高中数学：3.1.1《实数指数幂及其运算》 _1
《实数指数幂及其运算》教案 第一课时 学习目标 1．知识与技能目标 理解整数指数幂的概念和性质，并能用于相关计算中； 理解根式的概念和性质，并能用于相关计算中. 2．过程与方法目标 通过复习回顾初中所学二次根式的相关性质，用类比的思想来完成根式的学习； 3．情感态度与价值观目标 通过复习回顾旧知识，来完成新知识的学习，在这一过程中培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力； 重点难点
教学重点：根式的概念、性质 教学难点：根式的概念 教学过程
（I）复习回顾 师：在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质.现在，我们一起来看屏幕. 整数指数幂概念 整数指数幂运算性质
annNnaaa个（)*•
(1)(,)(2)()(,)(3)(0)(4)()()mnmnmnmnmmnnnnnaaamnZaamnZaamnaaababnZ；；
，；。
规定： a0=1（a≠0）
nnaa1（a≠0,n+N）
师：这儿我们为什么都要求a≠0？（引导学生分析清楚） 师：另外，我们在初中还学习了平方根、立方根这两个概念. 22=4 2，-2叫4的平方根 （-2）2=4
23=8 2叫8的立方根 （-2）3=-8 -2叫-8的立方根 25=32 2叫32的5次方根
2n=a 2叫a的n次方根 师（生）：我们来看，若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根.这样，我们可以给出n次方根的定义. （II）讲授新课 1.n次方根的定义： 若xn=a(n>1且n∈N*)，则x叫做a的n次方根. 师： n次方根的定义给出了，我们考虑这样一个问题，x如何用a 表示呢？ 生：正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数. 师：跟平方根一样，偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；跟立方根一样，奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数. 这样，再由n次方根的定义我们便可得到n次方根的性质： 2.根式运算性质： ①aann）（（n>1,且n+N）
②,||,nnanaan当为奇数时；当为偶数时 师：关于性质的推导，我们一起来看： 性质①推导过程： 当n为奇数时，aaaxaxnnnn)(,得由 当n为偶数时，aaaxaxnnnn)(,得由 综上所述，可知：aann)( 性质②推导过程：nnaa)( 当n为奇数时，由n次方根定义得： nnaa 当n为偶数时，由n次方根定义得： nnaa 则nnnnaaa|||| 综上所述：,||,nnanaan当为奇数时；当为偶数时 师：性质②有一定变化，大家应重点掌握，接下来，我们来看例题： 3.例题讲解 例1：求下列各式的值： 3381）（－）（ 2
102）（－）（
4433）－（）（
)(42baba）（）（
解：
)(||)()4(3|3|)3()3(10|10|)10()2(881244233babababa）（－）（
师：根指数 n为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意.为使大家进一步熟悉性质运用，请大家来做练习题. （III）课堂练习
.625)4()32()3()3()2(,321245，）（ （IV）课时小结 （V）课后作业 教材练习A：1 第二课时
学习目标 1．知识与技能目标 理解分数指数幂的概念和性质，并能用于相关计算中； 会对根式、分数指数幂进行互化； 了解无理指数幂. 2．过程与方法目标 通过复习回顾初中所学的整数指数幂及上节课所学根式的相关性质，用类比的思想来完成分数指数幂的学习； 3．情感态度与价值观目标 培养学生用联系观点看问题； 教学重难点 教学重点： 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点：对分数指数幂概念的理解. 教学过程
（I）复习回顾 师：上一节课，我们一起复习了整数指数幂折运算性质，并学习了根式的运算性质. 整数指数幂概念 整数指数幂运算性质
annNnaaa个（)*•
(1)(,)(2)()(,)(3)(0)(4)()()mnmnmnmnmmnnnnnaaamnZaamnZaamnaaababnZ；；
，；。 规定： a0=1（a≠0）
nnaa1（a≠0,n+N）
①aann）（（n>1,且n+N） ②,||,nnanaan当为奇数时；当为偶数时
师：对于整数指数幂运算性质（2），当a>0,m,n是分数时也成立. （说明：对于这一点，课本采用了假设性质（2）对a>0,m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广性质（2），为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备）. 师：对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.接下来，我们来看几个例子. 例子：当a>0时 ①
② ③
④ ⑤
师：上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质（2）.因此，我们可以得出正分数指数幂的意义. （II）讲授新课 1.正数的正分数指数幂的意义：
1*,,,0(nNnmaaanmnm且 师：大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定： （1）)1*,,,0(1nNnmaaanmnm且
