2019年中考数学专题复习第四单元三角形课时训练(十九)等腰三角形练习
中考数学总复习《等腰三角形》专项检测卷及答案
中考数学总复习《等腰三角形》专项检测卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( )A.60°B.65°C.75°D.80°2.如图,等边三角形ABC,B点在坐标原点,C点的坐标为(4,0),则点A的坐标为( )A.(2,3)B.(2,2√3)C.(2√3,2)D.(2,2√2),则BC的长是( )3.(2024·临夏州)如图,在△ABC中,AB=AC=5,sin B=45A.3B.6C.8D.94.(2024·深圳模拟)春游有着悠久的历史,其源自远古农耕祭祀的迎春习俗,《尚书·大传》曰:“春,出也,万物之出也.”小丽和家人到公园踏春,帐篷撑起后如图1,为更好地将帐篷固定,需在4个角分别另加一根固定绳(DE),其主视图如图2所示,测得α=125°,CD=CE,则∠DEC=( )A.37.5°B.27.5°C.22.5°D.17.5°5.(2024·自贡)如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢( )A.(24-12√3)mB.(24-8√3)mC.(24-6√3)mD.(24-4√3)m6.如图,OA,OB是☉O的半径,点C在☉O上,∠AOB=30°,∠OBC=40°,则∠OAC=.7(2024·自贡)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C.(1)求证:∠BDF=∠A;(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状.【B层·能力提升】8.如图,在▱ABCD中,∠D=60°.以点B为圆心,以BA的长为半径作弧交边BC于点AE的长为半径作弧,两弧交于点P,作射E,连接AE.分别以点A,E为圆心,以大于12的值为.线BP交AE于点O,交边AD于点F,则OFOE9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC 于点P,连接AP,则∠BAP的度数是.10.腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为.11.(2024·广州模拟)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连接DE,若AD=BC=CE=DE,则∠BAC=.12.在四边形ABCD中,已知AB=AD=8,∠A=60°,BC=10,CD=6.(1)连接BD,试判断△ABD的形状,并说明理由;(2)求∠ADC的度数.【C层·素养挑战】13.(2024·烟台)在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED,连接BE.【尝试发现】(1)如图1,当点D在线段BC上时,线段BE与CD的数量关系为;【类比探究】(2)当点D在线段BC的延长线上时,先在图2中补全图形,再探究线段BE与CD 的数量关系并证明;【联系拓广】(3)若AC=BC=1,CD=2,请直接写出sin∠ECD的值.参考答案【A层·基础过关】1.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是(D)A.60°B.65°C.75°D.80°2.如图,等边三角形ABC,B点在坐标原点,C点的坐标为(4,0),则点A的坐标为(B)A.(2,3)B.(2,2√3)C.(2√3,2)D.(2,2√2)3.(2024·临夏州)如图,在△ABC中,AB=AC=5,sin B=4,则BC的长是(B)5A.3B.6C.8D.94.(2024·深圳模拟)春游有着悠久的历史,其源自远古农耕祭祀的迎春习俗,《尚书·大传》曰:“春,出也,万物之出也.”小丽和家人到公园踏春,帐篷撑起后如图1,为更好地将帐篷固定,需在4个角分别另加一根固定绳(DE),其主视图如图2所示,测得α=125°,CD=CE,则∠DEC=(D)A.37.5°B.27.5°C.22.5°D.17.5°5.(2024·自贡)如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢(D)A.(24-12√3)mB.(24-8√3)mC.(24-6√3)mD.(24-4√3)m6.如图,OA,OB是☉O的半径,点C在☉O上,∠AOB=30°,∠OBC=40°,则∠OAC= 25°.7(2024·自贡)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C.(1)求证:∠BDF=∠A;(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状.【解析】(1)∵DE∥BC,∴∠C=∠AED∵∠EDF=∠C,∴∠AED=∠EDF∴DF∥AC,∴∠BDF=∠A;(2)∵∠A=45°∴∠BDF=45°∵DF平分∠BDE∴∠BDE=2∠BDF=90°∵DE∥BC∴∠B=90°∴△ABC是等腰直角三角形.【B层·能力提升】8.如图,在▱ABCD中,∠D=60°.以点B为圆心,以BA的长为半径作弧交边BC于点AE的长为半径作弧,两弧交于点P,作射E,连接AE.分别以点A,E为圆心,以大于12的值为√3.线BP交AE于点O,交边AD于点F,则OFOE9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC 于点P,连接AP,则∠BAP的度数是15°或75°.10.腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为6或2√5或4√5.11.(2024·广州模拟)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连接DE,若AD=BC=CE=DE,则∠BAC=100°.12.在四边形ABCD中,已知AB=AD=8,∠A=60°,BC=10,CD=6.(1)连接BD,试判断△ABD的形状,并说明理由;(2)求∠ADC的度数.【解析】(1)△ABD是等边三角形.∵AB=AD,∠BAD=60°∴△ABD是等边三角形.(2)∵△ABD是等边三角形∴∠ADB=60°,BD=AB=8在△BCD中,CD2+BD2=62+82=100BC2=102=100∴CD2+BD2=BC2,∴∠BDC=90°∴∠ADC=∠BDC+∠ADB=90°+60°=150°.【C层·素养挑战】13.(2024·烟台)在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED,连接BE.【尝试发现】(1)如图1,当点D在线段BC上时,线段BE与CD的数量关系为BE=√2CD;【类比探究】(2)当点D在线段BC的延长线上时,先在图2中补全图形,再探究线段BE与CD 的数量关系并证明;【联系拓广】(3)若AC=BC=1,CD=2,请直接写出sin∠ECD的值.【解析】(1)如图,过点E作EM⊥CB延长线于点M由旋转得AD=DE,∠ADE=90°∴∠ADC+∠EDM=90°∵∠ACB=90°∴∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°∴∠CAD=∠EDM∴△ACD≌△DME(AAS)∴CD=EM,AC=DM∵AC=BC,∴BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD,∴BM=EM∵EM⊥CB,∴BE=√2EM=√2CD.(2)补全图形如图,BE=√2CD,理由如下:过点E作EM⊥BC于点M,由旋转得AD=DE,∠ADE=90°∴∠ADC+∠EDM=90°∵∠ACB=90°∴∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°∴∠CAD=∠EDM∴△ACD≌△DME(AAS)∴CD=EM,AC=DM∵AC=BC∴DM=BC∴DM-CM=BC-CM∴CD=BM,∴EM=BM∵EM⊥CB∴BE=√2EM=√2CD;(3)如图,过点E作EM⊥CB延长线于点M由(2)得DM=AC=1,EM=CD=2,∴CM=CD+DM=3,∴CE=√CM2+EM2=√13∴sin∠ECD=EMCE =√13=2√1313.当点D在BC延长线上时,过点E作EM⊥CB于点M同理可得△ACD≌△DME∴DM=AC=1,ME=CD=2∴CM=2-1=1第 11 页 共 11 页 ∴CE =√22+12=√5 ∴sin ∠ECD =EM CE =√5=2√55 综上,sin ∠ECD =2√1313或2√55.。
2019-2020学年九年级数学中考复习第19课时 三角形及其全等 课后训练试题(无答案)
