数值计算方法期末试题及答案
《数值计算办法》试题集及参考答案
精心整理《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，式为。
答案：-1，)3)(1(2)3)(2(21)(2-----=x x x x x L 4、近似值5、设)(x f ()；答案1n x =+6、对)(x f =]4,3,2,1(0)；78n 次后的误差限为(12+-n ab )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。
14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 代矩阵的谱半径)(M ρ=121。
15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l (1l )1(716)(2-+=x x x x N 。
16、(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代21]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
22、已知≤≤≤≤3110(x x S 是三次样条函数，则a =(3 )，b 23、(),(10l x l Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，=k 0(j)，当时=++=)()3(204x l x xk k k k (324++x x )。
《数值计算方法》试题集及答案要点
《数值计算⽅法》试题集及答案要点《数值计算⽅法》复习试题⼀、填空题：1、----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ?=。
答案：--??--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得?≈31_________)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗⽇插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差； 8、⽤⼆分法求⾮线性⽅程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为(12+-n a b )；9、求解⼀阶常微分⽅程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为()],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y)；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、两点式⾼斯型求积公式?10d )(x x f ≈(?++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f)，代数精度为( 5 )；12、解线性⽅程组A x =b 的⾼斯顺序消元法满⾜的充要条件为(A 的各阶顺序主⼦式均不为零)。
数值计算方法期末试题及答案 经过订正
1 0,
1 0.4 1 0.16 0 ,
0.4 1
1 0.4 0.4 0.4 1 0.8 0.296 0 0.4 0.8 1
A 正定
5分
1 0.4 0.4
2D A 0.4 1 0.8
0.4
0.8
1
1 0,
1 0.4 1 0.16 0 ,
0.4 1
1 0.4 0.4 0.4 1 0.8 0.216 0 0.4 0.8 1
2D A 不正定.即 A 和 2D A 不同时正定
8分
故,Jacobi 法发散.
2. 高斯-塞德尔法:由 1 知, A 是实对称正定矩阵,所以 Gauss-Seidel 法收敛.
其迭代格式为
x1(k x2(k
1) 1)
1 0.4 x2(k ) 0.4 x3(k ) 2 0.4 x1(k 1) 0.8 x3(k )
5分
y3 0.1x2 0.9 y2 0.1 0.2 0.9 0.82 0.758
y4 0.1x3 0.9 y3 0.1 0.3 0.9 0.758 0.7122
7分
解：2.建立具体的改进的 Euler 公式:
yp
yn
hf
( xn,
yn )
0.1xn
0.9 yn
yc yn hf ( xn1, y p ) 0.09xn 0.91 yn 0.01
（14 分）
解：1 .建立具体的 Euler 公式:
yn1 yn hf ( xn, yn ) yn 0.1( xn yn ) 0.1xn 0.9 yn 3 分
已知 y0 1 , xn 0.1n , n 0,1,2,3,4 ，则有：
y1 0.1x0 0.9 y0 0.9
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
上海交通大学计算方法(数值分析)期末试卷 (2)
上海交通大学研究生试卷
《计算方法》
一、已知及拟合这批数据的非线性数学模型
1．如何将非线性模型线性化？
2．写出线性化模型中待定系数的法方程。
3．设数据如下：
0123
2.010 1.2100.74000.4500
求出拟合上述数据的非线性拟合函数。
二、给定求解常微分方程初值问题的线性多步公式
其中：
试确定系数，使它具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。
三、设，其中：为阶单位阵，为非零实数，
1．试确定之值，使得为阵（初等反射阵）
2．取，求的-条件数
四、设阶实矩阵的特征值满足：，对应的特征向量满足满足。
求矩阵
的按模最小特征值的算法如下：
其中：表示向量的绝对值最大的分量，为任一非零向量。
记为向量的Rayleigh商。
1．证明：
2．设，对作分解
3．取，计算，和
五、设为对称正定矩阵. 考虑迭代格式：
1． 求证：对任意初始向量，序列{}收敛，且收敛到之解.
2． 取，。
求上述迭代的收敛速度。
六、求以0，1，2为样条节点并满足下列插值条件的三次样条函数S(x)：
S(0)=0, S’(0)=0;
S(1)=1;
S(2)=0, S’(2)=0.
七、证明
若f(a)=f(b)=0,则：。
数值计算方法期末复习答案终结版
1．误差：设 x* 为准确值 x 的一个近似值，称 e(x*) x x* 为近似值 x* 的绝对误差，简称误
差。
2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其
精确程度。如果近似值 x* 的误差限是 1 10n ，则称 x* 准确到小数点后 n 位， 2
并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着
4.
用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数
据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
|| x || 满足
向量范数：设对任意向量
（1） ||
x
||
Байду номын сангаас
（2）对任意实数
（3）对任意
0
，且
x,
y
则称|| x || 为向量 x 的范数。
||
x
x
||
，都有
Rn
0
R
n
，按一定的规则有一实数与之对应，记为
当且仅当
，都有 ||
||
x
x
|||
5. 插值法：给出函数 f (x) 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分
y
x
|
||||
段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数(x) 作为
f (x) 的近似的方法。
6 相对误差：设 x* 为准确值 x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值 x* 的相对
误差，记为 er
( x* )
，即
er
数值计算方法期末复习答案终结版
一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。
2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。
5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。
6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。
若||||A 满足（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 的范数。
《数值计算方法》试题与答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？ 解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
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一、选择题（每小题4分，共20分）
1。
误差根据来源可以分为四类,分别是（ A ）
A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差;
B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差;
C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；
D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差.
2。
若,则其六阶差商（ C ）
A. 0； B 。
1； C 。
2； D. 3 。
3。
数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ）
A 。
0； B. 1； C 。
2； D. 3 。
4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法 （ B ）
A. 都发散;
B 。
都收敛
C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散；
D 。
Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。
5。
对于试验方程，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ）
A 。
； B. ；
C. ；
D. ；
二、填空题（每空3分,共18分）
1。
已知，则 ， 16 ，
2. 已知，则 f (x ）的线性插值多项式为，且用线性插值可得f （7）= 2。
6 。
3。
要使的近似值的相对误差界小于0。
1％,应至少取 4 位有效数字.
三、利用下面数据表，
1。
用复化梯形公式计算积分的近似值; 解：1.用复化梯形公式计算 取 1分
2。
用复化Simpson 公式计算积分的近似值。
（要求计算结果保留到小数点后六位）。
（14分）
解:用复化辛甫生公式计算 取 8分
四、已知矩阵，求矩阵A 的Doolittle 分解。
(10分)
解:用紧凑格式法
2分
5分
8分
10分
五、用Newton 迭代法求解方程在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。
(12分）
解： ，
6分
8分
， 11分
故，方程的近似根为1。
8974 12分
六、对下面线性方程组 （12分）
1。
判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；
2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛,若收敛则写出其迭代格式；
解 1. 雅可比法：
是对角元素为正的实对称阵,下面判别是否同时正定:
正定 5分
10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6
2.4 2.2 2.0 1.8 x
不正定.即不同时正定8分
故,Jacobi法发散. 9分2。
高斯—塞德尔法:由1知, 是实对称正定矩阵，所以Gauss—Seidel法收敛。
10分其迭代格式为12分
七、已知初值问题：，取步长h =0。
1，
1。
用(显式的)Euler方法求解上述初值问题的数值解；
2.用改进的Euler方法求上述初值问题的数值解. （14分)
解:1 .建立具体的Euler公式:
3分
已知，则有:
5分
7分
解：2。
建立具体的改进的Euler公式:
10分
已知则有：
12分
14分。