不定积分例题word版

不定积分习例题讲解

计算题

1. 已知x x x f sin sec )('2+=，且1)0(=f ，求函数)(x f 解：⎰⎰+==dx x x dx x f x f )sin (sec )(')(2

⎰⎰+-=+=c x x xdx xdx cos tan sin sec 2

将1)0(=f 代入，得2=c 则2cos tan )(+-=x x x f 2. 若⎰+=,)()(c t F dt t f 则

⎰

++=

+1)(1

)(c b at F a

dt b at f )0(≠a 证明：

用不定积分定义证明：

,)()(c t F dt t f +=⎰ 所以)()('t f t F = 又

)'()('1

)](1[b at u F a

b at F a dt d b at u +=++= )()()('b at f u f u F b at u b at u +===+=+=

)()(1

b at f b at F a

++∴是的一个原函数， 由不定积分定义有⎰++=+1)(1

)(c b at F a

dt b at f

另证，用第一换元积分法证明。

⎰⎰++=+)()(1

)(b at d b at f a

dt b at f ⎰+==])([1

)(1c u F a du u f a 1

)(1

c b at F a

++=

采用“凑微分，使变量一致”的方法，将所求积分化成已知结果的不定积分或基本积分公式的那种形式，就可求得该积分。 3.

解：

4．⎰+dx x x 2

3

1 解：

⎰⎰⎰+-+=+=+)(11)1(2112112

2222223x d x

x dx x x dx x x c x x x d x

dx ++-=++-=⎰⎰)]1ln([21])1(11[21222

2

2 5.

解：

6.

x x

x

12

-⎰d

解：利用第一换元法

⎰

⎰

⎰

---=-=-)d(1121)d(121d 122

22

2

x x x x x x x

c x x +-=--=⎰221)1d(

7.

解：

8.

解：

9．.⎰

xdx 3tan

⎰⎰=xdx x xdx tan .tan tan

23

⎰-=xdx x tan )1(sec 2 ⎰⎰-=xdx xdx x tan tan sec 2

⎰⎰-=dx x

x

x xd cos sin )(tan tan ⎰+=

)(cos cos 1tan 212x d x x c x x ++=cos ln tan 2

1

2 10.

解：

11. 12

2

-⎰x x x d

解： 利用第二换元法，设t x sin =，t t x d cos d =

⎰⎰

⋅=-t t t

t x x x d sin cos cos d 122

2 ⎰⎰-=-=t t t t

t 1)d sin 1

(d sin sin 1222 c x x

x c t t ++--=+--=arcsin 1cot 2

12.

解：

13. ⎰x x d arcsin 解：利用分部积分法

⎰⎰-=)(arcsin d arcsin d arcsin x x x x x x

⎰

--=x x x x x d 1arcsin 2

)d(1121arcsin 22

⎰

--+=x x x x

c

x x x +-+=21arcsin

14.

解：

15．求不定积分

⎰

+dx a x 22

解：第二换元法求解

令,sec ,arctan ,tan 2

tdt a dx a

x t t a x ===

⎰⎰=+.sec 3222tdt a dx a x

又⎰⎰⎰

==t td tdt t tdt tan sec sec .sec sec 23

⎰-=tdt t t t sec tan tan .sec 2 ⎰--=tdt t t t sec )1(sec tan .sec 2 ⎰⎰-+=tdt tdt t t 3sec sec tan .sec

⎰-+++=

tdt t t a x a x 3

222sec tan sec ln . ⎰+++++=∴c a x x a x a

x tdt 222223ln 21

2sec

则

⎰

+++++=+c a x x a a x x dx a x 2222

22

2

ln 2

.2

另解（分部积分法求解）

⎰⎰+-+=+)(222222a x xd a x x dx a x

⎰

+-+=dx

a

x x a x x 2

2

22

2