第19课时 三角形及其全等 课时作业1．在△ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( )A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90°2．如图，点D 、E 分别是△ABC 边BA 、BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为( )A ．2B .43C ．3D .323．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，若∠A ＝54°，∠B ＝46°.则∠CDE 的大小为( )A ．45°B ．40°C ．39°D ．35°4．如图，DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且AC ＝8，BC ＝5，则△BEC 的周长是( )A ．12B ．13C ．14D ．155．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的距离等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E .若AD ＝3 cm ，则BE 的长为( )A .332 cmB ．4 cmC ．3 2 cmD ．6 cm7．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A ＝60°，则∠BEC 是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8．如图，△ABC ≌△DEC ，B ，C ，D 在同一直线上，且CE ＝3 cm ，CD ＝6 cm ，则BD 的长为( )A ．9 cmB ．6 cmC ．3 cmD ．不确定9．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，无法判定△ABC ≌△DEF 的是( )A ．∠A ＝∠DB ．AC ＝DF C ．AB ＝ED D ．BF ＝EC10．如图，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝EF ，FC ∥A B.若AB ＝4，CF ＝3，则BD 的长是( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．211．如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM .下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BM C.其中正确的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．112．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝( )A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB13．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E.若DE＝1，则BC的长为( )A．2＋2 B.2＋3C．2＋3D．314．如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC ≌△DEF，则还需添加的一个条件是______________(只填一个即可)．15．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D；②AC＝DB；③AB＝DC，其中能确定△ABC≌△DCB的是_______(只填序号)．16．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝．17．用三角板作ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是（）A B C D18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DE C.若AB＝6，则CD＝________.19．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG＝1，则AD＝________．20．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB 与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①21．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：BD＝CE.22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.(1)求证：∠C＝∠BAD；(2)求证：AC＝EF.24．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．（3）如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．。
2019年中考数学总复习第四单元三角形课时训练20等腰三角形练习
1 课时训练(二十) 等腰三角形 (限时:30分钟)
|夯实基础| 1.如图K20-1,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为 ( )
图K20-1 A.50° B.51° C.51.5° D.52.5° 2.[2017·南充] 如图K20-2,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为 ( )
图K20-2 A.(1,1) B.(,1) C.(,) D.(1,) 3.[2017·雅安] 一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周长是 ( )
A.12 B.13 C.14 D.12或14 4.[2018·淄博] 如图K20-3,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,2
且MN平分 ∠AMC,若AN=1,则BC的长为 ( )
图K20-3 A.4 B.6 C.4 D.8 5.[2017·天津] 如图K20-4,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于
BP+EP最小值的是 ( )
图K20-4 A.BC B.CE C.AD D.AC 6.[2016·无锡] 如图K20-5,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB
边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是 ( )
图K20-5 3
A. B.2 C.3 D.2 7.[2018·临沂] 如图K20-6,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是 ( )
图K20-6 A. B.2 C.2 D. 8.[2016·淮安] 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是 . 9.[2018·吉林] 我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( )A.12B.9C.12或9D.9或72.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )A.36°B.60°C.72°D.108°4.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )A.10°B.15°C.20°D.25°5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )A.BD＝CEB.AD＝AEC.DA＝DED.BE＝CD6.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )A.有一个内角是60°B.有一个外角是120°C.有两个角相等D.腰与底边相等7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.150°8.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A.(1，1)B.(3，1)C.(3，3)D.(1，3)9.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B为( )A.75°B.76°C.77°D.78°10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.12 cm二、填空题11.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．12.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3，AE＝4，则AC＝.13.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为.14.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝________.15.已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为．16.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨，同“蝶”)，如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP.若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为.三、解答题17.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.18.如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.（1）求证：CF∥AB；（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数.19.如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数.20.如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°.(1)若∠1＝50°，求∠2；(2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3.21.