（2）0的正分数指数幂等于0. （3）0的负分数指数幂无意义. 师：规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a>0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质： 3.有理指数幂的运算性质： （1）ar•as=ar+s(a>0,r,s∈Q) （2）(ar)s=ar•(a>0,r,s∈Q) （3）(a•b)r=ar•br(a>0,b>0,r∈Q) 4.例题讲解
)1*,,()()()()()(2122132332323124334312510252510nNnmaaaaaaaaaaaaaaaaanmnnnmnm且例2：求值：21333241168100481－－－，，（），（）。 分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质. 解：
。＝）＝（）＝（）（；＝＝＝）＝（）（；＝＝＝）＝（；＝＝＝）＝（－）（－－）（－）（－－－－－）（－－－82732328116642224
1
101101010100
42228
34344
3
632323121221221232332332
例3：用分数指数幂的形式表示下列各式： 分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质.
)0(,,3232••aaaaaaa式中 解：
.)()(;;4321232121311323323323252122122aaaaaaaaaaaaaaaaaa•••••
5．无理指数幂 师：若a>0,p是一个无理数，则ap（如23）表示一个确定的实数，即有理指数幂还可以推广到无理指数幂. 我们现在还无法给出无理指数幂严格的定义，但是上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，而有关概念和证明我们现在也不考虑.
现在我们可能还有一些疑问，23究竟是一个什么样的数呢？ 我们按照要求的精确度，取无理数2的不足近似值或过剩近似值： 1.4，1.41，1.414，……（2的不足近似值）； 1.5，1.42，1.415，……（2的过剩近似值）. 其次，我们相应地可用有理指数幂的序列 31.4，31.41，31.414，……或31.5，31.42，31.415，……
来近似地计算无理指数幂23的不足或过剩近似值. 一般地，当a>0，α为任意实数时，实数指数幂aα都有意义. 例1．利用科学计算器计算（精确到0.001）： 21.522230.2;3.14;3.1;5
例2．利用科学计算器计算函数值.已知 xf(x)2.72f(3)f2f1f1f2f30.001，求，(-)，(-),(),(),() (精确到)。
课后作业 教材练习A：2，3；B：1，2，3
高教版中职数学基础模块上册《实数指数幂》教案 (一)
高教版中职数学基础模块上册《实数指数幂》教案 (一)高教版中职数学基础模块上册《实数指数幂》教案一、教学目标1. 理解实数、指数和幂的基本概念及其性质。
2. 掌握实数的运算法则。
3. 熟练掌握指数和幂的运算法则。
4. 初步掌握实际问题中应用指数和幂的方法。
二、教学重难点1. 指数与幂的定义和性质。
2. 指数与幂的运算法则。
3. 实际问题的应用。
三、教学内容及步骤A. 呈现1. 引出实数的概念及表示法。
2. 引出指数与幂的概念及表示法。
B. 模拟与探究1. 通过教师提问和学生讨论，让学生深入理解指数和幂的定义和性质，并进行探究。
2. 教师引导学生进行实数的基本运算。
3. 教师组织学生练习指数和幂的运算法则。
C. 引申与拓展1. 教师引导学生从实际问题中得出指数和幂的应用方法。
2. 教师提供案例，让学生自己解决问题，并进行讨论和分享。
四、教学方法1. 教师引导学生参与讨论，深化对概念的理解。
2. 教师演示指数和幂的运算方法，引导学生模仿操作。
3. 多媒体课件展示案例，引导学生思考和解决问题。
4. 学生个人或小组探究问题，教师辅导和引导。
五、教学过程设计1. 引入部分学生根据教师提供的问题和资料，思考和分享实数、指数和幂的概念，并探究实数的运算规律。
2. 模拟与探究部分2.1 指数和幂的定义和性质：问题：什么是指数？什么是幂？它们有什么性质？探究：学生分组自主探究指数和幂的定义和性质，并通过PPT展示学习成果。
2.2 实数的基本运算：问题：实数的四则运算规则是什么？探究：教师演示实数的基本运算，然后引导学生独立解决一道题。
2.3 指数和幂的运算法则：问题：如何计算指数和幂的运算？探究：教师演示指数和幂的运算法则，让学生跟随操作并练习。
3. 引申与拓展部分3.1 指数和幂的应用：问题：指数和幂在实际问题中有哪些应用？引申：教师通过多媒体课件展示案例，引导学生思考和解决问题。
3.2 学生自主解决问题：问题：使用指数和幂解决一个实际问题。
(完整版)高中数学各章节
必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用（1）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（2）必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非（否定）1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点（a，∏/2）处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
高中数学实数指数幂及其运算测试题(有答案)-word文档
