年北师大九年级数学上册第三章概率的进一步认识知识点总结和测试题学案(无答案)-精选教育文档
新北师大版九年级数学上册第三章《概率的进一步认识》章末训练题含答案解析 (1)
一、选择题1.某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( )A．19B．16C．13D．232.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是( )A．24B．18C．16D．63.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是( )A．14B．13C．12D．234.有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是( )A．13B．12C．23D．345.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( )A．14B．34C．13D．126.让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于( )7.以下说法合适的是( )A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他再掷一次，正面朝上的概率还是128.太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾（如图）．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，则投放正确的概率是( )A．16B．18C．112D．1169.下列四种说法：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②将2020减去它的12，再减去剩下的13，再减去余下的14，再减去余下的15，⋯⋯，依次减下去，一直到减去余下的12020，结果是1；③实验的次数越多，频率越靠近理论概率；④对于任何实数x，y，多项式x2+y2−4x−2y+7的值不小于2．其中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4 10.同时抛掷两枚均匀硬币，则两枚硬币都出现反面向上的概率是( )二、填空题11.在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有3个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为．12.在一个不透明的盒子中装有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，它们除颜色外完全相同，现从该盒，将取出的棋子放回，再往该盒子中放进6颗子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是25同样的黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是1，那么原来盒子中4的白色棋子有颗．13.当一次试验要涉及，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有结果，通常采用列表法．14.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标注的数字外完全相同．现从中随机依次取出两个球（不放回），则取出的两个小球标注的数字之和为6的概率是．15.有三张卡片分别写着数字1，2，3，将它们背面向上任意放置（背面花色相同），小明先后从中取两张卡片，那么取得的第一张卡片所写数字大于第二张卡片所写数字的概率是．16.小强掷两枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两枚骰子点数相同的概率为．17.一个不透明的口袋中，装有除颜色以外其余都相同的红、黄两种球共15个，摇匀后从中任意摸出一球，记下颜色放回，摇匀再摸出一个，记下颜色放回⋯．经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率为0.4，则估计袋中有红球个．三、解答题18.现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球，其中A袋中装有2个白球，1个红球；B袋中装有2个红球，1个白球．小林和小华商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中各随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，19.如图，有一游戏棋盘和一个质地均匀的正四面体骰子（各面依次标有1，2，3，4四个数字）．游戏规则是游戏者每投掷一次骰子，棋子按骰子着地一面所示的数字前进相应的格数．例如：若棋子位于A处，游戏者所投掷骰子着地一面所示数字为3，则棋子由A处前进3个方格到达B 处．请用画树形图法（或列表法）求投掷骰子两次后，棋子恰好由A处前进6个方格到达C处的概率．20.甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援武汉抗击疫情．(1) 若从这4名医护人员中随机选1名，则选中的是男医护人员的概率是．(2) 若从支援的4名医护人员中随机选2名，求出这两名医护人员来自不同医院的概率．21.为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项)，并根据调查结果绘制了如图所示的统计图．根据统计图所提供的倍息，解答下列问题．(1) 本次抽样调查中的学生人数是；(2) 补全条形统计图；(3) 若该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数；(4) 现有爱好舞蹈的两名男生两名女生想参加舞蹈社，但只能选两名学生，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选到一男一女的概率．22.甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率．(1) 已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，怡好选中乙同学．(2) 随机选取2名同学，其中有乙同学．23.为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“A．奶制品类，B．肉制品类，C．面制品类，D．豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题：(1) 这次抽查了四类特色美食共种，扇形统计图中a=，扇形统计图中A部分圆心角的度数为；(2) 补全条形统计图；(3) 如果节目组想从A类的甲、乙、丙、丁四种特色美食中随机选择两种进行节目录制，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两种美食的概率．24.某市“半程马拉松”的赛事共有两项：A“半程马拉松”，B“欢乐跑”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组．(1) 小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为．(2) 为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：调查总人数2050100200500①估算本次赛事参加“半程马拉参加"半程马拉松"人数153372139356参加"半程马拉松"频率0.7500.6600.7200.6950.712松”人数的概率为．（精确到0.1）②若参加“欢乐跑”的人数大约有300人，估计本次参赛选手的人数是多少？25.庆祝改革开放40周年暨我爱我家⋅美丽青羊群众文艺展演圆满落幕，某学习小组对文艺展演中的A舞蹈《不忘初心》，B独舞《梨园一生》，C舞蹈《炫动的玫瑰》，D朝鲜组歌舞《阿里郎+atep》这四个节目开展“我最喜爱的舞蹈节目”调查，随机调查了部分观众（每位观众必选且只能选这四个节目中的一个）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：(1) 本次一共调查了名观众；并将条形统计图补充完整；(2) 学习小组准备从4个节目中随机选取两个节目的录像带回学校给同学们观看，请用树状图或者列表的方法求恰好选中A舞蹈《不忘初心》和C舞蹈《炫动的玫瑰》的概率．答案一、选择题 1. 【答案】C【解析】将三个小区分别记为 A ，B ，C ，列表如下：A B C A (A,A )(B,A )(C,A )B (A,B )(B,B )(C,B )C(A,C )(B,C )(C,C )由表可知，共有 9 种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有 3 种，∴ 两个组恰好抽到同一个小区的概率为 39=13． 【知识点】列表法求概率2. 【答案】C【解析】∵ 摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15% 和 45%，∴ 摸到白球的频率为 1−15%−45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是 40×40%=16 个． 【知识点】用频率估算概率3. 【答案】C【解析】画树形图得：由树形图可知共 4 种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有 2 种结果， ∴ 一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为 24=12．【知识点】树状图法求概率4. 【答案】A【解析】根据题意，画出树形图．由图可知，任意翻开两张，共有 12 种等可能情况，其中两张图案一样的共有 4 种情况， 故任意翻开两张，其中两张图案一样的概率为 412=13．【知识点】树状图法求概率5. 【答案】D【解析】方法一：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，画树状图得： ∵ 共有 6 种等可能的结果，可配成紫色的有 3 种情况， ∴ 可配成紫色的概率是：36=12． 方法二：列表如下：红蓝红(红,红)(蓝,红)蓝(红,蓝)(蓝,蓝)蓝(红,蓝)(蓝,蓝)由表格知共有 6 种等可能出现的结果数，其中能配成紫色的结果数有 3 种，则 P （配成紫色）=36=12．【知识点】树状图法求概率6. 【答案】C【知识点】树状图法求概率7. 【答案】D【知识点】概率的概念及意义、用频率估算概率8. 【答案】C【解析】可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用 A ，B ，C ，D 表示，垃圾分别用 a ，b ，c ，d 表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为 a ，b ，画树状图如图：共有 12 个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有 1 个，∴ 分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为 112．