(五年高考真题)2018届高考数学复习 第一章 第二节 命题及其关系、充要条件 理(全国通用)
2018年高考数学人教A版 文科课件：1-2命题及其关系、
充分不必要 __________________ 条件．
解析：若四边形 ABCD 为菱形，则 AC⊥BD；反之，若 AC ⊥BD，则四边形 ABCD 不一定为菱形．故“四边形 ABCD 为菱 形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
(2)[2015· 安徽卷改编]设 p：x＜3，q：－1＜x＜3，则 p 是 q
(1)[教材习题改编]命题“若 m＜0，则方程 x2＋x－2m＝0 有
2 若 m ≥ 0 ，则方程 x ＋x－2m＝0 无实根 ． 实根”的否命题是_____________________________________
(2)[教材习题改编]“若 a，b 都是偶数，则 ab 必是偶数”的
若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数 逆否命题为_________________________________________ ．
[点石成金]
判断一个命题真假的方法
(1)直接法： 判断一个命题为真命题， 要给出严格的推理证明． 适合题型：简单命题判断． (2)反例法： 判断一个命题是假命题， 只需举出一个反例即可． 适合题型：简单命题判断． (3)转化法： 要判断原命题的真假， 可判断其逆否命题的真假， 要判断原命题的逆命题的真假，可以判断原命题的否命题的真 假． 否定式语句表达的命题可转化为肯定式语句表达的等价命题 判定． 适合题型：复杂命题判断．
p，则綈 q”，即只否定结论．
3．四种命题及其相互关系 ①四种命题间的相互关系：
答案：(1)若 q，则 p
若綈 p，则綈 q
若綈 q，则綈 p
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题 ________，
逆命题 ． 原命题的否命题等价于________ 在四种形式的命题中真命题的 0,2,4 ． 个数只能是________
2018届高三数学文一轮复习课件：1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件 精品
微考点
充分条件、必要条件的应用
【典例 5】设条件 p：2x2－3x＋1≤0；条件 q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，
若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是________。
解析：由 2x2－3x＋1≤0 得12≤x≤1， 由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0 得 a≤x≤a＋1。
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：解不等式|x－2|＜1 可得，1＜x＜3，解不等式 x2＋x－2＞0 可得，x ＜－2 或 x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件。
答案：A
4．(2015·重庆卷)“x＞1”是“log1 (x＋2)＜0”的( )
2
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
命题为 p⇒綈 q 但綈 qA⇒/ p，所以 p 是綈 q 的充分不必要条件，故选 A。 答案：A
[规律方法] 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断。 (2)集合法：根据 p，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断。 (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化 为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如 “xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1 且 y＝1”是 “xy＝1”的何种条件。
＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命
题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( A )
A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
解析：(1)f′(x)＝ex－m，由f(x)在(0，＋∞)上是增函数知f′(x)≥0，即 m≤ex在x∈(0，＋∞)上恒成立，又ex＞1，从而m≤1，则原命题是真命题。对 于A，否命题写错，故A错；对于B，逆命题写对，但逆命题是真命题，故B 错；对于C，逆否命题写错，故C错；对于D，逆否命题写对，且为真命题，故 选D。
专题1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件练-2018年
2018年高考数学讲练测【新课标版理】【练】第一章 集合与常用逻辑用语第02节 命题及其关系、充分条件与必要条件A 基础巩固训练1. 【2017湖南衡阳二联】已知集合{}1A x x =-， {|1}B x x =≥，则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是（ ）A. 11x -<≤B. 1x ≤C. 1x >-D. 11x -<<【答案】D【解析】由已知条件：若满足x A ∈，则1x >-，若x B ∉，则1x <-，所以满足题意的即： 11x -<<2. 已知x R ∈，则“1x <”是“21x <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B3. 【2017届辽宁锦州一模】设命题p ：实数,x y 满足： ()()22112x y -+-≤，命题：实数,x y 满足： 1{11y x y x y ≥-≥-≤，则p 是的（ ）条件A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】命题p 表示一个实心圆, 命题表示一个三角形及其内部,如图,所以p 是的必要不充分条件4. 已知m 为实数，为虚数单位，若复数21m i z i+=+，则“2m >-”是“复数在复平面上对应的点在第四象限”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知集合()(){|0},{|24},{|420}x A x lgx B x C x x x =≥=≤=-+≤ ，则“x A B ∈⋂ ”是“x C ∈ ”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条【答案】A【解析】由题意可得： {|1},{|2},{|24}A x x B x x C x x =≥=≤=-≤≤，则{|12}A B x x ⋂=≤≤，则“x A B ∈⋂ ”是“x C ∈ ”充分不必要条件.本题选择A 选项.B 能力提升训练1.设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.2．已知函数()f x 定义域为R ，则命题p ：“函数()f x 为偶函数”是命题：“000,()()x R f x f x ∃∈=-”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A3．【2017届山东日照三模】命题:sin21p x =，命题:tan 1q x p q =，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由sin21,x =得π2+2π,2x k k Z =∈，即π+π,4x k k Z =∈，由t a n 1,x =得π+π,4x k k Z =∈，∴p 是的充要条件．故选：C ． 4．【2017届江西重点中学二联】下列命题中真命题的个数是（ ）①若p q ⋂是假命题，则,p q 都是假命题；②命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”； ③若1:1,:1p x q x≤<，则p ⌝是的充分不必要条件． ④设随机变量X 服从正态分布()3,7N ，若(1)(1)P X C P X C >+=>-，则3C =．A. B. C. D.【答案】C【解析】②③④正确，故选择C.5．下列命题：①已知m ，表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件；②不存在()0,1x ∈，使不等式23log log x x <；③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；④R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数．正确的命题序号是 ．【答案】①C 思维拓展训练1．设角A,B,C 是ABC ∆的三个内角,则“C B A <+”是“ABC ∆是钝角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 C B A <+,则.2π>C 若ABC ∆是钝角三角形,则C 不一定为钝角,C B A <+不一定成立,故选A. 2．设命题()43120:0,,0312x y p k x x y k R k x y +-⎧⎪-∈>⎨⎪+⎩且≥≥≤;命题()()22:327,q x y x y R -+∈≤，若p 是q 的充分不必要条件.则k 的取值范围是 .【答案】(0,6]【解析】命题p 表示的范围是图中ABC ∆内部（含边界），命题q 表示的范围是以点(3,0)为圆心，p 是q 的充分不必要条件，说明ABC ∆在圆内，实际上只须,,A B C 三点都在圆内（或圆上）即可.CB Ak1234O yx3．设,a b 是两个非零向量，则“0a b ⋅>"是“,a b 夹角为锐角”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B4．．已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.5．【2017安徽池州4月联考】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，则命题:P “12,x x R ∀∈，且12x x ≠， ()()12122017f x f x x x -<-”是命题Q ：“x R ∀∈，()2017f x '<”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也必要条件【答案】B。
