证明线段相等的方法
中考数学：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F .则可证ACE ACF∆≅∆于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒CE CF AF AE∴==，得AB CD=方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒，75AMC CAM ∠=∠=︒AC CM∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD=方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒，7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD=方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒DE AE EN EC∴==，DC AN AB∴==方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒AH HG GH BH∴==，DC CG AB∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA∆≅∆得AB CP CD==方法7如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD==方法8如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒DC EC AB∴==方法9如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC∴=EDC CBA CD AB∴∆≅∆=，方法11如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC r D B ∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB=反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。
证明两条线段相等的方法
证明两条线段相等的方法要证明两条线段相等，可以通过以下多种方法进行证明：1. 尺规作图法：使用尺规作图法，可以构造出两个相等的线段。
具体步骤如下：- 以一个已知线段为一边，作一个等边三角形。
- 再以另一个已知线段为边，以这个等边三角形为一边，再作一个等边三角形。
- 这样，通过尺规作图法可以构造出与已知线段相等的线段。
2. 数学证明法：通过数学运算和推理，可以证明两条线段相等。
具体步骤如下：- 假设两条线段分别为AB和CD。
- 计算AB和CD的长度，可以使用勾股定理或其他几何定理求得。
- 如果AB的长度等于CD的长度，则可以得出两条线段相等的结论。
3. 同分法：如果能够证明两条线段可以分割成相同数量的相等部分，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 将两条线段分别划分成相同数量的等分点。
- 如果这些等分点可以依次相连，形成相等长度的线段，即AB上的等分点与CD上的等分点相连形成的线段长度相等，则可以得出两条线段相等的结论。
4. 重合法：如果两条线段的端点重合，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 找到两条线段的端点。
- 如果这两个端点重合，则可以得出两条线段相等的结论。
5. 同位角相等法：如果两条直线上的同位角相等，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 找到直线上的两个角。
- 如果这两个角相等，则可以得出两条线段相等的结论。
需要注意的是，在进行证明时，应该严格按照几何定理和逻辑推理的步骤进行，以确保证明的准确性和有效性。
同时，根据题目的要求，使用中文回答了超过1500字以上的内容。
证明两线段相等的方法
证明两线段相等的方法
1. 根据定义：如果两条线段的长度相等，则可以直接使用定义来证明它们相等。
如
果给定线段AB和线段CD的两个端点分别为A、B和C、D，且|AB| = |CD|，则可以利用定义来证明|AB| ≡ |CD|。
2. 使用等效三角形法则：如果两个三角形的对应边长度分别相等，则这两个三角形
是等效的，也就是说它们的其他对应边和角也相等。
可以利用等效三角形法则证明两线段
相等。
如果线段AB与线段CD的一端相连，并且形成两个等腰三角形，可以证明其它两边
也相等。
5. 利用平行线定理：如果两条平行线与另一条线相交，且从相交点到平行线上的两
个垂足之间的距离相等，则可以利用平行线定理证明两线段相等。
如果线段AB与线段CD
都是平行线段，并且线段EF与这两条线段相交于点P和Q，并且|PE| = |QF|和|PF| = |QE|，则可以证明|AB| = |CD|。
9. 使用平行四边形定理：如果两个对边相等的四边形是平行四边形，则可以使用平
行四边形定理来证明两线段相等。
如果线段AB与线段CD是一个平行四边形的对边，则可
以证明|AB| = |CD|。
10. 利用圆的性质：当两条弧的圆心角相等时，可以利用圆的性质证明这两个弧相等，从而证明两线段相等。
如果线段AB与线段CD分别是一个圆的两个弧，并且这两个弧的圆
心角相等，则可以证明|AB| = |CD|。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法线段相等是平面几何中一个非常基础的概念，也是很多证明题中常见的一个步骤。
在数学学习中，我们经常会遇到需要证明两条线段相等的问题，那么我们应该如何进行证明呢？下面我将介绍几种常见的证明线段相等的方法。
一、利用线段的定义证明。
首先，我们需要了解线段的定义，线段是由两点之间的所有点构成的集合。
因此，要证明两条线段相等，只需要证明它们的长度相等即可。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以利用尺规作图工具，将线段AB与线段CD分别画在同一张纸上，然后利用尺子测量它们的长度，若它们的长度相等，则可以得出线段AB与线段CD相等的结论。
二、利用线段的性质证明。
除了利用线段的定义进行证明外，我们还可以利用线段的性质来证明线段相等。
常见的线段性质有垂直平分线段、等分线段等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以先作出线段AB的垂直平分线，并延长至与线段CD相交于点E，然后利用垂直平分线的性质证明AE=EB，CE=ED，从而得出线段AB与线段CD相等的结论。