如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，点H是BC 边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．(1)求证：△ADC≌△FDB；(2)求证：CE＝12BF；(3)判断△ECG的形状，并证明你的结论；22.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别在直线AB、直线AC上，且AE＝BD．(1)当点D、E分别在边AC、边AB上时，如图1所示，EB与CD相交于点G，求∠CGE 的度数；(2)当点D、E分别在边CA、边AB的延长线上时，如图2所示，∠CGE的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出∠CGE的度数．答案1.A2.D3.C4.C.5.C6.C7.A8.D9.D10.C.11.答案为：100°.12.答案为：7.13.答案为：40°.14.答案为：75°15.答案为：72°.16.答案为：20°.17.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°∵DC＝DB∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.18.（1）证明：∵AC＝BC∴∠B＝∠BAC∵∠ACE＝∠B+∠BAC∴∠BAC＝12∠ACE∵CF平分∠ACE∴∠ACF＝∠ECF＝12∠ACE∴∠BAC ＝∠ACF∴CF ∥AB ；（2）解：∵∠BAC ＝∠ACF ，∠B ＝∠BAC ，∠ADF ＝∠B ∴∠ACF ＝∠ADF∵∠ADF+∠CAD+∠AGD ＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF ＝180° 又∵∠AGD ＝∠CGF∴∠F ＝∠CAD ＝20°.19.证明：(1)∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ，∠ABE ＋∠EBC ＝60°.∵△BEF 是等边三角形∴EB ＝BF ，∠CBF ＋∠EBC ＝60°.∴∠ABE ＝∠CBF.在△ABE 和△CBF 中⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF EB ＝BF ，∴△ABE ≌△CBF(SAS).∴AE ＝CF.(2)∵等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线∴∠BAE ＝30°，∠ACB ＝60°.∵△ABE ≌△CBF∴∠BCF ＝∠BAE ＝30°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝30°＋60°＝90°.20.解：(1)∵△ABC 是等边三角形∴∠B ＝∠A ＝∠C ＝60°∵∠B ＋∠1＋∠DEB ＝180°∠DEB ＋∠DEF ＋∠2＝180°∵∠DEF ＝60°∴∠1＋∠DEB ＝∠2＋∠DEB∴∠2＝∠1＝50°；(2)连接DF∵DF∥BC∴∠FDE＝∠DEB∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠FDE＋∠3＋∠DEF＝180°∵∠B＝60°，∠DEF＝60°∴∠1＝∠3.21.证明：(1)∵AB＝BC，BE平分∠ABC∴BE⊥AC，CE＝AE∵CD⊥AB∴∠ACD＝∠DBF在△ADC和△FDB中∴△ADC≌△FDB(ASA)；(2)∵△ADC≌△FDB∴AC＝BF又∵CE＝AE∴CE＝12BF；(3)△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点∴GH垂直平分BC∴GC＝GB∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°又∵BE⊥AC∴△ECG为等腰直角三角形.22.(1)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°在△ABE和△BCD中AE＝BD,∠A＝∠DBC,AB＝BC∴△ABE≌△BCD∴∠ABE＝∠BCD∵∠ABE＋∠CBG＝60°∴∠BDG＋∠CBG＝60°∵∠CGE＝∠BCG＋∠CBG∴∠CGE＝60°；(2)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°∴∠EAB＝∠CBD＝120°在△ABE和△BCD中AB＝BC,∠EAB＝∠CBD,AE＝BD∴△ABE≌△BCD(SAS)∴∠D＝∠E∵∠ABE＝∠DBG，∠CAB＝∠E＋ABE＝60°∴∠CGE＝∠D＋∠DBG＝60°．。
2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析
2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析一、单选题（共12题；共24分）1、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A、25B、30C、45D、603、如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形。
则A，B，C，D的面积的和等于 ()A、B、C、D、4、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为( )A、2B、2.4C、2.6D、35、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A、15 dmB、20dmC、25dmD、30dm6、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A、B、C、3D、47、直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为()A、B、C、D、8、如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC ，若AD=6，则CD是（）A、1B、2C、3D、49、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A、②③B、③④C、①②④D、②③④10、（xx•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（xx•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、（xx•黔东南州）xx年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A、13B、19C、25D、169二、填空题（共5题；共6分）13、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是________，对角线的长是________．14、如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于________.15、（xx•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=________．16、（xx•贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．17、（xx•张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm ．三、解答题（共2题；共10分）18、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B 的度数．19、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E，D分别为边AB，AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．四、综合题（共5题；共65分）20、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.21、（xx•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n 的值．22、（xx•贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．23、（xx•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）24、（xx•义乌）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．(1)分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q 是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。
福建省2019年中考数学总复习第四单元三角形课时训练20等腰三角形练习