2018年高考数学(理)一轮复习文档 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第讲 命题及其关系、充分条件与必要条件．命题的语句叫真的陈述句叫做命题．其中判断为真假可以判断，用语言、符号或式子表达的的语句叫做假命题．假判断为，做真命题 ．四种命题及其关系()四种命题间的相互关系()四种命题的真假关系的真假性；相同它们有，两个命题互为逆否命题①．没有关系它们的真假性，两个命题为互逆命题或互否命题② ．充分条件、必要条件与充要条件条件；必要是的，则是的充分条件，⇒若() ()若⇒且，则是的充分不必要条件；()若且⇒，则是的必要不充分条件；()若⇔，则是的充要条件．．辨明两个易误点()否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．()注意区别是的充分不必要条件(⇒且)，与的充分不必要条件是(⇒且)两者的不同．．充要条件常用的三种判断方法()定义法：直接判断若则、若则的真假．()等价法：利用⇒与綈⇒綈，⇒与綈⇒綈，⇔与綈⇔綈的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．()利用集合间的包含关系判断：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．“(－)(＋)＝”是“＝”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件“>”是“－－>”的( )．充要条件．充分而不必要条件．必要而不充分条件．既不充分也不必要条件因为－－>，所以该不等式的解集为{<－或>}，所以>⇒－－>.但－－>>，所以“>”是“－－>”的充分而不必要条件．．(·高考山东卷)设∈，命题“若>，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是( )．若方程＋－＝有实根，则>．若方程＋－＝有实根，则≤．若方程＋－＝没有实根，则>．若方程＋－＝没有实根，则≤根据逆否命题的定义，命题“若>，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是“若方程＋．－＝没有实根，则≤”．故选命题：“若一个三角形的两边不相等，则这两条边所对的角也不相等”的否命题是．“若一个三角形的两边相等，则这两条边所对的角也相等”四种命题的相互关系及真假判断()(·银川模拟)命题“若＋＝，，∈，则＝＝”的逆否命题是( )．若≠≠，，∈，则＋＝．若＝≠，，∈，则＋≠．若≠且≠，，∈，则＋≠．若≠或≠，，∈，则＋≠()命题：“矩形的对角线相等”的逆命题为，则与的真假性是( )．真真．真假。
(浙江专版)2018高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件课时
课时分层训练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0D[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]2．(2017·杭州调研)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]3．“x>1”是“log12(x＋2)<0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件B[∵x>1⇒log12(x＋2)<0，log12(x＋2)<0⇒x＋2>1⇒x>－1，∴“x>1”是“log12(x＋2)<0”的充分不必要条件．]4．给出下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是( ) 【导学号：51062009】 A ．③④ B ．①③ C ．①②D ．②④A [对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]5．(2017·嘉兴期末测试)设α，β是两个不同的平面，m 是直线，且m ⊂α，则“m ⊥β”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β的位置关系不确定，所以“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.]6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件A [由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R (R 为三角形外接圆半径)得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，故a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B ．]7．已知条件p ：x 2－2ax ＋a 2－1>0，条件q ：x >2，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) 【导学号：51062010】A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥－3D ．a ≤－3B [条件p ：x >a ＋1或x <a －1，条件q ：x >2， 又q 是p 的充分不必要条件，故q ⇒p ，pD ⇒/q ，所以a ＋1≤2，即a ≤1.] 二、填空题8．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.【导学号：51062011】2 [由a ＞bDac 2＞bc 2，但ac 2＞bc 2⇒a ＞b .所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题． 从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]9．“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．充分不必要 [x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，因为m ＜14⇒m ≤14，反之不成立．故“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．]10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062012】(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知AB ，所以a ＞4.]B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·宁波调研)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α. 由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．]2．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．] 3．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．]4．已知不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 [由|x －m |＜1得－1＋m ＜x ＜1＋m ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12x |－1＋m ＜x ＜1＋m }，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43，所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.]百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
2018年高考考点完全题数学理考点通关练习题 第一章 集合与常用逻辑用语 2 含答案 精品
