人教版九年级数学下册第28章28.2解直角三角形及其应用
人教版九年级数学下28.2 解直角三角形及其应用(含解析)-教师用卷
28.2 解直角三角形及其应用一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C=90∘，sinA=35，BC=6，则AB=()A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，sinA=BCAB =35，BC=6，∴AB=BCsinA =635=10，故选：D．2.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60∘，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45∘，则调整后的楼梯AC的长为()A. 2√3mB. 2√6mC. (2√3−2)mD. (2√6−2)m【答案】B【解析】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=ADAB，∴AD=4sin60∘=2√3(m)，在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=ADAC，∴AC=2√3sin45∘=2√6(m)．故选B．3.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，第 1 页测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )A. 11−sinαB. 11+sinαC. 11−cosαD. 11+cosα【答案】A【解析】解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，，∴x−1x=sinα，∴x−1=xsinα，∴(1−sinα)x=1，∴x=11−sinα．故选：A．4.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值()A. √33B. √35C. 13D. 15【答案】D【解析】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=53，即ADAB=53，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴CEAB =DEAD=CDBD=12，∴CE=32x，DE=52x，∴AE=152x，∴tan∠CAD=ECAE =15．故选D．5.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要()A. (4+4sinθ)米 2B. 4cosθ米 2C. (4+4tanθ)米 2 D. (4+4tanθ)米 2【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，BC=AC⋅tanθ=4tanθ(米)，∴AC+BC=4+4tanθ(米)，∴地毯的面积至少需要1×(4+4tanθ)=4+4tanθ(米 2)；故选：D．6.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是()A. AF=12CFB. ∠DCF=∠DFCC. 图中与△AEF相似的三角形共有4个D. tan∠CAD=√22【答案】C【解析】解：A、∵AD//BC，∴△AEF∽△CBF，第 3 页∴AEBC =AFFC，∵AE=12AD=12BC，∴AFFC =12，故A正确，不符合题意；B、过D作DM//BE交AC于N，∵DE//BM，BE//DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=12BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM//BE，∴DN⊥CF，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，故B正确，不符合题意；C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C错误．D、设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有ba =a2b．∵tan∠CAD=CDAD =ba=√22，故D正确，不符合题意．故选C．7.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=45，BD=5，则OH的长度为()A. 23B. 56C. 1D. 76【答案】D【解析】解：连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，∴∠OHD=∠BHD=90∘，∵cos∠CDB=DHBD =45，BD=5，∴DH=4，∴BH=√BD2−DH2=3，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=(x+3)2，解得：x=76，∴OH=76；故选：D．8.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于()A. 43B. 34C. 35D. 45【答案】A【解析】解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD中点，∴BD=2EF=4，∵BD2+CD2=25，BC2=25，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90∘，∴tanC=BDCD =43，故选：A．9.如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE⋅OP；③S△AOD=第 5 页S四边形OECF ；④当BP=1时，tan∠OAE=1316，其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90∘，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP与△ABQ中，{AD=AB∠DAP=∠ABQ AP=BQ，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90∘，∴∠P+∠QAB=90∘，∴∠AOP=90∘，∴AQ⊥DP；故①正确；∵∠DOA=∠AOP=90∘，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90∘，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴AOOD =OPOA，∴AO2=OD⋅OP，∵AE>AB，∴AE>AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE⋅OP；故②错误；在△CQF与△BPE中{∠FCQ=∠EBP ∠Q=∠PCQ=BP，∴△CQF≌△BPE，第 7 页∴CF =BE ， ∴DF =CE ，在△ADF 与△DCE 中，{AD =CD∠ADC =∠DCE DF =CE ，∴△ADF≌△DCE ，∴S △ADF −S △DFO =S △DCE −S △DOF ， 即S △AOD =S 四边形OECF ；故③正确； ∵BP =1，AB =3， ∴AP =4， ∵△PBE∽△PAD ， ∴PBEB =PADA =43， ∴BE =34，∴QE =134，∵△QOE∽△PAD ， ∴QO PA=OE AD =QEPD =1345，∴QO =135，OE =3920， ∴AO =5−QO =125，∴tan∠OAE =OE OA=1316，故④正确，故选：C ．10. 