高中数学实数指数幂及其运算测试题（有答案）第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1有理指数幂及其运算【目标要求】1．理解根式的概念。
2．理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。
3．掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。
4．掌握用计算器计算有理指数幂的值。
【巩固教材稳扎马步】1．下列说法中正确的是()A.-2是16的四次方根B.正数的次方根有两个C. 的次方根就是D.2．下列等式一定成立的是()A． =a B． =0C．（a3）2=a9D.3. 的值是（）A. B. C. D.4.将化为分数指数幂的形式为( )[A． B． C． D.【重难突破重拳出击】5.下列各式中，正确的是（）A． B． C ． D．6.设b 0,化简式子的结果是（）A.aB.C.D.7.化简［3 ］的结果为 ()A．5 B． C．－ D.－58.若，则等于 ( )A．2 －1 B．2－2 C．2 +1 D. +19. 成立的充要条件是（）A. 1C.x＜1 D.x210.式子经过计算可得到()A. B. C. D.11.化简 (a＞0，c＜0 的结果为()A. B．－ C．－ D.12.设x0, 等于（）A． B．2或-2C．2D．-2【巩固提高登峰揽月】13.计算0．027 －（－）－2+256 －3－1+（－1）0=__________．14.化简 =__________．【课外拓展超越自我】15.已知求的值．第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1有理指数幂及其运算题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10[ 11 12 答案 D D A A D A B A D D B C 13.1914.15.解：由可得x+x－1=7=27=18，故原式=2。
高中数学第三章Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.1有理指数幂及其运算学习导航学案
3.1.1 有理指数幂及其运算1.整数指数正整数指数幂的定义:在初中我们学习了a n=个n a a a ∙∙∙(n∈N *). 其中，a n 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数,并规定a 1=a. 在上述定义中，n 必须是整数，所以这样的幂叫做正整数指数幂. 正整数指数幂的运算满足如下法则：(1)a m ·a n =a m+n;(2)(a m )n=a mn,n m aa =a m-n(m>n,a≠0);(3)(ab)m =a m b m.如此规定零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂.并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立. 并且我们规定: a 0=1(a≠0),a -n=n a1(a≠0,n∈N *). 2.分数指数 （1）根式①方根的概念：我们知道，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根（quadratic root ）;如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（cubic root ）.一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n>1且n∈N *)，那么x 叫做a 的n 次方根（nthroot ）. 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.此时，a 的n 次方根只有一个，记为x=n a ；当n 是偶数时，正数的n 次实数方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号n a -表示.正的n 次实数方根与负的n 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 0=0. ②根式的概念式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）. ③根式的性质当n 是奇数时，n a n=a ；当n 是偶数时，n a n=|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a（2）分数指数幂①正数a 的正分数指数幂 我们规定：a nm =n ma(a>0,m 、n∈N *,n>1).②正数a 的负分数指数幂 anm -=nm a1=nma 1(a>0,m 、n∈N *,n>1).③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s =a r+s(a>0,r 、s∈Q );②(a r )s =a rs(a>0,r 、s∈Q );③(ab)r =a r b r(a>0,b>0,r∈Q ). （4）无理数指数幂教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 高手笔记1.对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n 次方根的概念以及n 次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化.2.