考点测试2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础小题1．命题“若a∉A，则b∉B”的否命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∈BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∈A答案 B解析由原命题与否命题的定义知选B.2．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是( )A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0答案 D解析写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为( ) A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题答案 C解析根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2＋3x－4＝0，得x＝－4或1，故选C.4．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )A．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是奇数C．真命题的个数一定是偶数D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数答案 C解析在原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数．5．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈(A∩B)”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析如果x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B；但当x∈A，x∉B时，x∉(A∩B)，所以“x∈A”是“x∈(A∩B)”的必要不充分条件，故选B.6．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“已知a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题答案 B解析对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，原命题为真，所以逆否命题为真，逆命题、否命题均为假，故选项D为假命题．综上可知，选B.7．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为集合N ＝{x |0<x ≤2}是M ＝{x |0<x ≤3}的真子集，故由a ∈M 不能得到a ∈N ，由a ∈N 可以得到a ∈M ，所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要不充分条件．8．a <0，b <0的一个必要条件为( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0 C ．a b >1 D ．a b<－1答案 A解析 若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0，故选A.9．在等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“a 3<a 6”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，若a 1<a 3，则a 1(1－q 2)<0，因为a 1>0，所以1－q 2<0，故q >1或q <－1，又a 3－a 6＝a 1q 2(1－q 3)，若q >1，则a 3<a 6，若q <－1，则a 3>a 6，故充分性不成立．反之，若a 3<a 6，则1－q 3<0，故q >1，则a 1<a 3，必要性成立，故“a 1<a 3”是“a 3<a 6”的必要不充分条件，选B.10．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的________．(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”)答案 逆否命题解析 由4种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题． 11．若“x ∈或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 答案 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线a ，b 相交，设交点为P ，则P ∈a ，P ∈b .又a ⊂α，b ⊂β，所以P ∈α，P ∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．14．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 |a ＋b |＝|a －b |⇔|a ＋b |2＝|a －b |2⇔a ·b ＝0.而|a |＝|b |⇒/ a ·b ＝0，且a ·b＝0⇒/ |a |＝|b |，故选D.15．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n－1＋a 2n <0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0，则a 1＋a 2<0，又a 1>0，所以a 2<0，所以q ＝a 2a 1<0；若q <0，可取q ＝－1，a 1＝1，则a 1＋a 2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0.所以“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件．故选C.16．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 如图作出p ，q 表示的区域，其中⊙M 及其内部为p 表示的区域，△ABC 及其内部(阴影部分)为q 表示的区域，故p 是q 的必要不充分条件．17．“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵sin α＝cos α⇒tan α＝1⇒α＝k π＋π4，k ∈Z ，又cos2α＝0⇒2α＝2k π＋π2或2k π＋3π2(k ∈Z )⇒α＝k π＋π4或k π＋3π4(k ∈Z )，∴sin α＝cos α成立能保证cos2α＝0成立，但cos2α＝0成立不一定能保证sin α＝cos α成立，∴“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．18．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b>3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 “3a >3b>3”等价于“a >b >1”，“log a 3<log b 3”等价于“a >b >1或0<a <1<b 或0<b <a <1”，从而“3a >3b>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．故选B.三、模拟小题19．已知p ：a <0，q ：a 2>a ，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为綈p ：a ≥0，綈q ：0≤a ≤1，所以綈q ⇒綈p 且綈p ⇒/ 綈q ，所以綈p 是綈q 的必要不充分条件．20．若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是( ) A ．綈p 是q 的必要不充分条件 B ．綈q 是p 的必要不充分条件 C ．綈p 是綈q 的必要不充分条件 D ．綈q 是綈p 的必要不充分条件 答案 C解析 由p 是q 的充分不必要条件可知p ⇒q ，q ⇒/ p ，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q ⇒綈p ，綈p ⇒/ 綈q ，∴綈p 是綈q 的必要不充分条件．故选C.21．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1 D ．－1<x <1答案 D解析 由题意可知，x ∈A ⇔x >－1，x ∉B ⇔－1<x <1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1<x <1.故选D.22．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．23．若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．t ≤－1B ．t >－1C ．t ≥3D ．t >3答案 D解析 P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3，选D.24．已知函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填写)答案 充要解析 若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x－11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12.∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由对数式有意义得1<t <52.(2)∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．解法一：因方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>52，解得a >12.解法二：令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)，因f (1)＝0，故只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，解得a >12.2．已知条件p ：|5x －1|>a 和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给出的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解 已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ， ∴x <1－a 5或x >1＋a5.已知条件q 即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1；令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然．故可以选取一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q . 3．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解 解法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p ：A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， ∴綈q ：B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴B A ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.