对数与对数函数学案

教学过程一、知识讲解考点/易错点1 对数与对数运算（1）指数与对数互化式：log xa a N x N =⇔=；（2）对数恒等式：log a NaN =.（3）基本性质：01log =a ，1log =a a .（4）运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时：①()N M MN a a a log log log +=；②N M N M a a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ③M n M a na log log =；④log log n m a a mb b n=（5）换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .推论：ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a ；log log log a b a b c c ⋅=考点/易错点2 对数函数：()1,0log ≠>=a a x y a 的图像与性质注意：延箭头方向底数越大＞1＜＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R 恒过点(1,0)注意：（1）a y =与x y a log =的图象关系是关于y=x 对称；（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

考点/易错点3 与对数函数有关的复合函数问题 1、与对数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法： ①函数log [()]a y f x =的定义域为()0f x >的x 的取值；②先确定()f x 的值域，再根据对数函数的单调性可确定log [()]a y f x =的值域； 2、与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤：①求复合函数的定义域； ②按复合函数的单调区间求法求解（用“同增异减”原则）二、例题精析【例题1】【题干】（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；（3）1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅【答案】见解析【解析】（1）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；（2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=；（3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=41006lg 26lg 101100036lg )26(lg =-+=⨯-+；∴原式=43. 【例题2】【题干】设0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为【答案】a c b <<【解析】由11,(0,1)32∈，可知函数11321log ,log ,2xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭都是减函数，因此，0.3111133221111log 2log 10,log log 1,1,3222a b c ⎛⎫⎛⎫=<==>==<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭且0.3102c ⎛⎫=> ⎪⎝⎭. 综上可知，01a c b <<<<，【例题3】【题干】已知01,01a b <<<<且，则的取值范围是【答案】6【解析】由指数函数在上单调递减，可知，，又由函数在定义域内单调递减，并结合函数的定义域，可知，所以．【例题4】【题干】对于)32(log )(221+-=ax x x f ，（1）函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；（2）结合“实数a 的取何值时)(x f 在),1[+∞-上有意义”与“实数a 的取何值时函数的定义域为),3()1,(+∞⋃-∞”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；（3）结合（1）（2）两问，说明实数a 的取何值时)(x f 的值域为]1,(--∞ （4）实数a 的取何值时)(x f 在]1,(-∞内是增函数. 【答案】（1）不一样（2）见解析（3）{－1，1}（4）)2,1[.【解析】记223)()(a a x x g -+-==μ，则μ21log )(=x f ；（1）不一样；定义域为R ⇔0)(>x g 恒成立.得：0)3(42<-=∆a ，解得实数a 的取值范围为)3,3(-.值域为R ：μ21log 值域为R μ⇔至少取遍所有的正实数，则0)3(42≥-=∆a ，解得实数a 的取值范围为),3[]3,(+∞⋃--∞.（2）实数a 的取何值时)(x f 在),1[+∞-上有意义：命题等价于0)(>=x g μ对于任意),1[+∞-∈x 恒成立，则⎩⎨⎧>--<0)1(1g a 或⎩⎨⎧>--≥0312a a ，解得实数a 得取值范围为)3,2(-. 实数a 的取何值时函数的定义域为),3()1,(+∞⋃-∞：由已知得不等式0322>+-ax x 的解集为),3()1,(+∞⋃-∞可得a 231=+，则a =2.故a 的取值范围为{2}. 区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决（这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值）（3）易知)(x g 得值域是),2[+∞，又)(x g 得值域是),3[2+∞-a ，得1232±=⇒=-a a ，故a 得取值范围为{－1，1}.（4）命题等价于)(x g 在]1,(-∞上为减函数，且0)(>x g 对任意的]1,(-∞∈x 恒成立，则⎩⎨⎧>≥0)1(1g a ，解得a 得取值范围为)2,1[. 【例题5】【题干】已知函数f (x )＝log a (2－ax )，若函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围【答案】(1,2)【解析】∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数． 又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2. ∴a 的取值范围是(1,2)．三、课堂运用【基础】1.计算：2lg5(lg8lg1000)++=2. 函数y =的定义域是3.函数212log (32)y x x =-+的递增区间是4.设21ln 2,(ln 2),ln 22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为5．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，)，若A ⊆B ，则实数的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.【巩固】1．不等式log 0.3(2x －1)<log 0.3(－x ＋5)的解集为________．2．（2012·北京卷）已知函数f (x )＝lg x ．若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.3．（2013·湖南卷）设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有（ ） A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫134.已知函数()f x 满足：当4x ≥时，()f x ＝1()2x ；当x ＜4时，()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝ 5.设c b a ,,均为正数，且a a 21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 则,,a b c 的大小关系为6．（2013·天津卷）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的取值范围是7．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．8.已知函数221()log [(1)]4f x ax a x =+-+（1）若定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若值域为R ，求实数a 的取值范围【拔高】 1．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，则a 的取值范围是________．2．定义运算法则如下：a ⊗b ＝a 12＋b 13-，a *b ＝lg a 2－lg b 12，M ＝94⊗8125，N ＝2*125. 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x >0，2x x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫N －29M ＝________.3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图像上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图像．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．课程小结(1)比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论． ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．(2)解对数不等式：形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式.课后作业【基础】1．（2013·安徽卷）(log 29)·(log 34)＝2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.3．（2013·新课标全国卷Ⅱ8）设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则,,a b c 的大小关系为4. 方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 .5．（2013·辽宁卷）函数y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x 的值域是【巩固】1．设2()lg2x f x x +=-，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为2．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是（ ）A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<13.已知：lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则32log x y的值为 ．4.若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围是5．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)．求f (log 2x )的最小值及对应的x 值；【拔高】1．（2013·新课标全国卷）当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是2. 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，则224T x y =-的最小值为 .3．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．4．(2013·上海卷)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．。