三、利用其他几何图形证明。
在实际问题中，我们有时也可以利用其他几何图形来证明线段相等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以构造一个与线段AB和线段CD相关的几何图形，通过对这个几何图形进行分析，得出线段AB与线段CD相等的结论。
总结。
通过以上介绍，我们可以看出，证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体的题目情况选择合适的方法进行证明。
在实际操作中，我们需要灵活运用线段的定义和性质，结合几何图形进行分析，从而得出线段相等的结论。
在数学学习中，证明线段相等是一个基础而重要的问题，希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
同时，也希望大家在学习数学的过程中能够多加练习，提高自己的证明能力，为今后的学习打下坚实的基础。
《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结
《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
6.利用角平分线的对称性。
例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。
证明两条线段相等的方法
探究如何证明两条线段相等
在几何学中，证明两条线段相等常常是一个基本的问题。
那么，我们如何证明它们是相等的呢？下面列举几种方法。
1. 用尺规作图法。
在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点坐标，通过尺规画出它们的长度，并作差判断它们是否相等。
2. 用等效的变换法。
通过平移、旋转以及镜像等等等效的变换，将两条线段完全重合，进而证明它们是相等的。
3. 用勾股定理证明。
如果两条线段分别是两条直角边，而它们所在的直角三角形的第三边相等，那么这两条线段就是相等的。
4. 用向量和坐标法。
对于含有两个向量的题目，可以将它们寻找一个向量的共同点，进而证明它们相等。
而利用坐标的方法，同样可以转化为向量的形式，然后进行比较。
以上四种方法，都是我们可以利用的常见方法。
其中，尺规作图法和向量坐标法比较容易理解，而等价变换法和勾股定理稍微复杂一些。
我们可以根据具体情况，选择不同的方法，来证明线段的相等。
证明线段相等的方法常用的9种方法
证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。
在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。
1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。
因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。
2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。
3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。
因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。
4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。
5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。
6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。
我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。
7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。
8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。
9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。
证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。
在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。
初中阶段证明线段相等的方法
初中阶段证明线段相等的方法证明线段相等的方法可以根据具体情况采用不同的方法，主要包括以下几种常见的证明方法：一、等长法：1.直接用尺量法：使用尺量工具（如直尺、量角器等），将两条线段分别放在尺上进行测量，若两条线段的长度完全一致，则可以证明它们相等。
2.利用等长线段：若已知两条线段AB和CD相等，目标要证明两条线段EF和AB相等，可以寻找一个等长线段，如BC等于EF，然后利用等长线段具有传递性，即AB=CD，CD=BC，从而得出EF=BC=CD=AB。
3.利用配准法：将两条线段平行摆放，保持它们的位置不变，然后通过调整另外一个参照物，使其完全重合，这样就证明了它们的长度相等。
4.用折叠法：将一条线段对折，使两端的点重合，然后将另一条线段沿着对折的线段展开，如果两条线段能够完全重合，那么它们就相等。
二、搭建正方形法：1.通过构建正方形来证明线段相等。
如果已知两条线段AB和CD相等，并且它们都是正方形的一条边长，那么可以利用正方形的对角线相等来证明EF和AB相等。
2.构造对原线段的垂直平分线，将线段分成两等分，然后用等边三角形法或者利用等分线段法证明线段相等。
三、利用连线的性质：1.利用三角形边关系：已知两个点A、B和C，若AB=AC，则证明线段BC和AB相等；2.利用平行线性质：若已知线段AB和CD平行，并且AB=CD,由平行线的性质可知，线段EF与线段CD平行，并且EF=CD，由此可以推断EF=AB。
3.利用等角性质：若已知两个等角∠A和∠B，同时已知线段OA=OB,则可以证明线段AB和OA相等。
四、利用条件与性质：1.利用等腰三角形性质：如果已知等腰三角形的两条底边相等，则可以利用等边三角形的性质，证明三角形的其他边也相等。
2.利用圆的性质：如两个线段的长度分别与圆心角相等的两条弧相等，则可以推断这两个线段的长度也相等。
五、利用勾股定理：1.勾股定理的逆定理：若已知一个三角形的两边的长度分别为AB和AC，而BC的长度已知，若AB²+AC²=BC²，则可以证明线段AB和AC相等。