解法二：∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴q 是p 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．∴P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.4．已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }． (1)若(P ∪S )⊆P ，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)要使(P ∪S )⊆P ，则S ⊆P . ①若S ＝∅，此时m <0.②若S ≠∅，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.综合①②知实数m 的取值范围为(－∞，3]．(2)由题意“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则S ＝P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，∴这样的m 不存在．。
[配套K12]2018版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件真题演
2018版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件真题演练集训 理 新人教A 版1．[2015·山东卷]设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0答案：D解析：根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．故选D.2．[2015·北京卷]设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥β D ⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．3．[2015·重庆卷]“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵ x ＞1⇒log 12 (x ＋2)＜0，log 12 (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴ x ＞1是log 12(x ＋2)＜0的充分而不必要条件．4．[2016·四川卷]设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选A.课外拓展阅读根据充要条件求参数取值范围的方法1．解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解；有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决．2.在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验，在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．[典例] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[答案] [9，＋∞)[解析] 解法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得 －2≤x ≤10，∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，设A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴綈q 对应的集合为{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}，设B ＝{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}．∵綈p 是綈q 的必要而不充分的条件，∴B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取得等号，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．解法二：∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴q 是p 的必要而不充分条件，即p 是q 的充分而不必要条件．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分而不必要条件知N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取等号，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．方法点睛本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．。
2018年高考数学第一章集合与常用逻辑用语课时达标2命题及其关系充分条件与必要条件理
2018年高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 课时达标2 命题及其关系、充分条件与必要条件 理 [解密考纲]考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义，与高中所学知识交汇考查，常以选择题、填空题的形式呈现，考卷中常排在靠前的位置． 一、选择题 1．(2016·上海卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的( A ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．原命题为“△ABC中，若cos A<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( B ) A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．真，假，假 解析：因为cos A<0,0从而逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形，可能是B或C为钝角，A为锐角，则cos A>0，所以逆命题为假，从而否命题也为假，故选B． 3．(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2
不相交，则( A )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A． 4．(2017·安徽合肥八中月考)已知a，b是两个非零向量，给定命题p：|a＋b|＝|a|＋|b|；命题q：∃t∈R，使得a＝tb；则p是q的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a与b同向，∃t∈R，使得a＝tb⇔a与b同向或反向，显然p⇒q，q⇒/p，故选A． 5．(2016·四川卷)A＝{x||x－1|≥1，x∈R}，B＝{x|log2x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的( B ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 解析：由已知得A＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，B＝(2，＋∞)，若“x∈B”，则必有“x∈A”，反之不成立，即得“x∈A”是“x∈B”的必要非充分条件，故选B． 6．下列四个选项中错误的是( B ) A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1” B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题 C．若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0 D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件 解析：对于A，显然是正确的；对于B，根据复合命题的真值表知，有p真q假、p假q真、p真q真三种情况，故选项B是错误的；对于C，由全称命题的否定形式知选项C是正确的；对于D，x2－3x＋2>0的解是x>2或x<1，故选项D是正确的． 二、填空题 7．(2017·山东邹城模拟)已知命题p：“若a>b>0，则log12 ap
2018届高考数学理大一轮复习教师用书：第一章第二节命
