吉林省长春外国语学校2020-2021学年高一上学期期中考试——数学试卷
2020-2021学年吉林省长春外国语学校九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年吉林省长春外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）距离为2的两点A、B在数轴上关于原点对称，且点A在点B的左侧，则点A 表示的数为（）A．﹣1B．1C．±1D．02．（3分）长春轨道交通7号线，又称长春地铁7号线，是长春市正在修建的一条地铁线路，预计于2025年4月30日开通运营，全长22840米，22840这个数用科学记数法可表示为（）A．2.284×103B．2.284×104C．2.284×105D．22.84×103 3．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式﹣m+2＜﹣1的解集为（）A．m＜1B．m＞1C．m＜3D．m＞35．（3分）如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A．2sinα米B．2cosα米C．米D．米6．（3分）在以如图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图1和图2B．图1和图3C．图3D．图2和图3 7．（3分）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将一块含有45°的直角三角板按照如图方式摆放，顶点A、B的坐标为（1，4）、（4，1），直角顶点C的坐标为（4，4），若反比例函数（x＞0）的图象与直角三角板的边有交点，则k的取值范围为（）A．4≤k≤8B．C．4≤k≤16D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）因式分解：a2﹣ab＝10．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的判别式的值为．12．（3分）如图，∠1是五边形的一个外角．若∠1＝50°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为．13．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，BE⊥AC交AC于点E，F为BC 的中点，BC＝10，DE＝8，则△DEF的面积为．14．（3分）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA的距离分别为0.5m，1.5m．若该墙的长度为12m，则最多可以连续绘制个这样的抛物线型图案．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：x2﹣x﹣1＝0．16．（6分）已知a﹣2b＝0，求（a﹣）÷的值．17．（6分）如图①，用一块长100cm，宽80cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，可以做成如图②所示的底面积为4800cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中画等腰△ABC，使得△ABC的面积为3．（2）在图②中画等腰△ABD，使得∠DAB＝90°．（3）在图③中画等腰△ABE，使得∠AEB＝90°．19．（7分）学校午餐采用自助的形式，并倡导学生和教师“厉行勤俭节约，践行光盘行动”．学校共有6个年级，且各年级的人数基本相同．为了解午餐的浪费情况，从这6年级中随机抽取了A、B两个年级，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个年级每天午餐浪费饭菜的质量，以下简称“每日餐余质量”（单位：kg），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A年级每日餐余质量的频数分布直方图如图；（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）b．A年级每日餐余质量在6≤x＜8这一组的是：6.1，6.6，7.0，7.0，7.0，7.8．c．B年级每日餐余质量如下：1.4，2.8，6.9，7.8，1.9，9.7，3.1，4.6，6.9，10.8，6.9，2.6，7.5，6.9，9.5，7.8，8.4，8.3，9.4，8.8．d．A、B两个年级这20个工作日每日餐余质量的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数A 6.4m7.0B 6.67.2n根据以上信息，回答下列问题：（1）m＝，n＝．（2）A、B这两个年级中，“厉行勤俭节约，践行光盘行动”做的较好的年级是．（3）结合A、B这两个年级每日餐余质量的数据，估计该学校（6个年级）一年（按240个工作日计算）的餐余总质量．20．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，连接点A、E．求证：四边形AEBF为矩形．21．（8分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB 、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，分钟时学生的注意力更集中．（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．请你将上面的证明过程补充完整．【深入探究】如图①，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F．若AB＝9，BC＝10，BF＝3，则线段AE的长为．【拓展提升】已知一个顶角为120°、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板（不重叠），则这个新的三角形纸板周长的最大值为cm．23．（10分）如图在△ABC中，CD⊥AB，AB＝6，AD＝2，CD＝4，点E为边BC的中点．动点P从点A出发，以5cm/s的速度沿边AB向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，连接PE，以PE、PQ为边作平行四边形PQFE．设点P 的运动时间为t（s）．（1）sin∠APQ＝．（2）用含t的代数式表示线段CQ的长度．（3）当∠EPQ为锐角时，求t的取值范围．（4）当△ABC的角平分线CM恰好可以将平行四边形PQFE的面积等分时，求t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2﹣2ax+a（x≥0，a为常数）的图象记为G，图象G的最高点为P（x0，y0）．（1）当a＝﹣2时，求y0的值．（2）当a＞0时，点P的坐标为（用含a的代数式表示）．（3）若点P到x轴的距离为1，求a的值．（4）矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（1，1）、（3，2），且其中的一条边平行于坐标轴．当图象G在矩形ABCD内的部分随x的增大，y的值先增大后减小时，直接写出a的取值范围．2020-2021学年吉林省长春外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）距离为2的两点A、B在数轴上关于原点对称，且点A在点B的左侧，则点A 表示的数为（）A．﹣1B．1C．±1D．0【分析】根据关于原点对称的点表示的数互为相反数，及两个数间的距离，可得这两个数，再根据点A在点B的左侧，可得答案．【解答】解：由数轴上关于原点对称的两点A，B间的距离为2，且点A在点B的左侧得A所表示的数为﹣1，B所表示的数为1．故选：A．【点评】本题考查了数轴，利用了关于原点对称的点表示的数互为相反数及这两个数间的距离得出这两个数是解题关键．2．（3分）长春轨道交通7号线，又称长春地铁7号线，是长春市正在修建的一条地铁线路，预计于2025年4月30日开通运营，全长22840米，22840这个数用科学记数法可表示为（）A．2.284×103B．2.284×104C．2.284×105D．22.84×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将22840用科学记数法表示为：2.284×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．既是轴对称，又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（3分）不等式﹣m+2＜﹣1的解集为（）A．m＜1B．m＞1C．m＜3D．m＞3【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：﹣m+2＜﹣1，移项得：﹣m＜﹣1﹣2，合并同类项得：﹣m＜﹣3，不等式的两边都除以﹣1得：m＞3，故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．5．（3分）如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A．2sinα米B．2cosα米C．米D．米【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝2sinα（米）．故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．6．（3分）在以如图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图1和图2B．图1和图3C．图3D．图2和图3【分析】根据角平分线的作法即可进行判断．【解答】解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图2中，根据作法可知：AE＝AF，AM＝AN，在△AMF和△ANE中，，∴△AMF≌△ANE（SAS），∴∠AMD＝∠AND，∵∠MDE＝∠NDF，∵AE＝AF，AM＝AN，∴ME＝NF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（AAS），所以D点到AM和AN的距离相等，∴AD平分∠BAC．在图3中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．7．（3分）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【分析】由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断．【解答】解：∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将一块含有45°的直角三角板按照如图方式摆放，顶点A、B的坐标为（1，4）、（4，1），直角顶点C的坐标为（4，4），若反比例函数（x＞0）的图象与直角三角板的边有交点，则k的取值范围为（）A．4≤k≤8B．C．4≤k≤16D．【分析】求得反比例函数的图象经过A、B时k的值以及经过点C时k的值，根据图象即可求得k的取值范围．【解答】解：当反比例函数（x＞0）的图象经过A时，k＝1×4＝4；当反比例函数（x＞0）的图象经过B时，k＝4×1＝4；当反比例函数（x＞0）的图象经过C时，k＝4×4＝16；∵反比例函数（x＞0）的图象与直角三角板的边有交点，∴k的取值范围为4≤k≤16，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）因式分解：a2﹣ab＝a（a﹣b）【分析】直接找出公因式再提取公因式分解即可．【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．故答案为：a（a﹣b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．10．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的判别式的值为1．【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式的公式为Δ＝b2﹣4ac．12．（3分）如图，∠1是五边形的一个外角．若∠1＝50°，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为410°．【分析】利用邻补角定义可得∠AED的度数，再利用五边形内角和定理进行计算即可．【解答】解：∵∠1＝50°，∴∠AED＝180°﹣50°＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×（5﹣2）﹣130°＝410°，故答案为：410°．【点评】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和计算公式：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）．13．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，BE⊥AC交AC于点E，F为BC 的中点，BC＝10，DE＝8，则△DEF的面积为12．【分析】过F作FM⊥DE于M，根据直角三角形斜边上中线的性质求出DF＝EF＝5，根据等腰三角形的性质求出DM＝EM＝4，根据勾股定理求出FM，再根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：过F作FM⊥DE于M，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠BEC＝90°，∵F为BC的中点，BC＝10，∴DF＝BC＝5，EF＝BC＝5，∴DF＝EF，∵FM⊥DE，DE＝8，∴DM＝EM＝4，由勾股定理得：FM＝＝＝3，∴△DEF的面积是＝＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识点，能根据综合运用定理进行推理是是解此题的关键．14．（3分）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA的距离分别为0.5m，1.5m．若该墙的长度为12m，则最多可以连续绘制6个这样的抛物线型图案．【分析】由函数的图象知，点B、C的纵坐标相同，其横坐标分别为x＝0.5和x＝1.5，求出函数的对称轴为x＝（0.5+1.5）＝1，进而求解．【解答】解：以点O为原点，建立如下坐标系，由函数的图象知，点B、C的纵坐标相同，其横坐标分别为x＝0.5和x＝1.5，故函数的对称轴为x＝（0.5+1.5）＝1，设第一个图案与x轴交点为D，则OD＝2，则12÷2＝6，故最多可以连续绘制6个这样的抛物线型图案，故答案为6．【点评】本题考查的是二次函数的应用，通过建立适当的坐标系，确定函数的对称轴是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：x2﹣x﹣1＝0．【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式．确定a ，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，则∴，．【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．16．（6分）已知a﹣2b＝0，求（a﹣）÷的值．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．【解答】解：∵a﹣2b＝0，∴a＝2b，原式＝×＝＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．17．（6分）如图①，用一块长100cm，宽80cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，可以做成如图②所示的底面积为4800cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．