如图，在反比例函数y =32x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y =kx 的图象上运动，若tan∠CAB =2，则k 的值为( )A. −3B. −6C. −9D. −12【答案】B【解析】解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C 作CF⊥y轴于点F，∵由直线AB与反比例函数y=32x的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO．又∵AC=BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠AOF=90∘，∠AOF+∠COF=90∘，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90∘，∠CFO=90∘，∴△AOE∽△COF，∴AECF =OEOF=AOCO，∵tan∠CAB=OCOA=2，∴CF=2AE，OF=2OE．又∵AE⋅OE=32，CF⋅OF=|k|，∴k=±6．∵点C在第二象限，∴k=−6，故选：B．二、填空题11.△ABC中，AB=12，AC=√39，∠B=30∘，则△ABC的面积是______ ．【答案】21√3或15√3【解析】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30∘，∴AD=12AB=6，BD=ABcosB=12×√32=6√3，在Rt△ACD 中，CD=√AC2−AD2=√(√39)2−62=√3，∴BC=BD+CD=6√3+√3=7√3，则S△ABC=12×BC×AD=12×7√3×6=21√3；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由①知，AD=6、BD=6√3、CD=√3，则BC=BD−CD=5√3，∴S△ABC=12×BC×AD=12×5√3×6=15√3，故答案为：21√3或15√3．12.如图，在一坡比为1：3的斜坡上种有两棵小树，它们之间的距离AB为10米，则这两棵树的高度差BC为______ 米.【答案】√10【解析】解：∵坡比为1：3，即BC：AC=1：3，∴设BC=x，则AC=3x，∵AB=10，∴x2+9x2=100，解之得：x=√10，即BC=√10(米)．故答案为：√10．13.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60∘，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为______ ．【答案】√217第 9 页【解析】解：作EH ⊥AD 于H ，连接BE 、BD ，连接AE 交FG 于O ，如图， ∵四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘， ∴△BDC 为等边三角形，∠ADC =120∘， ∵E 点为CD 的中点， ∴CE =DE =1，BE ⊥CD ， 在Rt △BCE 中，BE =√3CE =√3， ∵AB//CD ， ∴BE ⊥AB ， 设AF =x ，∵菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，∴EF =AF ，FG 垂直平分AE ，∠EFG =∠AFG ， 在Rt △BEF 中，(2−x)2+(√3)2=x 2，解得x =74，在Rt △DEH 中，DH =12DE =12，HE =√3DH =√32，在Rt △AEH 中，AE =√(2+12)2+(√32)2=√7，∴AO =√72， 在Rt △AOF 中，OF =(74)(√72)=√214，∴cos∠AFO =√21474=√217． 故答案为√217．14. 如图，在正方形ABCD 中，AD =2√3，把边BC 绕点B 逆时针旋转30∘得到线段BP ，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接PC ，则三角形PCE 的面积为______ ．【答案】9−5√3【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90∘，∵把边BC绕点B逆时针旋转30∘得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30∘，∴∠ABP=60∘，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60∘，AP=AB=2√3，∵AD=2√3，∴AE=4，DE=2，∴CE=2√3−2，PE=4−2√3，过P作PF⊥CD于F，∴PF=√32PE=2√3−3，∴三角形PCE的面积=12CE⋅PF=12×(2√3−2)×(2−2√3)=9−5√3，故答案为：6√3−10．15.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12√3米，∠B=60∘，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=313√3，则CE的长为______ 米.【答案】8【解析】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．∵在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60∘，∴sin∠B=AFAB，∴AF=12×√32=6√3，∴DG=6√3．∵在Rt△DGC中，CD=12√3，DG=6√3米，∴GC=√CD2−DG2=18．∵在Rt△DEG中，tanE=313√3，∴6√3GE =313√3，第 11 页∴GE=26，∴CE=GE−CG=26−18=8．即CE的长为8米．故答案为8．三、计算题16.某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥.原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45∘，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC= 30∘.求BD的长.(结果保留根号)．【答案】解：在Rt△ABC中，AB=6m，∠ABC=45∘，∴AC=BC=AB⋅tan45∘=6×√22=3√2，在Rt△ADC中，∵tanD=ACCD，∴CD=ACtan30∘═3√2÷√33=3√6，∴BD=CD−BC=3√6−3√2．答：BD的长为(3√6−3√2)m．17.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘，B处的仰角为30∘.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)【答案】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，由题意得：∠ACH=75∘，∠BCH=30∘，AB//CH，∴∠ABC=30∘，∠ACB=45∘，∵AB=32m，∴AD=CD=16m，BD=AB⋅cos30∘=16√3m，∴BC=CD+BD=(16√3+16)m，则BH=BC⋅sin30∘=(8√3+8)m．。
九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用教案 (新版)新人教版