【知识点】树状图法求概率9. 【答案】C【知识点】用频率估算概率、完全平方公式10. 【答案】B【知识点】树状图法求概率二、填空题 11. 【答案】 9【解析】设白球的个数约为 a ， 根据题意得 3a+3=0.25， 解得：a =9，经检验：a =9 是分式方程的解， 故答案为：9．【知识点】用频率估算概率12. 【答案】 4【解析】根据题意得 {xx+y=25,x x+y+6=14, 解得 {x =4,y =6, 经检验，{x =4,y =6 是方程组的解，所以原来盒子中的白色棋子有 4 颗． 【知识点】公式求概率13. 【答案】两个因素【知识点】列表法求概率14. 【答案】 15【解析】根据题意画树状图如下：共有 20 种等可能的结果，其中取出的两小球标注的数字之和为 6 的有 4 种情况， 所以取出的两小球标注的数字之和为 6 的概率 =420=15．【知识点】树状图法求概率15. 【答案】 12【解析】列出所有等可能情况，如下表．由表可知，取两张卡片的等可能情况共有 6 种，取得的第一张卡片所写数字大于第二张卡片所写数字的情况有 3 种，所以取得的第一张卡片所写数字大于第二张卡片所写数字的概率为 36=12．12311,21,322,12,333,13,2【知识点】列表法求概率16. 【答案】 16【解析】列表得：(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)由表可知一共有 36 种情况，两枚骰子点数相同的有 6 种，所以两枚骰子点数相同的概率 =636=16． 【知识点】列表法求概率17. 【答案】 6【解析】设袋中有红球 x 个，根据题意得：x15=0.4， 解得：x =6．答：袋中有红球 6 个． 【知识点】用频率估算概率三、解答题18. 【答案】列表法如下：或画树状图如下：由上表或树状图可知，一共有 9 种等可能的结果，其中颜色相同的结果有 4 种，颜色不同的结果有 5 种．∴P(颜色相同)=49，P(颜色不同)=59． ∵49<59，∴ 这个游戏规则对双方不公平． 【知识点】树状图法求概率19. 【答案】∵共有16种等可能的结果，掷骰子两次后，棋子恰好由A处前进6个方格到达C处的有(2,4)，(3,3)，(4,2)，∴掷骰子两次后，棋子恰好由A处前进6个方格到达C处的概率为316．【知识点】树状图法求概率20. 【答案】(1) 12(2) 画树状图为：（a，b表示甲医院的男女医护人员c，d示乙医院的男女医护人员）．共有12种等可能的结果数，其中这两名医护人员来自不同医院的结果数为8，∴这两名医护人员来自不同医院的概率=812=23．【解析】(1) ∵4名医护人员中有两男两女，从中随机抽取一名，共有四种结果，每种结果的概率相同，其中选中的是男医护人员的结果有两种，∴选中的是男医护人员的概率=24=12．【知识点】树状图法求概率、公式求概率21. 【答案】(1) 100(2)(3) 2000×(1−30%−10%−20100)=800（名），∴爱好打球的学生有800名．(4) 画树状图如图所示，共有12种等可能的情况产生，其中满足条件的情况共两种．∴P(一男一女)=812=23．【知识点】树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估算总体22. 【答案】(1) 已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是13．(2) 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学，所有可能出现的结果有：(甲,乙)，(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)，(丙,丁)，共有6种，共有6种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“随机选取2名同学，其中有乙同学”（记为事件A）的结果有3种，所以P(A)=36=12．【知识点】列表法求概率、公式求概率23. 【答案】(1) 20；40；72∘；(2) B类的种数为20−4−8−6=2，条形统计图为：(3) 画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙两种美食的结果数为2，∴恰好选中甲和乙两种美食的概率=212=16．【解析】(1) 4÷20%=20，所以这次抽查了四类特色美食共20种，扇形统计图中C类所占的百分比=820×100%=40%，即a=40；扇形统计图中A部分圆心角的度数为360∘×20%=72∘．【知识点】条形统计图、扇形统计图、树状图法求概率24. 【答案】(1) 12(2) ① 0.7．②参加欢乐跑的人数为300人，概率为1−0.7=0.3，本次参赛选手总人数为300÷0.3=1000人．【解析】(1) 共有两项，被分配到其中一项的概率为12．(2) ①观察表格可知：估算本次参加“半程马拉松”的人数概率为0.7．【知识点】公式求概率、用频率估算概率25. 【答案】(1) 50补全条形图如下：(2) 如图所示：一共有12种可能，恰好选中A舞蹈《不忘初心》和C舞蹈《炫动的玫瑰》的有2种，故恰好选中A舞蹈《不忘初心》和C舞蹈《炫动的玫瑰》的概率为212=16．【解析】(1) 次调查的总人数为15÷30%=50（人），则B节目的人数为50−(16+15+7)=12（人）．【知识点】条形统计图、树状图法求概率。
北师版初三数学上册第三章概率知识点讲解附作业
北师版初三数学上册第三章概率知识点讲解附作业九年级（上册）第三章概率的进一步认识一．频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
即 频数频率总次数概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。
必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。
频率与概率的区别：随着实验次数的增加，实验结果出现的频率逐渐趋于一个常数，则把这个常数看做实验结果的概率。
注意：①频率就是频率，频率不是概念②频率是通过实验得到的，概率就通过计算得到的③通过频率估计概率时，只看最多实验次数一项的频率，此项的频率即等于概率，而不是求所有频率的平均值二．通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。
我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。
三．利用画树状图或列表法求概率（重难点）①树状图的画法有两钟，可以横画也可以竖着画，其中树状图在画法上要写“开始”然后是“第一次”“第二次”“结果”②列表法的使用必须保证是两个元素的才方便使用，因为表格最方便的是使用两个轴向。
其中表格的类型有三种，一种是标准型，第二种是中间有一条斜线型，第三种是中间加数据型，比如和，奇数，偶数等四．概率题型①公平题②方程题③用频率估计概念④画树状图列表求概率（重点）⑤游戏设定1、在抛一枚质地均匀的硬币的实验中，如果没有硬币，则下列实验不能作为替代物的是（）A、一枚均匀的骰子，B、瓶盖，C、两张相同的卡片，D、两张扑克牌2、密码锁的密码是一个四位数字的号码,每位上的数字都可以是0到9中的任一个,某人忘了密码的最后一位号码, 此人开锁时,随意拔动最后一位号码正好能把锁打开的概率是______．若此人忘了中间两位号码,随意拔动中间两位号码正好能把锁打开的概率是______．3、某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是．4、从一个装有2黄2黑的袋子里有放回地两次摸到的都是黑球的概率是 .5、如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是……( )A．1925； B．1025； C．625；D．5 256、为了估计湖里有多少条鱼，我们从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待带标记的鱼完全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，通过这种调查方式，我们可以估计出这个湖里有______条鱼.7、在一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为了估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）A、28个B、30个C、36个D、42个8、有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢。
北师大版本九年级上册第三章概率的进一步认识知识点解析含习题练习
第01讲_概率的进一步认识知识图谱概率的计算知识精讲一．用列表法和树状图法求事件的概率1.列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．2.树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．二．用频率估计概率实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．三点剖析一．考点：概率的计算二．重难点：用列表法和树状图法求事件概率三．易错点：（1）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（2）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。
判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合。