【分析】设截去的小正方形的边长为xcm，则长方形盒子的底面为长（100﹣2x）cm，宽为（80﹣2x）cm的长方形，根据长方体纸盒的底面积为4800cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设截去的小正方形的边长为xcm，则长方形盒子的底面为长（100﹣2x）cm ，宽为（80﹣2x）cm的长方形，依题意，得：（100﹣2x）（80﹣2x）＝4800，化简，得：x2﹣90x+800＝0，解得：x1＝10，x2＝80（不合题意，舍去）．答：截去的小正方形的边长为10cm．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及几何体的表面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中画等腰△ABC，使得△ABC的面积为3．（2）在图②中画等腰△ABD，使得∠DAB＝90°．（3）在图③中画等腰△ABE，使得∠AEB＝90°．【分析】（1）作出底为2，高为3的等腰三角形即可．（2）利用数形结合的思想作出AB＝AD，∠DAB＝90°即可．（3）利用数形结合的思想作出EA＝EB，∠AEB＝90°即可．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）如图，△ABD即为所求．（3）如图，△ABE即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（7分）学校午餐采用自助的形式，并倡导学生和教师“厉行勤俭节约，践行光盘行动”．学校共有6个年级，且各年级的人数基本相同．为了解午餐的浪费情况，从这6年级中随机抽取了A、B两个年级，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个年级每天午餐浪费饭菜的质量，以下简称“每日餐余质量”（单位：kg），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A年级每日餐余质量的频数分布直方图如图；（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）b．A年级每日餐余质量在6≤x＜8这一组的是：6.1，6.6，7.0，7.0，7.0，7.8．c．B年级每日餐余质量如下：1.4，2.8，6.9，7.8，1.9，9.7，3.1，4.6，6.9，10.8，6.9，2.6，7.5，6.9，9.5，7.8，8.4，8.3，9.4，8.8．d．A、B两个年级这20个工作日每日餐余质量的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数A 6.4m7.0B 6.67.2n根据以上信息，回答下列问题：（1）m＝ 6.8，n＝ 6.9．（2）A、B这两个年级中，“厉行勤俭节约，践行光盘行动”做的较好的年级是A．（3）结合A、B这两个年级每日餐余质量的数据，估计该学校（6个年级）一年（按240个工作日计算）的餐余总质量．【分析】（1）从频数分布直方图可求出调查人数，再根据中位数的意义求出A年级的“餐余质量”的中位数，根据众数的意义求出B年级的“餐余质量”的众数；（2）从平均数、中位数上比较得出答案；（3）求出两个年级平均每天“餐余质量”的平均数，再根据年级数和就餐的天数求出总质量．【解答】解：（1）A年级的调查人数：1+2+5+6+4+2＝20，因此中位数是排序后处在第10、11两个数的平均数，根据各组人数和A年级每日餐余质量在6≤x＜8这一组的数据可知，第10、11两个数的平均数为＝6.8，即m＝6.8，B年级的“餐余质量”出现次数最多的是6.9，共出现4次，因此众数是6.9，即n＝6.9，故答案为：6.8，6.9；（2）因为B年级“餐余质量”的平均数、中位数均比A年级的高，所以A年级做的较好，故答案为：A；（3）×6×240＝9360（kg），答：该学校一年的餐余总质量约为9360kg．【点评】本题考查频数分布直方图的意义和制作方法，掌握中位数、众数、平均数的意义和计算方法是解决问题的关键．20．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，连接点A、E．求证：四边形AEBF为矩形．【分析】根据等边三角形的性质可得AF＝BD＝BE，再求出∠EBF＝∠AFB＝90°，然后利用“边角边”证明△ABF和△EFB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝EF，再求出四边形AEBF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．【解答】证明：连接EF，∵等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，∴AF＝BD，∠CBD＝30°，∵△BDE是等边三角形，∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∴AF＝BD＝BE，∠EBF＝∠AFB＝90°，在△ABF和△EFB中，，∴△ABF≌△EFB（SAS），∴AB＝EF，∵∠AFB＝∠EBF＝90°，∴AF∥BE，又∵AF＝BE，∴四边形AEBF是平行四边形，∵AB＝EF，∴四边形AEBF是矩形，【点评】本题考查了矩形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．21．（8分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB 、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，5分钟时学生的注意力更集中．（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题【分析】（1）根据图象信息即可得到结论；（2）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．【解答】解：（1）由图象知，上课后的第5分钟与第30分钟相比较，5分钟时学生的注意力更集中，故答案为：5；（2）设线段AB的解析式为：y AB＝kx+b，把（10，50）和（0，30）代入得，，解得：，∴直线AB的解析式为：y AB＝2x+30；设双曲线CD的函数关系式为：y CD＝，把（20，50）代入得，50＝，∴a＝1000，∴双曲线CD的函数关系式为：；（3）当y＝40时，2x+30＝40，x＝5.．∴25﹣5＝20＞18．∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．请你将上面的证明过程补充完整．【深入探究】如图①，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F．若AB＝9，BC＝10，BF＝3，则线段AE的长为4．【拓展提升】已知一个顶角为120°、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板（不重叠），则这个新的三角形纸板周长的最大值为（20+20+20）cm．【分析】【教材呈现】证明△ADB≌△EDC（AAS），可得结论．【深入探究】如图①，想办法求出DF，AF，再利用勾股定理求解即可．【拓展提升】取AC的中点R，连接BR，过点A作AT∥BC交BR的延长线于T，则△ART ≌△CRB，此时△ABT的周长最大．【解答】解：【教材呈现】如图13.2.13中，∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，∠BAD＝∠E，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△ADB和△EDC中，，∴△ADB≌△EDC（AAS），∴AD＝ED．【深入探究】∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∵BD＝5，BF＝3，AB＝9，∴AF＝AB﹣BF＝9﹣3＝6，DF＝＝＝4，∴AD＝＝＝2，∴AE＝2AD＝4，故答案为：4．【拓展提升】取AC的中点R，连接BR．过点A作AT∥BC交BR的延长线于T，过点T 作TH⊥BA交BA的延长线于H．则△ART≌△CRB，此时△ABT的周长最大．∵AB＝AC＝20cm，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∴AT＝BC＝2•AB•cos30°＝20（cm），∵AT∥BC，∴∠HAT＝∠ABC＝30°，∴HT＝AT＝10（cm），AH＝TH＝30（cm），∴BH＝AB+AH＝50（cm），∴BT＝＝＝20（cm），∴△ABT的周长为（20+20+20）cm．故答案为：（）．【点评】本题考查图形的拼剪，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）如图在△ABC中，CD⊥AB，AB＝6，AD＝2，CD＝4，点E为边BC的中点．动点P从点A出发，以5cm/s的速度沿边AB向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，连接PE，以PE、PQ为边作平行四边形PQFE．设点P 的运动时间为t（s）．（1）sin∠APQ＝．（2）用含t的代数式表示线段CQ的长度．（3）当∠EPQ为锐角时，求t的取值范围．（4）当△ABC的角平分线CM恰好可以将平行四边形PQFE的面积等分时，求t的值．【分析】（1）由勾股定理可求AC的长，由直角三角形的性质可求∠APQ＝∠ACD，由三角函数可求解；（2）由三角函数可求AQ的长，即可求解；（3）先求出当∠EPQ为直角时，t的值，再求出点P与点B重合时，t的值，即可求解；（4）设CM与QE交于点O，过点O作OG⊥BC于G，作ON⊥AC于N，由HL可证Rt△ONQ≌Rt△OGE，可得∠NQO＝∠GEO，由等腰三角形的判定可得CQ＝CE＝2，由锐角三角函数可求AP的长，即可求解．【解答】解：（1）∵AD＝2，CD＝4，∴AC＝＝＝2，∵PQ⊥AC，CD⊥AB，∴∠AQP＝∠ADC＝90°，∴∠A+∠APQ＝∠A+∠ACD＝90°，∴∠APQ＝∠ACD，∴sin∠APQ＝sin∠ACD＝＝＝，故答案为：．（2）∵sin∠APQ＝＝，∴AQ＝×5t＝t，∴CQ＝AC﹣AQ＝2﹣t；（3）当∠EPQ为直角时，如图，∵点E为边BC的中点，∴BE＝CE＝BC，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝90°＝∠EPQ，∴EP∥AC，∴△BEP∽△BCA，∴＝，∴BP＝AB＝3，∴AP＝AB﹣BP＝3，∴t＝，当点P与点B重合时，AP＝6，∴t＝，∴当＜t＜时，∠EPQ为锐角；（4）如图2，设CM与QE交于点O，过点O作OG⊥BC于G，作ON⊥AC于N，∵CD⊥AB，AB＝6，AD＝2，CD＝4，∴BC＝＝＝4，∵点E为边BC的中点，∴CE＝BE＝2，∵△ABC的角平分线CM恰好可以将平行四边形PQFE的面积等分，∴OQ＝EO，∵CO平分∠ACB，OG⊥BC，ON⊥AC，∴ON＝OG，∴Rt△ONQ≌Rt△OGE（HL），∴∠NQO＝∠GEO，∴CQ＝CE＝2，∴AQ＝AC﹣CQ＝2﹣2，∵sin∠APQ＝＝，∴AP＝10﹣2，∴t＝．【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2﹣2ax+a（x≥0，a为常数）的图象记为G，图象G的最高点为P（x0，y0）．（1）当a＝﹣2时，求y0的值．（2）当a＞0时，点P的坐标为（0，a）（用含a的代数式表示）．（3）若点P到x轴的距离为1，求a的值．（4）矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（1，1）、（3，2），且其中的一条边平行于坐标轴．当图象G在矩形ABCD内的部分随x的增大，y的值先增大后减小时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）当a＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2ax+a＝﹣x2+4x﹣2，该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣a＝2，当x＝2时，y＝﹣x2+4x﹣2＝2＝y0；（2）当a＞0时，抛物线的对称轴在y轴左侧，则在y轴右侧y随x的增大而减小，故x ＝0时，y取得最大值，即可求解；（3）当a＞0时，由（2）知，点P（0，a），故a＝1；当a＜0时，抛物线在顶点处取得最大值，即a2+a＝1，即可求解；（4）当抛物线的下图所示的位置时，符合题设条件，此时抛物线的对称轴在AD的右侧，顶点在AB和CD之间，即可求解．【解答】解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣a，顶点坐标为（﹣a ，a2+a）；（1）当a＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2ax+a＝﹣x2+4x﹣2，该抛物线的对称轴为直线x＝﹣a＝2，当x＝2时，y＝﹣x2+4x﹣2＝2＝y0，即y0＝2；（2）当a＞0时，抛物线的对称轴在y轴左侧，则在y轴右侧y随x的增大而减小，故x＝0时，y取得最大值，当x＝0时，y＝a，故点P的坐标为（0，a），故答案为（0，a）；（3）当a＞0时，由（2）知，点P（0，a），故a＝1；当a＜0时，抛物线在顶点处取得最大值，即a2+a＝1，解得a＝（舍去正值），故或a＝1；（4）当抛物线的下图所示的位置时，符合题设条件，此时抛物线的对称轴在AD的右侧，顶点在AD和BC之间．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣a，顶点坐标为（﹣a，a2+a）；。
吉林省长春市榆树高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 含答案
长榆高中期中考试高一数学试题(理) 一．选择题（每小题5分，共计60分）1．若集合}4,2,1{},3,2,1{==B A ，则B A 的子集个数为（ ）A.2B.3C.4D.162．已知全集U R =，集合{}|2A x x =<，{}|1B x x =>，则 U A B =( )A. {}|1x x ≤B.{}0x x ≤C.{}12x x ≤<D. {}12x x <<3．设集合{1}P x x =>，2{0}Q x x x =->，则下列结论正确的是() A.P Q = B.P Q =RC.P ⊂≠QD.Q ⊂≠P4．命题 “x ∀∈R ，20x >”的否定是( )A.x ∀∈R ,20x ≤B.x ∃∈R ，20x ≤C.x ∃∈R ,20x <D.x ∃∈R ,20x >5．“(21)0x x -=”是“0x =”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6． 设a ,b ,c ∈R,且a >b ,则( )A.ac >bcB.<C.a 2>b 2D.a 3>b 37． 设x,y 为正数, 则(x+y ))41(y x +的最小值为( )A. 6B. 9C. 12D. 158 ．不等式203x x ->+的解集是 ( )A. (3)(2)-∞-+∞，，B. (2)(3)-∞-+∞，，C. (2)+∞，D. (32)-，9．函数21)(--=x x x f 的定义域为( )A .[)()+∞⋃,22,1B .()+∞,1C.[)2,1D.[)+∞,110．已知函数f (x)是R 上的增函数,且f (x)为奇函数，则f (1)的值( )A ．可正可负 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 恒为011．下列函数中，既是偶函数，又是在(0,)+∞上单调递减的函数为 ( )A. 13y x = B. 2y x = C. 2y x -= D. 1y x -=12．函数y ＝x 2+1 (-1≤x <2)的值域是 ( )A.(3,0]B.(3,1]C. [0,1]D. [1,5)二．填空题（每小题5分，共计20分）13．函数[]和是上的最大值与最小值的在4,21)(∈-=x x x x f ______14．已知a,b 均为正数，且a+b=4,则ab 的最大值是15．已知f (x )=21231 (1)()x x x x ⎧+<⎨-+≥⎩则f (f (2))=16．幂函数y =f (x )的图象经过点（4，12），则f (14)的值为三．解答题（共计70分）17．若集合A=｛x ｜-3＜x ＜5﹜,B=｛x ｜2m-1＜x ＜2m+9﹜,且A Ｕ B=B,求实数m 的取值范围。
