怎样证明两线段相等
初中数学所有证明题归纳整理
初中数学所有证明题归纳一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。
12.两圆的内(外)公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。
6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
三、证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
初中数学 如何证明两个线段平行于同一平行线且在同一直线上
初中数学如何证明两个线段平行于同一平行线且在同一直线上要证明两个线段平行于同一直线且在同一平面上，我们可以使用几何证明方法。
以下是一个示例证明：证明：已知线段AB和CD平行于同一直线且在同一平面上。
步骤1：首先，画出线段AB和CD。
确保它们在同一直线上，并且平行于同一平面。
步骤2：假设线段AB和CD平行于同一直线，即AB || CD。
我们需要证明这个假设是成立的。
步骤3：根据平行线的性质，平行于同一直线的两条线段的任意一对对应线段的比例相等。
因此，我们需要证明线段AB和CD的任意一对对应线段的比例相等。
步骤4：考虑线段AB和CD之间的任意一对对应线段，分别为AE和CF。
我们需要证明这两条线段的比例相等。
步骤5：我们可以使用线段的长度和比例的性质来证明这两条线段的比例相等。
首先，观察线段AB和线段CD的长度，设为AB和CD，分别。
步骤6：假设AB ≠ CD，那么它们的长度之比也应该不相等。
我们可以表示为AB/CD ≠ 1。
步骤7：现在，我们将直线AB延长，找到AB的延长线与CD相交的点，设为点E。
由于AB 和CD平行，因此AE和CF是平行线。
步骤8：我们可以使用相似三角形的性质来证明线段AB和线段CD的任意一对对应线段的比例相等。
根据相似三角形的性质，如果两条直线平行，那么由这两条直线所形成的三角形中的对应边比例相等。
步骤9：因此，我们可以得出结论，线段AB和线段CD的任意一对对应线段的比例相等，即AE/CF = AB/CD。
步骤10：如果AB ≠ CD，则AE/CF ≠ 1。
然而，这与步骤9中的结果相矛盾。
因此，我们可以得出结论，AB必须等于CD。
步骤11：现在，我们需要证明线段AB和线段CD在同一平面上。
我们可以通过构造一个平行四边形来证明这一点。
以线段AB为一边，通过点C构造一条平行线段CE。
然后，以线段CD为一边，通过点A构造一条平行线段AF。
连接线段AE和线段CF，形成平行四边形AEFC。
证明线段积相等的方法
证明线段积相等的方法
证明线段的积相等的常用方法是把等积式化成比例式，然后根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立；若不相似，再用中间量（线段或比）来“搭桥”.通常可以用这样的顺口溜记忆：遇到等积化比例，横找竖找找相似.图形相似不成立，等线等比寻代替.
一、化等积式为比例式，直接证相似
例1、如图，中，，为的中点，交于点，交的延长线于点，求证：
分析：首先根据比例的基本性质，把等积式变成比例式
,然后把等式左边的两条线段放在一起，组成△MCD,
等式右边两条线段组成, 然后证明∽即可.
证明略.
二、等线段做代替
例2、如图，直角梯形中，∥,,对角线于,,过点作∥交于,求证：
F
分析：把等积式变成比例式：,然后把等式左边的两条
线段放到同一个三角形中去得到，而等式右边的两条
线段组不成三角形.在这种情况下，需要把比例式中的四条线段
中的某一条换成和它相等的另一条线段，以便组成相似的三角形.
据本题中的已知条件，应把换成,于是得到新的比例式：,这时就可以组成相似的和.
证明略
三、中间比做过渡
例3、如图，已知，为延长线一点，分别交于点，试说明:
A
D
C
M
N
分析：首先把等积式化成比例式得：,然后把等式左边的两条线段放在一起，发现它们共线组不成三角形，等式右边的情况亦是如此.这时需要观察图形，可以看出∽,易证得；∽，易证得,这样通过这个中间比就起到了过渡的作用.
