高中数学：3.1.1《实数指数幂及其运算》 _1

《实数指数幂及其运算》教案

第一课时

学习目标

1．知识与技能目标

理解整数指数幂的概念和性质，并能用于相关计算中；

理解根式的概念和性质，并能用于相关计算中.

2．过程与方法目标

通过复习回顾初中所学二次根式的相关性质，用类比的思想来完成根式的学习；

3．情感态度与价值观目标

通过复习回顾旧知识，来完成新知识的学习，在这一过程中培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力；

重点难点

教学重点：根式的概念、性质

教学难点：根式的概念

教学过程

（I ）复习回顾

师：在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质.现在，我们一起来看屏幕.

a 0=1（a ≠0）

n

n a a 1=-（a ≠0,n +N ∈） 师：这儿我们为什么都要求a ≠0？（引导学生分析清楚）

师：另外，我们在初中还学习了平方根、立方根这两个概念.

则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根.这样，我们可以给出n 次方根的定义.

（II ）讲授新课

1.n 次方根的定义：

若x n =a(n>1且n ∈N*)，则x 叫做a 的n 次方根.

师： n 次方根的定义给出了，我们考虑这样一个问题，x 如何用a 表示呢？

生：正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数.

师：跟平方根一样，偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；跟立方根一样，奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数.

这样，再由n 次方根的定义我们便可得到n 次方根的性质：

2.根式运算性质：

①

a a n n =）（（n>1,且n +N ∈） ,

||,a n a n ⎧=⎨⎩当为奇数时；当为偶数时

师：关于性质的推导，我们一起来看：

师：性质②有一定变化，大家应重点掌握，接下来，我们来看例题：

3.例题讲解

)(||)()4(3

|3|)3()3(10

|10|)10()2(8

81244233b a b a b a b a >-=-=--=-=-=-=--=πππ）（－）（

师：根指数 n 为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n 为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意.为使大家进一步熟悉性质运用，请大家来做练习题.

（III ）课堂练习

.625)4()32()3()3()2(,321245----，）（

（IV ）课时小结

（V ）课后作业

教材练习A ：1

第二课时

学习目标

1．知识与技能目标

理解分数指数幂的概念和性质，并能用于相关计算中；

会对根式、分数指数幂进行互化；

了解无理指数幂.

2．过程与方法目标

通过复习回顾初中所学的整数指数幂及上节课所学根式的相关性质，用类比的思想来完成分数指数幂的学习；

3．情感态度与价值观目标

培养学生用联系观点看问题；

教学重难点

教学重点：

1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

教学难点：对分数指数幂概念的理解.

教学过程

（I）复习回顾

师：上一节课，我们一起复习了整数指数幂折运算性质，并学习了根式的运算性质.

师：对于整数指数幂运算性质（2），当a>0,m,n是分数时也成立.

（说明：对于这一点，课本采用了假设性质（2）对a>0,m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广性质（2），为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备）.

师：对于根式的运算性质，大家要注意被开方数a n的幂指数n与根式的根指数n的一致性.接下来，我们来看几个例子.

幂运算性质（2）.因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.

（II ）讲授新课

1.正数的正分数指数幂的意义： 1*,,,0(>∈>=n N n m a a a n m n m 且

师：大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.

2.规定：

（1）)1*,,,0(1

>∈>=-n N n m a a a n m

n m

且

（2）0的正分数指数幂等于0.

（3）0的负分数指数幂无意义.

师：规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a>0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质：

3.有理指数幂的运算性质：

（1）a r •a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q)

（2）(a r )s =ar •(a>0,r,s ∈Q)

（3）(a •b)r =a r •b r (a>0,b>0,r ∈Q)

4.例题讲解

例2：求值：2

13332

41168100481－－－，，（），（）。 分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.

解：

。＝）＝（）＝（）（；＝＝＝）＝（）（；＝＝＝）＝（；＝＝＝）＝（－）（－－）（－）（－－－－－）（－－－8

2732328116642224

1101101010100422

28343443632323121221221

232332332⨯⨯⨯⨯ 例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：

分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质.

)0(,,3232>••a a a a a a a 式中

解：

.

)()(;;43

21232121311323323323252122122a a a a a a a a a a a a a a

a a a a ==•===•=•==•=•++

5．无理指数幂

师：若a>0,p 是一个无理数，则a p

（如以推广到无理指数幂.

我们现在还无法给出无理指数幂严格的定义，但是上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，而有关概念和证明我们现在也不考虑.

现在我们可能还有一些疑问，

1.4，1.41，1.414

；

1.5，1.42，1.415

.

其次，我们相应地可用有理指数幂的序列

31.4，31.41，31.414，……或31.5，31.42，31.415，……

来近似地计算无理指数幂.

一般地，当a>0，α为任意实数时，实数指数幂a α都有意义.

例1．利用科学计算器计算（精确到0.001）：