2020-2021学年吉林省长春外国语学校高一下学期期初考试数学试题(解析版)
2020-2021学年吉林省长春外国语学校高一下学期期初考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则AB =（ ）A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}【答案】D【分析】先根据集合定义求出集合B ，然后由交集定义计算． 【详解】由题意{1,4,7,10}B =，所以{1,4}A B =，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2．已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（ ） A ．{2，3} B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4} 【答案】D【分析】由元素具有的性质，5a -是6的正约数，由此可得a 的值． 【详解】因为集合M=6*,5aN a⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，，所以5-a 可能为1，2，3，6，即a 可能为4，3，2，1-.所以M={1-，2，3，4}， 故选：D.【点睛】本题考查集合的概念，确定集合的元素是解题关键．元素所具有的性质是解题的根据． 3．若231mx x ，221nx x ，则m 与n 的大小关系是（ ）A ．m n >B ．m n ≥C ．m n <D ．m n ≤【答案】A【分析】运用作差法可得m 与n 的大小. 【详解】∵231m x x ，221nx x∴2222312122110mnx x x x x x x因此：m n >故选：A4．已知,x y 为正实数，且4xy =，则4x y +的最小值是（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【分析】化简164x y x x+=+，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正实数,x y 且4xy =，可得4y x=，则1648x y x x +=+≥=，当且仅当16x x =时，即4x =时等号成立， 所以4x y +的最小值是8. 故选：B.5．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21f x x =+，则(3)f 等于（ ） A ．7- B ．7C ．5-D ．5【答案】D【分析】由奇函数定义可求解 【详解】()33215f -=-⨯+=-()(3)35f f =--=故选：D6．以下函数在其定义域上为增函数的是（ ） A ．1(0)x yx xB ．2(0)y x x xC ．y =D ．2yx【答案】B【分析】结合一次函数，反比例函数，二次函数的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，111(0)x y x xx，由于反比例函数()10y x x=>为减函数，故1(0)x y x x为减函数，A 选项错误；对于B 选项，2(0)yx x x的对称轴为102x =-<，开口向上，故2(0)yx x x 为增函数，B 选项正确；对于C 选项，由于()11y x x =-≤上是减函数，故由复合函数的单调性得y =定义域(],1-∞上的减函数，C 选项错误； 对于D 选项，2y x 为减函数，故D 选项错误.故选：B.7．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=． A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【详解】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.8．已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么－1<f(x)<1的解集是( ) A ．(－3,0) B ．(0,3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】B【分析】先化不等式－1＜f(x)＜1为f(0)＜f(x)＜f(3)，再利用函数的单调性解不等式得解.【详解】由已知f(0)＝－1，f(3)＝1， ∴－1＜f(x)＜1，即f(0)＜f(x)＜f(3)， ∵f(x)在R 上递增， ∴0＜x ＜3，∴－1＜f(x)＜1的解集为(0,3)． 故答案为B【点睛】本题主要考查函数的单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9．在ABC 中，120o C，tan tan A B +=，则tan tan A B 的值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．53【答案】B 【分析】由题得tan tan 31tan tan A BA B+=-⋅，代入已知条件化简即得解.【详解】由题得60,A B += 所以tan tan tan()31tan tan A BA B A B++==-⋅,所以23133tan tan 1tan tan 3A B A B =∴⋅=-⋅，. 故选：B【点睛】方法点睛：解三角形时，遇到tan tan ,tan tan A B A B +⋅,要联想到和角的正切公式tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=-⋅求解.10．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】根据函数2()1log f x x =+过1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭排除A; 根据1()2x g x -+=过()0,2排除B 、D,故选C ．11．定义运算：2,*,xy x yx y x x y>⎧=⎨≤⎩，例如：3*49，4*312，则函数()*(2)f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【答案】A【分析】写成分段函数形式，逐段分析单调递增区间即可【详解】222,1()*(2),1x x x f x x x x x ⎧->=-=⎨≤⎩当1x >时，2()2f x x x =-的单调递减当21,()x f x x ≤=的递增区间为(0,1) 故选：A 12．函数(cos sin )cos y a xb x x 有最大值2，最小值1-，则2a b +等于（ ）A ．5B ．6C ．8D ．9【答案】D【分析】运用二倍角的正弦公式和余弦公式和辅助角公式整理得()22a y x θ=+（θ为辅助角），结合正弦函数的值域，可得最值，解方程可得a ，b ，进而得到所求值． 【详解】函数()21cos 2sin 2cos sin cos cos sin cos 22x b xy a x b x x a x b x x a +=+=+=+()()1cos 2sin 22222a a a x b x x θ=++=++（θ为辅助角），则()f x 的最大值为 2a ，最小值为 2a ，由题意可得 22a =，且 12a -，解得1a =，b =±(2219a b +=+±=.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简和求值，考查辅助角公式和正弦函数的值域的运用，以及化简运算能力，属于中档题.本题解题的关键在于根据二倍角公式和辅助角公式整理得到()22a y x θ=++（θ为辅助角），进而由函数性质解方程求解.二、填空题13．若幂函数()f x x α=的图象经过点(2,8)，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】127【分析】首先根据题意得到3()f x x =，再计算13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可.【详解】由题知：(2)28f α==，3α=，所以3()f x x =.3111=3327f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：127. 14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意实数0x ≥，都有(4)()f x f x +=，且当[0,2)x ∈时，2()log (1)f x x ，则(2020)(2021)f f 的值为_________. 【答案】1-【分析】根据函数的周期性和奇偶性，化简得所以(2020)(2021)(0)(1)f f f f +-=-，即可求解.【详解】由题意，对于任意实数0x ≥，都有(4)()f x f x +=， 可得函数()f x 在非负数集上是局部周期为4的函数， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2020)(2021)(2020)(2021)f f f f +-=-(05054)(15054)f f =+⨯-+⨯22(0)(1)log 1log 21f f =-=-=-.故答案为：1- 15．已知()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，则2αβ-的值为______. 【答案】34π-【分析】求出()tan 2αβ-的值，并求出2αβ-的取值范围，由此可求得2αβ-的值.【详解】1tan 07β=-<且()0,βπ∈，所以，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()2,0αβπ-∈-，由二倍角的正切公式可得()()()222tan 14tan 221tan 3112αβαβαβ--===--⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，()()()()41tan 22tan 37tan 2tan 221411tan 22tan 137αββαβαββαββ--+-=-+===⎡⎤⎣⎦--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭， 因此，324παβ-=-. 故答案为：34π-. 【点睛】关键点点睛：通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是()0,π，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．16．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】5-； 【详解】f(x)＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎪⎝⎭－φ)，其中sin φ，cos φ，当x －φ＝2kπ＋2π (k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ.三、解答题17．已知集合{}213A x x =-<+<，集合B 为整数集，令C A B =.（1）求集合C ； （2）若集合1,Da ，{2,1,0,1,2}C D ，求实数a 的值.【答案】（1）{2,1,0,1}--；（2）2a =.【分析】（1）首先得到{}32A x x =-<<，再求C A B =即可.（2）根据2,1,0,1,2CD 即可得到答案.【详解】（1）{}{}21332A x x x x =-<+<=-<<， 因为集合B 为整数集，所以{}2,1,0,1C A B -=-=.（2）因为{}2,1,0,1C -=-，1,D a ，2,1,0,1,2C D ，所以2a =.18．已知tan α是关于x 的方程2210x x --=的一个实根，且α是第三象限角. （1）求sin cos sin cos αααα-+的值；（2）求2sin cos αα-的值. 【答案】（1）0；（2）2-. 【分析】（1）首先解方程求出tan 1α=，再根据同角三角函数的商数关系求解即可. （2）利用同角三角函数关系求解即可. 【详解】（1）2210x x --=，解得112x =-，21x =， 因为tan α是关于x 的方程2210x x --=的一个实根，且α是第三象限角， 所以tan 1α=.所以sin cos tan 10sin cos tan 1αααααα--==++.（2）因为tan 1α=，α是第三象限角，所以22sin 1cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin cos αα==所以2sin cos αα-=19．（1）已知()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，求()f x ； （2）已知1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x . 【答案】（1）213()222f x x x =-+；（2）2()(0)33x f x x x =-≠. 【分析】(1) 设该二次函数的解析式，然后，利用待定系数法求解其解析式（2）在等式的两边同时以1x代x ，构造一个新的等式，然后，求解f （x ）即可； 【详解】（1）∵f （x ）为二次函数，∴f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵f （0）＝c ＝2， ∵f （x +1）﹣f （x ）＝x ﹣1，∴2ax +a +b ＝x ﹣1，∴a 12=，b 32=-，∴f （x ）12=x 232-x +2．（2）∵()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①， ∴f （1x ）+2f （x ）1x=，② ①-②×2得：﹣3f （x ）＝x 2x-，∴2()(0)33xf x x x =-≠ 【点睛】方法点睛：求解函数解析式的基本方法：待定系数法，换元法和构造方程组，是基础题型． 20．已知函数21()sin 23sin cos cos 2,2f x xx xx x R .（1）求()f x 的单调增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的对称轴及对称中心. 【答案】（1）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）对称轴3x π=，对称中心1,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】先把()f x 化为1()2sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （1）用复合函数求导法则求单增区间；（2）用换元法及y=sinx 的性质求()f x 的对称轴及对称中心.【详解】21()sin 23sin cos cos 221cos 21=3sin 2cos 22213sin 2cos 2212sin 262f x xx x x xxx x x x（1）要求()f x 的单调增区间，只需222262k x k πππππ-≤-≤+，解得：63k xk ππππ所以 ()f x 的单调增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）要求()f x 的对称轴，只需02262x x k ππππ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得3x π=，即当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的对称轴为3x π=；要求()f x 的对称中心，只需0226x x k πππ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12x π=，所以对称中心为1,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的对称中心为 1,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式． 