储备，教科书通过利用指数运算性质，推导对数的运算性质，再学习利用对数的运算性质化简求值。
【教学目标与核心素养】 课程目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算. 数学学科素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题. 【教学重难点】重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用； 难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】 一、情景导入回顾指数性质：(1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s ＝(a ＞0，r ，s ∈Q)．(3)(ab )r ＝(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．那么对数有哪些性质？如要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本124-125页，思考并完成以下问题 1.对数具有哪三条运算性质？ 2. 换底公式是如何表述的？rs a r r a b log ()?a MN要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．对数的运算性质若a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a MN＝log a M －log a N ， (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)．[点睛] 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．2．换底公式若c >0且c ≠1，则log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0)． 四、典例分析、举一反三 题型一对数运算性质的应用 例1计算下列各式的值: (1)log 2√796+log 224-12log 284; (2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2. 【答案】(1)-12(2)3【解析】(1)(方法一)原式=log 2√7×24√96×√84=log 2√2=-12. (方法二)原式=12log 2796+log 2(23×3)-12log 2(22×3×7)=12log 27-12log 2(25×3)+3+log 23-1-12log 23-12log 27 =-12×5-12log 23+2+12log 23=-52+2=-12. (2)原式=2lg5+2lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2 =2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2) =2+lg5+lg2=2+1=3.解题技巧：（对数运算性质的应用）1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是: (1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg2+lg5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.跟踪训练一 1.计算下列各式的值 (1)log 3√27+lg25+lg4+7log 712+(-9.8)0.(2)2log 32-log 3329+log 38-52log 53. 【答案】(1)5(2)-7【解析】(1)log 3√27+lg25+lg4+7log 712+(-9.8)0=log 3332+lg52+lg22+12+1 =32+2lg5+2lg2+32=3+2(lg5+lg2)题型二换底公式的应用 例2计算下列各式的值:(1); (2)lg2lg3.【答案】(1)(2)【解析】(1)原式=lg9lg8·lg32lg27=2lg33lg2·5lg23lg3=109.(2)原式=(lg3lg4+lg3lg8)lg2lg3=(lg32lg2+lg33lg2)·lg2lg3 =lg32lg2·lg2lg3+lg33lg2·lg2lg3=12+13=56.解题技巧：（换底公式的应用）827log 9log 3248(log 3log 3) 109561.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:跟踪训练二 1.化简:(1)log 23·log 36·log 68; (2)(log 23+log 43)(log 32+log 274). 【答案】(1)3(2)【解析】(1)原式=log 23·log 26log 23·log 28log 26=log 28=3.(2)原式=(log 23+12log 23)×(log 32+23log 32)=(32log 23)×(53log 32)=52log 23×log 32 =52log 23×1log23=52. 题型三对数的综合应用例3(1)若3x =4y =36,求2x +1y 的值; (2)已知3x =4y =6z ,求证:1x +12y =1z.【答案】(1)1(2)【解析】(1)∵3x=4y=36,∴x=log 336,y=log 436,∴2x =2log 336=2log 3636log 363=2log 363=log 369,1y=1log 436=1log 3636log 364=log 364.5212∴2x +1y=log369+log364=log3636=1.(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.所以1x =1log3m=logm3,1y=1log4m=logm4,1z=1log6m=logm6.故1x +12y=logm3+12log m4=log m3+log m412=log m3+log m2=logm (3×2)=log m6=1z.解题技巧：（对数的综合应用）对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.跟踪训练三1.已知3a=7b=M,且2a +1b=2,求M的值?【答案】3√7【解析】因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,所以2a +1b=2log3M+1log7M=2logM3+log M7=log M9+log M7=log M63=2,所以M2=63,因为M>0,所以M=√63=3√7.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本126页习题4.3【教学反思】本节通过运用对数性质公式解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.《4.3.2 对数的运算》导学案【学习目标】知识目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.核心素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题. 【重点与难点】重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．【学习过程】一、预习导入阅读课本111-113页，填写。
高中数学新教材人教版必修一 精品 导学案 4-4 对数函数(第1课时 对数函数的概念、图象及性质)
第1课时对数函数的概念、图象及性质学习目标知识梳理1．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象及性质(0，＋∞)3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)和对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．名师导学知识点1 对数函数的概念【例】(1)已知对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)·log m x，则m＝________．(2)已知对数函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12. ①求f (x )的解析式； ②解方程f (x )＝2.【解】 (1)由对数函数的定义可得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，也就是(m －1)(m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2. 又因为m >0，且m ≠1，所以m ＝2.(2)①由题意设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，由函数图象过点⎝⎛⎭⎫4，12可得f (4)＝12， 即log a 4＝12，所以4＝a 12，解得a ＝16， 故f (x )＝log 16x .②方程f (x )＝2，即log 16x ＝2， 所以x ＝162＝256.反思感悟判断一个函数是对数函数的方法变式训练1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________． 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4.答案：42．点A (8，－3)和B (n ，2)在同一个对数函数图象上，则n ＝________． 解析：设对数函数为f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． 则由题意可得f (8)＝－3，即log a 8＝－3， 所以a －3＝8，即a ＝8－13＝12.所以f (x )＝log 12x ，故由B (n ，2)在函数图象上可得f (n )＝log 12n ＝2，所以n ＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 答案：14知识点2 与对数函数有关的定义域问题 【例】求下列函数的定义域． (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x )； (3)y ＝log 1－x 5.