求简单事件的概率例题1、在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A.1 3B.23C.16D.34【答案】B【解析】分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率=46=23．北师大版本九年级上册第三章概率的进一步认识例题2、围棋盒子中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是2 3．如果在原有的棋子中再放进4颗黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子为白色棋子的概率是12，则原来盒子中有白色棋子（）A.4颗B.6颗C.8颗D.12颗【答案】C【解析】由题意得14223xx yxx y⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪+⎩；解得48yx=⎧⎨=⎩，由此可得，原来盒子中有白色棋子8颗例题3、某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，摸到都是黄球的顾客获得大奖，摸到不全是黄球的顾客获得小奖．（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你讲转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数，结合转盘简述获奖方式，不需要说明理由）．【答案】见解析【解析】（1）符合，一共出现20种可能性，并且每种可能性都相同，所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记为事件A）的结果有2种，即（黄1，黄2）或（黄2，黄1），所以P（两黄球）212010==，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%；（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．如图，将转盘中圆心角为36︒的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．随练1、如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是（）A.B.C. D.【答案】C【解析】列表如下：共有6种情况，必须闭合开关S 3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是=．故选C ．随练2、在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，它们除颜色外全部相同，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（）A.1颗B.2颗C.3颗D.4颗【答案】B【解析】解：由题意得：25134x x y x x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪++⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩故选：B ．随练3、有一盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．（1）你认为李明同学摸出的球，最有可能是______颜色；（2）请你计算摸到每种颜色球的概率；（3）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】（1）白（2）16（3）公平【解析】（1）因为白色的乒乓球数量最多，所以最有可能是白色（2）摸出一球总共有6种可能，它们的可能性相等，摸到白球有3种、黄球有2种、红球有1种．所以P （摸到白球）=3162=，P （摸到黄球）=2163=，P （摸到红球）=16；（3）答：公平．因为P （摸到白球）=12，P （摸到其他球）=21162+=，所以公平．列表法和树状图法求概率例题1、如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是__________．【答案】715【解析】列表得（1，8）（1，7）（1，6）（1，5）（1，4）；（2，8）（2，7）（2，6）（2，5）（2，4）；（3，8）（3，7）（3，6）（3，5）（3，4）；其中为偶数的有7种，故数字和为偶数的概率是715例题2、一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有1，1-，2-，3-四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为__________．【答案】38【解析】画树状图，得因为共有16种可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有6种情况所以两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率63168==．例题3、有十张正面分别标有数字3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，6的不透明卡片，他们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，将该卡片上的数字加1记为b ．则数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的概率为___________．【答案】710【解析】列表得：一共有(3,2)--、(2,1)--、(1,0)-、(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)；数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的情况有：(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)七种，则710P =．例题4、在平面直角坐标系中给定以下五个点A （2-，0）、B （1，0）、C （4，0）、D （2-，92）、E （0，6-），在五个形状、颜色、质量完全相同的乒乓球上标上A 、B 、C 、D 、E 代表以上五个点．玩桌球游戏，每次摸三个球，摸一次，三球代表的点恰好能确定一条抛物线（对称轴平行于y 轴）的概率是（）A.12B.35C.710D.45【答案】B【解析】所有的摸球情况有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BCE 、BDE 、CDE 共有10种情况；其中，ABC 时，三点都在x 轴上，共线，不能确定一条抛物线；而ABD 、ACD 、ADE 时，A 、D 的横坐标都是2-，不复合函数的定义；所以能确定一条抛物线的情况有：10136--=，所以35P =．随练1、把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x ，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y ，以长度分别为x 、y 、5的三条线段能构成三角形的概率为__________．【答案】49【解析】列表可得因此，点(),A x y 的个数共有9个；则x 、y 、5的三条线段能构成三角形的有4组，可得49P =．随练2、在不透明的口袋中，有五个形状、大小、质地完全相同的小球，五个小球分别标有数字2-、1-、0、2、3，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的横坐标，然后放回摇匀，再从口袋中人去一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的纵坐标，则点C 恰好与点A （2-，2）、B （3，2）构成直角三角形的概率是_________．【答案】25【解析】画树状图如下：共有25种情况，当点C的坐标为（2-，2-）、（2-，1-）、（2-，0）、（2-，3）、（1-，0）、（2，0）、（3，2-）、（3，1-）、（3，0）、（3，3）共10种情况时，构成直角三角形，P（直角三角形）102 255 ==．用频率估计概率例题1、在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A.频率就是概率B.频率与试验次数无关C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【答案】D【解析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，∴D选项说法正确．故选：D．例题2、某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：40075015003500700090003696621335320363358073根据表中数据，估计这种幼树移植活率的概率为__________（精确到0.1）．【答案】0.9【解析】(0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902)70.9x=++++++÷≈例题3、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（n）100150200500摸到白球次数（m）5896116295摸到白球的频率（0.580.640.580.59（1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.6．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是35，摸到黑球的概率是25；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数320125=⨯=个；黑球的个数22085=⨯=个．随练1、如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．【答案】0.5【解析】由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：7961550≈0.5．随练2、某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：的次数n 100150200500800”的次数m 68111136345564的频率m（2）请估计，当n 很大时，频率将会接近多少？（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1）【答案】（1）见解析；（2）0.7；（3）0.7；（4）252 【解析】（1）的次数n 100150200500800”的次数68111136345564的频（2）当n 很大时，频率将会接近681111363455647010.71001502005008001000+++++=+++++（3）获得铅笔的概率约是0.7（4）扇形的圆心角约是0.7360252⨯=拓展1、一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A.4 9B.13C.16D.19【答案】D【解析】列表得：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，∴两次摸出的球都是黑球的概率为1 9．2、在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？【答案】（1）嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=3 4（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样【解析】（1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=3 4；（2）列表法：由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，∴P2=612=12，∵P1=34，P2=12，P1≠P2∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．