怎样利用“三线合一”证明线段相等
怎样利用“三线合一”证明线段相等
1．如图所示，已知ABC ∆中，D 、E 为BC 边上的点，且AD=AE ，BD=EC ．求证：AB=AC ．
2．已知：如图所示，4321∠=∠∠=∠，，AB 与CD 交于点O ．求证：OC=OD ．
3．如图所示，已知等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，CE=CD ，BC DF ⊥于F ，求证：F 是BE 的中点．
4．已知：如图所示，AB=AD ，AC=AE ，DAE BAC ∠=∠．DB 交AC 于F ，且AF 平分BD ，CE 交AD 于G ．求证：CG=GE ．
A
B
D E
C
1
2
3 4
O
D
C
A
B
F C
E
D
A
B
C
F G
D
E
5．已知：如图所示，AB=AC ，DB=DC ，AD 的延长线交BC 于点E ．求证：BE=EC ．
6．已知：如图所示，BD 是ABC ∆的角平分线，BC DF ACB A ⊥︒=∠︒=∠，，7040于F ，E 是BC 延长线上的一点，CE=CD ．求证：BF=FE ．
7．如图所示，已知线段AB 长10cm ，点D 在AB 上，在AB 同侧作等边BDE ACD ∆∆，，则CE 的最小值为（ ） A 、3cm B 、4cm
C 、5cm
D 、6cm
A
D B
C
A
B
D E
A
B
E
C。
几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理
几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理北师版7年级数学，人教版8年级数学当中都会学到三角形，其中等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．“三线合一”这个重要的性质，就是我们通过所说的“三线合一定理”和“三线合一逆定理”，“逆定理”是存在的，但是课本上没有，不能直接用，是需要证明的。
1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。
2．“三线合一”定理的证明在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
简记为“三线合一”。
（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。
（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。
（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD =∠CAD。
证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。
3．“三线合一”逆定理的证明在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。
“三线合一”证题【精】精心总结
等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。
本文结合实例说明其应用，供参考。
一. 直接应用“三线合一”例1. 已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高。
求证：AD垂直平分EF分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有，所以只要证为等腰三角形即可证明：又AD垂直平分EF例2. 如图2，中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：分析：可考虑作DE//CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。
由于有，，所以就想到用“三线合一”。
证明：过点D作DE//CK交BK于点E二. 先连线，再用“三线合一”例3. 如图3，在中，，，D是BC的中点，P为BC上任一点，作，，垂足分别为E、F求证：（1）DE＝DF；（2）分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。
观察DE为或的一边，DF为或的边，但它们都没有全等的可能。
由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现或问题得证。
（2）欲证，只要证，即可但由（1）已证出又，故问题解决证明：连结AD。
D是BC的中点，DA平分，四边形PEAF是矩形又又（2）又即三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”例4. 如图4，已知四边形ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点，求证：分析：由于MN与CD同在中，又N为CD的中点，于是就想到证为等腰三角形，由于MD、MC为、斜边AB上的中线，因此，所以，问题容易解决。
证明：连结DM、CM，M是AB的中点是等腰三角形又N是CD的中点，例5. 如图5，中，BC、CF分别平分和，于E，于F，求证：EF//BC分析：由BE 平分、容易想到：延长AE 交BC 于M ，可得等腰，E 为AM 的中点；同理可得等腰，F 是AN 的中点，故EF 为的中位线，命题就能得证。
“三线合一”定理的灵活应用-三线合一定理
“三线合一”定理的灵活应用:三线合一定理“三线合一”定理是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高互相重合．该定理其实包括如下三个方面的内容：1．等腰三角形底边上的中线，既是顶角的平分线，又是底边上的高线；2．等腰三角形顶角的平分线，既是底边上的高线，又是底边上的中线；3．等腰三角形底边上的高线，既是底边上的中线，又是顶角的平分线．显见，以上三方面的内容，给我们提供了证明线段相等、角相等、直线垂直的新思想和新方法．在解答一些证明问题时，要注意灵活应用它们．例1如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，即证明AD是∠BAC的平分线．证明：连接AD．因为AB=AC，BD=CD，所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线．所以AD平分∠BAC．因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以DE=DF．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质．例2如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P是AD 上的一点，求证：AB-AC＞PB-PC．分析：证明四条线段之间的不等关系，应把这四条线段转化为同一个三角形中的三边．为了得到AB-AC的结果，可在AB 上截取AE=AC，则有BE=AB-AC．为此，只要证明BE＞PB-PC即可．证明：在AB上截取AE=AC，连接PE、CE，CE交AD于F．因为AE=AC，AD平分∠BAC，所以AF是等腰△ACE的顶角∠CAE的平分线．所以AF⊥CE，CF＝EF．即，AF是CE的垂直平分线．因为P在AF上，所以PE＝PC．因为BE＞PB-PE，BE=AB-AE，所以AB-AC＞PB-PC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ACE顶角∠CAE的平分线AF，是底边CE上的高线，同时又是底边CE上的中线的性质．