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3＋x >0，得－3<x <3，∴函数的定义域是(－3,3)． (2)由16－4x >0，得4x <16＝42， 由指数函数的单调性得x <2，∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为(－∞，2)．(3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，得x <1且x ≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．反思感悟求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变． 变式训练求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x 21－x ；(2)y ＝log x －2(5－x )．解：(1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <1，所以－1<x <1.所以该函数的定义域为(－1，1)．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，x －2>0，x －2≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3，所以2<x <5，且x ≠3.所以该函数的定义域为(2，3)∪(3，5)．知识点3 对数型函数的图象【例1】已知a ＞0，且a ≠1，则函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )【解析】 当a ＞1时，函数y ＝log a x 为增函数，且直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点的纵坐标大于1；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 为减函数，且直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C 符合，故选C.【答案】 C【例2】画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调性： (1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|lo |21x g .【解】 (1)函数y ＝log 3(x －2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|lo |21x g ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0<x ≤1，log 2x ，x >1，其图象如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．【例3】如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1【解析】 作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1.【答案】 B反思感悟有关对数型函数图象问题的应用技巧(1)求函数y ＝m ＋log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点时，只需令f (x )＝1求出x ，即得定点为(x ，m )．(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y ＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 变式训练1．在同一坐标系中，函数y ＝2－x 与y ＝log 2x 的图象是( )解析：选A.函数y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x过定点(0，1)，单调递减，函数y ＝log 2x 过定点(1，0)，单调递增，故选A.2．已知函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象如图所示．(1)求实数a 与b 的值；(2)函数y ＝log a (x ＋b )与y ＝log a x 的图象有何关系？解：(1)由图象可知，函数的图象过点(－3，0)与点(0，2)，所以可得0＝log a (－3＋b )与2＝log a b ，解得a ＝2，b ＝4.(2)函数y ＝log a (x ＋4)的图象可以由y ＝log a x 的图象向左平移4个单位得到．当堂测评1．已知函数f (x )＝log a (x －1)＋4(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点Q ，则Q 点坐标是( ) A ．(0，5) B ．(1，4) C ．(2，4) D ．(2，5)解析：选C.令x －1＝1，即x ＝2.则f (x )＝4.即函数图象恒过定点Q (2，4)．故选C. 2．函数y ＝log 2|x |的图象大致是( )解析：选A.函数y ＝log 2|x |是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，结合图象可知A 正确． 3．点(2，4)在函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象上，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________． 解析：因为点(2，4)在函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)的反函数的图象上，所以点(4，2)在函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)的图象上，因此log a 4＝2，即4＝a 2，又a >0，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，故f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 答案：－14．若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0)． (1)求a 的值； (2)求函数的定义域．解：(1)将点(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2.(2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2>0，解得x >－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}．。
对数函数导学案(全章)
对数函数导学案(全章)导学目标本章主要介绍对数函数及其性质，通过研究，你将了解以下内容：- 对数函数的定义与表示方法；- 对数函数的性质及其与指数函数之间的关系；- 对数函数在实际问题中的应用。
1. 对数函数的定义与表示方法1.1 对数函数的定义对数函数是一种能够描述指数运算逆运算的数学函数。
设正数a > 0 且a ≠ 1，b > 0，则以 a 为底 b 的对数，记作logₐb，定义为满足a^logₐb = b 的实数。
1.2 对数函数的表示方法对数函数可以用不同的表示方法来表示，常见的有以下两种：- 指数形式：logₐb = x，表示以 a 为底 b 的对数为 x；- 运算形式：logₐb = logc b / logc a，表示以 a 为底 b 的对数，等于以任意正数 c 为底 b 的对数与以 c 为底 a 的对数的商。
2. 对数函数的性质与关系2.1 对数函数的性质对数函数具有以下性质：- logₐa = 1；- logₐa^x = x，其中 a > 0，a ≠ 1；- logₐ1 = 0，其中 a > 0，a ≠ 1；- log₁₀10 = 1，log₂2 = 1。
2.2 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数之间存在着紧密的联系：- 若 a^x = b，则logₐb = x；- 若logₐb = x，则 a^x = b。
3. 对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- 在经济学中，对数函数可以用来描述利率、复利和指数增长等问题；- 在物理学中，对数函数可以用来描述声音的音量、地震的震级等问题；- 在计算机科学中，对数函数可以用来描述算法的时间复杂度等问题。
总结本章主要介绍了对数函数的定义与表示方法，对数函数的性质与指数函数的关系，以及对数函数在实际问题中的应用。
通过研究，你可以更好地理解并运用对数函数解决相关的数学问题。
参考资料:- 张宇老师. (2021). 《高中数学》. 北京师范大学出版社.。
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《对数函数的应用》导学案教学目标：①掌握对数函数的性质。
②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。
③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。
教学重点与难点：对数函数的性质的应用。
教学过程设计：⒈复习提问：对数函数的概念及性质。
⒉开始正课1 比较数的大小例 1 比较下列各组数的大小。
⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？生：这两个对数底相等。
师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。
师：对，请叙述一下这道题的解题过程。
生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0<a<1时，函数y=logax单调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数y=logax单调递增，所以loga5.1<loga5.9。