3、从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率____．【答案】13【解析】由关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a 的值，由关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，可求得a 的取值范围，继而求得答案．∵一次函数y=2x+a 与x 轴、y 轴的交点分别为：（﹣2a，0），（0，a ），∴|﹣2a|×|a|×12=4，解得：a=±4，∵当△=16﹣4a ≥0，即a ≤4时，关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，∴使关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，且使关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：13．故答案为：134、王红和刘芳两人在玩转盘游戏，如图，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则是：转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为7时，王红胜；数字之和为8时，刘芳胜．那么这二人中获胜可能性较大的是__________．【答案】王红【解析】共9种情况，和为7的情况数有3种，王红获胜的概率为39；和为8的情况数有2种，刘芳获胜的概率为29； 王红获胜的可能性较大．5、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（n ）100150200500摸到白球次数（m ）5896116295摸到白球的频率（0.580.640.580.59（1）请你估计，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】（1）根据题意可得当\(n\)很大时，摸到白球的概率将会接近\(0.6\)．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是\(\frac{3}{5}\)，摸到黑球的概率是\(\frac{2}{5}\)；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数\(=20\times \frac{3}{5}=12\)个；黑球的个数\(=20\times \frac{2}{5}=8\)个．6、在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=；（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．。
北师大版初中数学九年级上册第三章知识点
九年级第三章
概率的进一步认识
一、用树状图或表格求概率
知识点1：用列表法求概率
1.列表法：用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能出现的次数和方式，并求出概率。
2.适当条件：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果的数目较多时为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法
3.具体步骤：
（1）列表；
（2）计数；确定所有等可能的结果数n和符合要求的结果数m
m
（3）求值利用概率公式P（A）=
n
知识点2：用画树状图法求概率
1.画树状图法：用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能出现的次数和方式，并求出概率。
2.适当条件：当一次试验涉及两个或者更多因素时，为了不重不漏地列出可能的结果，通常采用画树状图法。
知识点3：游戏的公平性
1.游戏是否公平，即判断双方的概率是否相等
2.把不公平的游戏变公平的方法
改变游戏规则，使双方获胜的概率相等
若游戏中涉及得分情况，先计算出概率后，再根据游戏规则，改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得分数相等。
二、用频率估计概率
1.一般地，大量重复试验中，如果事件A 发生频率
n m 稳定于某个常数p ，那么事件A 发生的概率为p 2.P(A)=n
m （当试验的结果有无限多个，或者可能出现的结果发生的可能性不相同时，我们一般通过频率来估计概率）。
北师大版九年级数学上册 第三章 概率的进一步认识 3.2 用频率估计概率 同步测试题(无答案)
3.2 用频率估计概率同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共个，除颜色外其余都相同，小明通过许多次摸球实验后发现，其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（）A. B. C. D.2. 在一个不透明的纸箱中放入个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出的值大约是（）A. B. C. D.3. 从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到黑球，已知口袋中有黑球个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（）A.个B.个C.个D.无法确定4. 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了次，其中有次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为（）A.个B.个C.个D.个5. 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了次，其中有次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有（）个．A.个B.个C.个D.个6. 做重复试验，抛掷同一枚啤酒瓶盖，经过统计得“凸面朝上”的频率约为，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为（）A. B. C. D.7. 在一个不透明的口袋中装有个白球、个黄球、个红球、个绿球，除颜色其余都相同，小明通过多次摸球实验后发现，摸到某种颜色的球的频率稳定在左右，则小明做实验时所摸到的球的颜色是（）A.白色B.黄色C.红色D.绿色8. 一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将求倒出来数的前提下，为估计袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出个球，求出其中红球数与的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程次，得到红球与的比值的平均数为，根据上述数据，估计口袋中大约有（）个黄球．A. B. C. D.9. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）A.个B.个C.个D.个10. 一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．位同学进行摸球游戏，每位同学摸次（摸出球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为，，，，，则估计盒中红球和白球的个数是（）A.红球比白球多B.白球比红球多C.红球，白球一样多D.无法估计二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 一池塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共尾，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼、鲫鱼出现的频率是和，则这个池塘里有鲢鱼________尾．12. 在一个暗箱里放有若干个除颜色外其它完全相同的球，其中红球有个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出红球以外的球数大约是________个．13. 在一个不不透明的口袋中装有个白球，若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，经过多次实验发现摸到白球的频率稳定在附近，则黑球大约有________个．14. 一个不透明的口袋中只有若干个白球，小颖往袋中又放入个黑球，它们与袋中白球只有颜色不同，每次从袋中摸出一球后放回摇匀．经过多次摸球实验，她发现摸到黑球的频率稳定在，则此口袋中原有白球________个．15. 某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：移植总数成活数成活的频率根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为________（精确到）．16. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有________个．17. 有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后．发现摸到红球的频率约为，据此可以估计红球的个数约为________．18. 某射击运动员在同一条件下练习射击，结果如下表所示：射击次数击中靶心次数击中靶心频率试估计这个运动员射击一次，击中靶心的概率约是________（结果保留两位小数）．19. 在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了次，其中“正面朝上”的频率为，则“正面朝上”的概率估计值为________．20. 小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在附近波动，据此可以估计黑球的个数约是________个．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 一只箱子中装有红、黑两种圆珠笔共支，为了估计出其中红色圆珠笔的数量，随机抽出支圆珠笔，记下其中红色圆珠笔的数量再放回，作为一次试验，重复上述试验多次，发现平均每支圆珠笔中有支红色圆珠笔，请你由此估计箱子中红色圆珠笔的数量．22. 一只不透明的袋子中装有个相同小球，分别标有不等的自然数、、、，小丽每次从袋中同时摸出个小球，并计算摸出的这个小球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：摸球总次数“和为”出现的频数“和为”出现的频率（1）如果实验继续进行下去，出现“和为”的频率将稳定在它的概率附近．