21．已知函数()2sin()0,,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭的周期为8，过点(1,2). （1）求函数()f x 的解析式； （2）当26,3x时，求函数()(2)y f x f x =++的最值及相应的x 的值. 【答案】（1）()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）23x =-；4x =-时，最小值-.【分析】（1）根据函数的周期，求出ω，再由其过点(1,2)求出ϕ，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，得到()(2)4y f x f x x π=++=，根据余弦函数的性质，即可确定函数在给定区间的最值.【详解】（1）因为函数()2sin()0,,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭的周期为8，所以28T πω==，则4πω=；又函数()f x 过点(1,2)，则242k ππϕπ+=+（k Z ∈），所以24k ϕπ=+π（k Z ∈），因为2πϕ<，所以4πϕ=，则()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由（1）可得()(2)2sin 2sin 44424y f x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44444x x x x x πππππ=++=，因为26,3x，所以3,426x πππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，令3,426t x πππ⎡⎤=∈--⎢⎥⎣⎦，则y t =，根据余弦函数的性质可得：y t =在区间3,2t ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,6t ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递减；所以当t π=-，即4x =-时，函数4y x π=取得最小值为min y =-当6t π=-，即23x =-时，函数4y x π=取得最大值为max y =22．已知二次函数2()2g x ax axb 的图象开口向上，且在区间[2,2]-上的最小值为0和最大值为9. （1）求,a b 的值；（2）若0k >，且1k ≠，函数()xg k 在[1,1]-上有最大值9，求k 的值.【答案】（1）1a b ==；（2）2k =或12k =. 【分析】（1）根据二次函数解析式确定其对称轴，再由其开口方向，得到其在给定区间的单调性，推出min ()g x b a =-，max ()8g x b a =+，列出方程求解，即可得出,a b 的值；（2）根据（1）得到函数解析式，令x t k =，分别讨论1k >和01k <<两种情况，根据二次函数与指数函数单调性，结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数2()2g x ax ax b 的对称轴为1x =-；且其图象开口向上，则0a >； 所以2()2g x ax axb 在[2,1]--上单调递减，在(]1,2-上单调递增，则min ()(1)g x g b a =-=-，又(2)g b -=，(2)8g b a b =+>，所以max ()(2)8g x g b a ==+，因为2()2g x ax ax b 在区间[2,2]-上的最小值为0和最大值为9，所以089b a b a -=⎧⎨+=⎩，解得1a b ==；（2）由（1）知，2()21g x x x =++是开口向上，且对称轴为1x =-的二次函数；令x t k =，当1k >时，x t k =单调递增，由[]1,1x ∈-可得1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()g t 在1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以2max ()()(1)9g t g k k ==+=，解得2k =或4k =-（舍），则2k =；当01k <<时，x t k =单调递减，由[]1,1x ∈-可得1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()g t 在1,t k k⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以2max11()19g t g k k ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12k =或14k =-（舍），则12k =； 综上，2k =或12k =. 【点睛】思路点睛：求解含指数的二次函数的最值问题时，一般需要利用二次函数与指数函数的单调性，判定所给函数在给定区间的单调性，由函数单调性即可求出最值.。
长春市东北师大附中2020-2021学年上学期期中试卷高一数学试题(解析版)
东北师大附中2020-2021学年高一年级数学学科试卷上学期期中试卷一､单项选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，再每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（ ）A. {5}x x <B. {05}x x <<C. {05}x x ≤<D. {1}x x >-【答案】C 【解析】 【分析】直接由交集的定义求解即可【详解】解：因为{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥， 所以{05}A B x x ⋂=≤<， 故选：C2. 已知集合{1,2,3,4}P =，则满足{1,2}Q P ⊆⊆的集合Q 的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】列举出满足题意的集合Q 后可得结论．【详解】解：由题题意可知，满足条件的集合Q 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个. 故选：D ．3. 设x ∈R ，则“03x <<”是|1|1x -<的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由绝对值不等式的求解结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为|1|1x -<，所以111x -<-<即02x <<， 所以“03x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条仵. 故选：B.4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. ()f x x =，()2g x =B. ()21f x x =+，()21g t t =+C. ()1f x =，()x g x x= D. ()f x x =，()g x =【答案】B 【解析】 【分析】求出各选项中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的概念可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()2g x =的定义域为[)0,+∞，两个函数的定义域不相同，A 选项中的两个函数不相等；对于B 选项，函数()21f x x =+与()21g t t =+的定义域均为R ，两个函数的对应法则也相同，B 选项中的两个函数相等；对于C 选项，函数()1f x =的定义域为R ，函数()xg x x=的定义域为{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，C 选项中的两个函数不相等；对于D 选项，函数()f x x =与()g x =R ，且()g x x ==，两个函数的对应法则不相同，D 选项中的两个函数不相等. 故选：B.5. 命题“10,13xx ⎛⎫∀≥≤ ⎪⎝⎭”的否定是（ ） A. 10,13xx ⎛⎫∃≥> ⎪⎝⎭ B. 10,13xx ⎛⎫∃<> ⎪⎝⎭ C. 10,13x x ⎛⎫∀<≤ ⎪⎝⎭D. 10,13xx ⎛⎫∀≥> ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由全称命题否定为特称命题求解即可【详解】解：因为命题“10,13xx ⎛⎫∀≥≤ ⎪⎝⎭”， 所以此命题的否定为10,13xx ⎛⎫∃≥> ⎪⎝⎭， 故选：A6. 设0.70.7a =， 1.60.7b =，0.71.6c =，则的大小关系是（ ） A. a b c << B. a c b << C. b c a << D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性比较a 、b 的大小，利用幂函数的单调性比较a 、c 的大小，进而可得出这三个实数的大小.【详解】指数函数0.7xy =为R 上的减函数，则0.7 1.60.70.7>，即a b >； 幂函数0.7y x=为()0,∞+上的增函数，则0.70.70.7 1.6<，即a c <.因此，b a c <<. 故选：D.7. 若0x ∃>，使得40x m x+-≤，则实数m 取值范围是（ ） A. 4m > B. 4m ≥C. 4m <D. 4m ≤【答案】B 【解析】 【分析】 不等式变形为4x m x+≤，然后求出4x x +在0x >时的最小值，即可得．【详解】解：∵40x m x+-≤，∴4x m x +≤，其中44x x +≥=，当且仅当4x x=，即2x =时等号成立， ∴4m ≥． 故选：B8. 若函数2()2f x x ax =-+与()(1)x g x a -=+在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (0,1] D. (1,0)(0,1)-【答案】C 【解析】 【分析】先求出2()2f x x ax =-+的对称轴x a =，则由题意可得1a ≤，而()(1)xg x a -=+=11xa ⎛⎫ ⎪+⎝⎭在[1,2]上为减函数，则有1011a <<+，从而可求出a 的取值范围 【详解】解：因为2()2f x x ax =-+的对称轴为x a =，抛物线开口向下，且在[1,2]上为减函数，所以1a ≤， 因为()(1)xg x a -=+=11xa ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，且在[1,2]上为减函数， 所以1011a <<+，可得0a > 综上(0,1]a ∈， 故选：C二､多项选择题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，再每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若a b >，则1a b> B. 若22a b c c>，则a b > C. 若0c a b >>>，则a bc a c b>-- D. 若a b >，则33a b >【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断．D 可用函数单调性判断． 【详解】解析：A 项，若0b <时，1ab>显然不成立 B 项，22a b c c>，则a b >正确 C 项，若0c a b >>>，a bc a c b>--可变形为ac ab bc ab ->-，a b >正确D 项，3()f x x =为单调增函数，若a b >，则33a b >正确． 故答案为：BCD ．10. 下列函数中，在各自定义域内既为增函数又为奇函数的是（ ） A. y x = B. 1y x=-C. ||y x x =D. x xxxa a y a a---=+ 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质直接判断AB ，去掉绝对值号变为分段函数判断C ，化简D 可得2211xxa y a -=+，利用奇函数定义判断，利用单调性定义判断为增函数.【详解】A 项，y x =是奇函数，满足()()f x f x =--，且为增函数 B 项，1y x=-图像关于原点对称，是奇函数，单子啊定义域内不是单调增函数 C 项，22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，在定义域内为增函数，且关于原点对称D 项，221()1x x x x xx a a a f x a a a ----==++，221()1x x xx x x a a a f x a a a -----==++ ()()f x f x =--成立，为奇函数.设12x x >()()()()()()()1212121212222222122222111111()1111x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x a a a a -+-+----=-=++++ 分子()()()1212212122222211x x x x x x x x aa a a a a ++=-+--+--()12222x x a a =-，当1a >时，分子大于0分母明显大于0，故()()120f x f x ->得证，()f x 为增函数. 故选：ACD【点睛】基本初等函数的奇偶性，单调性根据函数解析式可直接得出结论，复杂的函数一般先化简解析式，然后利用奇偶性、单调性定义判断即可.11. 设函数()21,,,xf x a b c R =-∈，且a b c <<，下列说法正确的是（ ） A. 函数()y f x =有最小值0，无最大值B. 函数()y f x =与直线1y =的图像有两个不同的公共点C. 若()()()f a f c f b >>，则222a c +<D. 若()()f a f b =，则222a b +的取值范围是7,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意画出()f x 图像，由图像可知()f x 的最小值为0，无最大值，且图像与1y =只有一个公共点，从而可对选项A,B 进行判断，a b c <<，且()()()f a f c f b >>可知,,a b c 在图像中如图，()1f a <，且0a <，()1f c <，且0c >，由此可对C 选项进行判断，由图可知()1f a <，()1f b <，且0a <，0b >，从而由()()f a f b =得222a b +=，则2221722222(2)24a b a a a =-+=-++，再由021a <<，可求得其范围【详解】解：由题意画出()f x 图像.A 项，当0x =时，()0f x =，无最大值，所以A 正确B 项，与1y =只有一个公共点，所以B 错误C 项， a b c <<，且()()()f a f c f b >>可知，,,a b c 在图像中如图，()1f a <，且0a <，()1f c <，且0c >，则01c <<，则0()()1f c f a <<<，所以2112c a -<-，所以222a c +<，所以C 正确对于D ，由图可知()1f a <，()1f b <，且0a <，0b >， 则()()f a f b =可写为2121ab-=-，1221a b -=-， 222a b +=，所以222b a =-， 所以2221722222(2)24ab a a a =-+=-++，因为0a <，所以021a <<， 所以22217722(2),2244222a a ab a ⎡⎫=-+=-+∈⎢⎣+⎪⎭所以D 正确， 故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数的图像和性质的应用，解题的关键是准确的画出函数的图像，利用数形结合的思想解题，属于中档题12. 