板书：解：ⅰ）当0<a<1时，函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，∵5.1loga5.9ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，∵5.1<5.9 ∴loga5.1<loga5.9师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？生：这三个对数底、真数都不相等。
师：那么对于这三个对数如何比大小？生：找“中间量”， log0.50.6>0，lnл>0，logл0.51，log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。
板书：略。
师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函数的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数函数图象的位置关系来比大小。
2 函数的定义域, 值域及单调性。
例2 ⑴求函数y=的定义域。
⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要使函数有意义。
若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式，被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果。
）生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。
板书：解：∵ 2x-1≠0x≠0.5log0.8x-1≥0 ，x≤0.8x>0 x>0∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕师：接下来我们一起来解这个不等式。
分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，再根据对数函数的单调性求解。
师：请你写一下这道题的解题过程。
生：解： x2+2x-3>0 x1(3x+3)>0 , x>-1x2+2x-3<(3x+3) -2<x<3不等式的解为：1<x<3例 3 求下列函数的值域和单调区间。
⑴y=log0.5(x- x2)⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。
下面请同学们来解⑴。
生：此函数可看作是由y= log0.5u, u= x- x2复合而成。
教学目标：①掌握对数函数的性质。
②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。
③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。
教学重点与难点：对数函数的性质的应用。
教学过程设计：⒈复习提问：对数函数的概念及性质。
⒉开始正课1 比较数的大小例 1 比较下列各组数的大小。
⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？生：这两个对数底相等。
师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。
师：对，请叙述一下这道题的解题过程。
生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0<a<1时，函数y=logax单调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数y=logax单调递增，所以loga5.1<loga5.9。
板书：解：ⅰ）当0<a<1时，函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，∵5.1loga5.9ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，∵5.1<5.9 ∴loga5.1<loga5.9师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？生：这三个对数底、真数都不相等。
师：那么对于这三个对数如何比大小？生：找“中间量”， log0.50.6>0，lnл>0，logл0.51，log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。
板书：略。
师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函数的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数函数图象的位置关系来比大小。
2 函数的定义域, 值域及单调性。
例2 ⑴求函数y=的定义域。
⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要使函数有意义。
若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式，被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果。
）生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。
板书：解：∵ 2x-1≠0x≠0.5log0.8x-1≥0 ，x≤0.8x>0 x>0∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕师：接下来我们一起来解这个不等式。
分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，再根据对数函数的单调性求解。
师：请你写一下这道题的解题过程。
生：解： x2+2x-3>0 x1(3x+3)>0 , x>-1x2+2x-3<(3x+3) -2<x<3不等式的解为：1<x<3例 3 求下列函数的值域和单调区间。
⑴y=log0.5(x- x2)⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。
下面请同学们来解⑴。
生：此函数可看作是由y= log0.5u, u= x- x2复合而成。
教学目标：①掌握对数函数的性质。
②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。
③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。
教学重点与难点：对数函数的性质的应用。
教学过程设计：⒈复习提问：对数函数的概念及性质。
⒉开始正课1 比较数的大小例 1 比较下列各组数的大小。
⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？生：这两个对数底相等。
师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。
师：对，请叙述一下这道题的解题过程。
生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0<a<1时，函数y=logax单调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数y=logax单调递增，所以loga5.1<loga5.9。
板书：解：ⅰ）当0<a<1时，函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，∵5.1loga5.9ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，∵5.1<5.9 ∴loga5.1<loga5.9师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？生：这三个对数底、真数都不相等。
师：那么对于这三个对数如何比大小？生：找“中间量”， log0.50.6>0，lnл>0，logл0.51，log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。
板书：略。
师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函数的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数函数图象的位置关系来比大小。
2 函数的定义域, 值域及单调性。
例2 ⑴求函数y=的定义域。
⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要使函数有意义。
若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式，被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果。
）生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。
板书：解：∵ 2x-1≠0x≠0.5log0.8x-1≥0 ，x≤0.8x>0 x>0∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕师：接下来我们一起来解这个不等式。
分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，再根据对数函数的单调性求解。
师：请你写一下这道题的解题过程。
生：解： x2+2x-3>0 x1(3x+3)>0 , x>-1x2+2x-3<(3x+3) -2<x<3不等式的解为：1<x<3例 3 求下列函数的值域和单调区间。
⑴y=log0.5(x- x2)⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。
下面请同学们来解⑴。
生：此函数可看作是由y= log0.5u, u= x- x2复合而成。
教学目标：①掌握对数函数的性质。
②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。
③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。
教学重点与难点：对数函数的性质的应用。
教学过程设计：⒈复习提问：对数函数的概念及性质。
⒉开始正课1 比较数的大小例 1 比较下列各组数的大小。
⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？生：这两个对数底相等。
师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。