试估计出现“和为”的概率；（2）根据（1）中结论，求出自然数的值．23. 一个口袋中装有个红色的小正方块和若干个黄色的小正方块，小正方块除了颜色外其他都相同．从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中次摸到红色的正方块．请问口袋大约有多少黄色小正方块？24. 某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得元、元、元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券元．小明购买了元的商品，他看到商场公布的前张奖券的抽奖结果如下：奖券种类紫气东来花开富贵吉星高照谢谢惠顾出现张数（张）（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由．25. 对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查，分别抽取件、件、件、件、件、件、件、件，检查结果如下表所示：抽取的件数合格件数合格频率求该厂产品的合格率．26. 小明和小亮两位同学做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了次实验，实验的结果如下：朝上的点数出现的次数（1）计算“点朝上”的频率和“点朝上”的频率．（2）小明说：“根据实验，一次实验中出现点朝上的概率最大”．小亮说：“如果投掷次，那么出现点朝上的次数正好是次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？（3）小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不小于的概率．。
第3章概率的进一步认识+高频易错题2024-2025学年北师大版数学九年级上册++
北师大版九年级上学期《第3章概率的进一步认识》高频易错题一．选择题（共10小题）1．若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是（）A．13B．12C．23D．142．某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（）A．12B．14C．16D．1123．掷两次骰子，两次点数和是多少时概率最大（）A．6 B．7 C．8 D．124．掷一枚质地均匀的骰子．小明掷了3次，其中2次点数为5，1次点数为2．若他再掷1次，则点数为5的概率是（）A．0 B．16C．13D．235．为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A，B两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从A通道入校的概率是（）A．14B．13C．12D．346．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A．频率等于概率B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D．实验得到的频率与概率不可能相等7．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③8．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：移植棵数（n）成活数（m）成活率（m/n）移植棵数（n）成活数（m）成活率（m/n）50 47 0.940 1500 1335 0.890 270 235 0.870 3500 3203 0.915 400 369 0.923 7000 6335 0.905750 662 0.883 14000 12628 0.902下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④9．下列说法：①概率为0的事件不一定是不可能事件；②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率；③事件发生的概率与实验次数有关；④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概率为13，表示3次这样的试验必有1次针尖朝上．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④10．下列四种说法：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②将2020减去它的12，再减去剩下的13，再减去余下的14，再减去余下的15…依次减下去，一直到减去余下的12020，结果是1；③实验的次数越多，频率越靠近理论概率；④对于任何实数x、y,多项式x 2 +y 2 -4x-2y+7的值不小于2．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题）11．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，请你写出概率为14的事件：______ .（只需写出一种符合要求的事件）12．从5，-3，0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是 ______ ．13．甲、乙两名同学来杭州学习传统技艺，两人都计划在雕铜技艺、织锦技艺、茶艺制作技艺中分别选择一项，则甲和乙选择不同技艺的概率是 ______ ．14．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 ______ 只A种候鸟．15．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷啤酒瓶盖的方法估计落地时瓶盖“正面朝上”的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、500次，其中试验相对科学的是 ______ 组．三．解答题（共5小题）16．中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 ______ 人，条形统计图中m的值为______ ；（2）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识宣讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．17．元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B．《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x,小丽同学的选择为y.（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x,y）所有可能出现的结果总数；（2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．18．甲、乙两名大学生参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，他们将被随机分配到翻译（记为A）、导游（记为B）、礼仪（记为C）三个工作岗位，请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的概率．19．在一个不透明的箱子里装有若干张无奖卡，现将20张有奖卡放入箱子（所有卡片形状、大小、材质均相同）．搅匀后从中随机摸出一张卡，记下是否有奖，再将它放回箱子中，不断重复此过程，获得如下频数表：摸卡的次20 50 80 120 200 300数n摸到有奖卡的次数3 5 9 11 21 31m摸到有奖0.150 0.100 0.113 0.092 0.105 0.103卡的频率mn（1）若从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为 ______ ．（精确到0.1）（2）请估算出箱子里无奖卡的数量．（3）A，B两位同学各抽得一张有奖卡，两人均获得一张文艺演出的入场券，如图所示，他们各要在编号为①②③的三个座位上选一个坐下，请求出A，B坐到相邻座位的概率．（画树状图或列表分析问题）20．下面是某学校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000发芽的粒数m 471 946 1425 1898 2853 3812发芽频率m0.942 0.946 x 0.949 y 0.953n（1）求表中x,y的值；（2）任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率约是多少？（精确到0.01）（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育．。
北师大版九年级上册数学第三章概率的进一步认识测试题
二、填空题（共20分）
9．某校有一支由12人组成的篮球队，年龄结构如下表．
年龄（岁）
14
15
16
17
人数（人）
2
6
3
1
从中抽取1人，年龄不小于15岁的概率是．
10．如图表示某班21位同学衣服上口袋的数目．若任选一位同学，则其衣服上口袋数为5的概率是．
11．一个科室有3名男士、2名女士，从中任选2人做一项接待工作，则选到的人都女士的概率为．
（1）判断线段MN与线段BM的位置关系与数量关系，说明理由；
（2）如果CD＝5，求NF的长．
23.某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
(1)如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？
(2)如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？
20．一个口袋里有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．
A. B. C. D.
7.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A.（x+1）（x+2）=18B. x2﹣3x+16=0C.（x﹣1）（x﹣2）=18D. x2+3x+16=0
第三章 概率的进一步认识(章末复习)九年级数学上册(北师大版)
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
1
D．游戏者配成紫色的概率为
6
针对训练
2．在一次数学兴趣小组活动中，江华和江玉两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个
针对训练
【详解】（1）解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2
倍，转盘B中蓝色区域的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向
5
蓝色区域的情况有5种，∴P(一红区和一蓝区)= 9