例3如图，在△ABC中，AB=AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC．分析：注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与顶角平分线重合．要证明DE⊥BC，应先证明DE与这条高平行．证明：过A作AF⊥BC于F．因为AB=AC所以AF平分∠BAC．所以∠BAC=2∠BAF．因为AD=AE，所以∠D=∠AED．所以∠BAC＝∠D+∠AED=2∠D．所以∠BAF=∠D，DE∥AF．所以DE⊥BC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC底边BC上的高AF是顶角∠BAC的平分线的性质．例4如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD=1/2∠BAC．分析：为了得到1/2∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系．证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠1=∠2=1/2∠BAC．因为AB=AC，AE平分∠BAC，所以AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．所以AE⊥BC于点E．所以∠AEC=90°，∠1+∠C=90°，因为BD⊥AC于点D，所以∠BDC=90°，∠CBD+∠C=90°．所以∠CBD=∠1=1/2∠BAC．说明：本题的解答过程中，应用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线是底边BC上的高线的性质．。
初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导
初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导杨玲等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这是等腰三角形的性质定理，也称为“三线合一”定理。
它在几何计算和论证过程中有着很重要的应用，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。
例1 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=_________。
图1分析与解；如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB=α21，又∠EAC=︒90C ∠-，∠β=C 90∠-︒，所以∠EAC=β，αβ21=。
例2 已知：如图2，AB ∥CD ，M 为AD 的中点，并且AB+CD=BC ，求证：CM 平分∠BCD ，CM ⊥BM 。
图2分析：要证待证的结论，需延长BM 与CD 的延长线交于点E ，构造△CBE 由“三线合一”定理，只需证CE CB =，BM=EM 。
易证DEM ABM △△≅，可得BM=EM ，AB=DE ，又BC=AB+CD=DE+CD=CE ，从而本题得证。
证明：请同学们自己写出。
例3 如图3，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。
图3（1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连结BE 后，还能得出什么新的结论，请至少写出三个（不要求证明）（1）证明：连结AC 、AD ，∵AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，∴△ABC AED △≅。
∴AC=AD 。
又CF=DF ，∴AF ⊥CD 。
（2）例如：①BE ∥CD ，②AF ⊥BE ，③△ACF ADF △≅，④∠BCF=∠EDF ，⑤五边形ABCDE 是以直线AF 为对称轴的轴对称图形等。
例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F 。
典中点全等三角形专训6 三线合一解题的六种技巧
典中点全等三角形专训6 三线合一解题的六种技巧
◐名师点金◑
等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明这“一线”也是其他“两线”。
运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程。
技巧1：利用“三线合一”求角
1.如图,房屋顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC.求顶架上的∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数。
技巧2：利用“三线合一”求线段
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB,DE⊥AB于点E,若BC=10,且△BDC的周长为24,求AE的长。
技巧3：利用“三线合一”证线段(角)相等
3.已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点。
(1)如图①,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF，试判断△DEF的形状,并说明理由。
(2)如图②,若E,F分别为AB,CA的延长线上的点,且仍有BE=AF.请判断△DEF是否仍有(1)中的形状,并说明理由。
技巧4：利用“三线合一”证垂直
4.如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且EA=EC.求证:EB⊥AB。
技巧5：利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)
5.如图,已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.试说明:BF=2CD
技巧6：利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C，试说明:CD=AB+BD。
证明线段相等的方法
平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。
恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。
求证：AE=BD。
证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。
证明：过点E作EG//AF交BC于点G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。
［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。
求证：AF=EF。
证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。
∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF∴AE=EF［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
等腰三角形三线合一怎么用
等腰三角形三线合一怎么用
三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
例：已知等腰三角形的底边上的中线和高为一条，则可以说这条线段是底边对应顶点的角平分线。
三线合一逆命题