28．2 解直角三角形及其应用28．2.1 解直角三角形知识与技能在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．过程与方法通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心．重点直角三角形的解法． 难点灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．一、复习回顾师：你还记得勾股定理的内容吗？ 学生叙述勾股定理的内容．师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？ 生：两锐角互余．师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？ 生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 二、共同探究，获取新知 1．概念．师：由sin A ＝ac，你能得到哪些公式？生甲：a ＝c ·sin A.生乙：c ＝asin A.师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？教师板书：在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形． 2．练习．教师多媒体课件出示：(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形．(1) (2)师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？生1：根据cos 60°＝AC AB ，得到AB ＝ACcos 60°，然后把AC 边的长和60°角的余弦值代入，求出AB 边的长，再用勾股定理求出BC 边的长，∠B 的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B 为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB 的值，再由sin 60°＝BCAB得到BC ＝AB ·sin 60°，从而得到BC 边的长．师：同学们说出的这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形． 学生思考，计算． 三、例题讲解例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝6，解这个直角三角形．解：∵tan A ＝BC AC ＝62＝3，∴∠A ＝60°，∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°， AB ＝2AC ＝2 2.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，b ＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－35°＝55°.∵tan B ＝ba ，∴a ＝b tan B ＝20tan 35°≈28.6.∵sin B ＝bc ，∴c ＝b sin B ＝20sin 35°≈34.9.四、巩固练习1．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列各式中不正确的是( ) A ．b ＝a ·tan B B ．a ＝b ·cos AC ．c ＝b sin BD ．c ＝acos B答案 B2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝10，b ＝53，则∠A ＝________，S △ABC ＝________．答案 30° 2523五、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，老师解答．本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题．在本章开头，我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用．在解有特殊角的三角形时有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法的能力，并且增强了他们的自信心．28．2.2应用举例知识与技能使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．过程与方法让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．情感、态度与价值观使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点将实际问题转化为解直角三角形问题．难点将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．一、新知讲授1．讲解．师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．2．练习新知．教师多媒体课件出示：如图，∠C ＝∠DEB ＝90°，FB ∥AC ，从A 看D 的仰角是________；从B 看D 的俯角是________；从A 看B 的________角是________；从D 看B 的________角是________；从B 看A 的________角是________．答案：从A 看D 的仰角是∠2，从B 看D 的俯角是∠FBD ，从A 看B 的仰角是∠BAC ，从D 看B 的仰角是∠3，从B 看A 的俯角是∠1.二、例题讲解例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P 点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km ，π取3.142，结果取整数)分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O 的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体中观测地球时的最远点，PQ ︵的长就是地球表面上P ，Q 两点间的距离．为计算PQ ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数．解：设∠POQ ＝α，在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．∵cos α＝OQ OF ＝ 6 4006 400＋343≈0.9491.∴α≈18.36°， ∴PQ ︵的长为18.36π180×6 400≈18.36×3.142180×6 400≈2 051(km )．由此可知，当组合体在P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P 点约2051 km . 例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m ，这栋楼有多高？(结果取整数)解：如图，α＝30°，β＝60°，AD ＝120.∵tan α＝BD AD ，tan β＝CDAD，∴BD ＝AD ·tan α＝120×tan 30°＝120×33＝403， CD ＝AD ·tan β＝120×tan 60°＝120×3＝120 3. ∴BC ＝BD ＋CD ＝403＋1203＝1603≈277(m )． 因此，这栋楼高约为277 m .例3 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数)解：如图，在Rt △APC 中， PC ＝PA ·cos (90°－65°) ＝80×cos 25° ≈72.505.在Rt △BPC 中，∠B ＝34°，∵sin B ＝PCPB ，∴PB ＝PC sin B ＝72.505sin 34°≈130(n mile )．因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130 n mile . 三、巩固提高1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A 处)在她家北偏东60°方向500 m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 长是( )A ．250 mB ．250 3 mC .500 33 m D ．250 2 m 答案 A2．王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60°，已知水平距离BD ＝10 m ，楼高AB ＝24 m ，则树CD 的高度为( )A ．(24－1033)m B ．(24－103) mC ．(24－53) mD ．9 m答案B四、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一，使学生对所学知识有了更好的巩固，同时让学生体会到数学与实际生活的联系，例题设置具有一定坡度，由浅入深，步步深入．。