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式,如a32b 、2-b a都不是最简形式.应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒. 3.经常要用的公式:（1）a-b ＝（b a -）（b a +）(a>0,b>0)； （2）a±2ab ＋b ＝（a ±b ）2(a>0,b>0)；（3）a±b＝（3a ±3b ）（32322b ab a + ）(a>0,b>0). 4.npm p a =n m a （a≥0）,其中的a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如62)8(-≠38-.5.分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 名师解惑1.为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？在以前学习的正整数指数幂中运算法则a m ÷a n =a m-n中为什么会限定m>n ？剖析：（1）根据方根定义，若x 是a(a>0)的n 次方根（n 为偶数），则x n =a ，这时（-x ）n=a ，即-x 也是a(a>0)的n 次方根.假设x 是a(a<0)的n 次方根（n 为偶数）,则x n=a.因为x n ≥0，若a<0，则x n=a 不成立，且与方根定义矛盾.（2）因为是正整数指数幂，如果没有m>n 的限定,m-n 可能等于0或者m-n<0.为了取消m>n 的限制，才定义了0次幂和负整数指数幂.这样m 、n 的大小就任意了，这样有可能产生负整数，也就把正整数指数幂扩充到了整数指数幂.2.引入分数指数幂之后，任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？在分数指数幂a nm中为什么限定a>0？剖析：（1）引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即n a =a n1，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然a n1是a nm 当m=1时的特例.（2）分数指数幂的意义来源于根式，而要使n a m对任意的n∈N *且n>1都有意义，必须限定a>0，否则,当a=0时，若m=0或nm为分母是偶数的负分数，a n m没有意义；当a<0时，若m 为奇数，n 为偶数，a nm 没有意义.（3）我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如-3=327-=(-27)31=(-27)62=62)27(-=6729=3.为什么会出现-3=3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的-3＜0,在(-27)31=(-27)62中发生的错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a>0”或“a>0,b>0”. 讲练互动【例题1】计算：（1）（27125）32-；（2）0.00832-；（3）（240181）43-；（4）（2a+1）0； （5）［65-（53）-1］-1. 分析:在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如（1）（2）（3）〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便.在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m 0才有意义；而对于形如（a b ）-n 的式子，我们一般是先变形为（ba ）n，然后再进行运算.解：（1）（27125)32-=（3335）32-=2235--=2253=259.（2）0.00832-=（0.23）32-=0.2-2=（51）-2=52=25. （3）（240181）43-=（4473）43-=3373--=3337=27343.（4）（2a+1）0=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠.21,,21,1a a 无意义（5）［65-（53）-1］-1=（6535-）-1=（65-）-1=56-.绿色通道在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键. 变式训练 1.计算：（1）（-383）32-＋（0.002）21--10（5-2）-1＋（32-）0=__________.（2）（41）2121432231)(1.0)4(---b a ab =____________.解析：（1）原式＝（-1）32-（827）32-＋（5001）21-2510--＋1＝［（23）3］32-＋（102×5）21-10（5+2）＋1＝916712051051094-=+--+; （2）原式＝24232323223211044+--⨯b a =b b 25125121=. 答案：(1)9167- (2)b 251【例题2】化简322234)210()323(27622----+-的结果是( ) A.35B.-3C.3D.9 解析：先将式子中的根式逐个化简，后进行运算. 原式＝31132126)311(278323+-=---+-+6=9. 答案：D绿色通道对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算.