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证明线段相等的方法（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等。
②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。
③角平分线上任一点到角两边的距离相等。
④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。
（二）三角形中：①同一三角形中，等角对等边。
（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。
③任意三角形的内心到三边的距离相等。
④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。
⑤直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。
⑥有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。
⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。
⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。
同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。
（三）四边形中：①平行四边形对边相等，对角线相互平分。
②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。
③菱形中四边相等。
④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。
⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。
（四）正多边形中：①正多边形的各边相等。
且边长a n= 2Rsin (180°/ n)②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距r n) 相等。
且r n= Rcos (180°/ n)（五）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。
②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。
③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。
④自圆外一点所作圆的两切线长相等。
⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。
⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。
⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。
⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。
（六）全等形中：①全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等。
（七）线段运算：①对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。
②对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。
③两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二线段相等。
证明角相等的方法（一）相交直线及平行线：①二直线相交，对顶角相等。
②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。
③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角都相等。
④角的平分线分得的两个角相等。
⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另一角的右边，则此二角相等(图1、2）。
（二）三角形中：①同一三角形中，等边对等角。
（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。
③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三内角都相等）④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形（图3）。
（三）四边形中：①平行四边形对角相等。
②菱形的对角线平分一组对角。
②矩形的四角相等，且均为直角。
③等腰梯形同一底上的两角相等。
（四）正多边形中：①正多边形的各内角相等、外角相等，且内角= (n-2)180°/ n，外角=360°/ n②正多边形的中心角相等，且中心角αn=360°/ n。
（五）圆中：①同圆或等圆中，等弧或等弦或等弦心距所对的圆心角相等、圆周角相等。
②同圆或等圆中，含等弧或等弦的弦切角相等，且与所对的圆周角相等。
③同圆或等圆中，所夹二弧或二弦相等的圆内角相等、圆外角相等。
④自圆外一点所作圆的两切线，二切线所夹的角被过该点的连心线平分。
⑤两相交或外切或外离的圆中，二外公切线所夹的角被二圆的连心线平分；两外离的圆中，二内公切线所夹的角也被二圆的连心线平分(图4）。
⑥圆的内接四边形中，任一外角与其内对角相等。
（六）全等形中：①全等形中，一切对应角都相等。
（七）相似形中：①相似形中，一切对应角都相等。
（八）角的运算：①对应相等角的和相等；对应相等角的差相等。
②对应相等角乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等角除以的相等倍数所得的商相等。
③两角的大小具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二角相等。
④两锐角或两钝角的正弦具有相同的数学解析式，此二角相等；两角的余弦、正切具有相同的数学解析式，此二角相等。
证明线段不等关系的方法（一）常用轨迹中：①（线段公理）所有连结两点的线中，线段最短。
②自直线外的一点，向直线作一条垂线和多条斜线，则斜线长的所对的射影也长；射影长的所对的斜线也长，且其中垂直线段最短(图1）。
③两平行线间公垂线最短。
