高考不等式恒成立问题参数取值范围的求解策略

（湖州市双林中学，浙江湖州　３１３０１２）　纵观近几年的全国高考，由“不等式恒成立”去　确定参数的取值范围的试题越来越受到命题者的　青睐．因为，从内容上讲，这类试题的覆盖面广，涉　及函数、导数、数列（一类特殊的函数）、不等式等方　方面面；从考查能力的角度讲，该类试题不但可以很　好地考查考生的“双基”，而且可以考查考生对数学　的感悟力、穿透力与创造力，是展示考生综合能力的　一个平台．但同时我们必须看到“不等式恒成立”问　题确是我们数学教学中的一大难点，考生的得分率　普遍偏低就是一个明证．有效地突破这一难点是每　数取值建固　个高中数学教师亟待解决的一大课题．结合自身的　教学经验，笔者以为要突破难点应力求做到：理论上　合法、思维上合理、实践（操作）上合情，即做到有　“法”可依，执“法”分明．本文以２０１　１、２０１２两年高考　浙江卷上的几个试题为例，阐述突破此难点的策略．　一、

函数最值法　

试题１设函数ｆ（ｘ）＝（　—ａ）２１ｒ￣，ａＥＲ．　（Ｉ）若．￣－－ｅ为ｒ－－ｆ（ｘ）的极值点，求实数ａ；　（Ⅱ）求实数ａ的取值范围，使得对任意的　∈　［０，３ｅ］，恒有ｆ（ｘ）≤４ｅｚ成立（注：ｅ为自然对数的底　

＝ｅ之∈（０，１），当　∈（０，ｅ－２）时，口　（　）＞０；当　∈（ｅ　，　１）时，ｑ　（　）＜０，则当Ｏ＜ｘ＜１时，ｑ（　）＝１　（１＋ｌ眦）　≤ｇ（ｅ－２）＝１＋ｅ－２且ｇ（　）＞　ｕ　篙　≥　＝１，　于是可知当０＜　＜１时，　｝＜　成立．　综合（１）（２）可知对任意ｘ＞Ｏ，ｇ（ｘ）＜ｌ＋ｅ　匾成立．　以上２个高考题在方法上有类似之处，所以只　有加强数学知识内在的联系，抓住数学的本质，突出　基本方法的理解和运用，突出思维能力的培养，才能　真正提高学生的数学素质．　四、调整心态。关注方法　在最后阶段，我们还会进行各种模拟练习．教　师要引导学生重视这种机会，不能光顾成绩，而应针　对练习中出现的各种情况，想好应对之策，以形成良　好的考试心态．一张试卷肯定有自己不会的或暂时　不能解决的问题，当出现这种情形时心里急是解决　不了问题的，只会增加心理负担，要有一些良好心态　的提示，乐观地应考，不要为一时得失而悲观失望，　相信一张试卷发挥失常绝对不是因为那个难题的　拖累，而是自己会做的题目失分了．要注意解题速　度和各大题的做题时间，高考是在单位时间内完成　

一张试卷，题量是相对固定的．主观题的时间最好　在４５分钟内解决，每一题要细心，认真对待．任何　

一题不读三遍不动手，读了三遍没感觉暂时不做，　不能因个别题而花大量时间．不会做就坚决跳过　去，由于近年高考题大题的难度是多层次给分，对　于最后的两个大题前一、二问的得分可能不是太难，　一定要做．　要重视第一印象．心理学研究表明，考生在接触　试题时大脑皮层处于高度兴奋状态，对新事物的反　应灵敏，容易迅速作出决定．经验表明，第一感觉的　正确率在８０％以上．因此，不要轻易改动第一次作　出的选择．在检查的时候，不要按照第一次答题的角　度去考虑，应该从另外一个角度去思考，这样才能　提高检查的正确率．　