在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ，若a ＞0，则3a ＞0，若a ＜0，则3a ＜0；但对根指数为偶数的根式，只有当a≥0时，对a 才有意义. 变式训练2.化简：(1)432981⨯=____________;（2）3131421413223)(ba b a ab b a -(a>0,b>0)=____________.解析：（1）原式＝421322)9(9⨯＝431299⨯＝4379＝67127413739)9(==；（2）原式＝3131221323123)(ba ab b a b a -=3123113116123--++-+b a=ab -1.答案：（1）367 （2）ab -1【例题3】已知a=278-，b=7117，求333131343233232793ba a ba ab ab a -÷-++的值. 分析:化简、求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值.解：∵a≠0，∴原式=)27()3(331231313123b a a b b a a -++×3131313ab a -.又∵a -27b≠0，∴原式=)27()3()(32331331b a a b a --=a32-=32)278(--=2)32(--=（23-）2=49.黑色陷阱本题容易直接将a 、b 的值代入，后化简，因为运算烦琐，不容易做出正确的结果,所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题,这样才能养成良好的思维习惯. 变式训练3.已知a=-1，b=7163，求)21(483323323134abbab a a b a a -÷++-×3a =___________. 解析：原式=313131132313131231312)2(2)()8(a ba ab b a a b a a ⨯-⨯++-=331331313131)2()()8(b a b a a--++=a.∵a=-1,∴原式=a=-1. 答案：-14.已知x+y=12,xy=9且x<y,且21212121yx y x +-=________.解析：∵x+y=12,xy=9且x<y ， ∴x>0,y>0,x -y<0.∴x -y=2)(y x --=xy y x 4)(2-+-=94122⨯--=36-,x 21y 21=9xy ==3.∴原式＝))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=36321222121-⨯-=-+-y x y y x x =33-. 答案：33-。
知识点整理-[高中数学]第三章 基本初等函数(I)
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如果 a=1，y=1x=1，是一个常量，对它就没有研究的必要。
为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0 且 a≠1。
1
③如 y=2·3x，y= 2 x ，y= 3 x2 ，y=3x+1 等函数都不是指数函数，要注意区分。
（2）指数函数的图象和性质
y=ax
0＜a＜1
a＞1
图 象
定义域为 R，值域为(0,+∞)
质对于无理指数幂也适用，这样，指数概念就扩充到了整个实数范围。
（3）利用分数指数进行根式与幂的计算
在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指
数幂，并尽可能的统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，
以利于运算、达到化繁为简的目的。
对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示，如
a0=1，即 x=0 时，y=1，图像都过点(0,1)
性 a1=a，即 x=1 时，y 等于底数 a，图像都经过点(1,a)
质 在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
x＜0 时，ax＞1；
x＜0 时，0＜ax＜1；
x＞0 时，0＜ax＜1
x＞0 时，ax＞1
既不是奇函数，也不是偶函数
4
学习指数函数的图象和性质，需要注意的几个问题： ①当底数 a 大小不定时，必须分“a＞1”和“0＜a＜1”两种情况讨论。 ②当 0＜a＜1 时，x→+∞，y→0；当 a＞1 时，x→-∞，y→0。当 a＞1 时 a 的值越大， 图象越靠近 y 轴，递增速度越快；当 0＜a＜1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的 速度越快。（其中“x→+∞”意义是：“x 接近于正无穷大”）。 ③在同一直角坐标系中指数函数图象的位置与底数大小的关系：在 y 轴右侧，图象从 上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。 规律：当 a＞1，b＞1 时，指数函数 y=ax，y=bx 的图象在同一坐标系中，在直线 x=0 的右边，当 a＞b 时，y=ax 的图象在 y=bx 的图象上方，在直线 x=0 的左边正好相反。 当 0＜a＜1，0＜b＜1 时，指数函数 y=ax，y=bx 的图象的关系与 a＞1，b＞1 正好相反。 （3）指数函数的定义域与值域 指数函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）的定义域是(-∞,+∞)，值域是(0,+∞)。 求由指数函数构成的复合函数的定义域时，可能涉及解指数不等式（即未知数在指数 上的不等式）。