已知函数2,1 ()2,1xxfxx xx⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，下列说法正确的是（）A.((0))3f f=B. 函数()y f x=的值域为[2,)+∞C. 函数()y f x=的单调递增区间为[0,)+∞D. 设a R∈，若关于x的不等式()2x f x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是[2,2]-【答案】ABD 【解析】【分析】作出函数()f x的图象，先计算(0)f，然后计算((0))f f，判断A，根据图象判断BC，再作出2x y a=+的图象，它应在()y f x=图象的下方，对()f x的两段分别观察得出a的范围，综合后可得a的范围，从而判断D．【详解】解析：画出函数()f x图像.如图，A项，(0)2f=，((0))(2)3f f f==B项，由图像易知，值域为[2,)+∞C项，有图像易知，[0,)+∞区间内函数不单调D项，2x a +的斜率为12k =则增长速度小于||2x +，即||2a ≤时与左支无交点成立，右支最低点为x =，a +≤2a ≤≤ 综上||2a ≤，即[2,2]a ∈-． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，用图象解不等式，使得结论的得出形象直观，易于理解．三､填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13. 不等式121x <-的解集是__________. 【答案】3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据分母的正负分类解不等式． 【详解】解：当10x ->即1x >时，121x <-⇒122x <-⇒32x > 当10x -<即1x <时，121x <-⇒122x >-⇒32x < 综上3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭． 故答案为：3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭． 14. 如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为x 的正方形，则阴影部分面积的最小值为______________.【答案】7 【解析】 【分析】由题可得()2227S x =-+，利用二次函数性质即可求解. 【详解】解析：设阴影部分的面积为S ，其中03x << 则()222(5)(3)2815227S x x x x x x =+--=-+=-+当2x =时，S 有最小值为7. 故答案为：7.15. 已知关于x 的不等式为()()()110ax x a R -+≤∈，若1a =，则该不等式的解集是___________，若该不等式对任意的[]1,1x ∈-均成立，则a 的取值范围是___________. 【答案】 (1). {}11x x -≤≤ (2). []1,1- 【解析】 【分析】当1a =时，结合一元二次不等式的解法即可求解；若不等式对任意的[]1,1x ∈-均成立，则需分类讨论参数a 的大小，进一步确定图像两零点与定区间[]1,1-的关系，进而求解. 【详解】当1a =时，()()110x x -+≤，解得：11x -≤≤. 故解集为{}11x x -≤≤. 令()()11y ax x =-+，[]1,1x ∈-. 当0a =时，1y x =--，为减函数，所以当1x =-时，y 取得最大值0，即0y ≤恒成立.当0a >时，()()11y ax x =-+，如图所示：要满足[]1,1x ∈-，()()110ax x -+≤恒成立，只需满足：00111a a a>⎧⎪⇒<≤⎨≥⎪⎩. 当0a <时，()()11y ax x =-+，如图所示：要满足[]1,1x ∈-，()()110ax x -+≤恒成立，只需满足：1011a a a<⎧⎪⇒-≤<⎨≤-⎪⎩. 综上：11a -≤≤.故答案为：{}11xx -≤≤∣，[]1,1- 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，含参二次不等式在定区间恒成立问题，属于中档题.16. 古希腊数学家希波克拉底曾研究过下面的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .若以AB ，AC 为直径的两个半圆的弧长总长度为2π，则以斜边BC 为直径的半圆面积的最小值为___________.【答案】π 【解析】【分析】先设2,2AB x AC y ==，则BC =再根据题意得2x y +=，故结合不等式22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得以斜边BC 为直径的半圆面积()222S x y ππ=+≥.【详解】解：设2,2AB x AC y ==，则BC =故根据以AB ，AC 为直径的两个半圆的弧长总长度为2π得()2x y ππ+=， 故2x y +=，以斜边BC 为直径的半圆面积()222S xy π=+，由于222122x y x y ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以()22222S x y πππ=+≥⨯=，当且仅当1x y ==时等号成立，故答案为：π【点睛】本题考查利用重要不等式22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭求最值，考查运算能力，是中档题.四､解答题(本大题共6个小题，共56分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤)17. 设集合{}2230A x x x =+-<，集合{}1B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}41x x -<<；（2）02a ≤≤. 【解析】 分析】（1）化简集合,A B ，即得解；（2）化简集合,A B ，得到集合B 是集合A 的真子集，解不等式组1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩即得解.【详解】（1）{}{}223031A x x x x x =+-<=-<<. 因为3a =，所以{}{}3142B x x x x =+<=-<<-， 因此{}41A B x x ⋃=-<<；（2）{}31A x x =-<<，{}{}111B x x a x a x a =+<=--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集， 因此有1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查必要不充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. （1）已知2x <，求()92f x x x =+-的最大值； （2）已知x 、y 是正实数，且9x y +=，求13x y+的最小值. 【答案】（1）4-；（2【解析】 【分析】（1）根据x 的范围，可得20x ->，原式转化为()()()99222222f x x x x x ⎡⎤=+-+=-+-⎢⎥--⎣⎦，结合基本不等式，即可得结果；（2）根据基本不等式，“1”的妙用，即可求解. 【详解】（1）因为2x <，20x ∴->，()()()9922222422f x x x x x ⎡⎤∴=+-+=-+-≤-=-⎢⎥--⎣⎦， 当且仅当922x x-=-时，即当1x =-时，等号成立， 因此，函数()92f x x x =+-（2x <）的最大值为4-； （2）x 、y 是正实数，且9x y +=，19x y+∴=， 则()131131314449999y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++≥⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当3y x x y =且9x y +=时取等号，此时13x y +取得最小值49+. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查“1”的妙用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 19. 已知函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的单调函数，且是奇函数，满足1(1)3f =. （1）求()f x 的解析式并判断()f x 在(2,2)-上的单调性(不需证明)； （2）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<. 【答案】（1）2()4x f x x =-，()f x 为增函数；（2）112t -<< 【解析】 【分析】（1）由()f x 是(2,2)-上的奇函数，可得(0)0f =，即可求出b ，再结合1(1)3f =，可求出a ，即可得到()f x 的解析式，由(1)(0)f f >，可判断出()f x 为增函数.（2）由()f x 是(2,2)-上的奇函数，可将原不等式转化为(1)()f t f t -<-，结合()f x 在(2,2)-上为增函数，可得到12122222t t t t t -<--<-<-<<-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解不等式即可.【详解】（1）由()f x 是(2,2)-上的奇函数，则有(0)0f =，即04b-=，得0b =， 将1x =代入，得()114133a b a f -===-，即1a =， 所以2()4xf x x =-， 由(1)(0)f f >，且()f x 是(2,2)-上的单调函数，可判断出()f x 为增函数. （2）由()f x 是(2,2)-上的奇函数，可将原不等式转化为(1)()f t f t -<-，因为()f x 在(2,2)-上为增函数，所以12122222t t t t t -<--<-<-<<-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得112t -<<.20. 心理学研究表明，学生在课堂上个时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设课上开始x 分钟时，学生的接受能力为()f x (()f x 值越大，表示接受能力越强)，()f x与x 的函数关系为：20.1 2.644,(010)60,(1015)()3105,(1525)30.(2540)x x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪<≤⎩ （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ （2）试比较开讲后5分钟､20分钟､35分钟，学生的接受能力的大小；（3）若一个数学难题，需要至少56的接受能力(即()56f x ≥)以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直打达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由.【答案】（1）开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟；（2）接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟；（3）不能，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可； （2）比较5分钟、20分钟、35分钟学生的接受能力大小，方法是把5x =代入第一段函数，把20x 代入第二段函数中，把35x =代入第四段函数，比较大小即可；（3）在每段上解不等式()56f x ≥，求出满足条件的x ，从而得到接受能力56及以上的时间，然后与12进行比较即可【详解】解：（1）由题意可知，当010x <≤时，2()0.1(13)60.9f x x =--+ 所以当10x =时，()f x 的最大值为60， 因为当1015x <≤时，()60f x =所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. （2）(5)54.5f =，(20)45f =，(35)30f = 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟 （3）当010x <≤，()56f x ≥ 解得610x ≤≤，当1015x <≤时，()6056f x =>，满足要求 当1525x <≤时，310556x -+≥ 解得115163x <≤故111661033-=分钟<12分钟 老师不能再所需接受能力和状态下讲完这个难题.21. 已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()(2)(R)g x f x a a =-∈，[1,1]x ∈-，求()g x 的最大值()h a ，并求()h a 的最小值.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）221372()133,2a a a h a a a a ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪-+<-⎪⎩，最小值为194. 【解析】 【分析】（1）设二次函数为2()f x mx bx c =++，由(0)1f =，得1c =，再由(1)()2f x f x x +-=得，2()2mx m b x ++=，从而可求出,m b 的值，进而可求得二次函数的解析式；（2）由（1）可得22()4(42)1g x x a x a a =-++++，求得对称轴为214a x +=，由于抛物线开口向上，所以分2104a +≥和2104a +<求函数的最大值即可 ，【详解】解：（1）设二次函数为2()f x mx bx c =++， 因为(0)1f =，所以1c =，所以2()1f x mx bx =++ 由题意：22(1)(1)112m x b x mx bx x ⎡⎤++++---=⎣⎦2()2mx m b x ++=所以022m b m +=⎧⎨=⎩，解得1,1m b ==-，所以2()1f x x x =-+（2）()2()(2)21g x x a x a =---+22()4(42)1g x x a x a a =-++++对称轴为214a x +=，抛物线开口向上 当2104a +≥时，1x =-时，()g x 有最大值2()57h a a a =++ 即12a ≥-时，()h a 最小值为min 119()()24h a h =-= 当2104a +<时，1x =时，()g x 有最大值，2()33h a a a =-+ 即12a <-时，()119()24h a h >-= 综上2max2157,2()()1332a a a g x h a a a a ⎧++≥-⎪⎪==⎨⎪-+<-⎪⎩，min 19()4h a =【点睛】关键点点睛：此题考查待定系数法求函数解析式，考查二次函数的图像与性质的应用，求二次函数最值时，最关键的是讨论抛物线的对称轴与区间中点的位置关系，由于抛物线的开口向上，所以距离对称轴越远函数值越大22. 若定义在R 上的函数()f x 满足：1x ∀，2x ∈R ，都有()()()12121f x x f x f x +=++成立，且当0x >时，()1f x >-.（1）求证：()1f x +为奇函数； （2）求证：()f x 为R 上的增函数；（3）若(1)1f =，且0x ∀≥，0y ∀≥，()22222447f x m xy y m y ⎡⎤-+++≥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13m ≥或0m ≤. 【解析】 【分析】（1）首先令121,0x x ==求得(0)1f =-，然后令12,x x x x ==-可得奇函数的结论；（2）设12x x >，由121212()(())()()1f x x f x x f x f x -=+-=+-+，再根据奇函数得，然后根据已知不等关系可得证；（3）由函数定义求得(4)7f =，由单调性化简不等式为关于x 的一元二次不等式，由一元二次不等式恒成立，判别式0∆≤可求得m 的范围． 【详解】解：（1）(10)(1)(0)1f f f +=++(0)1f =-(()]()()1f x x f x f x +-=+-+ 1()()1f x f x -=+-+()1(()1)f x f x +=--+可得()1f x +为奇函数（2）设12x x >()()()()12121f x x f x f x +-=+-+ ()()()()12121f x x f x f x -=-+ ()()()12121f x x f x f x -=--()()()12121f x x f x f x -+=+∵12x x > ∴120x x ->当0x >时，()1f x >-，则等式左边大于0 故()()120f x f x ->，增函数得证. （3）(2)(11)(1)(1)13f f f f =+=++=(4)(2)(2)17f f f =++=.故()2222244(4)f x m xy ym yf ⎡⎤-+++≥⎣⎦()f x 为增函数，可得()22222444x m xy y m y -+++≥2222240x ymx my m y --+≥∵0x ≥恒成立 ∴0∆≤()222224440m y my m y --+≤整理得22230m y my -+≤230m m -≤13m ≥或0m ≤．【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的奇偶性与单调性的证明，考查不等式恒成立问题，奇偶性与单调性定义的掌握是解题关键，利用赋值法与奇偶性、单调性结合完成证明，有了单调性，不等式可通过单调性进行化简转化为通常的二次不等式问题完成求解．。