证明略.。
八年级数学竞赛例题专题讲解17：等腰三角形的判定(含答案)
专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图ACDBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABCADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′C ENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 8 7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，P A =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABQCABD CFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。
例举线段相等的证明方法
例举线段相等的证明方法作者：黄文军来源：《理科考试研究·初中》2014年第01期证明线段相等的常用方法有：（一）一般方法：全等三角形的性质；2线段的垂直平分线或角平分线的性质；3等腰三角形的性质或“三线合一”的性质；4特殊四边形的性质；成比例线段；6圆中垂径定理，或切线长定理，或在同圆（等圆）中，等弧对等弦、弦心距等则弦等、弦等则弦心距等；7中间量传递；8计算证明（二）特殊方法：方程法、面积法、三角函数法、补形法、反证法、同一法大多数题有多种解法，需要对各种解法进行优化，找出最直接、最简单的一种有些题还需要用两种或两种以上的方法合并解决例如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上（）如图，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形分析与解（）如图3，连结AC，在菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形因为E是BC的中点，根据“三线合一”，可得AE⊥BC因为∠AEF=60°，所以∠FEC=90°-∠AEF=30°，∠CFE=80°-∠FEC-∠C=80°-30°-20°=30°，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF（2）如图4，连结AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°因为AD∥BC，所以∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，所以∠AEB=∠AFC根据“AAS”定理，证得△AEB≌△AFC，所以AE=AF又因为∠EAF=60°，所以△AEF是等边三角形点评此题主要运用了数形结合思想，合理构造辅助线，继而利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质证明线段相等例2 如图，在ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F（）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；（2）求证：BE=DF分析与解（）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据“SSS”证出△ABC≌△CDA；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据“AAS”证出△AFD≌△CEB；推出∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，根据“AAS”证出△ABE≌△CDF；（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠DAF=∠BCE因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，所以△AFD≌△CEB （AAS），所以BE=DF点评本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用主要考查了学生运用性质进行推理的能力当然，问题（2）也可以通过证明△ABE≌△CDF解决关键只要能找到分别有BE、DF为对应边的两个全等三角形例3 如图6，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，设AD=a，BC=b（）求CD的长度（用a，b表示）；（2）求EG的长度（用a，b表示）；（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由分析与解（）因为AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，所以DA、BC为半圆O的切线又因为CD与以AB为直径的半圆相切于点E，所以DE=DA=a，CE=CB=b，所以CD=a+b（2）因为EF⊥AB，所以EG∥BC，所以EG∶BC=DE∶DC，即EG∶b=a∶（a+b），所以EG=点评一道大题目下，如果有几个小问题，而且这几个小问题都没有增添附加条件，那么前面小问题的结论，就可以作为解决后续小问题的条件本题充分运用平行线成比例线段，设而不求，分别用字母a、b表示所证线段EG、FG，通过计算、比较获得结论在具体写比例式时，用直线BD上的三条线段DG、BG、BD作为桥梁进行过渡，也是成功解决线段相等问题的关键。