人教初中数学九年级下册28-2 解直角三角形及其应用(教学设计)
师：尝试写出∠A 的三角函数。
生：∠A 的正弦值：sin A=∠A 所对的边斜边= ac∠A 的余弦值：cos A= ∠A 所邻的边斜边= bc∠A 的正切值：tan A=∠A 所对的边邻边= ab师：将 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：生：变式1-1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a = 30， b = 20，根据条件解直角三角形.变式1-2 在△ABC 中，∠C =90∘, AB =6, cosA =13，则AC 等于（ ）A ．18B ．2C ．12D ．118变式1-3在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．msin35° B ．mcos35° C ．m sin35°D ．mcos35°变式1-4 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35° ，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 变式1-5 如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB ＝2米， 要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ，使光线不 能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（ ） A ．2tan70°米 B ．2sin70°米 C ．2.2tan70°米 D ．2.2cos70°米平线下方的叫做俯角。
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 师：尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？生：点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置[多媒体展示]热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。
人教版九年级数学下册28.2： 解直角三角形及其应 用同步练习(附答案)
人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．27．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为米．（结果保留根号）14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为米．（≈1.73，结果精确到0.1米）15．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）参考答案一．选择题（共12小题）1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．3．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）A．225m B．275m C．300m D．315m【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°＝，即＝，在Rt△AEC中，tan37°＝，即＝，解得x＝180，y＝135，∴AC＝＝＝300（m），故选：C．4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选：C．5．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．2【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．7．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选：D．8．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．10．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米【解答】解：作AD⊥BC于点D，则BD＝0.3＝，∵cosα＝，∴cosα＝，解得，AB＝米，故选：B．11．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选：D．12．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．故选：B．二．填空题（共7小题）13．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为4﹣4米．（结果保留根号）【解答】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，∴CM＝MB•tan30°＝12×＝4，在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，∴∠MAD＝∠MDA＝45°，∴MD＝AM＝4米，∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．14．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠P AB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB ＝80米，则河两岸之间的距离约为54.6米．（≈1.73，结果精确到0.1米）【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥P A于点D，∵∠PBC＝75°，∠P AB＝30°，∴∠DPB＝45°，∵AB＝80，∴BD＝40，AD＝40，∴PD＝DB＝40，∴AP＝AD+PD＝40+40，∵a∥b，∴∠EP A＝∠P AB＝30°，∴AE＝AP＝20+20≈54.6，故答案为：54.615．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车没有超速（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）【解答】解：作AD⊥直线l于D，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝100，在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，则CD＝＝100≈173.2，∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），小汽车的速度为：0.0732÷＝52.704（千米/小时），∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，∴小汽车没有超速，故答案为：没有超速．16．