课时训练20 等腰三角形限时：30分钟夯实基础1．如图K20－1，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()图K20－1A．5 B．6 C．8 D．102．已知实数x，y满足|x－3|＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A．12或15 B．12 C．15 D．以上答案均不对3．[xx·荆州]如图K20－2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为()图K20－2A．30°B．45°C．50°D．75°4．[xx·枣庄]如图K20－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为()A．15 B．30 C．45 D．605．[xx·桂林]如图K20－4，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是．图K20－46．[xx·长春]如图K20－5，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为度．图K20－57．[xx·镇江]如图K20－6，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．(1)求证：△ABE≌△ACF；(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝°．8．[xx·绍兴]数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题．(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A ＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．能力提升9．[xx·宁德质检]如图K20－7，已知等腰三角形ABC，AB＝BC，D是AC上一点，线段BE与BA关于直线BD 对称，射线CE交射线BD于点F，连接AE，AF，则下列关系式正确的是()图K20－7A．∠AFE＋∠ABE＝180°B．∠AEF＝∠ABCC．∠AEC＋∠ABC＝180°D．∠AEB＝∠ACB10．[xx·吉林]我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k ＝，则该等腰三角形的顶角为度．11．[xx·青海]如图K20－8，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠BAC＝25°，则∠BAD＝．图K20－812．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．13．如图K20－9，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，FE＝FD．求证：AD＝CE．图K20－9拓展练习14．[xx·厦门质检]在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿∠B的平分线折叠，使点A落在BC边上的点D处，设折痕交AC边于点E，继续沿直线DE折叠，若折叠后，BE与线段DC相交，且交点不与点C重合，则∠BAC的度数应满足的条件是．15．[xx·青海]请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题．(1)探究1：如图K20－10，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为a2．(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)图K20－10(2)探究2：如图K20－11，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．图K20－11(3)探究3：如图K20－12，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．图K20－12参考答案1．C2．C3．B[解析] 根据三角形的内角和定理，求出∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠ABD＝∠A＝30°，从而得出∠CBD＝45°．4．B[解析] 由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD 的面积＝AB·DE＝×15×4＝30．故选B．5．3[解析] ∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC ＝36°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴△BCD是等腰三角形，又∵∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形，故有3个等腰三角形．6．37[解析] ∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ACB＝(180°－32°)÷2＝74°，由尺规作图知，CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，又∵∠CBD＋∠CDB＝∠ACB，∴∠CDB＝∠ACB＝37°．7．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF．在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF．(2)758．解：(1)当∠A为顶角时，∠B＝50°，当∠A为底角时，若∠B为顶角，则∠B＝20°，若∠B为底角，则∠B＝80°，∴∠B＝50°或20°或80°．(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个．②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝°，若∠A为底角，则∠B＝x°或∠B＝(180－2x)°，当≠180－2x且≠x且180－2x≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上①②，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．9．B10．36[解析] 如图，在△ABC中，AB＝AC，设∠A＝α，则∠B＝∠C＝(180°－α)，由k＝，可得(180°－α)＝2α，解出α＝36°．11．70°[解析] ∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝25°＋45°＝70°．12．69°或21°13．证明：如图，过点D作DM∥BE，交AC于点M．则有∠MDF＝∠E．在△MDF与△CEF中，∵∠MFD＝∠CFE，FD＝FE，∠MDF＝∠E，∴△MDF≌△CEF，∴DM＝CE．∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DM∥BC，∴∠ADM＝∠B＝60°，∠AMD＝∠ACB＝60°，∴△ADM为等边三角形，∴DM＝AD，∴AD＝CE．14．100°＜∠BAC＜180°15．解：(1)证明：如图，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠A＝45°，又∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝45°，∴∠EDB＝45°，∴∠A＝∠DBE，∠ABC＝∠BDE，由旋转得AB＝DB，∴△ABC≌△BDE(ASA)，∴DE＝BC＝a，∴S△BCD＝×BC×DE＝a2．(2)S△BCD＝a2，理由：如图，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E．∴∠BED＝∠ACB＝90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB＝BD，∠ABD＝90°．∴∠ABC＋∠DBE＝90°．∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，∴△ABC≌△BDE(AAS)．∴BC＝DE＝a．∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a2．(3)如图，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．∴∠FAB＋∠ABF＝90°．∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB＝BD．在△AFB和△BED中，∴△AFB≌△BED(AAS)，∴BF＝DE＝a．∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a×a＝a2．∴△BCD的面积为a2．。
江苏省中考数学复习三角形第19课时等腰三角形练习含解析