浅谈初中数学教学中两线段相等证明方法
四边 形Ｂ Ｅ Ｄ Ｆ 是平 行 四边形 ． ・ ． Ｂ Ｅ ＝ Ｄ Ｆ 。
此法的运用需有 以下条件 ： 两线段能构成平行 四边形
的 两边 ， 且 易证 该 四边 形是 平行 四边 形 。
Ｂ
导 “ 四 边 形 的 内 角 和 等 于 ３ ６ ０ 。” 。这就是 问题 的有效转
一
以上几点 ， 是我在初中数学几何证 明问题教学 中的点 滴体会和看法 ， 不能涵盖全部 ， 也有不足之处 ， 敬请专家指
【 学法指导】
浅谈初 中数学教学 中两线段相等证明方法
陈小玲
（ 河南省登封市大冶镇第二初 中， 河南 登封 ４ ５ ２ ４ ７ ０ ）
摘要 ： 几何证明题的教学研 究一直是数学教 师所关注的热点问题 。 教 师应把握住几何证 明题的关键 、 寻找有价值 的 解题方法， 因势利导、 另辟 蹊径 ， 从 而提 高学生的数 学能力， 发展 学生的分析推理能力、 逻辑思 维能力、 归纳总结和创新
内角 和问题时 ，可利用适 当的 辅助线 ，将 四边 形的问题转化 为三角形 的问题 ， 利用“ 三角形 的内角和等于１ ８ ０ 。” ，进 而推
证 明 ：连 结 Ｂ Ｄ 、 Ｄ Ｅ 、 Ｂ Ｆ ． ’ 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 是平行 四 Ａ 边形。
。 ． ．
【 Ｊ Ａ＝ＯＣ ＯＢ＝ＯＤ 。 ． ‘ ＡＥ＝Ｃ Ｆ． ’ ． ＯＥ＝ＯＦ ‘ ． ‘ ＯＢ＝ ＯＤ ． ’ ．
这 些 结 论 应 用 于 较 复 杂 的 图
Hale Waihona Puke 具体来说 ： “ 两条线段相等的证明” 可以从 以下几个思 路人手 ： 思路 １ ：利用等腰三角
形的判定（ “ 等角对等边” ） 。
如 图 ： ＡＡ Ｂ Ｃ 中 ，
浅谈初中数学教学中两线段相等证明方法
浅谈初中数学教学中两线段相等证明方法作者：陈小玲来源：《教育教学论坛》2013年第23期摘要：几何证明题的教学研究一直是数学教师所关注的热点问题。
教师应把握住几何证明题的关键、寻找有价值的解题方法，因势利导、另辟蹊径，从而提高学生的数学能力，发展学生的分析推理能力、逻辑思维能力、归纳总结和创新应用能力，为学生的成长奠定基础。
关键词：创新能力；基本技能；分析方法；数学思想；知识迁移中图分类号：G633.6？摇文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）23-0086-02一、端正思想、抓好常规教学学生掌握一定的证明方法，能写出规范的证明过程，绝不是仅凭几节课就可以完成。
这就要求教师在上第一节数学课的时候，就要有准备，要有恒心和毅力，不可急于求成。
课堂上要注重数学语言的锤炼，用精练、准确、严谨的数学语言，让学生初步感受数学语言的魅力、数学的魅力。
同时精心备课，熟练把握教材，掌握课程标准，并不断地改进教学方法、指导学法，提高课堂教学效率。
二、注重课本基础知识的教学俗语说得好：“万变不离其宗”、“万丈高楼平地起”、“想走好一大步，先走好一小步”……充分说明课本基础知识的重要性。
因此，在实际教学中，要关注课本中概念、定理、公式、法则等的教学，在合作探究，理解记忆概念、定理、公式、法则的基础上，个别情况下可强化记忆、机械记忆，这一点符合教育学中从感性知识到理性知识的过渡。
三、培养学生的基本技能和方法新课程改革环境下，知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观是三维教学目标。
学生掌握一定的数学技能和数学方法是运用数学知识解决实际问题的前提。
基本技能是基础知识的延续，基本方法是基本技能的应用，基本知识的延伸迁移应用即能力。
例：如图，BD平分∠ABC，DE//BC是课本中的基本概念，但两者结合应用，则易得△BDE是等腰三角形，如果将这些结论应用于较复杂的图形，就达到基础知识升华为基本技能的目的。
同时，课堂上有效指导学生对文字语言、符号语言、图形语言等数学语言进行转化，这也是数学基本能力的培养。
初中相似三角形几何证明技巧
初中几何证明技巧（分类）证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
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怎样证明两线段相等求证两线段相等是平面几何中的重要题型，其证明方法较多。