2020-2021学年长春外国语学校高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年长春外国语学校高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2+2x−3≤0}，B={x|x2−2x<0}，则A∪B=()A. (0,1]B. [0,1)C. [−3,2)D. (−3,2]2.已知i是虚数单位，若复数z满足(z−i)(3−i)=10，则|z|=()A. √5B. √6C. √10D. √133.用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为()A. a，b，c中至多有一个偶数B. a，b，c中一个偶数都没有C. a，b，c至多有一个奇数D. a，b，c都是偶数4.数列{a n}中，a2=1，a5=3，且数列{1a n+1}是等比数列，则a8等于()A. 7B. 8C. 6D. 55.已知向量|a⃗|=2，向量|b⃗ |=4，且a⃗与b⃗ 的夹角为2π3，则a⃗在b⃗ 方向上的投影是()A. 1B. −1C. 2D. −26.f(x)=sinx+sin2(x+π4)的最大值为()A. 2B. 1C. 18D. 987.若曲线C满足下列两个条件：(i)存在直线m在点P(x0,y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线m的两侧．则称点P为曲线C的“相似拐点”.下列命题不正确的是：()A. 点P(0,0)为曲线C：y=x3的“相似拐点”；B. 点P(0,0)为曲线C：的“相似拐点”；C. 点P(0,0)为曲线C：的“相似拐点”；D. 点P(1,0)为曲线C：的“相似拐点”．8.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A. y=x3B. y=−x2+1C. y=−x2D. y=|x|+19.将函数y=sin(x+π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴为()A. x=πB. x=π8C. x=π6D. x=π210.自然数按如图的规律排列：则上起第2007行左起2008列的数为()A. 20072B. 20082C. 2006×2007D. 2007×200811.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>f(x)，且f(2)=0.且不等式f(x)<0的解集为()A. (0,2)B. (2,+∞)C. (0,1)D. (1,+∞)12.方程2x=x+3的一个根所在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0，则x2012的值为 ____ ．14.设函数f(x)=n2x2(1−x)n(n为正整数)，则f(x)在[0,1]上的最大值为______ ．15.若函数f(x)=x+1−a(x−1x+1)在x=1处取得极值，则实数a的值为________．16.等差数列{a n}前n项和为S n，且S n=n2+2n+a−2019，等比数列{b n}的前n项和为T n，且T n=5n+2−r,则log2(a+r+4)=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b−c)cosA=acosC．(1)求角A的大小；(2)若a=2√6，c=4，求△ABC的面积．18.(本小题满分16分)已知数列是各项均不为0 的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足，.数列满足，为数列的前n项和．(1)求数列的通项公式和数列的前n项和；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．19. 如图，在以A，B，C，D，E为顶点的多面体中，∠ACB=90°，面ACDE为直角梯形，DE//AC，∠ACD=90°，AC=2DE=3，BC=2，DC=1，二面角B−AC−E的大小为60°．(1)求证：BD⊥平面ACDE；(2)求平面ABE与平面BCD所成二面角(锐角)的大小；20. 已知圆与直线相切，圆心在轴上，且直线被圆截得弦长为．(1)求圆的方程；(2)过点作斜率为的直线与圆交于两点，若直线与的斜率乘积为，且，求的值．21. 函数f(x)=2e x+acosx，a∈R．)上存在零点，求实数a的取值范围；(1)若f(x)在(0,π2(2)证明：当a∈[1,2]时，f(x)≥2x+3．22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x−1)2+(y−1)2=2，直线l的倾斜角为45°且经过点P(−1,0)(Ⅰ)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程(Ⅱ)设直线l与曲线C交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．【答案与解析】1.答案：C解析：由一元二次不等式的解法求出A、B，由并集的运算求出A∪B．本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的运算是解本题的关键．解：∵集合A={x|x2+2x−3≤0}={x|−3≤x≤1}，B={x|x2−2x<0}={x|0<x<2}，∴A∪B={x|−3≤x<2}=[−3,2)，故选：C．2.答案：D解析：解：：由(z−i)(3−i)=10得z=103−i +i=10(3+i)(3−i)(3+i)+i=3+2i，∴|z|=√32+22=√13．故选：D．通过复数的乘除运算，求出复数z，然后求出复数的模即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．3.答案：B解析：本题主要考查用反证法法证明数学命题，求一个命题的否定，属于基础题．用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求．解：用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“自然数a，b，c中一个偶数都没有”，故选B．4.答案：A解析：解：∵数列{1an+1}是等比数列，其公比为q，设b n=1an+1，∴b2=11+1=12，b5=13+1=14，。
吉林省长春外国语学校2020-2021学年高二上学期期中数学(文)试题
吉林省长春外国语学校2020-2021学年高二上学期期中数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，那么m 的值是（ ） A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4 2．若点（1，1）在圆()()224x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（ ）A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a <-或1a >D ．1a =±3．过点()1,3-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ）A ．210x y +-=B ．250x y +-=C ．250x y +-=D ．270x y -+= 4．直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是A ．（-2，1）B ．（2，1）C ．（1，-2）D ．（1，2） 5．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2B ．2C ．1D ．6．设l 是直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若//l α，l β//，则//αβB ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥7．已知两点()23M ，-，2()3N -，-，直线l 过点1(1)P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．344k - B ．344k - C ．344k - D ．34k 或4k ≤- 8．若圆与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-119．椭圆221169x y +=中，以点()1,2M -为中点的弦所在的直线斜率为（ ） A ．916 B ．932 C ．932- D ．96410．已知12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49B ．23C ．59D 11．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为（ ） A ．1B ．5C ．D ．3＋12．点P 在椭圆221:143x y C +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆222:68210C x y x y ++-+=上，则PQ PF -的最小值为（ ）A ．4B ．4-C ．6-D ．6二、填空题13．已知直线3x+4y ﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____． 14．一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________.15．已知长方体1111ABCD A B C D -的所有顶点都在球O 的球面上，1AB AD ＝＝，12AA ＝，则球O 的球面面积为_____．16．过点P （作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅= .三、解答题17．求适合下列条件的直线方程：（1）过点3()1A ﹣，﹣，斜率是直线3y x ＝的斜率的14-倍；（2）经过点2(3)P ，且在两坐标轴上的截距相等． 18．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q （－2,3）． （1）求|MQ|的最大值和最小值；（2）若M （m ，n ），求32n m -+的最大值和最小值 19．如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS 的中点．（1）求证：SD ∥平面ACE ；（2）若平面ABS ⊥平面ABCD ，4AB =，120ABC ∠=︒，求三棱锥E ASD -的体积．20．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，若12PF PF ⊥且12PF F △的面积为9． （1）求b ；（2）若12PF F △的周长为18，求该椭圆的方程．21．已知圆22:2410C x y x y ++-+=，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过点P 作圆C 的切线，设切点为M .（1）若点P 运动到()13，处，求此时切线l 的方程；（2）求满足PM PO =的点P 的轨迹方程.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为1(0)A ，，离心率为2，过左焦点1F 的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为2F ．（1）求椭圆的方程；（2）求2CDF 的面积的最大值．参考答案1．A【分析】根据直线的斜率公式，列出方程，即可求解，得到答案.【详解】由题意，过过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1， 根据直线的斜率公式，可得41(2)m m -=--，解得1m =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.2．A【解析】因为点（1，1）在圆内部，所以22(1)(1)4a a -++<,解之得11a -<<. 3．A【分析】由题，可先得到所求直线的斜率，然后利用点斜式，即可得到本题答案.【详解】因为所求直线垂直于直线230x y -+=，又直线230x y -+=的斜率为12， 所以所求直线的斜率2k =-，所以直线方程为32(1)y x -=-+，即210x y +-=.故选：A【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属基础题.4．A【解析】解：对直线方程mx-y+2m+1=0进行变形可得：1(2)y m x -=+，∴ 当2,1x y =-=时，m 取任意值等式恒成立，即有直线mx-y+2m+1=0经过点(2,1)-，故选A ．5．D【解析】圆心为()1,2-,点到直线10x y --==.故选D. 6．B【分析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误.故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 7．D【分析】作出示意图，再结合两点间的斜率公式，即可求得答案.【详解】 31421PM k --==--，213314PN k --==--， 又直线l 过点1(1)P ，且与线段MN 相交，作图如下：则由图可知，直线l 的斜率k 的取值范围是：34k或4k ≤﹣． 故选：D【点睛】 本题借直线与线段的交点问题，考查两点间的斜率公式，考查理解辨析能力，属于中档题. 8．C【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得1=+9m ⇒=,故选C. 