2019年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第10节 变化率与导数、计算导数学案 理 北师大版
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算课件.ppt
称函数 f′(x)＝□9 __Δl_ixm→_0_______Δ_x_____为 f(x)的导函数，导函数有时也记作 y′。
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4．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c
f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx
f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f(x)＝ex
处的导数，记作
f′(x0)或
y′|x＝x ，即 0
f′(x0)＝lim
Δx→0
ΔΔyx＝□5
5
(2)几何意义
函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点□6 _(_x_0_，__f(_x_0)_)___ 处的□7 ___切__线__的__斜__率______。相应地，切线方程为□8 _y_－__y_0_＝__f′__(_x_0)_(_x_－_x_0_)__。
3
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
4
1．函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 fx2－fx1
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为□1 ____x_2－__x_1__，若 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)
Δy
－f(x1)，则平均变化率可表示为□2 __Δ__x____。
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5.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝□18 ___f′ __(_x_)_±_g_′__(x_)_____； (2)[f(x)g(x)]′＝□19 __f′__(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)g_′__(_x_)_； (3)gfxx′＝□20 _f_′__x__g_[_xg_－_x_f]_2x__g_′___x__(g(x)≠0)。
2019高三数学人教A版理一轮课件：第2章 第10节 变化率
fx0＋Δx－fx0 Δy lim lim Δx Δx→0 ＝ Δx→0 Δx
Δx→0
②几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在 点 (x0，f(x0)) 处的 切线斜率 ．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
fx＋Δx－fx lim Δx (2)函数 f(x)的导函数：称函数 f′(x)＝ Δx→0
[规律方法] 1.求函数导数的一般原则如下 1遇到连乘的形式，先展开化为多项式形式，再求导. 2遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导. 3遇到复杂分式，先将分式化简，再求导. 2.复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.
x x x x 3
1 2 2 (2)∵y＝x ＋1＋ 2，∴y′＝3x － 3. x x 1 1 (3)∵y＝x－ sin x，∴y′＝1－ cos x. 2 2
cos x ′ cos (4)y′＝ ex ＝
x′ex－cos xex′ ex2
sin x＋cos x ＝－ . ex
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ) ) ) )
(2)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函数值．( (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( (5)函数 f(x)＝sin(－x)的导数是 f′(x)＝cos x．( )
4．复合函数的导数 复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 的导数间的关系为 yx′ ＝ yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积．
超实用高考数学专题复习(北师大版)：第二章函数导数及其应用 导数的概念及运算定积分与微积分基本定理
挖掘2 根据导数的几何意义求解析式中的参数/ 互动探究
[例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为
y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
[解析] y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1， ∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1. 又∵切线方程为y＝2x＋b， ∴abe＝＋－1＝1，2，即a＝e－1，b＝－1.故选D. [答案] D
[四基自测]
1．(基础点：求导数值)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于( )
A．0
B．e
C．2e
D．e2
答案：C
2．(易错点：导数的运算)已知f(x)＝x·ln x，则f′(x)＝( )
mx A. x
B．x＋1
C.1x＋x 答案：D
D．ln x＋1
3．(基础点：求切线)函数f(x)＝x3在(0，0)处的切线为( )
A．不存在
B．x＝0
C．y＝0 答案：C
D．y＝x
4．(易错点：求切点)曲线y＝ex过点(0，0)的切线的斜率为________．
答案：e
考点一 导数的计算 挖掘1 求导函数值/ 自主练透 [例1] (1)设函数f(x)＝1－ex的图像与x轴交于P点(x0，y0)，则f′(x0)＝________． [解析] 令1－ex0＝0，∴x0＝0， 而f′(x)＝－ex，∴f′(x0)＝f′(0)＝－e0＝－1. [答案] －1
[解析] 对于①，由y＝x3，得y′＝3x2，则y′|x＝0＝0，直线y＝0是过点P(0，0)的曲 线C的切线，又当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，满足曲线C在P(0，0)附近位 于直线y＝0两侧，∴命题①正确；对于②，由y＝(x＋1)2，得y′＝2(x＋1)，则y′|x＝ －1＝0，而直线l：x＝－1斜率不存在，在点P(－1，0)处不与曲线C相切，
2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第十节变化率与导数、导数的运算课件理
( ( ( (
) ) ) ) )
(5)y＝cos 3x 由函数 y＝cos u，u＝3x 复合而成． (
答案：(1)×
(2)√
(3)√
(4)×
(5)√
2．已知 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝2，则 x0 等于 A．e2 ln 2 C. 2 B． e D．ln 2
1． 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)， 且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln x， 则 f′(1)＝ A．－e C．1 B．－1 D．e ( )
解析：由 f(x)＝2xf′(1)＋ln x， 1 得 f′(x)＝2f′(1)＋x. 所以 f′(1)＝2f′(1)＋1，则 f′(1)＝－1.