标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（
1
A．3
4
B．9
1
2
C．
）
5
9
D．
【详解】
列表得：
所有等可能的情况数有9种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，
5
所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为9，
运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小明左右为难，最
针对训练
（2）由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ，
2
2
∴P(两个红区)= 9，P(两个蓝区)= 9，
2
5
2
∴方案二的平均收益为：9 × 18 + 9 × 9 + 9 × 18 = 13，
∵13<20，
2024年北师大版九年级上册教学第三章 概率的进一步认识用树状图或表格求概率
第1课时用树状图或表格求概率课时目标1.经历猜测、设计试验方案、试验、收集试验数据、分析试验结果等活动过程,进一步体验数据的随机性,积累数学活动经验.2.通过试验进一步感受随机事件发生的频率的稳定性,理解事件发生的频率与概率的关系,并能用试验频率估计事件发生的概率,加深对概率意义的理解.3.能运用画树状图法和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.学习重点能运用画树状图法和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.学习难点理解两步试验中“两步”之间的相互独立性,进而认识两步试验所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性.正确运用画树状图法和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.课时活动设计复习回顾1.小明和小凡一起做游戏.在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球,摸到红球小明获胜,摸到白球小凡获胜.(1)这个游戏对双方公平吗?解:不公平.(2)在一个双人游戏中,你是怎样理解游戏对双方是否公平?如果是你,你会设计一个什么样的游戏活动判断胜负?解:双方获胜的概率相同才算公平.我会设计一个袋中装有2个红球和2个白球的游戏,每个球除颜色外都相同,从袋中任意摸出一个球,摸到红球小明获胜,摸到白球小凡获胜.(设计游戏不唯一)2.小明、小凡和小颖周末都想去看电影,但只有一张电影票.三人决定一起做游戏,谁获胜谁就去看电影.游戏规则如下:连续抛掷两枚质地均匀的硬币,若两枚正面朝上,则小明获胜;若两枚反面朝上,则小颖获胜;若一枚正面朝上、一枚反面朝上,则小凡获胜.你认为这个游戏公平吗?如果不公平,猜猜谁获胜的可能性更大.引导学生展开讨论.设计意图:使学生再次体会“游戏对双方是否公平”的意义,并由学生用自己的语言描述出“游戏公平”的含义是游戏的双方获胜的概率要相同.同时,巧妙的利用一个“如果是你,你会设计一个什么样的游戏活动判断胜负?”的问题,引发学生的思考,激发学生参与的热情,如果学生说出“掷硬币”的方法,自然引出本节课的内容.探究新知(1)每人抛掷硬币20次,并记录每次试验的结果,根据记录填写下面的表格:抛掷的结果两枚正面朝上两枚反面朝上一枚正面朝上、一枚反面朝上频数频率(2)5个同学为一个小组,依次累计各组的试验数据,相应得到试验200次、300次、400次、500次……时的试验结果,填写下表,并绘制成相应的折线统计图.试验次数200300400500…两枚正面朝上的次数两枚正面朝上的频率两枚反面朝上的次数两枚反面朝上的频率一枚正面朝上、一枚反面朝上的次数一枚正面朝上、一枚反面朝上的频率(3)由上面的数据,请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率.由此,你认为这个游戏公平吗?深入探究:在上面抛掷硬币的试验中,(1)抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?(2)抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?如果第一枚硬币反面朝上呢?请将各自的试验数据汇总后,填写下面的表格:抛掷第一枚硬币抛掷第二枚硬币正面朝上的次数正面朝上的次数反面朝上的次数反面朝上的次数正面朝上的次数反面朝上的次数通过上面的试验可以发现抛掷第一枚硬币时出现“正面朝上”的概率约为0.50,抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”的概率约为0.50.表格中的数据支持你的猜测吗?探究体会:由于硬币是均匀的,因此抛掷第一枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同;无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果,抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的.所以,连续抛掷两枚均匀的硬币,出现的(正,正)(正,反)(反,正)(反,反)四种情况是等可能的.因此,我们可以用下面的树状图或表格表示所有可能出现的结果:第二枚硬币第一枚硬币正反正(正,正)(正,反)反(反,正)(反,反)总共有4种结果,每种结果出现的可能性相同.14;14;24=12.因此,这个游戏对三人是不公平的.设计意图:让学生亲自经历对随机现象的探索过程,亲自经历猜测、设计试验方案、试验、收集试验数据、分析试验结果等活动过程,以获得事件发生的概率,进一步体验数据的随机性.巩固训练活动1:小颖有两件上衣,分别为红色和白色,有两条裤子,分别为黑色和白色,她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上,恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少?解:(方法一)在一次试验中,上衣和裤子搭配有4种等可能的情况:红色上衣+黑色裤子;红色上衣+白色裤子;白色上衣+黑色裤子;白色上衣+白色裤子.而白色上衣和白色裤子的情况有1种,因此,恰好是白色上衣和白色裤子的14.(方法二)可以用树状图来表示.总共有4种可能的结果,每种结果出现的可能性相同.其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种:(白,白).因此,恰好是白色上衣和白色裤子的概率为14.(方法三)上衣和裤子颜色搭配有4种等可能的情况,可以列表来表示.上衣的颜色红白裤子的颜色黑(红,黑)(白,黑)白(红,白)(白,白)总共有4种结果,每种结果出现的可能性相同,其中,恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种:(白,白).14.活动2:一个盒子中装有一个红球、一个白球.这些球除颜色外都相同,从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,再从中随机摸出一个球.求:(1)两次都摸到红球的概率;(2)两次摸到不同颜色球的概率;(3)只有一张电影票,小明和小颖通过做这样一个游戏,谁获胜谁就去看电影.如果是你,你如何选择?解:由题意,画树状图如下:总共有4种可能的结果,每种结果出现的可能性相同.(1)两次都摸到红球的结果有1种:(红,红).所以两次都摸到红球的概率为14.(2)两次都摸到不同颜色球的结果有两种:(红,白)(白,红).所以两次都摸到24=12.(3)两次摸到相同颜色球则小明去,两次摸到不同颜色球则小颖去(答案不唯一).设计意图:通过上面两个活动,分别用列表法和画树状图法分析上衣和裤子搭配的可能的情况,两次在盒中摸球可能的情况,计算涉及两步试验的随机事件发生的概率,巩固所学的知识.课堂小结1.本节课你有哪些收获?有何感想?2.用列表法求概率时应注意什么情况?设计意图:通过对本节课的回顾反思,培养学生反思的习惯,加深学生对本节知识的理解和熟练应用.课堂8分钟.1.教材第62页习题3.1第1,3题.2.七彩作业.第1课时用树状图或表格求概率分析方法:1.列表法.2.画树状图法.教学反思第2课时利用概率判断游戏的公平性课时目标1.通过两种求概率方法的选择使用,理解两种方法各自的特点,并能根据不同情境选择适当的方法.2.能利用概率解决一些简单的实际问题,理解概率对日常生活和生产实践的指导作用,体会概率是描述随机现象的数学模型,发展应用意识.3.让学生掌握一定的判断游戏公平性的方法,提高其决策能力.学习重点利用概率判断游戏的公平性.学习难点用适当的方法求事件发生的概率.课时活动设计复习回顾上节课,你学会了用什么方法求某个事件发生的概率?设计意图:回顾上节课所学内容,为这节课计算概率作铺垫.情境引入“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏,游戏时,小明每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种,他做出“石头”手势的概率为13.设计意图:通过学生熟悉的游戏引入本课的学习主题,借助计算概率分析游戏的公平性,感受概率的应用价值.探究新知小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏,游戏规则如下:由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”的游戏,如果两人的手势相同,那么小凡获胜;如果两人手势不同,那么按照“石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,你认为这个游戏对三人公平吗?解:因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果:总共有9种可能的结果,每种结果出现的可能性相同.其中,两人手势相同的结果有339=13;小明胜小颖的结果有3种:(石头,剪刀)(剪刀,布)(布,石头),所以小明获胜39=13;小颖胜小明的结果也有3种:(剪刀,石头)(布,剪刀)(石头,布),所以小颖获39=13.因此,这个游戏对三人是公平的.设计意图:通过利用画树状图法检验游戏是否公平,提高学生对求概率方法的熟练程度,规范书写步骤.典题精讲小明和小军两人一起做游戏.游戏规则如下:每人从1,2,…,12中任意选择一个数,然后两人各掷一次质地均匀的骰子,谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜;如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和,就再做一次上述游戏,直至决出胜负.如果你是游戏者,你会选择哪个数?解:选择7,理由:列表如下:第二次掷得的点数123456第一次掷得的点数123456723456783456789456789105678910116789101112由表格可知,共有36种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中点数之和为7的有6种,是最多的,∴P(点数之和为7)=636=16.