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为3m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，则BC＝CD•tan∠BDC＝10，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．17．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为262m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【解答】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，则AE＝≈＝200，在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200，∴BC＝200+62＝262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．18．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．19．如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为566米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈566（米）故答案是：566．三．解答题（共3小题）20．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝＝y，在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10，∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．22．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m。
人教版九年级下册数学28.2解直角三角形及其应用教案
-特殊角的三角函数值：熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值，并能够灵活运用。
-勾股定理的应用：理解并掌握直角三角形的边角关系，能够运用勾股定理解决相关问题。
-解直角三角形的方法：掌握如何运用三角函数解直角三角形，包括已知两边和一个角、已知一边和两个角等情况。
-边角关系的理解和应用：在复杂的实际问题中，学生需要识别直角三角形的边角关系，并正确应用勾股定理。
举例：针对三角函数值记忆难点，设计一些趣味性的记忆方法，如编写顺口溜、制作记忆卡片等，帮助学生记忆。在解直角三角形的应用难点上，可以通过实际案例分析和模拟实验，让学生在实践中掌握问题转化的方法，并解决具体问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值以及解直角三角形的方法和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对解直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是指在直角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边的比值关系。它们是解决直角三角形问题的关键，广泛应用于测量、建筑等领域。
人教版九年级下册数学：第28章 28.2.2解直角三角形的应用 (2)方位角、坡度坡比
达标测试
1.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,C岛在B岛的北偏西40°方向,则从C
岛看A,B两岛的视角∠ACB等于 90° 。 50°
40° 50° 40°
2、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与 钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则 这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米．
tanα= 1 = 3 33
∴α=30°
240
C
1: 3
?
A?
B
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=240m
∴ sinα= BC = BC
AC 240
∴ BC=240×sin30°=120(m)
答:这座山坡的坡角为30°,小刚上升了120m.
【例4 】水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,
北
PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°
≈80×0.91 =72.8
65°
在Rt△BPC中,∠B=34°
西
P
∵ sinB = PC
PB
34°
∴
PB
=
PC sinB
=
72.8 sin340
≈
72.8 0.559
≈130.23（海里）
南
?
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°
方向时，它距离灯塔P大约130.23海里。
45° 南
45° 45°
西南
（南偏西45°）
南
东南
（南偏东45°）
典例精析
【例1】如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距
离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位
人教版九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用说课稿
（三）互动方式
我将设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：通过提问、解答、示范等方式，引导学生积极参与课堂讨论，关注学生的个体差异，给予个性化指导。
2.生生互动：组织学生进行分组讨论、合作解题，鼓励他们互相分享解题思路和方法，培养团队协作能力。
2.互相评价：组织学生互相评价，鼓励他们提出建议和意见，共同提高。
3.教师反馈：针对学生的表现，给予积极的反馈和建议，指导他们如何改进学习方法，提高学习效果。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.书面作业：布置一些具有代表性的题目，让学生在课后巩固所学知识，达到熟练掌握的程度。
2.实践作业：鼓励学生在家中或学校周边寻找实际问题，运用解直角三角形的方法解决问题，并撰写解题报告。
人教版九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课为人教版九年级数学下册第28章第2节“解直角三角形及其应用”。该部分内容在整个课程体系中具有重要地位，它既是前面直角三角形知识的延伸，也为后续学习三角函数打下基础。本节课主要包含以下知识点：1.锐角三角函数的定义及性质；2.利用锐角三角函数解直角三角形；3.实际应用，如测量物体高度、求距离等。
2.学生在将实际问题转化为数学模型时可能遇到困难；
3.课堂时间有限，可能导致教学进度紧张。
应对策略：
1.对于理解不深的学生，我将通过个别辅导和课后答疑帮助他们；
2.通过案例分析和实际操作，引导学生学会转化问题；
3.合理安排课堂时间，确保教学内容的完整性和连贯性。
课后，我将通过以下方式评估教学效果：
人教版九年级下册数学 第二十八章28.2.2 课时1 解直角三角形在实际问题中的应用 教学课件
F P
Q
O
∴ 18.36 .
∴PQ 的长为 18.36π 6400 18.36 3.142 6400 2051(km).
180
180
新课讲解
归纳 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案.