考点：圆与圆之间的外切关系与判断9．B【分析】 先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.【详解】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，由于AB 的中点为()1,2M -，故122x x +=-，124y y +=，代入椭圆得2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()121212120169x x x x y y y y -+-++=， 即()()()()12121212169x x x x y y y y -+-+=-， 即()()12121212916x x y y y y x x +--=+-，即12129(2)164y y x x -⨯--=⨯-，1212932y y x x -=-， ∴弦所在的直线的斜率为932， 故选：B .【点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题时，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的.10．D【解析】 解：因为12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足122249PA PA b c k k e a a ⋅=-=-∴=既可以解得为D 11．D【分析】由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上,可得a ＋b ＝1，再将12a b ⎛⎫+⎪⎝⎭变成积为定值的形式后利用基本不等式可求得结果.【详解】由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝12a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋3＋，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2，a －1时，等号成立．∴1a ＋2b 的最小值为3＋.故选：D【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题. 12．D【分析】要求||||PQ PF -的最小值，根据椭圆的定义可以转化为||||||(||)||||11PQ PF PQ 2a PF PQ PF 2a -=--=+-（其中1F 为椭圆的左焦点），即求||||1PQ PF +的最小值，即为圆心与1F 的距离减去半径，进而解决问题． 【详解】解：设椭圆的左焦点为1F则||||||(||)||||11PQ PF PQ 2a PF PQ PF 4-=--=+-故要求||||PQ PF -的最小值，即求||||1PQ PF +的最小值，圆2C 的半径r 为2所以||||1PQ PF +的最小值等于21C F 222-=-=-，||||1PQ PF +的最小值为6，故选D ．【点睛】本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，从而解决问题．13．2【分析】由两直线平行，可先求出参数m 的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果.【详解】因为直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，所以3460m -⨯=，解得8m =， 所以6140x my ++=即是3470x y ++=，由两条平行线间的距离公式可得d 2==. 故答案为2【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.14．22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程15．6π【分析】根据长方体的对角线等于其外接球的直径，再结合球的表面积公式，即可求解.【详解】长方体1111ABCD A B C D -的所有顶点都在球O 的球面上，设球的半径为r ，长方体的对角线l ==2l r ＝，2r =， 所以球O的表面积为22446r πππ==⎝⎭．故答案为：6π．【点睛】本题考查长方体的外接球问题，考查直观想象能力与运算求解能力，属于基础题.16．3 2【详解】如图，连接PO，在直角三角形PAO中，1,OA PA==所以，tan APO∠=，22211tan1cos1tan2APOAPBAPO--∠∠===+∠，故1322PA PB PA PB cos APB⋅=⋅∠==.考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.17．（1）34150x y++＝（2）230x y﹣＝或50x y+-＝【分析】(1)求出斜率后，代点斜式即可求解；(2)根据直线在两坐标轴上截距相等，则截距可能为0也可能不为0，分类讨论后，结合直线方程求法，即可对本题求解．【详解】(1)设所求直线的斜率为k，依题意13344k=-⨯=-．又直线经过点(1,3)A--，因此所求直线方程为33(1)4y x+=-+，即34150x y++=．(2)设直线l在,x y轴上的截距均为a，若0a=，即l过点(0)0，和(32)，，∴l的方程为23y x=，即230x y-=．若0a ≠，则设l 的方程为1x y a a+=， ∵l 过点(32)，， ∴321a a+=， ∴5a =，∴l 的方程为50x y +-=，综上可知，直线l 的方程为230x y -＝或50x y +-=．【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 18．（1）（2）最大值为22【解析】试题分析：（1）求圆上的点到定点的距离最值，首先求圆心到直线的距离，再此基础上加减半径得到距离的最大值和最小值；（2） 32n m -+看作两点()(),,2,3m n -连线的斜率，结合图形可知斜率的最值为直线与圆相切时的切线斜率试题解析：（1）由C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可得（x －2）2＋（y －7）2＝8， ∴圆心C 的坐标为（2,7），半径r ＝又|QC|．∴|MQ|max ＝＋＝， |MQ|min ＝－＝．（2）可知32n m -+表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k （x ＋2）， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则32n m -+＝k ．由直线MQ 与圆C 有交点，．可得2所以32n m-+的最大值为22． 考点：1．两点间距离最值；2．直线与圆相切相交问题；3．数形结合法19．（1）证明见解析 （2）4【分析】（1）设ACBD O =，利用三角形中位线性质得SD OE ∥，再根据线面平行判定定理得结果； （2）取AB 的中点F ，结合面面垂直性质定理得DF ⊥平面ABS ，再根据等体积法以及利用锥体体积公式求结果.【详解】（1）连接BD ，设AC BD O =，连接OE ，则点O 是BD 的中点．又因为E 是BS 的中点，所以SD OE ∥，又因为SD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE所以SD ∥平面ACE ．（2）因为四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒， 所以1602ABD ABC ∠=∠=︒．又因为AB AD =， 所以三角形ABD 是正三角形．取AB 的中点F ，连接SF ，则DF AB ⊥DF =又平面ABS ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，平面ABS平面ABCD AB =，所以DF ⊥平面ABS ．即DF 是四棱锥D AES -的一条高而1sin 2ASE S SA SE ASE =⋅⋅∠=△ 所以E ADS D AES V V --=11433ASE S DF =⋅=⨯△． 综上，三棱锥E ASD -的体积为4.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档基础题.20．（1）3b =（2）221259x y += 【分析】(1)根据12|||2|PF PF a +＝①，和12PF PF ⊥得22221212|||||4|PF PF F F c =+＝②，121||||92PF PF =③，以及222a b c =+④，以上四式联立，即可求解； (2)根据焦点三角形的周长为22a c +，及 (1)求得的3b =，可得2229b a c =-=，结合平方差公式，可得a c -得值，由可卡求解.【详解】（1）设1122||||PF r PF r ＝，＝，则122r r a +＝， 又因为12PF PF ⊥，即有2221212PF PF FF +=，也即222124r r c +＝， 所以()()2222221212122444rr r r r r a c b =+-+=-=， 又因为12212192PF F S r r b ===， ∴3b =．（2）2229b a c =-=，又2218a c +=，所以1a c -=，解得5a =， 故椭圆方程为221259x y +=． 【点睛】本题考查椭圆及其标准方程、椭圆的几何性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于综合题.21．（1）1x =或34150x y +-=； （2）2410x y -+=.【详解】解: 把圆C的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4，∴圆心为C（－1,2），半径r＝2.（1）当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k（x－1），即kx－y＋3－k＝0，2，解得k＝34-.∴l的方程为y－3＝34-（x－1），即3x＋4y－15＝0.综上，满足条件的切线l的方程为1x=或34150x y+-=.（2）设P（x，y），则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|.∴（x＋1）2＋（y－2）2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴点P的轨迹方程为2410x y-+=.考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程；点的轨迹方程.22．（1）2212xy+=（2【分析】(1)根据题意得1b=，再由cea=，222b a c=-，联立求解后即可求得本题答案；(2)设出直线CD方程：1x my=-，让其与椭圆方程联立，消参得一个关于y的一元二次方程，由韦达定理及21212122CDFF FS y y y y=⋅-=-得一个关于m 的函数，结合函数求最值的知识，即可求解.【详解】（1）由题意，因为离心率为2c e a ==，则221a 2c =，又因为1b ＝，即有2221b a c -＝＝，解得a =1c ＝，可得椭圆方程为2212x y +=； （2）设直线CD 方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：22(2)210m y my +--=，则222448()280m m m =+++=＞，设11()C x y ，，22(,)D x y ，则12222m y y m +=+，12212y y m ⋅=-+． 则21212122CDF F F S y y y y =⋅-=-＝22m+＝1≤2，=，即0m =时，2CDF S ．【点睛】本题考查圆锥曲线中椭圆的综合应用，属于综合题.。
吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期中考试试题 数学文科 Word版含答案
长春外国语学校2022-2021学年度高三上学期期中考试数学试卷(文科）出题人：陈燕 康乐 审题人：宋志刚考生在答题前请认真阅读本留意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共 5页。
满分150分，考试用时120 分钟。
考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3．作答非选择题必需用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分)1.已知全集{}{}{}8,7,6,5,4,3,4,3,2,1,8,7,6,5,4,3,2,1===B A U ,则()()=B C A C U U （ ） A.{}2,1 B.{}4,3 C.{}7,6,5 D.φ 2.复数z 满足()i z i 10543-=+，则=z （ ） A ．i 21-- B ．i 21+- C ．i 2511+ D ．i 2511- 3.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若60963=++a a a ，则=11S （ ） A ．220B ．110C ．55 D. 504.某地区有大型商场x 个，中型商场y 个，小型商场z 个，9:4:2::=z y x ，为了把握该地区商场的营业状况，接受分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的中型商场的个数为 （ ）A.3B.6C.12D.275.阅读下面的程序框图，则输出的结果是 （ ） A.1 B ．2 C ．3 D ．46.已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，53sin =θ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+25sin πθ等于（ ）A ．53B ．53-C ．54D ．54-⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥052011y x y x x ，则y x z --=3的最7.已知y x ,满足不等式组小值为（ ）A.3-B.7-C.6-D.8-8.函数()[]()ππ,2sin -∈=x x f x的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知1.4log 29=a ，7.2log 29=b ，1.0log 231⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则（ ）A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D. b a c >>10. 已知x ＞0，y ＞0，且xy y x =+23，若15322++>+t t y x 恒成立，则实数t 的取值范围（ ） A ．()()+∞-∞-,38, B ． ()3,8- C ．()8,-∞- D ．()+∞,311.已知双曲线C ：116922=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，P 为C 的右支上一点，且212158F F PF =，则21F PF ∆的面积等于（ ）A ．380B ．21 C ．2 D ．4 12. 已知函数()()a x x f +=21log ，()242-+=x x x g ，函数()()()()()()()⎩⎨⎧<≥=x g x f x g x g x f x f x h ,,，若函数()h x 的最小值为2-，则a =（ ）A.0B. 2C.4D.6 选择题答案：ＤＢＡＣＤ ＤＢＡＢＢ AC第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13.抛物线24x y =的焦点坐标是 ； 14.已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，则=+2132e e ； 15.