x
导函数
n· x f′(x)＝______
cos x f′(x)＝______
n－1
－sin x f′(x)＝_______
a ln a f′(x)＝_______
x e f′(x)＝___ x
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f(x)＝ln x
1 xln a f′(x)＝______ 1 x f′(x)＝_____
1 解析：设切点为(x0，y0)，则 f′(x0)＝－a· ex0＝－1， 1 ∴ex0＝a，又－a· ex0＝－x0＋1， ∴x0＝2，a＝e2.
答案：e2
课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一
导数的运算
[考什么·怎么考]
导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查 导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导 数的也极其罕见.因此，必须牢牢掌握导数的运算法则.
高考数学一轮复习第二篇第10节导数的概念与计算课件理新人教A版
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解：(1)∵y＝x12＋x5x＋2 sin x＝x－32＋x3＋sixn2 x， ∴y′＝(x－32)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′ ＝－32x－52＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x； (2)因为 y＝sin 2x(－cos 2x)＝－12sin x， 所以 y′＝(－12sin x)′＝－12(sin x)′＝－12cos x.
第二篇 函数、导数及其应用 (必修1、选修2-2)
第 10 节 导数的概念与计算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景． 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3.能根据导数的定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3， y＝ x的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的 导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax ＋b)的复合函数)的导数.
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【教材导读】 曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”有何不 同？ 提示：(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜 率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以 是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
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【即时训练】 求下列函数的导数： (1)y＝( x＋1) 1x－1； (2)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2； (3)y＝ee2xx＋＋ee－－x2x.
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解：(1)因为 y＝ x·1x－ x＋ 1x－1
＝－x12＋x－12，
所以 y′＝－(x12)′＋(x－12)′＝－12x－12－12x－32
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用
第十讲 函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二 走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值． 题组三 走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点 函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140， 即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值． 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)． 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。
高考数学一轮复习 第二章 第10讲 变化率与导数、导数
第二章 函数、导数及其应用 第10讲 变化率与导数、导数的计算一、必记3个知识点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数： 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x)′＝a xln_a ，(e x)′＝e x，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x. 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．二、必明3个易误区1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．考点一利用导数的定义求函数的导数利用导数的定义求函数的导数：(1)y ＝x 2； (2)f (x )＝1x ＋2. 解：(1)因为Δy Δx ＝fx ＋Δx －f x Δx ＝x ＋Δx 2－x 2Δx ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx2－x2Δx＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .(2)因为Δy Δx ＝fx ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋Δx ＋2－1x ＋2Δx ＝－1x ＋Δx ＋2x ＋2所以y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝－lim Δx →01x ＋Δx ＋2x ＋2＝－1x ＋22.[类题通法]定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )．二比：求平均变化率Δy Δx ＝fx ＋Δx －f xΔx.三极限：取极限，得导数y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx. 考点二导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝e x＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝e x＋1′e x－1－e x＋1e x －1′e x －12＝exe x －1－e x ＋1e x e x －12＝－2exe x －12.[类题通法]1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量． [针对训练]已知f (x )＝sin 2x ，记f n ＋1(x )＝f n ′(x )(n ∈N *)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋…＋f 2 013⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：由题意，可知f 2(x )＝f 1′(x )＝(sin 2x )′＝2cos 2x ；f 3(x )＝f 2′(x )＝(2cos 2x )′＝－4sin 2x ； f 4(x )＝f 3′(x )＝(－4sin 2x )′＝－8cos 2x ； f 5(x )＝f 4′(x )＝(－8cos 2x )′＝16sin 2x ；…故f 4k ＋1(x )＝24ksin 2x ，f 4k ＋2(x )＝24k ＋1cos 2x ，f 4k ＋3(x )＝－24k ＋2sin 2x ，f 4k ＋4(x )＝－24k ＋3cos 2x (k ∈N )．