为帮助初三学生掌握一些常见的证法，本文在《几何》第二、三册知识范围内，归类总结若干方法如下，供初三学生复习时参考。
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：1.三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；2.证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；3.圆①同圆或等圆的半径相等；②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；4. 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b ，则a －c=b －c ；若c b c a，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等。
一、利用全等三角形的对应边相等证明例1、如图1，已知C 在BD 上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，BE 、AD 分别与AC 、CE 交于P 、Q 。
求证：CP=CQ 。
证明：因为△ABC 和△CDE 都是等边三角形，所以在△ACD 与△BCE 中， AC=BC ，CD=CE 。
因为∠1=∠2=60°，所以∠ACD=∠BCE=60°+∠3=120°， 所以△ACD ≌△BCE （SAS ）， 所以∠4=∠5。
在△ACQ 与△BCP 中，AC=BC ，∠4=∠5，又知∠3=60°=∠1， 所以△ACQ ≌△BCP （ASA ），所以CP=CQ 。
二、利用等腰三角形定理及逆定理证明例2、如图2，已知：在△ABC 中，AB=AC ，在AB 、AC 上的线段AD=AE 。
求证：FB=FC ，FE=FD 。
证明：在△ABC 中，因为AB=AC ，AD=AE ，所以DB=EC 。
在△EBC 与△DCB 中，因为DB=EC ，BC=BC ， 又∠ABC=∠ACB （等腰三角形的底角相等），所以△EBC ≌△DCB （SAS ），所以BE=CD ，∠EBC=∠DCB ， 所以△FBC 是等腰三角形，所以FB=FC ， 故，即FE=FD 。
证法2：也可以△ACD ≌△ABE （SAS ），从而得到∠ABE=∠ACD ，证得△FBC 为等腰三角形，再通过平行线内错角相等证明△FDE 为等腰三角形。
三、利用等腰三角形“三线合一”定理证明例3、如图3，已知△ABC 为Rt △，D 为斜边AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。
求证：AE=CE ，BF=CF 。
证明：因为D 是Rt △ABC 的斜边AB 的中点， 所以连CD 后，则AD=CD=BD 。
所以△CDA 与△CDB 均为等腰三角形， 另外DE ⊥AC ，DF ⊥BC ， 所以AE=CE ，BF=CF 。
（等腰三角形底边上的高平分底边）。
证法2：可直接用三角形中位线定理或平行线截取线段成比例证明。
四、利用角平分线上的点到这个角两边等距离证明例4、如图4，已知：△ABC 中，AB=AC ，AD 是底边BC 上的中线，∠B 、∠C 的平分线交于I ，求证：I 到AB 、BC 、CA 的距离相等。
证明：因为AB=AC ，AD 是BC 边的中线，所以AD 平分∠BAC 且AD ⊥BC ，而∠B 、∠C 的平分线交于I ，所以AD 过I 点，即I 是△ABC 的内心，作IE ⊥AC 于E ，IF ⊥AB 于F ，故ID=IE=IF 。
所以I 到AB 、BC 、CA 的距离相等。
五、利用垂直平分线上的点到该线段两端等距离证明 例5、如图5，已知：△ABC 中，∠A=90°，D 为△ABC 内一点，且AB=AC=BD ，∠ABD=30° 求证：AD=DC证明：作AG ⊥BD 于G ，作DH ⊥AC 于H ，因为∠ABD=30°，所以在Rt △AGB 中，。
又∠DAG=∠DAB －∠GAB=75°－60°=15°，且∠DAC=90°－75°=15°，而AD=AD ，所以Rt △AGD ≌Rt △AHD （AAS ），所以，因为DH 为AC 的垂直平分线，所以AD=DC 。
六、利用两三角形面积相等，等底必等高，等高必等底证明 例6、求证：等腰三角形两腰上的高相等。
证明：如图6，在等腰△ABC 中，作BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ， 因为S △ABC =BD ·AC/2=CE ·AB/2 而AB=AC ，所以BD=CE ，命题得证。
证明2：也可以用全等三角形证明。
七、利用等量公理：证明它们等于同一线段或分别等于两条相等线段 例7、如图7，锐角△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，延长AB 到E ，BE=BD ，连结ED 并延长交AC 于F 。
求证：AF=FC 。
证明：因为BE=BD ，所以∠E=∠1，而∠ABC=∠E+∠1=2∠E ，又∠ABC=2∠C ，所以∠C=∠E 。