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件突破点(一) 命题及其关系1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.[例1] A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] 取x ＝－1，排除B ；取x ＝y ＝－1，排除C ；取x ＝－2，y ＝－1，排除D. [答案] A[方法技巧]本节主要包括2个知识点： 1.命题及其关系； 2.充分条件与必要条件.判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2](1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是()A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0[解析](1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．[答案](1)C(2)C[方法技巧]1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点一]下列命题中为真命题的是( ) A ．mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程B ．抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点C ．互相包含的两个集合相等D ．空集是任何集合的真子集解析：选C A 中，当m ＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B 中，当Δ＝4＋4a <0，即a <－1时，抛物线与x 轴无交点，故是假命题；C 是真命题；D 中，空集不是本身的真子集，故是假命题．2．[考点二]命题“若x 2＋y 2＝0，x ，y ∈R ，则x ＝y ＝0”的逆否命题是( ) A ．若x ≠y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2＝0 B ．若x ＝y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 C ．若x ≠0且y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 D ．若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0解析：选D 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x ＝y ＝0知x ＝0且y ＝0，其否定是x ≠0或y ≠0.故原命题的逆否命题是“若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0”．3．[考点二]命题“若△ABC 有一个内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一个内角为π3”，它是真命题．故选D.4．[考点二]有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二)充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念2.A BB A[例1]x，y满足x＋y ＞2，则p是q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2016·天津高考)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，∴x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．(2)当x ＝1，y ＝－2时，x ＞y ，但x ＞|y |不成立；若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y .所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．[答案] (1)A (2)C [方法技巧]充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．充分条件与必要条件的应用[例2] (1)2( )A ．a ≥1B ．a >1C ．a ≥4D ．a >4(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[解析] (1)命题可化为∀x ∈[1,2)，a ≥x 2恒成立． ∵x ∈[1,2)，∴x 2∈[1,4)．∴命题为真命题的充要条件为a ≥4.∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a >4，故选D. (2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] (1)D (2)[0,3][方法技巧]根据充分、必要条件求参数的思路方法根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一](2017·长沙四校联考)“x >1”是“log 2(x －1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由log 2(x －1)<0得0<x －1<1，即1<x <2，故“x >1”是“log 2(x －1)<0”的必要不充分条件，选B.2．[考点二]已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]解析：选A 由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，解得x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.3．[考点一](2017·太原模拟)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件．4．[考点二]已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A 设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.5．[考点一]已知函数f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x－1＋a 是奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 即f (－x )＋f (x )＝0， ∴13x－1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x－1＝0， 即2a ＋3x －11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，所以f (x )＝13x－1＋12，f (－x ) ＝13－x－1＋12＝－13x －1－12＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件． 答案：充要[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x) 在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p，则q是一个假命题，由极值的定义可得若q，则p是一个真命题．故选C.2．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析：选C∵复数z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝2，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．[课时达标检测] 基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖一、选择题1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：选D根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若(2x－1)x＝0，则x＝12或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．3．“a<0，b<0”的一个必要条件为()A．a＋b<0 B．a－b>0C.ab >1 D.ab<－1 解析：选A 若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0，故选A.4．已知命题p ：“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”，则下列说法正确的是( ) A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2” C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x <2ab ”解析：选C 命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”，故A ，B 都错误；命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”，故C 正确，D 错误．5．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A f (x )是定义在R 上的奇函数可以推出f (0)＝0，但f (0)＝0不能推出函数f (x )为奇函数，例如f (x )＝x 2.故选A.6．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．7．“a ＝2” 是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A “a ＝2”可以推出“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不能推出．故“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．8．(2017·杭州模拟)已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1，且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．9．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ；当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．10．(2017·烟台诊断)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选A p ：|x |≤2等价于－2≤x ≤2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以有[－2,2]⊆(－∞，a ]，即a ≥2.11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④D ．②和④解析：选D 只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．12．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当k ＝1时，l ：y ＝x ＋1，由题意不妨令A (－1,0)，B (0,1)，则S △AOB ＝12×1×1＝12，所以充分性成立；当k ＝－1时，l ：y ＝－x ＋1，也有S △AOB ＝12，所以必要性不成立． 二、填空题13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<314．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b”的否命题； ②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：②③15．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)16．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]。