所以游戏者事先选择数字7获胜的可能性较大.设计意图:本环节的设置,开放性更强,让学生在问题中寻找解决方案.加强用列表法和画树状图求概率的能力,从中也体会出本题因为结果较多,使用列表法更好一些,感受这两种求概率方法的优劣.巩固训练有三张大小一样而画面不同的画片,先将每一张从中间剪开,分成上下两部分;然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中,把下半部分都放在第二个盒子中.分别摇匀后,从每个盒子中各随机地摸出一张,求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率.解:用A,a分别表示第1张的上、下部分,用B,b分别表示第2张的上、下部分,用C,c分别表示第3张的上、下部分.画树状图如下:共有9种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中恰好能拼成原来一幅画的结果有3种:(A,a)(B,b)(C,c).因此两张恰好能拼成原来一幅画的概率为39=13.设计意图:让学生自主选择合适的方式求事件发生的概率,加强对利用画树状图法和列表法求概率的理解.进一步感受概率存在的普遍性,消除对新知的恐惧感.课堂小结今天这节课学习了什么?你掌握了什么?设计意图:帮助学生掌握求概率的方法,掌握数学知识.课堂8分钟.1.教材第64页习题3.2第1,2,3题.2.七彩作业.第2课时利用概率判断游戏的公平性利用概率判断游戏的公平性的一般方法:1.运用列表法或画树状图法分析事件发生的可能情况;2.计算事件发生的概率;3.比较概率的大小关系;4.作出判断.教学反思第3课时利用概率玩转盘游戏课时目标1.经历利用画树状图法和列表法求概率的过程,在活动中进一步发展学生的合作交流意识及培养学生及时反思的习惯.2.鼓励学生思维的多样性,提高运用所学知识解决实际问题的能力.学习重点借助画树状图、列表法计算随机事件的概率.学习难点在利用画树状图法或列表法求概率时,各种结果出现的可能性必须相同.课时活动设计情境引入“配紫色”游戏.小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:如图是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.(1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果.(2)游戏者获胜的概率是多少?解:(1)所有可能出现的结果共有6种,树状图和表格分别如下(选择其中一种即可):B盘黄色蓝色绿色A盘红色(红,黄)(红,蓝)(红,绿)白色(白,黄)(白,蓝)(白,绿)(2)由(1)可得,共有6种结果.每种结果出现的可能性相同.其中游戏者获胜的结果有116.设计意图:通过这个转盘“配紫色”游戏,让学生再次经历利用画树状图或列表法求出概率的过程,并体会求概率时必须使每种事件发生的可能性相同,培养学生运用所学知识解决问题的能力.探究新知如果把转盘变成如图所示的转盘进行“配紫色”游戏.(1)利用画树状图或列表法表示游戏所有可能出现的结果.(2)游戏者获胜的概率是多少?12;小亮则先把转盘A的红色区域分成2等份,分别记作“红色1”“红色2”,12.B盘红色蓝色A盘红色1(红1,红)(红1,蓝)红色2(红2,红)(红2,蓝)蓝色(蓝,红)(蓝,蓝)你认为谁做得对?说说你的理由.(小组合作交流)小颖的做法不正确,小亮的做法正确.通过合作交流,学生会发现A盘中蓝色区域和红色区域的面积不同,因而指针落在这两个区域的可能性不同.而用列表法或画树状图法求随机事件发生的概率时,应注意各种情况出现的可能性务必相同.而小亮的做法把左边转盘中的红色区域分成2等份,分别记作“红色1”“红色2”,保证了左边转盘中指针落在“蓝色”“红色1”“红色2”三个区域的等可能性,因此是正确的.设计意图:通过辨析小亮和小颖方法的正确性,加深学生对等可能性的认识,明确在利用画树状图或列表的方法求概率时,各种结果出现的可能性必须相同.典例精讲例一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球,这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,再从中随机摸出一个球.求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.解:把两个红球分别记为“红1”“红2”,两个白球分别记为“白1”“白2”,则列表如下:第二次红1红2白1白2蓝第一次红1(红1,红1)(红1,红2)(红1,白1)(红1,白2)(红1,蓝)红2(红2,红1)(红2,红2)(红2,白1)(红2,白2)(红2,蓝)白1(白1,红1)(白1,红2)(白1,白1)(白1,白2)(白1,蓝)白2(白2,红1)(白2,红2)(白2,白1)(白2,白2)(白2,蓝)蓝(蓝,红1)(蓝,红2)(蓝,白1)(蓝,白2)(蓝,蓝)总共有25种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果共4种:(红1,蓝)(红2,蓝)(蓝,红1)(蓝,红2),所以P(能配425.设计意图:通过对典型例题的分析,进一步让学生体会等可能事件概率的求法,突破了本节课的难点.巩固训练1.用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏,每个转盘都被分成面积相等的三个扇形.请求出配成紫色的概率.解:列表如下,A盘红蓝白B盘红(红,红)(红,蓝)(红,白)黄(黄,红)(黄,蓝)(黄,白)蓝(蓝,红)(蓝,蓝)(蓝,白)由表格可得,一共有9种结果,每种结果出现的可能性相同,其中可以配成紫色的结果有2种:(红,蓝)(蓝,红),所以P(配成紫色)=29.2.设计两个转盘做“配紫色”游戏,使游戏者获胜的概率为13.(答案不唯一,老师引导学生做一做)设计意图:通过这两个课堂练习检验学生上课掌握情况,特别是第2题有一定难度,在设计时注意指针指向每种颜色的可能性是一样的.课堂小结1.利用画树状图法和列表法求概率时应注意什么?2.你还有哪些收获和疑惑?设计意图:培养学生及时反思的习惯,归纳本节课的收获.这种习惯不仅有助于学生深入理解课堂内容,而且能够提高他们独立思考和自主学习的能力.课堂8分钟.1.教材第68页习题3.3第1,2,3题.2.七彩作业.第3课时利用概率玩转盘游戏转盘游戏:1.转盘被分成面积相等的扇形.2.转盘被分成面积不相等扇形.教学反思。
北师大版九年级数学上册第三章概率的进一步认识复习学案
概率的进一步认识教学目标：1、认识了解有关概率的基本概念，知道概率是描述不确定现象的数学模型．；2、了解必然事件和不可能事件发生的概率，了解事件发生的可能性及游戏规则的公平性，会利用列表法和树状图求概率；3、会利用频率估计概率，掌握利用频率估计概率的条件和方法； 教学过程： 一、基础知识 1.简单事件（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这类事件称为必然事件； （2）不可能事件：有一些事件我们事先能肯定它一定不会发生，这类事件称为不可能事件；必然事件与不可能事件都是确定的。
（3）不确定事件： 。
2.概率： 。
P 必然事件=1，P 不可能事件=0，0＜P 不确定事件＜1 3.概率的计算方法（1）用试验估算：此事件出现的次数试验的总次数某事件发生的概率（2）常用的计算方法：① ；② 。
4.频率与概率的关系：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率。
二、由树状图和列表确定概率（列举法） 应用条件及注意点：（1）注意各种情况出现的可能性务必相同； （2）其中某一事件发生的概率=各种情况出现的次数某一事件发生的次数；（3）在考察各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏．(4)用列表法或树状图法求得概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率． 例题：例1 田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强.(1). 如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？ (2). 如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）解：（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜．(2).当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表： 齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P=61．例2 “石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时甲、乙双方每次出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同样手势不分胜负，假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树状图或列表的方法分别求出一次游戏中两人同种手势的概率和甲获胜的概率．（提示：为书写方便，解答时可以用S 表示“石头”，用J 表示“剪刀”，用B 表示“布”）解析：解法一：一次游戏、甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下图：所有可能出的结果：（S ，S ）（S ，J ）（S ，B ）（J ，S ）（J ，J ）（J ，B ）（B ，S ）（B ，J ）（B ，B ）从上面的树状图可以看出，一次游戏可能出现的结果共有9种，而且每种结果出现的可能性相同．所以，P （出同种手势）=93=31 P （甲获胜）=93=31解法二：一次游戏，甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下表：以下同解法一评注：（1）利用列表法、树状图法求概率必须是等可能事件. （2）对各种可能出现的情况不能遗漏或重复某种可能.例3.有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B ，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A 、B ；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．(1).用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率； (2).小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平．解析：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下： A B表格中共有9种等可能的结果，其中数字之积为3的倍数的有五种，数字之积为5的倍数的有三种，所以P （3的倍数）=95；P （5的倍数）93．