解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底的幂的形式，利用指数 函数的单调性脱去幂的形式，从而转化为熟悉的不等式。同时还应注意负数不能开偶次方， 分母不能为零，限制 x 的取值。 求由指数函数构成的复合函数的值域，一般用换元法即可，但应注意在中间变量的值 域以及指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况。 （4）指数函数图象的变换规律 ①平移规律 若已知 y=ax 的图象，则把 y=ax 的图象向左平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax+b 的图 象，向右平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax-b 的图象，向上平移 b（b＞0）个单位，则得 到 y=ax+b 的图象，向下平移 b（b＞0）个单位，则得到 y=ax-b 的图象。 一般的，把函数 y=f(x)图象向右平移 m 个单位得到函数 y=f(x-m)的图象（m∈R，m＜ 0，就是向左平移|m|个单位）；把函数 y=f(x)的图象向上平移 n 个单位，得函数 g(x)=f(x)+n 的图象（n∈R，n＜0，就是向下平移|n|个单位）。
中职数学基础模块上册《实数指数幂及其运算法则》word教案
教案名称：中职数学基础模块上册《实数指数幂及其运算法则》word教案教案编写：教学目标：1. 理解实数指数幂的概念及其运算法则。
2. 能够运用实数指数幂及其运算法则进行相关计算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：一、实数指数幂的概念1. 引入实数指数幂的概念，讲解正整数指数幂、零指数幂和负整数指数幂的定义。
二、实数指数幂的运算法则1. 讲解实数指数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2. 讲解实数指数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
3. 讲解实数指数幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。
4. 讲解实数指数幂的幂的法则：底数不变，指数相除。
三、实数指数幂的应用1. 举例讲解实数指数幂在实际问题中的应用，如计算幂的值、求解指数方程等。
四、练习与巩固1. 安排相关练习题，让学生巩固实数指数幂的概念和运算法则。
2. 引导学生运用所学知识解决实际问题。
2. 评价学生的学习效果，对学生在学习中遇到的问题进行解答和指导。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念和运算法则。
2. 运用案例教学法，引导学生运用所学知识解决实际问题。
3. 设计练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识。
4. 采用小组讨论法，促进学生之间的交流与合作。
教学资源：1. PPT课件：展示实数指数幂的概念和运算法则。
2. 练习题：用于巩固所学知识。
3. 案例材料：用于讲解实数指数幂在实际问题中的应用。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对实数指数幂概念和运算法则的理解程度。
2. 练习题：评估学生对实数指数幂运算法则的掌握情况。
3. 实际问题解决：评价学生运用实数指数幂知识解决实际问题的能力。
六、教学活动设计1. 导入新课：通过复习幂的概念，引导学生自然过渡到实数指数幂的学习。
2. 讲解实数指数幂的概念：详细讲解正整数指数幂、零指数幂和负整数指数幂的定义。
3. 讲解实数指数幂的运算法则：逐一讲解乘法、除法、乘方和幂的法则。
高中数学B版目录(老版)2021
2.3.1 圆的标准方程
2.3.2 圆的一般方程
2.3.3 直线与圆的位置关系
2.3.4 圆与圆的位置关系
2.4 空间直角坐标系
2.4.1 空间直角坐标系
2.4.2 空间两点的距离公式
阅读与欣赏
迪卡儿
必修三
第一章算法初步
1.1算法与程序框图
1.1.1算法的概念
1.1.2程序框图
1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和
3.5 二元一次不等式（组）与简单的
线性规划所表示的平面区域
3.5.2 简单线性规划
框图表示
1.2基本算法语句
1.2.1 赋值、输入和输出语句
1.2.2条件语句
1.2.3 循环语句
1.3中国古代数学中的算法案例
阅读与欣赏
我国古代数学家秦九韶
东方数学的使命
第二章统计
2.1随机抽样
2.1.1 简单随机抽样
2.1.2系统抽样
2.1.3分层抽样
2.1.4数据的收集
2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计
3.2.1 古典概型
3.2.2 概率的一般加法公式（选学）
3.3 随机数的含义与应用
3.4 概率的应用
阅读与欣赏
概率论的起源
必修四
第一章基本初等函数（II）
1.1任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推广
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
1.2任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的定义
1.2.2单位圆与三角函数线
2.1.4函数的奇偶性
2.1.5用计算机做函数的图象（选学）
2.2 一次函数和二次函数
新课标人教版必修一指数与指数幂运算课件(共16张PPT)