高考数学试题-【理科】2018年高考数学第一轮知识点专
第2讲命题及其关系、充要条件一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.解析x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－2 3.答案－2 32．对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：①若f(－2)＝f(2)，则f(x)为偶函数；②若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；③若f(－2)＝f(2)，则f(x)一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．解析①设f(x)＝x(x2－4)，则f(－2)＝f(2)，但f(x)是奇函数；②正确；③设f(x)＝0(x∈R)，则f(－2)＝f(2)＝0，f(x)是奇函数．所以②正确．答案②3．下列命题是假命题的是________(填序号)．①命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”；②若0<x<π2，且x sin x<1，则x sin2x<1；③互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线；④“x>2”是“3x＋1－1≤0”的充分不必要条件．解析①正确；②由0<x<π2，得0<sin x<1，又x sin x<1，则x sin2x<sin x<1，②正确；③射影可能是点，③不正确；④由3x＋1－1≤0，得x<－1或x≥2，所以④正确．答案③4．“a＝3”是“直线ax＋3y＝0与直线2x＋2y＝3平行”的________条件．解析本题考查了充分、必要条件的判断及两直线平行的充要条件．解决本题的关键是牢记两直线平行的充要条件．直线ax＋3y＝0与直线2x＋2y＝3平行的充要条件是a 2＝32≠03，解得a ＝3. 答案 充要条件 5．有下面四个判断：①命题“设a 、b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题；③命题“∀a 、b ∈R ，a 2＋b 2≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤2(a －b －1)”；④若函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3.其中正确的有________个．解析 对于①：此命题的逆否命题为“设a 、b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p 或q ”为真，则p 、q 至少有一个为真命题，②错误；“∀a 、b ∈R ，a 2＋b 2≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2<2(a －b －1)”，③错误；对于④：若f (x )的图象关于原点对称，则f (x )为奇函数，则f (0)＝ln(a ＋2)＝0，解得a ＝－1，④错误． 答案 0 6．给出下列命题：p ：函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； q ：∃x ∈R ，使得log 2(x ＋1)<0；r ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1.其中所有的真命题是________．解析 本题考查简易逻辑中的相关知识．对于p ：f (x )＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，最小正周期T ＝π，故p 为真命题；对于q ：因为log 2(x ＋1)的范围是R ，所以∃x ∈R ，使得log 2(x ＋1)<0，故q 为真命题；对于r ：由(a ＋b )∥c 得λ－1＋λ2＋1＝0，∴λ＝0或λ＝－1，故r 为假命题． 答案 p 、q7．下列命题中，①△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等边三角形的充要条件为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ；②数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件；③A ＝B 是sin A ＝sin B 的充分不必要条件；④已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是不等于零的实数，关于x 的不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为P 、Q ，则a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的充分必要条件． 其中正确的命题是________．解析 △ABC 中，由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，得(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝0，则a ＝b ＝c ；若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，故ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋b 2＋c 2，故①正确．S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的充要条件，故②错．显然③正确．对于④，由于两不等式的系数不确定，由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2不能推出P ＝Q ；反之P ＝Q 时，若P ＝Q ＝∅，则不一定有a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，故a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的既不充分也不必要条件． 答案 ①③8．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值范围是________．解析 设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，⎩⎨⎧Δ＝（2a －1）2－4（a 2－2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥2.即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，949．若三条抛物线y ＝x 2＋4ax －4a ＋3，y ＝x 2＋(a －1)x ＋a 2，y ＝x 2＋2ax －2a 中至少有一条与x 轴有公共点，则a 的取值范围是________________． 解析 假设这三条抛物线与x 轴均无公共点，则⎩⎨⎧Δ1＝（4a ）2－4（－4a ＋3）<0，Δ2＝（a －1）2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4（－2a ）<0，解得－32<a <－1.记A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，则所求a 的范围是∁R A ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)10．使得关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件的a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，原方程变形为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根，当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a ， 当有一负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a＜0⇔a ＜0，有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a ＜0，⇔0＜a ≤1.1a ＞0综上所述，a ≤1.答案 (－∞，1] 二、解答题11．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解：(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0， 由4x ＋p <0得x <－p 4，故－p4≤－1时， “x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．