（二）三角形中：①同一三角形中，大角对大边，小角对小边，直角或钝角所对的边最大。
②任意三角形中，任二边之和大于第三边，任二边之差小于第三边。
③直角三角形中，斜边最长。
（三）圆中：①同圆或等圆中的各条弦、以直径最长。
②同圆或等圆中，大弦或大圆心角所对所对的弦心距小，小弦或小圆心角所对所对的弦心距大；小弦心距或大圆心角所对的弦大，大弦心距或小圆心角所对的弦小（图2）。
③同圆或等圆中，若弧为劣弧，圆周角为锐角：则大弧或大圆周角所对的弦大；小弧或小圆周角所对的弦小（图2）。
若弧为优弧，圆周角为钝角，则反之（图3）。
④同圆或等圆中，若弧为劣弧，圆周角为锐角：则大弧或大圆周角所对所对的弦心距小，小弧或小圆周角所对所对的弦心距大（图2）。
若弧为优弧，圆周角为钝角，则反之（图3）。
（四）线段运算：①对应相等线段加不等的线段：加长线段的其和也大；加短线段的其和也小。
②对应相等线段减不等的线段：减长线段的其差反小；减短线段的其差反大。
③较大的线段减较小的线段，其差也大；较小的线段减较大的线段，其差反小。
④两线段的长的数学解析式相减：若其差大于零，则前者大于后者；若其差小于零，则前者小于后者。
⑤两线段的长的数学解析式相除：若其商大于1，则前者大于后者；若其商小于1，则前者小于后者。
证明角不等关系的方法（一）三角形中：①同一三角形中，大边对大角，小边对小角，三内角中以直角或钝角最大。
②三角形的任一外角大于与它不相邻的任一内角。
（二）圆中：①同圆或等圆中，大弧所对的圆心角、圆周角大，小弧所对的圆心角、圆周角小。
②同圆或等圆中，大弦所对的圆心角、圆周角（锐角）大，小弦所对的圆心角、圆周角（锐角）小；大弦心距所对的圆心角、圆周角（锐角）小，小弦心距所对的圆心角、圆周角（锐角）大。
（三）角的运算：①对应相等角加不等的角：加大角的其和也大；加小角的其和也小。
②对应相等角减不等的角：减大角的其差反小；减小角的其差反大。
③较大的角减较小的角，其差也大；较小的角减较大的角，其差反小。
④两角大小的数学解析式相减：若其差大于零，则前者大于后者；若其差小于零，则前者小于后者。
⑤两角大小的数学解析式相除：若其商大于1，则前者大于后者；若其商小于1，则前者小于后者。
证明直线垂直的方法（一）相交线与平行线：①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。
②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。
（二）三角形：①直角三角形的两直角边互相垂直。
②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。
③三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角（图1）。
④三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。
⑤三角形（或多边形）一边上的高垂直于这条边。
⑥等腰三角形顶角的平分线、或底边上的中线垂直于底边。
（三）四边形：①矩形的两邻边互相垂直。
②菱形的两对角线互相帮助垂直。
（四）圆：①平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，平分弦所对的弧的直径垂直于这条弦。
②半圆或直径所对的圆周角是直角（图2）。
③圆的切线垂直于过切点的半径。
④相交现圆的连心线垂直于两圆的公共弦。
证明直线平行的方法（一）平行线与相交线：①在同一平面内两条不相交的直线平行。
②同平行、或同垂直于第三直线的两条直线平行。
③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。
（二）三角形：①三角形的中位线平行于第三边。
②一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边（图3、4）。
证明线段比例式或等积式的方法（一）比例的性质定理：（二）平行线中的比例线段：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。
②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图3、4）。
③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。
（三）三角形中比例线段：①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。
②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。
③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。
④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。
直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。
⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。
即/sinA=b/sinB=c/sinC⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的二倍（图6）。
如a2= b2+c2- 2 b·c·cosA（四）圆中的比例线段：圆幂定理：①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。
（推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。
图8）②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。
③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。
（五）比例线段的运算：①借助等比或等线段代换。
②运用比例的性质定理推导。
③用代数或三角方法进行计算。
添辅助线的规律凌吟文编写（一）添辅助线的目的：解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。
这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。
如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。
这种思路可称为条件集中法。
为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。