第四章三角形第19课时等腰三角形1. (2016赤峰)等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( )A. 30°，60°B. 45°，45°C. 45°，90°D. 20°，70°2. (2016枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于( )A. 15°B. 17.5°C. 20°D. 22.5第2题图第3题图3. (2015陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4. (2016杭州)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( )A. m2＋2mn＋n2＝0B. m2－2mn＋n2＝0C. m2＋2mn－n2＝0D. m2－2mn－n2＝05. (2016安顺)已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对6. (2016邵阳)如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是( )A. AC＞BCB. AC＝BCC. ∠A＞∠ABCD. ∠A＝∠ABC第6题图7. (2017原创)如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝( )A. 30°B. 20°C. 25°D. 15°第7题图第8题图8. (2016漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数．．．，则点D的个数共有( )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个9. (2016武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 810. (2016河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上第10题图第12题图 11. (2016内江)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( ) A. 32 B. 332 C. 32D. 不能确定 12. (2016遵义)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝________度．13. (2016福州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD . (1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．第13题图答案1. B 【解析】∵三角形的内角和为180°，∴90°的角为等腰三角形的顶角，∴两底角的和为180°－90°＝90°，∴两个底角分别为45°，45°.2. A 【解析】∵AB ＝AC ，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12×(180°－30°)＝75°，∴∠ACE ＝180°－75°＝105°，∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，∴∠DBC ＝12×75°＝37.5°，∠DCE ＝12×105°＝52.5°，∴∠D ＝∠DCE －∠DBC ＝52.5°－37.5°＝15°.3. D 【解析】∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴BD ＝AD ，∴△ABD 是等腰三角形．在△BCD 中，∵∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴BD ＝BC ，∴△BCD 是等腰三角形．∵BE ＝BC ，∴BD ＝BE ，∴△BDE 是等腰三角形，∴∠BED ＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE ＝∠BED －∠A ＝72°－36°＝36°，∴∠A ＝∠ADE ，∴DE ＝AE ，∴△ADE 是等腰三角形，∴图中的等腰三角形有5个．4. C 【解析】根据题意，画图如解图：则AC ＝m ，BC ＝n ，AC ＝CD ＝m ，AD ＝BD ＝n －m ，根据勾股定理，得AC 2＋CD 2＝AD 2，即m 2＋m 2＝(n －m )2，2m 2＝n 2＋m 2－2mn ，整理得：m 2＋2mn －n 2＝0.第4题解图5. B 【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.又∵以4，8为等腰三角形的边长，∴分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.6. A 【解析】在△DBC 中，BD ＋DC ＞BC ，∵AD ＝BD ，∴AD ＋DC ＞BC ，即AC ＞BC ，故A 正确，B 错误；∵AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ，∵∠ABC ＞∠ABD ，∴∠ABC ＞∠A ，故C ，D 错误．7. D 【解析】∵AD 是等边三角形ABC 的中线，∴∠CAD ＝30°，AD ⊥BC ，∵AE ＝AD ，∴△ADE 是等腰三角形，∴∠ADE ＝∠AED ＝12(180°－∠EAD )＝75°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－75°＝15°.8. C 【解析】如解图，当AD ⊥BC 时，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝4，∴AD ＝AB 2－BD 2＝3；又∵AB ＝AC ＝5，∴在BD 和CD 之间一定存在AD ＝4的两种情况，∴点D 的个数共有3个．第8题解图9. A 【解析】分三种情况讨论，①当AC ＝AB 时，满足条件的C 点只有(0，0)点一个；②当BC ＝BA 时，满足条件的C 点有两个，分别为：(4＋22，0)和(4－22，0)；③当CA ＝CB 时，满足条件的C 点有两个，分别为：(2，0)和(0，－2)．综上，满足条件的C 点共有5个，故选A .10. D 【解析】如解图，当OM 1＝2，点N 1与点O 重合时，△PM 1N 1是等边三角形；当ON 2＝2，点M 2与点O 重合时，△PM 2N 2是等边三角形；当点M 3，N 3分别是OM 1，ON 2的中点时，△PM 3N 3是等边三角形；当取∠M 1PM 4＝∠OPN 4时，易证△M 1PM 4≌△OPN 4，∴PM 4＝PN 4，又∵∠M 4PN 4＝60°，∴△PM 4N 4是等边三角形，∴此时点M ，N 有无数个，综上所述，故选D .第10题解图11. B 【解析】如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H .则BH ＝32，AH ＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC .∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH .∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332.第11题解图12. 35 【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝110°，∴∠A ＝∠C ＝35°，∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠ABD ＝∠A ＝35°.13. 解：(1)AD 2＝AC ·CD .∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52. ∵AC ＝1，∴CD ＝AC －AD ＝1－5－12＝3－52， ∴AD 2＝AC ·CD .(2)∵AD 2＝AC ·CD ，∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CD BC， 又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC ， ∴AB BD ＝AC BC ， 又∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝AD .∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC .设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°.解得x ＝36°，∴∠ABD ＝36°.。
2019年中考数学总复习 第四单元 课时训练(十九)锐角三角函数及其应用练习
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……课时训练(十九)锐角三角函数及其应用(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2018·滨州]在△ABC中,∠C=90°,若tan A=,则sin B= .2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A=;②cos B=;③tan A=;④tan B=.其中正确的结论是(只需填上正确结论的序号).3.[2018·湖州]如图K19-1,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=,AC=6,则BD的长是.图K19-14.[2018·枣庄]如图K19-2,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度为米.(精确到0.1米)(参考数据:sin31°≈0.515,cos31°≈0.857,tan31°≈0.601)图K19-25.如图K19-3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是()图K19-3A.sin B=B.sin B=C.sin B=D.sin B=6.如图K19-4,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为()图K19-4A.1200 mB.1200 mC.1200 mD.2400 m7.[2018·金华、丽水]如图K19-5,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为()图K19-5A.B.C.D.8.如图K19-6,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针旋转60°到△AB'C'的位置,连接C'B,则C'B 的长为()图K19-6A.2-B.C.-1D.19.[2017·绵阳]为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺.先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B.