变式：
2 x a , b 已知 是方程 6 x 4 0的两个根，且 a b 0
求：
a b a b
的值。
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（：代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
知识要点：
1:根式的概念: n n次方根：一般地，若 x (其中n ＞1，且n∈Ｎ*) a的n次方根用符号
a ,则x叫做a的n次方根，
n
a
表示，其中n称为根指数，a为被开方数.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
a p (a 0, p是一个无理数)
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
4：指数幂的运算性质：
a a a
r s r s rs r
r s
(a 0, r R, s R)
r
(a ) a (a 0, r R, s R) (a b) a b (a 0, b 0, r R)
m n
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：
a
m n
1 a
m n
(a 0, m, n N * )
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
3：无理数指数幂: 一般来说，无理数指数幂 是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无 理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不 足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
人教B版高中数学必修一实数指数幂及其运算教案一
教师活动
学生活动
一、简单回顾上节课知识内容，并检查作业
二、讲授新课
（一）整数指数、分数指数幂
有理指数幂的运算性质：
； ； （ ）
例1：计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的 ）
（1）
（2）
例2：化简下列各式
（1） （2） （3）
（4）
(二)带有附加条件的求值问题
例1：（1） （常数），求 的值。
学生上次作业完成情况：数量70%完成质量70分存在问题忘记解题思路
配合需求：家长督促学生认真复习，督促学生及时完成作业，课下多做习题。
学管师督促学生认真复习，督促学生及时完成作业，课下多做习题。
备注
学科
数学
年级
高一
教材版本
人教B
阶段
观察期□第（）周维护期□
本人课时统计
第（）课时
共（）课时
课程名称
实数指数幂及其运算
课时计划
第（）课时
共数指数幂及其运算
个性化学习问题解决
扎实基础，点拨提高
教学重点
实数指数幂及其运算
教学难点
带有附加条件的指数幂的求值问题、幂的综合问题
一、回顾上节课知识，检查作业
二、学习新课
三、练习
1.化简
解： =
2. ，化简
解：
3. 有意义，化简 。
解：因为 有意义，
所以 。
教学过程
教师活动
学生活动
（2） ，且 ，求 的值。
例2：已知函数 。
（1）求 的值；
（2）设 ，求 的值。
（三）幂的综合问题
解决幂的综合问题时，首先要善于观察、分析，并对它进行适当地加工、处理、变形，以创造运用公式和幂的有关性质和条件，然后再进行化简、求值即可；其次，要注意方程思想、整体思想、
第章实数指数幂及其运算【新教材】人教B版高中数学必修第二册课件
[跟进训练]
1．(1)4 －34的值是( )
A．3
B．－3
C．±3
D．81
(2)若 x6＝2 021，则 x＝________.
(3)已知4 a＋14＝－(3 a＋1)3，则实数 a 的取值范围是 ________．
(1)A (2)±6 2 021 (3)(－∞，－1] [(1)4 －34＝|－3|＝3. (2)因为 x6＝2 021，所以 x＝±6 2 021. (3)因为4 a＋14＝|a＋1|，(3 a＋1)3＝a＋1， 所以|a＋1|＝－(a＋1)，所以 a＋1≤0，即 a≤－1.]
[解] (1)
(2) 614－ 3 338－( 2－1)0＋(－1)2 021＋2－1 ＝ 245－ 3 287－1－1＋21 ＝52－32－32＝－12.
1．化简结果的一个要求和两个不能
2．幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂． (2)化根式为分数指数幂． (3)化小数为分数进行运算．
所以 1－6x＋9x2＝ 1－3x2＝|1－3x|＝1－3x. (2)因为(±9)2＝81，所以 81 的平方根为±9，即 a＝±9，又(－2)3 ＝－8， 所以－8 的立方根为－2，所以 b＝－2， 所以 a＋b＝－9－2＝－11 或 a＋b＝9－2＝7.
(3)要使 4 a－1 3有意义，则a－1 3＞0，且 a－3≠0，即 a＞3.]
角度二 指数式的条件求值问题
[探究问题]
1．把
a＋ 1a2，a＋1a2 分别展开是什么？
[提示]
a＋ 1a2＝a＋1a＋2，a＋1a2＝a2＋a12＋2.
2.a＋1a2 和a－1a2 有什么关系？ [提示] a＋1a2＝a－1a2＋4.
【例 4】 已知 a＋a－1＝5，求下列各式的值： (1)a2＋a－2；(2)a －a . [解] (1)因为 a＋a－1＝5， 所以 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2 ＝52－2＝23. (2)因为a －a 2＝a＋a－1－2＝5－2＝3， 所以 a －a ＝± 3.