①如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形
等腰三角形，是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法第一篇：证明线段相等的方法证明线段相等的方法三角形中：①同一三角形中，等角对等边。
（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。
③④有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。
过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
（三）四边形中：①平行四边形对边相等，对角线相互平分。
②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。
③等腰梯形两腰相等、两对角线相等。
证明角相等的方法（一）相交直线及平行线：①二直线相交，对顶角相等。
②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。
③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角都相等。
④角的平分线分得的两个角相等。
⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另一角的右边，则此二角相等（二）三角形中：①同一三角形中，等边对等角。
（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。
③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三内角都相等）④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形证明直线垂直的方法（一）相交线与平行线：①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。
②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。
（二）三角形：①直角三角形的两直角边互相垂直。
②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。
证明直线平行的方法（一）平行线与相交线：①在同一平面内两条不相交的直线平行。
②同平行、或同垂直于第三直线的两条直线平行。
③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。
证明直角三角形的方法①有一个角为90°，则这个三角形为直角三角形②∠A:∠B:∠C=1:1:2，则这个三角形为直角三角形③有两个角的和为90°，则这个三角形为直角三角形第二篇：证明线段相等的技巧证明线段相等的技巧要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。
三线合一的条件和结论
三线合一的条件和结论1. 嘿，你知道三线合一不？那可是个挺神奇的事儿呢！啥是三线合一的条件呢？就好比等腰三角形是个舞台，当这个三角形是等腰三角形的时候啊，底边上的高、中线还有顶角平分线就有可能玩三线合一这个魔法啦。
比如说我画了一个等腰三角形的小房子，屋顶尖尖的，从顶点垂直到底边的那条线，就像一个小支柱，这条线既是这个等腰三角形小房子底边上的高，把房子撑得稳稳的；又是底边上的中线，把底边分成了两段一样长的小边边；还是顶角平分线，把那个大顶角分成了两个一模一样的小角角呢。
哇塞，这三线合一是不是很有趣呀？2. 三线合一的结论可不得了啊！你要是看到一个三角形里，一条线既是高又是中线还是角平分线，那这个三角形是啥？那肯定是等腰三角形呀，就像发现了一个小秘密一样。
我给我朋友讲这个的时候，我拿了一个三角形的小饼干，我跟他说，你看这条线就像这个小饼干里的魔法线，如果这条线能同时干这三件事，那这个饼干形状的三角形就是等腰三角形啦。
你要是不信，你可以自己拿个小纸片剪个三角形试试呀，多神奇啊！这就好像是三角形界的一个小暗号，只要看到这个暗号，就知道这个三角形的身份啦。
3. 咱来说说三线合一的条件吧。
等腰三角形就像一个特殊的小家族，在这个家族里才有机会出现三线合一的情况呢。
想象一下，等腰三角形的两条腰就像两个好兄弟，长得一样长。
这个时候啊，底边上的那条特殊的线就像一个多功能工具，在这个等腰三角形的特殊环境下，就能够集高、中线、角平分线于一身啦。
就像我在做数学题的时候，遇到一个三角形，我看到它两条边一样长，我就开始想，这里面会不会有三线合一的情况呢？就像在寻宝一样，只要看到等腰三角形这个宝藏箱的形状，就有可能找到三线合一这个宝贝呢。
4. 三线合一的结论简直是三角形世界里的一个小惊喜。
如果我发现一个三角形里有一条线特别厉害，既是把底边分成相等两段的中线，又像个小柱子一样垂直于底边是高，还像一把小剪刀把顶角平分了，那这个三角形肯定是等腰三角形啦，就像你看到一个人穿着特别的制服，你就知道他是做什么工作的一样。
“三线合一”的性质在等腰三角形中的八种应用
∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.
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应用
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利用“三线合一”证明角的倍分关系
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
求证∠DBC＝
1 ∠BAC. 2
证明：过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，AF⊥BC，
1 ∠BAC. 2
∴∠CAF＝∠BAF＝
证明：如图，延长BA，CD交于点E.
∵BF平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD.
∵CD⊥BD，
∴∠BDC＝∠BDE＝90°.
又∵BD＝BD，
∴△BDC≌△BDE(ASA)．
∴CD＝ED，即CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC， ∴∠ABF＝∠DCF. 又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°， ∴△ABF≌△ACE(ASA)． ∴BF＝CE.∴BF＝2CD.
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应用
2
利用“三线合一”求线段长度
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝ DB，DE⊥AB于点E.若BC＝12，且
△BDC的周长为36，求AE的长．
解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝36，BC＝12，
∴BD＋DC＝24.
∵AD＝BD，
∴AD＋DC＝24，即AC＝24.
∵AB＝AC，∴AB＝24.
第13章 轴对称
双休作业(六)
2
“三线合一”的性质在等腰三角形中
的八种应用
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5
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应用
1
利用“三线合一”求角
1．如图，已知屋架的顶角∠BAC＝100°， 立柱AD垂直于横梁BC，斜梁AB＝AC.