(2)若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件，则x 2－x －2>0的解集是4x ＋p <0的解集的子集，由题知不存在．故不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件．12．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．问：这个命题的逆命题是否成立，并给出证明．解 逆命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0”． 该命题是真命题，证明如下：法一 (利用原命题的逆命题与否命题等价证明)： 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ， 因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， 因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，因为原命题的逆命题与它的否命题等价，所以该命题正确． 法二 (用反证法给出证明)： 假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， 因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，该命题正确．13．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5.∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1. 又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件， ∴⎩⎨⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4.14．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a 2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时， A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪ x －2x －52<0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <52， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x －94x －12<0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <94， ∴∁U B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥94.∴(∁U B )∩A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪94≤x <52. (2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意； ③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}， 由A ⊆B 得⎩⎨⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述：a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52。
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第二节 命题及其关系、充要条件
考点一 四种命题及其关系
1.(2014·辽宁，5)设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；
命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)
解析 如图，若a＝A1A→，b＝AB→，c＝B1B→，则a·c≠0，命题
p
为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题.故选A.
答案 A
2.(2014·重庆，6)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”
的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.綈p∧綈q
C.綈p∧q D.p∧綈q
解析 依题意，命题p是真命题.由x>2⇒x>1，而x>1D/⇒x>2，因此“x>1”是“x>2”
的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.
答案 D
3.(2014·陕西，8)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否
命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A.真，假，真 B.假，假，真
C.真，真，假 D.假，假，假
解析 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，
这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的.故选B.
答案 B
4.(2013·天津，4)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切.
其中真命题的序号是( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
解析 对于①，设原球半径为R，则V＝43πR3，r＝12R，∴V′＝43π×12R3＝πR36＝18V，
故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差不一定相等；对于③，圆心(0，0)，
半径为22，圆心(0，0)到直线的距离d＝12＝22，故直线和圆相切，故①③正确.
答案 C
5.(2017·湖南，2)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠1
C.若tan α≠1，则α≠π4 D.若tan α≠1，则α＝π4
解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故
选C.
答案 C
6.(2011·陕西，1)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A.若a≠－b，则|a|≠|b| B.若a＝－b，则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|，则a≠－b D.若|a|＝|b|，则a＝－b
解析 ∵逆命题是以原命题的结论为条件，条件为结论的命题，∴这个命题的逆命题为：
若|a|＝|b|，则a＝－b.
答案 D
考点二 充分条件与必要条件
1.(2015·湖南，2)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由A∩B＝A可知，A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.
答案 C
2.(2015·陕西，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 ∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin
α⇒/ sin α＝cos α，故选A.
答案 A
3.(2015·安徽，3)设p：1
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当1
答案 A
4.(2015·重庆，4)“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由x＞1⇒x＋2＞3⇒log12(x＋2)＜0，log12(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“
x
＞1”是“log12(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.
答案 B
5.(2015·北京，4)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”
的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 m⊂α，m∥β⇒/α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而
不充分条件.
答案 B
6.(2015·福建，7)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”
的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 m垂直于平面α，当l⊂α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分
性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立.故选B.
答案 B
7.(2015·天津，4)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由|x－2|＜1得，1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x＜3⇒
x
＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞1⇒/ 1＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”
的充分而不必要条件，选A.