所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝20sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋21cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋…－22 010sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－22 011cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋22 012sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋22 013cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝(20－22＋24－26＋…＋22 008－22 010＋22 012)sin π3＋(21－23＋25－27＋…＋22 009－22 011＋22 013)cos π3＝1×[1－－22 1 007]1－－22×32＋2×[1－－22 1 007]1－－22×12＝1＋22 0145×32＋2×1＋22 0145×12＝3＋21＋22 01410答案：3＋21＋22 01410考点三导数的几何意义角度一 求切线方程1．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1 解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即3x －y －1＝0，故选A. 角度二 求切点坐标2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C 由题意知y ′＝3x＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．角度三 求参数的值3．(2014·郑州第一次质量预测)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选C ∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，且y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ×1＋1，3＝13＋a ×1＋b k ＝3×12＋a ，，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.[类题通法]导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．课后作业[试一试]1．(2013·江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：22．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x 做一做1．(2013·全国大纲卷)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( ) A ．9 B ．6 C ．－9 D ．－6解析：选D y ′＝4x 3＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.2．(2014·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 012＋ln x )，f ′(x 0)＝2 013，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B 由题意可知f ′(x )＝2 012＋ln x ＋x ·1x＝2 013＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 013，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.3．若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为( ) A ．(1,1) B ．(2,3) C ．(3,1) D ．(1,4) 解析：选A y ＝x 2＋a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y ′＝2x ＋ax≥22a ＝4，则a ＝2， 当且仅当x ＝1时等号成立，代入曲线方程得y ＝1，故所求的切点坐标是(1,1)． 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－45．(2014·黄冈一模)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)·(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.答案：－1206．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：∵(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.7．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．8．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154 D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.9．(2014·济南模拟)已知曲线y 1＝2－1x与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0的值为( )A ．－2B ．2 C.12D ．1解析：选D 由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 2，所以x 0＝1. 10．已知f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．11．已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，若函数f (x )的图像上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则m 的值为( )A ．－13B ．－12 C.13 D.12解析：选A ∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴过点P (1，m )的切线斜率k ＝f ′(1)＝－1－4a .又点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，∴－1－4a ＝3，∴a ＝－1，∴f (x )＝23x 3＋2x 2－3x .又点P 在函数f (x )的图像上，∴m ＝f (1)＝－13.12．(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________. 解析：因为y ′＝2ax －1x ，依题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12.答案：1213．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.14．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝503f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.答案：015．求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.16．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，又f (1)＝－1，得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0.曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)．又g (1)＝－6.得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．17．(2014·东营一模)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图像可以为( )解析：选C 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C.18．(2013·山西模拟)已知函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1，其导函数记为f ′(x )，则f (2 012)＋f ′(2 012)＋f (－2 012)－f ′(－2 012)＝________.解析：由已知得f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，则f ′(x )＝2＋cos xx 2＋1－2x ＋sin x ·2xx 2＋12令g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin xx 2＋1，显然g (x )为奇函数，f ′(x )为偶函数，所以f ′(2 012)－f ′(－2 012)＝0，f (2 012)＋f (－2 012)＝g (2 012)＋1＋g (－2 012)＋1＝2，所以f (2 012)＋f ′(2 012)＋f (－2 012)－f ′(－2 012)＝2.答案：2。