测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm,镜面中心C距旗杆底部D的距离为4 m,如图K19-7所示,已知小丽同学的身高是1.54 m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm,则旗杆的高度等于()图K19-7A.10 mB.12 mC.12.4 mD.12.32 m10.[2017·重庆B卷]如图K19-8,已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上),某同学从点C 出发,沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处.斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°,则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米,参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364) ()图K19-8A.29.1米B.31.9米C.45.9米D.95.9米11.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园,如图K19-9,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)图K19-912.[2017·丽水]如图K19-10是某小区的一个健身器材,已知BC=0.15 m,AB=2.70 m,∠BOD=70°,求端点A到地面CD 的距离(精确到0.1 m).(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)图K19-1013.[2018·曲靖罗平县模拟]如图K19-11,在航线l的两侧分别有观测点A和B,点B到航线l的距离BD为4 km,点A 位于点B北偏西60°方向且与B相距20 km处,现有一艘轮船从位于点A南偏东75°方向的C处,沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向的E处,求这艘轮船的航行路程CE的长度.(精确到0.1 km,参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)图K19-11|拓展提升|14.已知α,β均为锐角,且满足sinα-+=0,则α+β= .15.[2017·舟山]如图K19-12,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=,tan∠BA3C=,计算tan∠BA4C= ,…,按此规律,写出tan∠BA n C= (用含n的代数式表示).图K19-12参考答案1.[解析] 设BC=x,则AC=2x,根据勾股定理可知AB=x,故sin B===.2.②③④[解析] 因为∠C=90°,AB=2BC,所以该直角三角形是含30°角的直角三角形,故BC∶AB∶AC=1∶2∶.令BC=1,AB=2,AC=,作出图形.①sin A==;②cos B==;③tan A==;④tan B==.故答案为②③④.3.2[解析] ∵菱形的对角线互相垂直,∴AC⊥BD.∵tan∠BAC=,∴=.∵AC=6,∴AO=3,∴BO=1,∴BD=2BO=2.故填2.4.6.2[解析] =sin∠BAC,即=sin31°,BC≈12×0.515=6.18≈6.2(米),故填6.2.5.C6.D[解析] ∵∠α=30°,∴∠ABC=30°.又∵∠C=90°,∴AB=2AC=2400 m.7.B[解析] 由锐角三角函数的定义,得AB=,AD=,∴AB与AD的长度之比为,故选B.8.C9.B10.A[解析] 过点D作DE⊥BC,垂足为E,解直角三角形CDE得:DE=75,CE=180,根据BC=306可求得BE=126,过A作AF⊥DE于点F,所以AF=BE=126米,∵∠DAF=20°,根据tan20°≈0.364,即==0.364,求得DF=45.864米,∴AB=75-DF≈29.1(米).11.解:如图,作AD⊥BC于点D,BH⊥水平线于点H.由题意得∠ACH=75°,∠BCH=30°,AB∥CH,∴∠ABC=30°,∠ACB=45°.∵AB=4×8=32(米),∴AD=CD=AB·sin30°=16(米),BD=AB·cos30°=16(米).∴BC=CD+BD=16+16(米).∴BH=BC·sin30°=8+8(米).故这架飞机的飞行高度是(8+8)米.12.[解析] 过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,构造Rt△ABF,运用解直角三角形的知识求出AF,进而求出AE得出结果.解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,∵OD⊥CD,∴AE∥OD,∴∠A=∠BOD=70°,在Rt△ABF中,AB=2.70,∴AF=2.70×cos70°≈2.70×0.34=0.918,∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1(m).答:端点A到地面CD的距离约是1.1 m.13.解:如图,在Rt△BDF中,∵∠DBF=60°,BD=4 km,∴BF==8(km).∵AB=20 km,∴AF=12 km,∵∠AEF=∠BDF,∠AFE=∠BFD,∴△AEF∽△BDF,∴=,∴AE=6 km,在Rt△ACE中,CE=AE·tan75°≈22.4(km).故这艘轮船的航行路程CE的长度约是22.4 km.14.75°15.[解析] 过点C作CH⊥BA4于H,由勾股定理得BA4==, A4C==,∵△BA4C的面积=4-×1×4-×1×3=,∴×CH=,∴CH=,则A4H==,∴tan∠BA4C===.∵1=12-1+1,3=22-2+1,7=32-3+1,13=42-4+1, ∴tan∠BA n C=.。
江苏省徐州市2019年中考数学总复习 第四单元 三角形 课时训练20 等腰三角形练习
课时训练(二十)等腰三角形(限时:30分钟)|夯实基础|1.如图K20-1,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为 ()图K20-1A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°2.[2017·南充]如图K20-2,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()图K20-2A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(1,)3.[2017·雅安]一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周长是()A.12B.13C.14D.12或144.[2018·淄博]如图K20-3,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为()图K20-3A.4B.6C.4D.85.[2017·天津]如图K20-4,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()图K20-4A.BCB.CEC.ADD.AC6.[2016·无锡]如图K20-5,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是( )图K20-5A. B.2 C.3 D.27.[2018·临沂]如图K20-6,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是()图K20-6A. B.2C.2D.8.[2016·淮安]已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是.9.[2018·吉林]我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k,若k=,则该等腰三角形的顶角为度.10.[2016·泰州]如图K20-7,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于.图K20-711.[2018·遵义]如图K20-8,△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点,若∠CAE=16°,则∠B为度.图K20-812.[2018·宁波]如图K20-9,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD 绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.图K20-913.[2018·武汉]如图K20-10,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.图K20-10|拓展提升|14.[2018·绵阳]如图K20-11,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若AE=,AD=,则两个三角形重叠部分的面积为()图K20-11A. B.3-C.-1D.3-15.[2017·连云港]如图K20-12,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图K20-12参考答案1.D[解析] ∵AC=CD=BD=BE,∠A=50°,∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED.∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°,∴∠B=25°.∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°,∴∠BDE=∠BED=(180°-25°)=77.5°,∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°,故选D.2.D[解析] 过点B作BC⊥OA于点C,则OC=1,BC===.∴点B的坐标为(1,).故选D.3.C[解析] 一元二次方程x2-7x+12=0的两根分别为3,4,所以腰长有两种情况:①腰长为3,底边长为6,此时三角形三边关系为3+3=6,不符合“三角形任意两边之和大于第三边”,故不成立;②腰长为4,此时三角形三边符合“三角形任意两边之和大于第三边”,所以周长为4+4+6=14.4.B[解析] ∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB,∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC,∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠AMC,∴∠AMN=∠ACB=∠ANM,∵∠A=90°,∴∠AMN=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3,∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故选B.5.B[解析] 由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一”可知点B与点C关于直线AD对称,连接CP,则BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE,故选B.6.A[解析] ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴∠A=90°-∠ABC=60°,AB=4,BC=2.∵CA=CA1,∴△ACA1是等边三角形,AA1=AC=BA1=2,∴∠BCB1=∠ACA1=60°.∵CB=CB1,∴△BCB1是等边三角形,∴BB1=2,∴BD=DB1=,又∵BA1=2,∠A1BB1=90°,∴A1D==.故选A.7.B[解析] ∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC+∠DCA=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB+∠DCA=90°,∴∠DAC=∠ECB,又∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴CE=AD=3,CD=BE=1,∴DE=CE-CD=3-1=2,故选B.8.10[解析] 因为2+2=4,所以等腰三角形的腰的长度是4,底边长为2,周长=4+4+2=10.9.36[解析] 如图,在△ABC中,AB=AC,设∠A=α,则∠B=∠C=(180°-α),由k=,可得(180°-α)=2α,解出α=36°.10.20°[解析] 过点A作AD∥l1,如图,则∠BAD=∠α=40°.∵l1∥l2,∴AD∥l2.∴∠DAC=∠β.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠β=∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°.11.37[解析] 因为AD=AC,E为CD的中点,所以∠DAC=2∠CAE=32°,所以∠ADC=(180°-∠DAC)=74°,因为BD=AD,所以∠B=∠ADC=37°.12.解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,∴∠DCE=90°,CD=CE.又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∵∴△ACD≌△BCE.(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°,∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°.又AD=BF,∴BE=BF,∴∠BEF=∠BFE==67.5°.13.证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,∴BF=CE.在△ABF和△DCE中,∴△ABF≌△DCE,∴∠1=∠2,∴GE=GF.14.D[解析] 过点A作AF⊥CE于点F,设AB与CD的交点为M,过点M作MN⊥AC于点N,如图所示.∵△ECD为等腰直角三角形,CE=CD,∴∠E=45°.∵AE=,AD=,∴AF=EF=1,CE=CD==1+,∴CF=,∴AC==2,∠ACF=30°,∴∠ACD=60°.设MN=x,∵△ABC为等腰直角三角形,CA=CB,∴∠CAB=45°,∴AN=MN=x,又∵CN==x,∴AC=AN+CN=x+x=2,解得x=3-,∴S阴影=S△ACM=×AC×MN=3-.故选D.15.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下:经典资料因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,所以△ABE≌△ACD.所以∠ABE=∠ACD.(2)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.经典资料一。
北京市中考数学复习三角形课时训练十九等腰三角形24含答案
课时训练(十九) 等腰三角形(限时:40分钟)|夯实基础|1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°2.如图K19-1,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()图K19-1A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE3.[2017·昌平二模]如图K19-2,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=55°,点D是斜边AB的中点,那么∠ACD的度数为()图K19-2A.15°B.25°C.35°D.45°4.如图K19-3,AB∥CD,AC的垂直平分线交CD于点F,交AC于点E,连接AF.若∠BAF=80°,则∠CAF的度数为()图K19-3A.40°B.50°C.60°D.80°5.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边长的取值范围是()A.1 cm<AB<4 cmB.5 cm<AB<10 cmC.4 cm<AB<8 cmD.4 cm<AB<10 cm6.[2017·门头沟二模]如图K19-4,在△ABC中,点D是BC边上一点且CD=CA,过点A作MN∥BC,∠CAN=48°,∠B=41°,则∠BAD=()图K19-4A.23°B.24°C.25°D.26°7.[2018·凉山州]如图K19-5,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交BC于D,连接AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C=()图K19-5A.70°B.60°C.50°D.40°8.[2018·师达中学月考]已知△ABC是等边三角形,边长为4,则BC边上的高是()A.4B.2C.2D.9.等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是.10.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边长为.11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为.12.[2018·房山一模]一个正方形和两个等边三角形的位置如图K19-6所示,则∠1+∠2+∠3的度数为.图K19-613.在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= .14.[2018·义乌]等腰三角形ABC中,顶角∠A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为.15.[2018·丰台一模]如图K19-7,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.图K19-716.[2018·通州一模]已知:如图K19-8,在△ABC中,∠B=45°,点D是BC边的中点,DE⊥BC于点D,交AB于点E,连接CE.(1)求∠AEC的度数;(2)请你判断AE,BE,AC三条线段之间的等量关系,并证明你的结论.图K19-8|拓展提升|17.[2018·延庆期末]如图K19-9,等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边的中线,点E是AC边的中点.如果点P是AD 上的动点,那么EP+CP的最小值为.18.[2018·东城二模]如图K19-10所示,点P位于等边三角形ABC的内部,且∠ACP=∠CBP.图K19-10(1)∠BPC的度数为°;(2)延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD.①依题意补全图形;②证明:AD+CD=BD;(3)在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.1.D2.C [解析] ∵△ABC 是等腰三角形,AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB.又∵BC=BE ,∴∠ACB=∠BEC ,∴∠BAC=∠EBC ,因此选C .3.C4.B5. B [解析] ∵在等腰三角形ABC 中,AB=AC ,其周长为20 cm,∴设AB=AC=x cm,则BC=(20-2x )cm,∴解得5<x<10.故选B .6.C7.C8.B9.100° [解析] 根据三角形的内角和等于180°,又等腰三角形的一个内角为100°,所以这个100°的内角只能是顶角,故填100°. 10.5,5或6,411.63°或27° [解析] 在三角形ABC 中,设AB=AC ,BD ⊥AC 于点D.①如图①,若三角形是锐角三角形,∠A=90°-36°=54°,此时底角=(180°-54°)÷2=63°;②如图②,若三角形是钝角三角形,∠BAC=36°+90°=126°,此时底角=(180°-126°)÷2=27°.所以等腰三角形底角的度数是63°或27°. 12.150°13.2[解析] 如图,过点C作CG⊥AB,垂足为G,连接AD,则AG=BG=2.∴CG===2.∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴AB×DE+AC×DF=AB×CG.∴×4×DE+×4×DF=×4×CG.∴DE+DF=CG=2.14.30°或110°[解析] 根据题意作出图形(如图),当点P在AB右侧时,连接AP.∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ABC=∠C=70°,∵AB=AB,AC=PB,BC=PA,∴△ABC≌△BAP,∴∠ABP=∠BAC=40°,∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=30°.当点P'在AB左侧时,同理可得∠ABP'=40°,∴∠P'BC=40°+70°=110°.故答案为30°或110°.高效复习15.证明:连接AD.∵AB=AC,D是BC边上的中点,∴∠BAD=∠CAD.∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.16.解:(1)∵点D是BC边的中点,DE⊥BC,∴DE是BC的垂直平分线.∴EB=EC.∴∠B=∠BCE.∵∠B=45°,∴∠AEC=90°.(2)AE2+BE2=AC2.证明:∵∠AEC=90°,∴△AEC是直角三角形.∴由勾股定理,得AE2+EC2=AC2.∵ED垂直平分BC,∴EB=EC.∴AE2+BE2=AC2.17.318.解:(1)120(2)①如图所示.②证明:在等边三角形ABC中,∠ACB=60°,∴∠ACP+∠BCP=60°.∵∠ACP=∠CBP,∴∠CBP+∠BCP=60°.∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=120°.∴∠CPD=180°-∠BPC=60°.∵PD=PC,∴△CDP为等边三角形.∵∠ACD+∠ACP=∠ACP+∠BCP=60°,∴∠ACD=∠BCP.在△ACD和△BCP中,∴△ACD≌△BCP(SAS).∴AD=BP.∴AD+CD=BP+PD=BD.(3)如图,作BM⊥AD于点M,BN⊥DC交DC的延长线于点N.∵∠ADB=∠ADC-∠PDC=60°,∴∠ADB=∠CDB=60°.∴BM=BN=BD=.又由(2)得AD+CD=BD=2,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AD·BM+CD·BN=(AD+CD)=×2=.用心工作，快乐生活！（工作好，才有好的生活！）此文档可编辑，欢迎使用！~~~专业文档，VIP专享。
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1
课时训练(十九) 等腰三角形
(限时:30分钟)
|夯实基础|
1.若等腰三角形的顶角为50°,则它的底角度数为 ( )
A.40° B.50° C.60° D.65°
2.等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则它的周长为 ( )
A.16 cm B.17 cm
C.20 cm D.16 cm或20 cm
3.[2018·福建A卷] 如图K19-1,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于
( )
图K19-1
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.[2018·雅安] 已知:如图K19-2,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,BC=,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D,则
线段AD的长为 ( )
图K19-2
A.2 B.2 C. D.
2
5.[2018·凉山州] 如图K19-3,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于AB长为半径作弧,两弧相交于
M,N两点;②作直线MN交BC于D,连接AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C= (
)
图K19-3
A.70° B.60° C.50° D.40°
6.如图K19-4,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线
段MN的长为( )
图K19-4
A.6 B.7 C.8 D.9
7.[2018·绥化] 已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为 .
8.[2018·张家界] 如图K19-5,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠
B
的度数为 .
图K19-5
9.[2018·宁波] 如图K19-6,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段
CD
绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
3
图K19-6
|拓展提升|
10.[2017·淄博] 在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为
E,F,则DE+DF= .
4
参考答案
1.D 2.C
3.A [解析] ∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=
60°,
∵AD⊥BC,∴BD=CD,AD是BC
的垂直平分线,
∴BE=CE
,
∴∠EBC=∠ECB=
45°,
∴∠ECA=60°-45°=15°.
4.C [解析] 在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,所以∠ABC=72°,∠A=36°,因为BC=BD,所以∠BDC=72°,所以∠ABD=36°,
所以AD=BD=BC=,故选C.
5.C [解析] 由作图可知MN为线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠DAB=∠B=25°,∵∠CDA为△ABD的一个外角,∴∠
CDA=
∠DAB+∠B=50°.
∵AD=AC,∴∠C=∠CDA=50°.故选择C.
6.D [解析] ∵∠ABC,∠ACB的平分线相交于点E,∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB.
∵MN∥BC
,
∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB
,
∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN
,
∴BM=ME,EN=CN.
∵MN=ME+EN,∴MN=BM+CN.
∵BM+CN=
9,
∴MN=9,故选D.
7.50°或80° [解析] 当等腰三角形顶角的邻补角为130°时,顶角为180°-130°=50°;
5
当等腰三角形底角的邻补角为130°时,顶角为180°-2×(180°-130°)=80°.
故答案为50°或80°.
8.15° [解析] ∵△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE,
∴∠BAD=150°,△ABC≌△ADE,AB=AD
,
∴△BAD
是等腰三角形,
∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD)=15°.
9.解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,
∴∠DCE=90°,CD=CE.
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DCE
,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∵
∴△ACD≌△BCE.
(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=
45°,
∵△ACD≌△BCE
,
∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°.
又AD=BF,∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE==67.5°.
6
10.2 [解析] 如图,作AG⊥BC于G,
∵△ABC
是等边三角形,
∴∠B=
60°,
∴AG=AB=
2,
连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,
∴AB·DE+AC·DF=BC·AG
,
∵AB=AC=BC=
4,
∴DE+DF=AG=2.