A. 12米 B. 8 3 米 C. 24米 D. 24 3米
当堂小练
2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两
棵树A，B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：
从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂
直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同
学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，
你知道专家是怎样计算的吗？
新课讲解
知识点1 利用解直角三角形解决简单实际问题
合作探究 棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了 200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°，你知道缆车 垂直上升的距离是多少吗?
B
A
新课讲解
棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的
AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数
据求得A，B两树距离的有
( D)
A．0组
B.1组
C．2组
D.3组
当堂小练
3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的 着地点B到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平 面BC的夹角为45°，则这棵大树高是 (4 4 2)米.
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初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 新人教版数学九年级下册第 28 章 28.2 解直角三角形及其应用
课时作业 一、选择题 1. 如图是授课用直角三角板，边 AC=30cm ，∠ C=90°， tan∠BAC= 3 ，则边 BC 的长为
3
（ ）
3 3 3 3
cm
答案： C 知识点： 解直角三角形 解析： 解答： 在直角三角形 ABC 中，依照三角函数定义可知：
tan∠ BAC= BC ，又 AC=30cm ， tan∠BAC= 3 ，
AC 3
则 BC=ACtan ∠ BAC=30× 3 3 cm．
=10
3
应选 C．
解析：此题观察学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察 生活中的数学问题， 培养学生利用数学知识解决实责问题的能力， 表现了数学来自于生活且服务于生活．
因为授课用的直角三角板为直角三角形， 所以利用三角函数定义， 一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知∠ BAC 的对边为 BC，邻边为 AC ，依照∠ BAC 的正切值，即可求出 BC 的长度． 2. 在 “测量旗杆的高度 ”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光辉与水平面的夹角为 27°，此时旗杆在水平川面上的影子的长度为 24 米，则旗杆的高度约为（ ）
A．24米 B. 20 米 C. 16米 D. 12米 答案： D 知识点： 解直角三角形的应用 解析： 解答：
∵ AB ⊥ BC， BC=24 米，∠ ACB=27° ， ∴ AB=BC · tan27 °，
把 BC=24 米， tan27 °≈代入得， AB≈ 24× 0.51 ≈米12． 应选 D． 解析： 此题观察的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的要点． 直接依照锐角三角函数的定义可知， AB=BC ·tan27 °，把 BC=24 米， tan27 °≈代入进行计算即可．
3. 如图，在塔 AB 前的平川上选择一点 C，测出看塔顶的仰角为 30°，从 C 点向塔底走 100
米到达 D 点，测出看塔顶的仰角为 45°，则塔 AB 的高为（ ）
A.50 3 米 B. 100 3米 C 100 米 D. 100 米
3 1 3 1
答案： D 知识点： 解直角三角形的应用 -仰角俯角问题
解析： 解答： 在 Rt△ABD 中, ∵∠ ADB=45,° ∴ BD=AB. 在 Rt△ ABC 中 , ∵∠ ACB=30° ,
∴ AB =tan30°= 3 BC 3 .
∴ BC= 3 AB.
设 AB=x （米） , ∵ CD=100, ∴ BC=x+100. ∴ x+100= 3 x,
∴ x= 100 米. 3 1
应选 D．
解析： 此题观察俯角、仰角的定义，要修业生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
第一依照题意解析图形； 此题涉及到两个直角三角形， 设 AB=x（米），再利用 CD=BC-BD=100 的关系，进而可解即可求出答案．
4. 某水坝的坡度 i=1 ： 3 ，坡长 AB=20
米，则坝的高度为（ ）
A．10米 B．20 米 C．40 米 D． 20 答案： A． 知识点： 解直角三角形的应用 解析： 解答： 如图： -坡度坡角问题
∵坡度 i=1 ： 3 ,
∴设 AC=x ，BC= 3 x. 依照勾股定理得 AC 2+BC 2=AB 2,
则 x2+（ 3 x） 2=20 2, 解得 x=10 ． 应选 A． 解析： 此题观察了坡比的看法，不但要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理． 画出图形，依照坡度的定义 __-直角三角形中，坡角的正切值，尔后利用解直角三角形的知识解答．
5. 如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30°，朝物体 AB 方向前进 20 米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60°，则物体 AB 的高度为（ ）
A．10 3 米 B．10 米 C． 20 3 20 3 米 D． 米 3
答案： A 知识点： 解直角三角形的应用 -仰角俯角问题
解析： 解答： ∵ 在直角三角形 ADB 中， ∠ D=30°,
∴ AB =tan30 °, BD
∴ BD= AB 3AB. =
tan 30
∴在直角三角形 ABC 中，∠ ACB=60° .
