证明线段相等的方法

平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。

恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。

求证：AE=BD。

证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

证明：过点E作EG//AF交BC于点G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。

∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF∴AE=EF［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

证明：∵DF⊥BC∴∠DFB=∠EFC=90°，∠D=90°－∠B，∠CEF=90°－∠C∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠D=∠CEF∵∠CEF=∠AED∴∠D=∠AED∴AD=AE三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。

［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。

证明：过D作DO⊥AC交AB于点O∵OD垂直平分AC，∠ACB=90°∴BC⊥AC∴O点必为AB的中点，连结EO，则EO⊥AB∵∠CAB=30°，∠BAE=∠CAD=60°∴AD⊥AB，AE⊥AC∴OE//AD，AE//OD∴四边形ODAE为平行四边形∴EF=FD［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD 的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。

求证：HG=BE。

证明：延长AD到A”，使DA”=AD又∵BD=CD∴四边形BACA”是平行四边形∴BA=A”C由题设可知HFGA也是平行四边形∴HF=AG∵HF//AC，∴又∵，HF=AG，BA=A”C∴BH=EG∴四边形BEGH是平行四边形∴HG=BE四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。

［例1］如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。

证明：DM=EM。

证明：延长BD至F，使DF=BD。

延长CE到G，使EG=CE，连结AF、FC，连结AG、BG∵BD=FD，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD∴Rt△ABD≌Rt△AFD∴∠BAD=∠FAD同理可得：∠CAE=∠GAE∵∠ABD=∠ACE∴∠FAB=∠GAC，故∠FAC=∠GAB在△ABG和△AFC中，AB=AF，∠GAB=∠CAF，AG=AC∴△ABG≌△AFC∴BG=FC又∵DF=DB，EC=EG，M是BC的中点∴DM==EM，即DM=EM［例2］如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC 的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F。

求证：EF=FD。

证明：过D作DG//AB交EA的延长线于G，可得∠DAG=30°∵∠BAD=30°＋60°=90°∴∠ADG=90°∵∠DAG=30°=∠CAB，AD=AC∴Rt△AGD≌Rt△ABC∴AG=AB，∴AG=AE∵DG//AB∴EF//FD五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。

如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。

［例］如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。

证明：作DA、CE的延长线交于H∵ABCD是正方形，E是AB的中点∴AE=BE，∠AEH=∠BEC∠BEC=∠EAH=90°∴△AEH≌△BEC（ASA）∴AH=BC，AD=AH又∵F是BC的中点∴Rt△DFC≌Rt△CEB∴∠DFC=∠CEB∴∠GCF＋∠GFC=∠ECB＋∠CEB=90°∴∠CGF=90°∴∠DGH=∠CGF=90°∴△DGH是Rt△∵AD=AH∴AG==AD证明线段相等的技巧要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。

一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。

例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。

分析：从结论入手，要证明线段AE=DB，即看AE和DB分别是△ACE和△BCD的一边，因此，欲证AE=DB，只须证△ACE△BCD即可，而在这两个三角形中，AC=BC，EC=DC，欲证△ACE△BCD，只须证∠ACE=∠DCB，又因为∠DCE=∠ACE=，于是，∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，即∠ACE=∠DCB，故结论可证，证明略。

二、如果要证明的两条线段在同一三角形中一般的思路是利用等角对等边。

例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。

分析：证明同一三角形中两条边相等，一般不采用全等三角形，而且把两边所对的角迁移到相应三角形中找出相等关系。

证明：法一：因为DF⊥BC于D，所以∠F+∠B=，∠C+∠DCE=，又因为，所以∠B=∠C，所以∠F=∠DCE=∠AEF，所以AE=AF。

法二：考虑到AB=AC，即△ABC是以BC为底的等腰三角形的特殊性（三线合一），过顶点A作AG⊥BC于G，于是∠BAG=∠CAG，又因为DF⊥BC，所以AG∥DF，所以∠AEF=∠CAG，∠BAG=∠F，所以∠AEF=∠F，所以AE=AF。

法三：考虑到要证的结论AE=AF，即要证△AEF是等腰三角形，也由等腰三角形的特殊性质（三线合一）作辅助线，过顶点A作AH⊥DF于H，于是，AH∥BC，所以有∠EAH=∠C，∠FAH=∠B，又有∠B=∠C，于是∠EAH=∠FAH，即AH是高又是角平分线，故AE=AF。

三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。

例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。

分析：已知线段相等，要证线段相等，一般的思路是利用等腰三角形或全等三角形来证明，但这两条线段不在一个三角形中，且它们所在的两个三角形显然不全等。

因此，欲证DE=DF，必须添加适当的辅助线，构成证题所需的等腰三角形或全等三角形，这样的辅助线有：（1）过D作DG∥AE交BC于G，则易证∠DGB=∠ACB，又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB，即∠DGB=∠B得DB=DG，从而得DG=EC，易证△DGF△ECF。

（2）过E作EH∥AB交BC的延长线于H，易得∠B=∠H，又因为∠1=∠2，∠B=∠1，所以∠2=∠H，从而EH=EC=DB，易证△DBF△EHF。

例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。

分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。

延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。

总之：证明线段相等主要看要证明的线段的位置，根据位置情况来定方法，如果要证明的线段在同一三角形中，常用它们所对的角相等；如果要证明的线段分别在两个三角形中，常用全等三角形；如果要证明的线段既不在同一三角形中也不在两个三角形中，则应想办法作辅助线使其构成全等三角形。

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