．　２　０１３　３　Ｉ－ｍ　．＿＇ｊ教学管理　年第　期　童　鍪塞：　数）．　［２０１１年高考浙江卷理科第（２２）题］　分析处理“不等式ｆ（ｘ）≤Ｃ（Ｃ为常数），　∈Ａ　恒成立”问题，首当其冲的方法莫过于“函数最值　法”了——只要函数　）的最大值　≤Ｃ即可，以　彰显“理论上合法”．　解法１（Ｉ）ａ＝ｅ或ａ＝３ｅ．　（Ⅱ）注意到，当０＜ｘ＜ｌ时，ＶａＥＲ，恒有Ｊ（ｘ）≤　０＜４ｅ２成业．所以，问题等价于ｊ￣ｘ）＜４ｅ２，　∈［１，３ｅ］．①　恒成立，而函数　）在闭区间上Ｅ１，３ｅ］必有最大值．　求导：厂（　）＝（　—ａ）（２１ｎｘ＋ｌ一旦～），　∈（１，３ｅ）．　出于导函数，，（　）的一个零点ｘ＝ａ是否属于开　区间（１，３ｅ）的考虑，而分以下３类讨论：　若ｎ≤ｌ，则　（　）＝２１ｎｘ＋ｌ一　＞—ｘ－—ａ＞０（因　＞　１≥ｎ），所以　厂（　）＞０　，（　）在［１，３ｅｌ上是增函数，其　最大值Ｍ＝ｆ（３ｅ）＝（３ｅ－ａ）２１ｎ３ｅ＞（３ｅ－＿１）　＞（２ｅ）２＝４ｅ２．　若１＜０≤３ｅ由于上述函数　（　）在［１，３ｅｌ上是　增函数，且ｇ（１）＝１一ａ＜０，ｇ（ｅ）：３一了ａ／＞０．所以，存在　唯一的Ｘｏｅ（１，ｅＪ，使得　ｏ）＝２１ｎｘｏ＋１一一ａ＝０．②　Ｘｏ　于是，令　（　）＝Ｏ，得ｘｌ＝ａ，　。，连续函数ｆ（ｘ）　在闭区间［１，３ｅ］上的最大值Ｍ＝ｍ￣ｘ／／（１）　。）ｆ（ｘ。），　３ｅ））｝＿ｍａｘ｛　。）　３ｅ）｝（因　１）　）＝０）．而由②　式，知ｆ（ｘｏ）＝（ｘｏ－ａ）２１ｎｘｏ＝（一　０ｌ眦０Ｙｌｎｘ０￣＜（２ｅｌｎｅ）２ｌｎｅ　（因ｌ＜ｘ０≤ｅ）＝４ｅ　，于是　≤４ｅ　（３ｅ）＝（３ｅ—ａ）２１ｎ３ｅ￣＜　４ｅ２（其中１＜ｎ≤３ｅ）甘３ｅ一—　竺＝≤０≤３ｅ．　③　Ｘ／ｌｎ３ｅ　若ａ＞３ｅ，则由“题眼”（Ｉ）小题结论，知ｆ（ｘ）　在闭区间［１，３ｅ］上的最大值ＭＷ（ｅ）＝（ｅ—ｏ）　＞　（２ｅ）　．　综上所述，连续函数ｆ（ｘ）在闭区间［１，３ｅｌ上的　最大值Ｍ＜￣４ｅ２的充要条件是③，即为ｆ（　）≤４ｅ　，　∈（０，３ｅｌ恒成立的充要条件．　解法１突出了高中数学学习中的分类讨论思　想，其思维方式自然．焦点在于根据导函数ｙ（ｘ）的　一个零点ｘ＝ａ和函数ｆ（ｘ）的定义区间（０，３ｅ］的端　点３ｅ进行有机的分类；其间函数ｇ（ｘ）的单调性驱　使我们对其零点　。的范围作出合理的估计，理论上　为获取，【　）在闭区间［１，３ｅ］上的最大值铺平道路．　其间对于由②式给出的导函数．厂（　）的零点　我　们采用了“设而不求”的处理方法，实乃当今高考的　一个新亮点．　二、分离参数法　处理含参数的“不等式Ｆ（ｘ，ａ）≤０，　ＥＡ恒成　立”问题，如若能分离出其中的参数ａ≤Ｇ（　）（或　。≥Ｇ（ｘ）），　ＥＡ，则可以把问题归结为求不含参数　的函数Ｇ（　）的最小（或最大）值问题了，这是为广　大师生所喜闻乐见的，以彰显“思维上合理”．　解法２（Ⅱ）同解法１，原问题等价转化为　ｆ（ｘ）＝（　—ａ）２１ｎｘ￣４ｄ，　∈（１，３ｅ１．　恒成立．由此分离参数为　

一—　≤　≤　＋—　，　∈（１，３ｅ］＿④　Ｖｌｎｘ　Ｖｌ眦　

恒成立．　记④式的左、右两边分别为　（　），ｈ２（　），这样　便把问题归结为求＾　（　）的最大值与　（　）的最小　值问题了．　

显然，ｈｉ（　）　一—　在　ｅ（１，３ｅ］上是增函　Ｘ／ｌｎ￣　

数，所以，　（　）的最大值为＾　（３ｅ）＝３ｅ一—　；对　Ｘ／ｌｎ３ｅ　

ｈ２（ｘ）求导：　（　）＝１一—　，　∈（１，３ｅ）．　⑤　（１ｎｘ）手　

观察易见，ｈ　（ｅ）＝０且当１＜　＜ｅ时，ｈ　（　）＜０；　当ｅ＜ｘ＜３ｅ时，　（　）＞０．所以，　（　）在（１，ｅ］上是减　函数、在ｅ，３ｅｌ上是增函数，得　（　）的最小值　（ｅ）　＾　＝ｅ＋—　ｅ＿一＝３ｅ