全国通用近年高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标13变化率与导数、导数的计算(202
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课时达标第13讲变化率与导数、导数的计算［解密考纲］本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算，所以它是导数中的基础；曲线的切线问题,有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．一、选择题1．若f(x）＝2xf′(1）＋x2，则f′(0）＝( D）A．2 B．0C．－2 D．－4解析f′（x）＝2f′(1）＋2x，令x＝1，则f′（1）＝2f′(1)＋2，得f′（1)＝－2,所以f′（0)＝2f′（1）＋0＝－4.2．在等比数列{a n｝中,a1＝2，a8＝4,f（x)＝x（x－a1)(x－a2)·…·(x－a8），f′(x）为函数f(x）的导函数，则f′（0)＝( D)A．0 B．26C．29D．212解析∵f(x）＝x（x－a1)(x－a2）·…·（x－a8)，∴f′（x)＝x′(x－a1)…（x－a8）＋x[(x－a1）·…·(x－a8)]′＝(x－a1)·…·(x－a8）＋x[（x－a1)·…·（x－a8）]′，∴f′（0)＝(－a1)·(－a2）·…·(－a8）＋0＝a1·a2·…·a8＝（a1·a8）4＝（2×4)4＝(23）4＝212.3．已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′（x）＝错误!f（x)，则tan 2x的值是( D）A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误!解析因为f′（x)＝cos x＋sin x＝错误!sin x－错误!cos x，所以tan x＝－3,所以tan 2x＝错误!＝错误!＝错误!。
2019年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.10变化率与导数导数的运算课时跟踪检测理201
2.10 变化率与导数、导数的运算[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)． 答案：C2．曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x， ∴f ′(0)＝1.所以所求切线方程为y ＋1＝x ， 即x －y －1＝0. 答案：C3．f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( ) A ．e xB ．1C ．ln 2D ．e解析：f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋lnx 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：B4．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0 D ．(e －1)x －y －1＝0 解析：由于y ′＝e －1x ，所以＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.答案：C5．(2017届开封模拟)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( )A ．－1B ．1C ．3D ．4解析：对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，∴k ＝3＋m ，又k ＋1＝3,1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.答案：C6．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 017)＝6，则f ′(－2 017)为( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：∵f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. ∴f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝ －4ax 3＋b sin x ＋7. ∴f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 017)＝6，∴f ′(－2 017)＝14－6＝8，故选D. 答案：D7．(2017届衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2解析：∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A8．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B ．(1,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3)解析：由函数f (x )的部分图象得0<b <1且f (1)＝0即有a ＝－1－b ，从而－2<a <－1，而g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋a －ln 2<0， g (1)＝2＋a >0，∴g (x )的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C. 答案：C9．下列三个数：a ＝ln 32－32，b ＝ln π－π，c ＝ln 3－3，大小顺序正确的是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．a <c <bD ．b >a >c解析：设f (x )＝ln x －x ，(x >0)， 则f ′(x )＝1x －1＝1－xx，故f (x )在(1，＋∞)上是减函数，且1<32<3<π，故f (π)<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， 即a >c >b ，故选A. 答案：A10．已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：∵f ′(x )＝1＋cos x ≥0， ∴f (x )在(－1,1)上为增函数， 又∵f (1－a )＋f (1－a 2)<0， ∴f (1－a )<－f (1－a 2)＝f (a 2－1)． ∴－1<1－a <a 2－1<1， 解得1<a < 2.故选B. 答案：B11．曲线f (x )＝e x在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1,0)．答案：－12(－1,0)12．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：013．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)． 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1， ∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.14．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝3x 22＋ax ，g (x )＝4a 2ln x ＋b ，其中a >0，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )有公共点，且在公共点处的切线相同．(1)若a ＝1，求两曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )在公共点的切线方程； (2)用a 表示b . 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝32x 2＋x ，g (x )＝4ln x ＋b (x >0)，设曲线在(x 0，y 0)处切线相同， 则有f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即3x 0＋1＝4x 0，可得x 0＝1或x 0＝－43(舍去)．