因为∠1=∠2，所以∠2=∠C ，所以FC=FD 。
另外，∠2+∠3=∠C+∠4=90°，所以∠3=∠4，所以FD=AF ，故AF=FC 。
八、利用中心对称证明例8、如图8，已知AT 为△ABC 的内角平分线，M 为BC 中点， ME ∥AT ，交AB 、AC 或其延长线于D 、E ， 求证：BD=CE 。
思路：设法把已知量待求量转化到一个完形中（这里：同一个三角形，转化为等腰△问题）。
证明：以M 为对称中心，则B 、C 互为对称点，取D 关于M 的对称点R ，连CR ， 则CR ∥BD ，且相等，所以∠R=∠3=∠2=∠1=∠E ，所以CE=CR=BD 。
九、利用勾股定理证明例9、如图9，已知：M 为△ABC 内一点，MD 、ME 、MF 分别和BC 、CA 、AB 垂直，BF=BD ，CD=CE 。
求证：AE=AF 。
证明：根据勾股定理及题设可知：AF 2=FG 2+AM 2-GM 2=AM 2+ FG 2-（BM 2-BG 2）=AM 2-BM 2+（FG 2+BG 2）=AM 2-BM 2+BF 2=AM 2-BM 2+BD 2=AM 2-（BH 2+MH 2）+（BH 2+DH 2）=AM 2+DH 2-MH 2=AM 2+CD 2-CH 2-（CM 2-CH 2） =AM 2+CD 2-CM 2同理，可得AE 2= AM 2+CD 2-CM 2 所以AF 2= AE 2，所以AF=AE十、利用比例证明例10、如图10，已知△ABC 中，中线BE 与角平分线AD 交于点K ，BL ∥KC ，交AC 的延长线于点L ，求证：LC=AB 。
证明：因为BL ∥KC ，所以， ①因为AD 平分∠BAC ，所以， ②所以由①、②得。
又因为CE=AE ，所以LC=AB 。
十一、利用圆幂定理证明例11、如图11，已知：PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBD 是圆O 的割线，弦DE∥AP，PE的延长线交圆O于C，CB的延长线交PA于F。
求证：PF=FA。
证明：因为DE∥AP，所以∠APD=∠D=∠C，所以FP是圆PBC的切线（弦切角定理的逆定理），所以FP2=FB·FC（切割线定理）。
又FA2=FB·FC（切割线定理），所以FP2=FA2，所以PF=FA。
十二、利用平行四边形性质证明例12、如图12，已知Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交高线AD于O，过O 引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF。
证明：因为CE平分∠C，所以∠2=90°∠C，∠3=90°∠C，所以∠3=∠2=∠1，从而AE=AO，作EK⊥BC，连OK，则EK=AE=AO，又AO∥EK，故AOKE是平行四边形，AE∥OK，且AE=OK，而OKBF也是平行四边形，所以BF=KO=AE。
十三、利用三角知识证明例13、如图13，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AC、BD垂直相交于G，又E、F 分别是AB、CD的中点。
求证：OF=GE。
证明：设⊙O的半径为R，因为F是弦CD的中点，所以OF⊥CD。
所以在Rt△OFD中，OF=ODsin∠1=Rsin∠1。
①又GE=AB（因为E是Rt△AGB的斜边AB的中点），而由正弦定理知AB=2Rsin∠2，所以GE=Rsin∠2。
②因为OF⊥CD，所以∠DOF==∠DAC，于是∠1=90°－∠DOF=90°－∠DAC=∠2，③由①、②、③知：OF=GE。
练习题：1、在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B的平分线和AC交于D，BC边上的高AF和BD 交于E。
求证：AD=AE。
（提示：应用两角互余及三角形外角定理证∠ADB=∠AED）2、在△ABC中，AB=AC，在底边BC两端分别向腰和腰的延长线上截取BE=CD，连结D、E交BC于G，求证：EG=DG。
（提示：过E作EF∥AD交BC于F，证△EFG≌△DCG，或在△DGC和△BEG中用正弦定理证）3、△ABC中，D、E为BC上的任意两点，DD1⊥AB，DD2⊥AC，EE1⊥AB，EE2⊥AC，且DD1+DD2=EE1+EE2，求证：AB=AC。
（提示：S△ABD +S△ADC=S△ABE+S△AEC）4、已知AD是△ABC的∠BAC的平分线，E是DC上的一点，DE=BD，EF∥CA，和AD交于F。
求证：EF=AB。
（提示：）5、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。
求证：AF=EF。
6、如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F。
求证：EF=FD。
7、如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。