（2）这个游戏对双方不公平∵小亮平均每次得分为2×95=910（分）， 小芸平均每次得分为3×93=99=1（分）． ∵910≠1，∴游戏对双方不公平．修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可． 考题在线1.在电视台举行的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论．（1）写出三位评委给出A 选手的所有可能的结论；（2）对于选手A ，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？ 答案：解：（1）画出树状图来说明评委给出A 选手的所有可能结果：甲乙 丙 通过通过待定 通过 待定 通过 待定待定通过待定通过 待定 通过 待定（2）由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．对于A选手，“只有甲、乙两位评委给出相同结论”有2种，即“通过—通过—待定”、“待定—待定—通过”，所以对于A选手“只有甲、乙两位评委给出相同结论”的概率是1 4．2.一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字3，4，5．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数．试问：按这种方法能组成哪些两位数？十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．答案：解：方法一方法二因此，能组成的两位数有：33，34，35，43，44，45，53，54，55．∴组成的两位数有9个．其中，十位上数字与个位上数字之和为9的两位数有两个，∴P（十位上数字与个位上数字之和为9的两位数）29 =．开始33 4 5 （3，3）（3，4）（3，5）43 4 5（4，3）（4，4）（4，5）53 4 5（5，3）（5，4）（5，5）三、用频率估计概率在考察中，每个对象出现的次数称为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率.当试验次数很大时，一个事件发生的频率稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 应用条件：1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A 出现的频率，稳定地在某个数值P 附近摆动．这个稳定值P ，叫做随机事件A 的概率，并记为P (A )=P ． 3．利用频率估计出的概率是近似值. 课堂练习：1．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）． A ．11000 B ．1200 C ．12D ．152．下列说法正确的是( )．A ．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；B ．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行；C ．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；D ．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．3．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（ ）． A ．110、110 B ．110、12 C ．12、110 D ．12、124．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）． A ．10粒 B ．160粒 C ．450粒 D ．500粒5．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是53，这个53的含义是（ ）． A ．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；B ．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；C ．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的53；D ．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．6．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为51，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）． A ．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；B ．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；C ．装入红球5个，白球13个，黑球2个；分)D．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个。
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概率的进一步认识
【目标】
目标一：【用树状图或表格求概率】
目标二：【用频率估计概率】
目标一：【用树状图或表格求概率】
【知识梳理】
【典型例题】
例1：准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的数字分别是1和2。
从两组牌
中各抽出一张，则两张牌都是1的概率是多少？用画树状图或列表的方式说明
理由。
例2：现有一“配紫色”游戏，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B 转出蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色一起配出了紫色。
请你通过画树状图和列表的方法求出他赢的概率。
【随堂练习】
1、选择两枚质地均匀的骰子进行投掷，（1）点数分别是3和5的概率是多少？（2）点数相加是7的概率是多少？
2、如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；
（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2-3x+2=0的解的概率．
目标二：【用频率估计概率】
【知识梳理】
一、事件的分类与例子
二、概率的概念：由于事件A发生的频率，表示该事件发生的频繁程度，频率越大，事件A 发生越频繁，这就意味着事件A发生的可能性也越大。
因此，我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性大小。
我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P（A）。
概率，又称或然率、机会率、机率或可能性。
P（必然事件）=1
P（不可能事件）=0
0＜P（随机事件）＜1（通常用分数表示）
等可能事件：设一个试验的所有可能的结果有n种，每次试验有且只有期中的一种结果出现，如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果就等可能的，每一个基本事件都是等可能事件。
【典型例题】
例1：把下列事件进行分类
A.如果|a|=|b|，那么a=b
B.三角形的内角和是360°
C.明天太阳从西边升起
D.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
E.实心铁球投入水中会沉入水底
F.抛出一枚硬币，落地后正面朝上抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上
G.打开电视频道，正在播放《十二在线》
H.射击运动员射击一次，命中十环
I.方程x2-2x-1=0必有实数根
J.单项式加上单项式，和为多项式
K.13名同学中至少有两名同学的出生月份相同
L.体育课上，小刚跑完1000米所用时间为1分钟
M.扇形统计图中，所有百分比的和为100%
例二:一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质点完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是（)
A．摸出的四个球中至少有一个球是白球
B．摸出的四个球中至少有一个球是黑球
C．摸出的四个球中至少有两个球是黑球
D．摸出的四个球中至少有两个球是白球
例三：掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，如图．观察向上的一面的点数，下列属必然事件的是（）
A．出现的点数不会是0 B．出现的点数是7
C．出现的点数是2 D．出现的点数为奇数
【随堂练习】
1.一个事件的概率不可能是（ ） A.0 B.21 C.1 D.2
3 2.小明和三个女生，四个男生玩丢手绢的游戏，小明随意将手绢丢在一名同学后面，那么这名同学不是女生的概率是（ ） A.43 B.83 C.7
4 D.7
3 3.有六张卡片：上面各写有1、1、2、3、4、4六个数，从中任意摸一张，摸到奇数的概率是（ ） A.61 B.21 C.31 D.3
2 4.用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（ ） A.31 B.41 C.51 D.6
1 5.小刚掷一枚硬币，一连9次都掷出正面朝上，当他第十次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（ ） A.0 B.1 C.21 D.3
2 6.下列说法错误的是（ ）
A.彩票的中奖率只有三百八十万分之一，买一张根本不会中奖
B.两点确定一条直线
C.过一点可画无数条直线
D.太阳绕着地球转的概率是0
【作业布置】
1.一个袋中有4个珠子,其中2个红色,2个蓝色,除颜色外其余特征均相同,若从这个袋中任取2个珠子,都是蓝色的概率是（ ） A.12 B.13 C.14 D.16
2. 从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是p 1，摸到红球的概率是p 2，则( )
A.p 1=1，p 2=1．
B.p 1=0，p 2=1．
C.p 1=0，p 2=14．
D.p 1=p 2=14
3.如图1所示是用相同的正方形砖铺成的地板，一宝
物藏在某一块下面，宝物在白色区域的概率是（ ） A.95 B.92 C.6
1 D.21 4.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物卷的概率是多少？他得到100元、50元、20元购物卷的概率分别是多少？
5.任意掷一枚质地均匀的骰子。
（1）掷出的点数大于4的概率是多少？
（2）掷出点数是偶数的概率是多少？。