．　

于是，④式恒成立的充要条件是３ｅ一－—　≤　Ｘ，／ｌｎｅ　

０≤３ｅ，即为ｆ（ｘ）≤４ｅ　，　∈（０，３ｅｌ恒成立的充要条件．　“分离参数法”的前提是“可分离”．它的特点　是：化繁为简、化难为易，具有极强的可操作性和极　佳的实战效应．另，求函数的唯一零点的一种有效　方法是用观察法求出一个零点并证明函数的单调　性．求⑤式中导函数　（　）的唯一零点正是如此．　三、“必要条件”解题术　利用“必要条件”探索高考中的“不等式恒成　立”问题较“函数最值法”不但有异曲同工之效，而　且还有缩小实参数范围之奇妙（有时甚至缩小到一　个“点”）．“山重水复”时，不妨一试，准能彰显“战术　上合情”．　解法３（ＩＩ）同解法１，原问题等价转化为　ｆ（ｘ）－－（ｘ—ａ）２１ｎｘ￣４ｅ２，　ｅｌ１，３ｅ］④’　恒成立．（由“题眼”（Ｉ）小题结论）其必要条件是　ｅ）＝（ｅ－－口）　≤４ｅ　，　ｌ　３ｅ）＝（３ｅ－－ａ）Ｚｌｎ３ｅ＜￣４ｅ２．　

甘３ｅ＿－—　一≤ｎ≤３巴　、／ｌｎ３ｅ　⑥　

用“函数最值法”可检验其充分性，操作上与解　法１类似，但更有的放矢了，故而不再赘述．　“必要条件”解题术在近几年的高考中的“表　现”大有日益凸现的态势．从某种意义上讲，这一方　法化解了理性、回归到了感性，因而把原本看似错　综复杂的难题、暗题化解成了简单题、明题，有效地　提高了考生的自信力与应试能力，不得不说这是数　学教学与数学学习的再创造．　无独有偶，本着这一理念，不妨再看以下考题：　试题２设ａＥＲ，若ｘ＞０时均有［（　１）　一１］　（￣２－ａｘ－１）Ｉ＞０，则　——．　

［２０１２年高考浙江卷理科第（１７）题］　

分析这是一道填空压轴题．强攻，实不易得　手，且耗时量过大．注意到“求ａ的值”这一题眼，　“必要条件”解题术不妨一试：记ｆ（ｘ）＝［（　ｌ　一１］　（Ｘ：２－０２￣一１），ｘ＞Ｏ．则ｆ（ｘ）／＞０，　＞Ｏ恒成立的必要条　件是厂（１）ｔ＞０或，（２）Ｉ＞０等．试值发现：由－厂（２）－　（２　３）（３—２ａ）＞／０，得　÷．至于“充分性”的检验就　二　

容易了，但无须检验了．　教学中培养和训练学生的逻辑思维与逻辑推　理是一种能力，培养和训练学生的直觉思维与合情　推测更是一种能力啊！　

练习设函数ｙ（ｘ）＝　２＋　，ａ＞Ｏ．　（Ｉ）求．　）的单调区间；　（Ⅱ）求所有的实数ａ，使ｅ－１≤　）≤ｅ　对　∈　［１，ｅ］恒成立．　［２０１１年高考浙江卷文科第（２１）题］　四、“递进式”解题术　作为“递进式”设问的试题，一种自然、有效的　求解方法理所当然是充分利用前面设问的结论或　求解前面设问过程中的（过渡）结论来解答后面的　设问了．　试题３已知ａ＞Ｏ，６∈承，ｉＮ￣Ｊ（ｘ）＝４ａｘ３－２ｂｘ一叶６．　（Ｉ）证明：当０≤　≤１时，　（１）函数　）的最大值是ｌ　２　６　ｌ＋。；　（２）　）＋ｌ２　６　ｌ＋０≥０；　（ＩＩ）若一１－＜ｆ（ｘ）≤１对　∈［０，１］恒成立，求叶６　的取值范围．　［２０１２年高考浙江卷理科第（２２）题］　证明（Ｉ）略．　（Ⅱ）（Ｉ）小题的两个结论是：函数ｆ（　）在　［０，１］上的最大值　Ｉ２　６　Ｉ＋０，且当　Ｊ２　６　Ｉ　＋口≤１时，必有ｆ（ｘ）≥　≥一１．所以，一１　）≤１，　∈［０，１］恒成立的充要条件是　ｆ口＞０（题设），　ｆ０　≤１，　１　２　ｂ　Ｉｎ≤铮ｌ３ｔＭ＝　１　ａ＋ｂ　３ａ　Ｉ≤１－ａ　一Ｉ＋口≤　ｌ　ｌ（　）一　Ｉ≤　

ｆＯ＜ａ≤１．　牟　｛＝　一１＜ｎ＋６≤３．　【一１＋４０≤８＋６≤１＋２０　

所以，叶６的取值范围是［一１，３］．　这是一道典型的环环相扣的“递进式”设问的　试题，看到“递进式”就有希望．试题１的解法１的　分类讨论第三种情形“若ａ＞３ｅ…”，也正是注意到　了“递进式”这一题眼．