现代控制理论习题集

现代控制理论

习

题

集

序

为了帮助同学们更好地学习《现代控制理论》这门大学自动化专业的主干基础课程，在王整风老师的指导下，我们共同编写了这本基于刘豹版本教材的习题集，希望能让大家拥有做题不仅仅注重题目答案，更关注解题过程的意识。

本书第一章由张胜编写，第二章由何新礼编写，第三章由刘洋编写，第四章由邢雅琪编写，第五章由孙峰编写，由宋永康和王彦明统稿，在此向王老师和以上同学表示感谢。

由于时间仓促，本习题集难免有不当之处，个别题目的解法并不唯一，解题过程难免有错误、疏漏的地方，恳请大家批评指正。

编者

2013年6月

目录

第五章线性定常系统综合 (38)

第一章控制系统的状态空间表达式

张胜

1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：直接对系统方块结构图转化得系统的模拟结构图如下：

可得系统的状态方程：

故系统的状态空间表达式为：

1-2 有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的

R上的电压作为输出量的输出方程。电压作为状态变量的状态方程，和以电阻

2

解：易得系统为3维单输入单输出系统：

假定流过c U 上的电流向下，对图中的两个回路由KVL 得 ：

解得

213.

1

1x C

x C x -=

转化成矩阵形式为：

1-4 两输入21,u u ，两输出21,y y 的系统。其结构模拟图如图1.30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：令11y u -前向通道上积分号后的状态变量分别为12,x x ；22y u -前向通

道上积分号后的状态变量分别为4,3x x 。由于系统为四维，两输入，两输出系统，故系统阵A 为4×4阶，输入阵B 为4×2阶，输出阵C 为2×4阶。 由图得，系统的状态空间表达式如下：

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡43212101000001x x x x y y

由 可求得系统传递函数阵。易得，

()()B A sI C s W uy

1

--=

()⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡--+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--211

34

561210000000

101000101000001)(b b a a a s a a s a s

B A sI

C s W uy

1-5 系统的动态特性由下列微分方程描述

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

相应的模拟结构图如下：

其中y u 前向通道的积分器后的状态变量分别为123,,x x x 。 1-6 已知系统传递函数： （2）

试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图。

由系统的并联型实现中特征根具有重根的情况，可得系统的约旦标准型实现如下：

相应的系统模拟结构图如下：

1-8 求下列矩阵的特征矢量

，由i i i P AP λ=，得

⎰

⎰

⎰

⎰

-3

-4

-10/3

-3

-1/3

-2

-3

y

2x

1x

3x

4x

u

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋ ＋ ＋

＋

，由i i i P AP λ=，得

，i i i P AP λ=，得

综上，系统的特征矢量为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=311341121

P

1-9 试求下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）： （2）

解：易得A 的特征方程：

解得

，由i i i

P AP λ=得

解得

113121p p p ==，令111=p ，得

由于有32=λ的重根，由广义特征矢量1

212P P AP +=λ，得

解得32222212,1p p p p =+= 令1

12

=p

得

当13=λ时，由i i i P AP λ=得

得

故系统阵A 的特征矢量

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201011P ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡==101201011P T

作为转换阵 设变换完成后的约旦标准型形式如下：

x

C y u

B x A x ~~~~~~.

=+=

易得

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡=100030013~A ⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1102112101T

令

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==-3232132321122110211210~x x x x x x x x x x x T x 综上，可得系统状态空间表达式约旦标准型为：

1-10 已知两个子系统的传递函数阵()s W 1和()s W 2分别为：

()⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡++++=210211

11s s s s s W ()⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+++=011413

12s s s s W

试求两个系统串联连接和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果。 解：当系统1W 与2W 串联联接时，系统的传递函数阵：

()()⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡++++⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢

⎢⎣⎡+++==)2)(1(1)1(1)4)(3)(2(75311210211

1011413

12

212S S S S S S S S S S S S S S S S S W W W 当系统1W 与2W 并联联接时，系统的传递函数阵：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎣⎡+++±⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡++++=±=011

4131210211

1

21S S S S S S S W W W

1-11 已知如下图所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为