大学物理第二版中国矿业大学出版社

1.1有一质点沿着x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为23

4.52x t t =-，试求：⑴ 第2秒内的平均速度⑵ 第2秒末的瞬时速度⑶ 第2秒内的路程。

解：⑴ 当1t s =时，1 2.5x m = 当2t s =时，218162x m =-=平均速度为 ()212 2.50.5m v x x =-=-=-⑵第2秒末的瞬时速度()22966m s t dx v t t dt

===-=-⑶ 第2秒内的路程：（在此问题中必须注意有往回走的现象）当 1.5t s =时，速度0v =，2 3.375x m =;当1t s =时，1 2.5x m = ;当2t s =时，32x m =;所以路程为：

3.375 2.5 3.3752 2.25m -+-=

1.8一艘正在沿直线行驶的电船，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，即dv/dt=-k v ∧2,试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为v=v0e ∧-kx 式中，v0是关闭发动机后的速度。

证明：由题可知：2dv dx kv kv dt dt =-=- 所以有： dv kvdx =- 变换为： dv kdx v

=- 两边同时积分就可得到：00v x v dv kdx v =-⎰⎰ 0ln v v v kx =-即0

ln v kx v =- 所以有0k x v v e -= 1.9迫击炮射击山顶上的一个目标，已知初速度为v0，抛射角为⊙,上坡与水平面成a 角，求炮弹的射程及到达山坡时的速度。 解：

炮弹的运动轨迹如上图的虚线所示，如

图建立坐标轴,x y 。将初速度0v 沿坐标轴分解可得0000cos sin x y

v v v v θθ=⎧⎨=⎩ ⑴ 加速度g 沿坐标轴分解可得 sin cos x y

a g a g αα=-⎧⎨=-⎩ ⑵ 在任意时刻t 的速度为 0000cos sin sin cos x x x y y y v v a t v gt v v a t v gt θαθα=+=-⎧⎨=+=-⎩⑶任意时刻t 的位移为

2200220011cos sin 2211sin cos 22

x x y y x v t a t v t gt y v t a t v t gt θαθα⎧=+=-⎪⎪⎨⎪=+=-⎪⎩⑷ ⑴ 炮弹射程为0y =时，所对应的x 。

0y =对应的时刻02sin cos v t g θ

α=，代入可得

()()2200222sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos v v x g g θθαθαθθααα

-+== ⑵ 将02sin cos v t g θα

=代入方程组⑶可得 速度的大小为

v =

方向可以由 tan 2tan cot y

x v v βαθ==- ()arctan 2tan cot βαθ=-

1.14一质点沿半径为0.1（m ）的圆周运动，其角坐标⊙可用下式来表示：⊙=2+4t ∧3 请问：（1）当t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少（2）当⊙角等于多少时，其总加速度与半径成45°角。

解：324rad t θ=+，角速度为212rad s d t dt θϖ=

= 角加速度为224rad s t β= ⑴ 当2s t =时，248rad s β=

⑵ 在t 时刻，法向加速度与切向加速度分别为

总加速度与半径夹角为45时，n a a τ=

可得 310.1676

t =≈，即 2.167rad θ= 2.1 质量为2kg 的质点的运动方程为()(

)22ˆˆ61331r t i t t j =++++，求证质点受恒力而运

动，并求力的方向和大小，采用国际单位制。 解：质点的运动方程为()(

)22ˆˆ61331r t i t t j =++++， 那么通过对上式两边求导，便可得到速度()ˆˆ1263v t i t j =++

加速度为：ˆˆ126a i

j =+ 因此质点所受的力为ˆˆ2412N F ma i j ==+ 2.2 质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，质点的运动方程为ˆˆcos sin r a t i

b t j ϖϖ=+，,,a b ϖ为正常数，⑴ 求质点的动量；⑵ 证明作用于质点的合力总指向原点。

解：⑴ 由质点的运动方程可得质点的速度为：ˆˆsin cos v a t i

b t j ϖϖϖϖ=-+ 质点的动量为：ˆˆsin cos p mv m a t i

m b t j ϖϖϖϖ==-+ ⑵ 质点的加速度为：22ˆˆcos sin a a t i

b t j ϖϖϖϖ=--

作用于质点的合力为：()2222ˆˆcos sin ˆˆcos sin F ma m a t i m b t j

m a t i b t j m r

ϖϖϖϖϖϖϖϖ==--=-+=-

方向为r -的方向，也就是总指向原点。

2.3 圆柱A 重500N ，半径0.30m A R =，圆柱B 重1000N ，半径0.50m B R =，都放置在宽度为 1.20m l =的槽内，各接触点都是光滑的。求A ，B 柱间的压力及A ，B 柱与槽壁和槽底间的压力。

解：分别以A ，B 为研究对象，受力分析如图所示，建立坐标系如图。

对A 列方程有：x 轴：sin A BA N N α= ⑴

y 轴：cos A BA G N α= ⑵

对B 列方程有：x 轴：1sin AB B N N α= ⑶

y 轴：cos B B AB N G N α=+ ⑷ 在三角形中0.4m A B BC l R R =--= 0.8m A B AB R R =+=

1

sin ,cos 22αα== ⑸

通过解上述方程组，可以得到

577N AB BA N N ==，1500N B N =，1288.5N A B N N ==

2.5 质量m=2kg 的均匀绳，长L=1m ，两端分别连接重物A 和B ，ma=8kg, mb=5kg, 今在B 端施以大小为F=180N 的竖直拉力，物体向上运动，求张力T(X)

解

：

对整体进行受力分析，加速度向上

为a ，根据牛顿第二定律有：

()()a b a b F m m m g m m m a

-++=++即

对A 进行受力分析，根据牛顿第二定

律有：a a T m g m a -=

得到

()96N a T m g a =+=

对一小段绳子dm 受力如图，根据牛顿第二定律得：