甲乙两人乘车，共有5站，假设甲乙两人在每个站下车的可能性是相同的.则他们在同一站下车的概率为 ；16.若曲线x y ln =的一条切线是直线b x y +=31，则实数b 的值为 ． 填空题答案13.⎪⎭⎫⎝⎛1610、 14.19 15.51 16.3ln 1+-三、解答题（本题共6题，共70分，解答题要写出文字说明）17.(本题满分12分）已知函数()21sin cos sin 32+-=x x x x f （Ⅰ）求()x f 的增区间；（Ⅱ）已知ABC ∆的三个内角C B A 、、所对边为c b a 、、.若()4,17,21===b a A f ，求边c 的大小. 答案：（1）增区间为)(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ（2）52+=c18.(本题满分12分）.已知数列}{n a 是首项为1，公差不为0的等差数列，且1731,,a a a 成等比数列(1) 求数列}{n a 的通项公式； (2) 若11+=n n n a a b ,n S 是数列}{n b 的前n 项和，求n S . 答案：（1）23-=n a n （2）13+=n nS n19.(本题满分12分）某班高三期中考试后，对考生的数学成果进行统计（考生成果均不低于90分，满分150分），将成果按如下方式分成六组，第一组[)100,90、其次组[)110,100…第六组[]150,140. 得到频率分布直方图如图所示，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有2人 （Ⅰ）请补充完整频率分布直方图；（Ⅱ）现从成果在[]150,130的同学中任选两人参与校数学竞赛，求恰有一人成果在[]140,130内的概率.答案：（1）略 （2）15820.（本题满分12分）已知函数x mx x m x f ln 342)(22-+=，其中R m ∈ （1）若1=x 是)(x f 的极值点，求m 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间和极值.答案：（1）2123=-=m m 或 （2）当0>m 时，增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21m ：减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛m 21,0：微小值为()m m f 2ln 32521+=⎪⎭⎫ ⎝⎛；无极大值。
吉林省长春市第二十中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 含答案
2020-2021年上学期高一数学第二次质量测试题满分120分，考试时间90分钟一、选择题（每题5分，共60分） 1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则UA（ ）A ．∅B ．{}1,3C ．{}2,4,5 D ．{}1,2,3,4,52．全称命题“21x R,x x 04∀∈-+≥”的否定是（ ） A ．21,04x R x x ∀∈-+< B ．21,04x R x x ∃∈-+< C ． 21,04x R x x ∃∈-+≥ D ．21,04x R x x ∀∈-+<3．已知a R ∈，则“12a <”是“12a>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列表示正确的是（ ） A ．{0}∅⊆B ．{}a a ⊆C ．{}{,}a a b ∈D ．{0}=∅5．设0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．||a b >-D a b ->-6．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b > B ．若22a b >，则a b > C a b >a b >D ．若11a b<，则a b > 7．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．548．不等式260x x -++<的解集是（ ） A ．{}23x x -<<B ．1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭C ．{3x x >或}2x <-D ．13x x ⎧>-⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭9．若不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则+a b 的值为（ ）A ．-10B ．-14C ．10D ．1410．已知函数()1f x +的定义域为（－2，－1），则函数()21f x +的定义域为（ ）A ．（－5，－3）B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．（－2，－1）D ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时()22x f x x =+，则()()12f f +-=（ ）A ．8-B ．4-C ．5-D ．1112．已知函数()1f x x=在区间[]1,2上的最大值为A ，最小值为B ，则A -B 等于（ ） A ．12B ．12- C ．1 D ．-1二、填空题：（每题5分，共20分） 13．若2()21x f x a =-+是奇函数，则a =_______. 14．若幂函数()a f x x 经过点(3,9)，则α=________.15．函数()log 24ay x =-+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是___________.16．已知()0.70.7log 2log 1m m <-，则实数m 的取值范围是___________.三、解答题：（每题10分，共40分） 17．设集合2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=.（1）若15a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数的取值集合. 18．计算：（1）112416254-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()()22lg5lg 2lg 4-+．19．已知函数f （x ）=23,[1,2]3,(2,5]x x x x ⎧-∈-⎨-∈⎩，（Ⅰ）画出f （x ）的图象；（Ⅱ）写出f （x ）的值域及单调递增区间． 20．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()1f x x x =-+． （1）计算()0f ，()1f -；（2）当0x <时，求()f x 的解析式．参考答案1．C 2．B 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．A 13．1 14．2 15．()3,416．()1,+∞ 17．（1）B 是A 的真子集；（2）11{0,,}35. （1）{}{}3,5,5A B ==，∴B 是A 真子集（2）当B φ=时，满足B A ⊆，此时0a =； 当B φ≠时，集合1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，得13a =或5，解得13a =或15综上，实数的取值集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭.18．（1）1；（2）1（1）原式113246452451=+-=+-=； （2）原式()()lg5lg2lg5lg2lg4=+-+lg5lg 22lg 2lg5lg 21=-+=+=．19．（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）值域为[]1,3-，单调递增区间为()1,0-，()2,5.（Ⅰ）函数f （x ）的图象如下，（Ⅱ）根据函数f （x ）的图象可知， f （x ）的值域为[]1,3-，单调递增区间为()1,0-，()2,5.20．(1)f (0)=0,f (-1)=-1；（2）2()1f x x x =---（1）()()()0000f f f =-⇒=，()21(1)(111)1f f -=-=--+=-（2）令0x <则0,x ->则2()1f x x x -=++，又函数f (x )是奇函数()()f x f x -=-所以()21f x x x =---。
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令 ，则 在 有2个零点，
解得 ，
故m的取值范围为 ．如何学好数学
高中学生不仅仅要“想学”，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动。针对学生学习中出现的上述情况，我们有些建议：
1.树立学好高中数学的信心
进入高中就必须树立正确的学习目标和远大的理想。学生可以阅读一些数学历史，体会数学家的创造所经历的种种挫折、数学家成长的故事和他们在科学技术进步中的卓越贡献，也可请高二、高三的优秀学生讲讲他们学习数学的方法，以此激励自己积极思维，勇于进取，培养学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
综上所述， 为所求.
21.解：（1）因为 为奇函数，故 ，所以
故 ，所以 ，经检验符合题意.
（2）由(1)得 ,易知 在 上为减函数，
可变为 ，设
下面分三种情况讨论：
1’当 时，即 时， 在 上单调递增，只须
解得 ，故此时
2‘当 时，即 时， 在 上单调递减，只须 ，解得 ,故此时
3‘当 时，即 时， 在 上递减，在 上递增，只须 ，解得 ，故此时
（1）当 时， ，即 或
∵t＞0，∴2x＞8，即x＞3，∴不等式的解集是：{x|x＞3}．
（2）当 时， ，设
1‘若 ，即当 时， 在 上递增，只须 ，而 无解
2‘若 ，即当 时， 在 上递减，只须 ，而 无解
3‘若 ，即 时， 在 上递减，在 上递增，只须 ， ，化简得 ，由于关于 的函数 单调递增，故最多有一个实根。而当 时 ，所以 的值为1．
A. B. C. D.
9.设 ，则下列命题是真命题的个数是
① ;② ③ .
A.0个B.1个C.2个D.3个
10.函数 与函数 的图像关于
A.直线 对称B.点 对称C.原点对称D. 轴对称
11.若函数 在 上是增函数,函数 是偶函数,则 , , 的大小顺序是( )
A． B．
C． D．
12.设函数 ，区间 ，集合 ，则使 成立的实数对 有
A．0个B．1个C．2个D．无数多个
第Ⅱ卷(90分)
二.填空题（共4小题，每小题5分，计20分）
13.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴正半轴重合，终边经过点 ，则 =______.
14.函数 且 的图像过定点_________.
15.某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位： ）满足函数关系 ，若该食品在 的保鲜时间是192小时，在 的保鲜时间是48小时，则该食品在 的保鲜时间是______小时
综上所述，
22.解：（1）f（x）是奇函数；证明如下：
由 解得x＜-3或x＞3，所以f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．
∵ = ，
故f（x）为奇函数
（2）由题意知，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]上单调递减．
假设存在β＞α＞3，使题意成立.
则有 ，∴ ．
所以α，β是方程 的两正根，
A． ， B． C． ， D．
5.已知幂函数 的图像过点 ，则此幂函数
A.过点 B.是奇函数C.过点 D.在 上单调递增
6.设 ，则此三个数大小关系是
A． B． C． D．
7.函数
A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数
C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数
8.函数 的零点所在的大致区间是
三.解答题
17.解：（1）原式
（2）
故原式= = =
18.解：(1)将 平方得
而
(2)由(1) ，解得
19.解：(1)当 时，
故只须解 ，解得 或
故原函数的不动点为 和 .
（2）由题意得 有两个不等根
即方程 有两个不等根
所以有 恒成立
即对任意 有 恒成立
故有 ，解得 ，又满足
故 的取值范围是 .
20.设2x=t（t＞0），则 ，
22.(本小题满分12分)已知函数 且 .
（1）判断 的奇偶性并证明；
（2）若 ，是否存在 ，使 在 的值域为 ？若存在，求出此时 的取值范围；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年度高一数学期中考试试题答案
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
C
A
C
B
A
B
D
D
D
A
二.填空题
13. . 14. 15. 24 16.
2.培养良好学习习惯
良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动学生主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。
(1)当 时，求函数 的不动点；
(2)若对任意实数 ，函数 恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围.
20.(本小题满分12分)设函数 ．
(1)当 时，解不等式： ；
(2)当 时， 存在最小值 ，求 的值．
21.(本小题满分12分)设 为奇函数.
(1)求 的值；
(2)若对任意 恒有 成立，求实数 的取值范围.
16.设函数 ，则
三.解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分）
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.(本小题满分10分)（1）求值 ；
（2）已知 试用 表示 .
18.(本小题满分12分)若角 ，且 .
(1)求 的值；(2)求 的值.
19.(本小题满分12分)对于函数 ,若存在 ,使 成立，则称 为 的不动点.已知函数 .
课前自学是学生上好新课，取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲课的思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。
上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可略；什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
及时复习是高效率学习的重要一环，通过反复阅读教材，多方查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比较，一边复习一边将复习成果整理在笔记上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。
独立作业是学生通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程，这一过程是对学生意志毅力的考验，通过运用使学生对所学知识由“会”到“熟”。
2020-2021学年上学期期中考试
高一数学试卷
考试时间：120分钟分值：150分
第Ⅰ卷(60分)
一.选择题(共12小题，每小题5分，计60分)
1.将 弧度化成角度为
A. B. C. D.
2.已知集合 ， 则
A. B. C. D.
3.设函数 ，若 ，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
4.函数 的值域是