故在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52处切线相同， 此时k ＝f ′(1)＝4，∴切线方程为y －52＝4(x －1)，即8x －2y －3＝0.(2)∵f ′(x )＝3x ＋a ，g ′(x )＝4a2x，设在(x 0，y 0)处切线相同，故有f ′(x 0)＝g ′(x 0)，f (x 0)＝g (x 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋a ＝4a2x 0， ①32x 2＋ax 0＝4a 2ln x 0＋b ， ②由(1)得x 0＝a 或x 0＝－43a (舍)．代入②式得b ＝32a 2＋a 2－4a 2ln a＝52a 2－4a 2ln a . [能 力 提 升]1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得，f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.答案：－e －342．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)为偶函数， ∴2a ＝0，即a ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－3，k ＝f ′(0)＝－3， ∴y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x . 答案：y ＝－3x3．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
[精品课件]2019届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第10讲 变化率与导数、导数的计算课件 文
考向三 求参数值
3．已知f(x)＝ln x，g(x)＝12x2＋mx＋72(m＜0)，直线l与函数f(x)， g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为
() A．－1
B．－3
C．－4
D．－2
[解析] ∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72， m＜0，于是解得m＝－2，故选D. [答案] D
3．(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切 线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝ ________ .
[解析] 因为 y′＝1＋1x，所以 y′|x＝1＝2， 故切线的方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0. 联立2y＝x－axy－ 2＋1＝a＋0 2x＋1 ，由 Δ＝0，得 a＝8. [答案] 8
即f′(2 018)＝－(2 018＋1)＝－2 019.
[答案] －2 019
题型三 导数的几何意义(高频考点题，多角突破)
考向一 求切线方程
1．(2018·豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)＝2exsin x，则曲线
f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．y＝0
B．y＝2x
C．y＝x
x′＝ln
x′x－x′ln x2
x＝1x·x－x2ln
x＝1－xl2n
x .
(3)y′＝csoins
xx′＝sin
x′cos
x－sin cos2x
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2019年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第10节 变
化率与导数、计算导数学案 理 北师大版
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x
，y ＝x 2，y ＝x 3
，y ＝x
的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．
(对应学生用书第32页)
[基础知识填充]
1．导数与导数的概念
(1)当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示， 记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0
f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
.
(2)如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：
f ′(x )＝lim Δx →0
f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导
函数，通常也简称为导数．
2．导数的几何意义
函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)，切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式
4.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；
(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0)． 5．复合函数的导数
复合函数y ＝f (φ(x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )的导数间的关系为y x ′＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )·φ′(x )． [知识拓展]
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2
(f (x )≠0)．
3．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．
4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．(教材改编)若f (x )＝x ·e x
，则f ′(1)等于( )
A ．0
B ．e
C ．2e
D ．e 2
C [∵f ′(x )＝e x
＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.]
3．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2
＋3t
(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2
时的瞬时速度为( )
A ．194
B ．174
C ．154
D ．134
D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3
t
2，故当t ＝2时，机器人的
瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝13
4
.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2
＋1x
在点(1,2)处的切线方程为________．
x －y ＋1＝0 [∵y ′＝2x －1
x
2，∴y ′(1)＝1，
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.]
5．曲线y ＝ax 2
－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________.
－12 [∵y ＝ax 2－ax ＋1，∴y ′＝2ax －a ，∴y ′(0)＝－a .又∵曲线y ＝ax 2
－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－1
2
.]
(对应学生用书第33页)
求下列函数的导数： (1)y ＝e x
ln x ；
(2)y ＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；
(3)y ＝x －sin x
2cos x
2；
(4)y ＝cos x e
x .
[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x
·1x
＝e x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln x ＋1x .
(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2
－2x
3.
(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－1
2
cos x .。