AB 3 ∴ BC= =AB. tan 60 3
∵ CD=20,
∴ CD=BD-BC= 3 AB=20. 3 AB-
3
解得： AB=10 3 ．
应选 A． 解析： 此题观察仰角的定义， 要修业生能借助仰角构造直角三角形， 并结合图形利用三角函 数解直角三角形． 第一依照题意解析图形； 此题涉及到两个直角三角形， 应利用其公共边 AB 及 CD=DC-BC=20 构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
6. 如图， 某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： 3 ，堤坝高 BC=50m ，则迎水坡面 AB 的长度是（ ）
A ． 100m B． 100 3 m C．150mD ． 50 3 m 答案： A 知识点： 解直角三角形的应用 -坡度坡角问题
解析： 解答： ∵ 堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： 3 ,
∴ BC= 3 AC 3.
∵ BC=50m, ∴ AC=50 3 m.
∴ AB= AC2 BC2 =100m. 应选： A． 解析：此题主要观察认识直角三角形的应用 和水平宽度 l 的比． -坡度问题， 要点是掌握坡度是坡面的铅直高度 h
依照题意可得 BC = 3 ，把 BC=50m ，代入即可算出 AC 的长，再利用勾股定理算出 AB AC 3
的长即可．
7. 如图，从热气球 C 处测得地面 A 、 B 两点的俯角分别是 的高度 CD 为 100 米，点 A 、D 、B 在同素来线上，则 AB 30°、 45°，若是此时热气球两点的距离是（ ） C 处
A ．200 米 B．200 3 米 C．220 3 米 D．100（ 3 +1）米 答案： D 知识点： 解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 解析： 解答： 由已知，得 ∠ A=30°， ∠ B=45°， CD=100, ∵ CD⊥AB 于点 D,
∴在 Rt△ ACD 中，∠ CDA=90° ， tanA= CD
AD .
∴ AD= CD = 100 =100 3 .
tan A 3 3
在 Rt△ BCD 中，∠ CDB=90° ，∠ B=45°, ∴ DB=CD=100 米 . ∴ AB=AD+DB=100 3 +100=100（ 3 +1 ）米．
应选 D． 解析： 此题观察认识直角三角形的应用，解决此题的要点是利用 CD 为直角 △ ABC 斜边上 的高，将三角形分成两个三角形，尔后求解．分别在两三角形中求出 AD 与 BD 的长． 图中两个直角三角形中， 都是知道已知角和对边， 依照正切函数求出邻边后， 相加求和即可．
8. 为了测量被池塘分开的 A ， B 两点之间的距离，依照本质情况，作出如图图形，其中 AB ⊥ BE， EF⊥ BE， AF 交 BE 于 D， C 在 BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据： ① BC ，∠ ACB ； ② CD ，∠ ACB ，∠ ADB ；③ EF， DE， BD ；④ DE ， DC， BC．能依照所 测数据，求出 A ， B 间距离的有（ ）
A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 答案： C 知识点： 解直角三角形的应用 解析： 解答： 此题比较综合，要多方面考虑， ①因为知道∠ ACB 和 BC 的长，所以可利用∠ ACB 的正切来求 AB 的长； ②可利用∠ ACB 和∠ ADB 的正切求出 AB ；
③，因为 △ABD ∽△ EFD 可利用 EF FD
，求出 AB ；
AB BD
④无法求出 A ，B 间距离． 故共有 3 组可以求出 A ， B 间距离．