蒙特卡罗方法的基本思想与解题步骤

1 蒙特卡罗方法的基本思想与解题步骤

蒙特卡罗方法也称随机模拟法、随机抽样技术或统计试验法，其基本思想是：为了求解数学、物理、工程技术或生产管理等方面的问题，首先建立一个与求解有关的概率模型或随机过程，使它的参数等于所求问题的解，然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。概率统计是蒙特卡罗方法的理论基础，其基本手段是随机抽样或随机变量抽样，对于那些难以进行的或条件不满足的试验而言，是一种极好的替代方法。

蒙特卡罗方法可以解决随机性问题和确定性问题，求解确定性问题的基本步骤如下：（1）建立一个与求解有关的概率模型，使求解为所构建模型的概率分布或数学期望；（2）对模型进行随机抽样观察，即产生随机变量；（3）用算术平均数作为所求解的近似平均值，给出所求解的统计估计值的方差或标准差，即解的精度。

2 伪随机数的产生

利用蒙特卡罗方法以模拟一个实际问题，需要用到各种随机变量，因此随机数的产生非常重要。在计算机上的产生随机数的方法有三类：（1）把已有的随机数表输入机器；（2）用物理方法产生真正的随机数；（3）用数学方法产生伪随机数。利用数学方法产生随机数具有占有内存小，产生速度快，便于重复，不受计算机条件限制等优点，因而被大量使用。因利用数学方法产生的随机数是根据确定的递推公式计算的，存在周期现象，不满足真正随机数的要求，这种随机数称为伪随机数。在实际应用中，只要伪随机数能通过一系列统计检验，我们还是可以把它当做“真正”的随机数来应用。

产生随机数的数学方法，最常应用的有：

同余法。其中，剩同余法和混合同余法能够产生周期长且统计性质优的数值序列，因而应用也最广。

平方取中法。当位数较少时，产生的伪随机数领导于零的较多，位数越来越多时，偏于零的就会越来越少。

易位指令加法。方法简便，速度较快，其所产生的随机数随机性一般较好，但周期不定，且通常很短；随着初选值的不同，所产生的随机数序列长度也有很大差异。

3 随机数的检验

随机数的统计检验，就是根据（0，1）上均匀总体简单子样式的性质来研究所产生的随机数序列的相应性质，进行比较鉴别，视其差异显著与否，决定取舍。如果所产生的伪随机数经过各类检验，其差异均不显著，我们即接受其为均匀总体随机数的子样。

需要指出的是，若所产生的伪随机数序列通过某种随机性检验，只是说它与随机数的性质和规律不矛盾，我们不能扛绝它，并不是说它们已经具有随机数的性质与规律。因此检验所产生的伪随机数序列时，所通过的检验越多，随机数序列就越靠得住。随机数的检验方法有：

参数检验，检验其分布参数的观察值与理论值的差异显著性。

均匀性检验，又称频率检验，意在检验伪随机数的经验频率与理论频率的差异是否显著。

独立性检验，即检验所产生的伪随机数的独立性和统计相关是否异常，包括相关关系检验和联列表检验等。

组合规律检测，按随机数出现的先后次序，根据一定的规律组合，检验其组合的观察值与理值是不否有显著差异，包括距离检验和配套检验等。

游程检验，把随机数序列按一定的规则进行分类，分为正负游程检验和升降游程检验等。

4 随机变量抽样

在得到（0，1）上均匀分布的随机数序列之后，需给出概率模型中不同分布随机变量的抽样方法，才能进行蒙特卡罗模拟。常用的帛样方法有：离散型随机变量抽样；

连续性随机变量抽样，又分为直接抽样、变换抽样、舍选抽样、复合抽样、近似值抽样等。

5 蒙特卡罗模拟结果的统计与处理

对于一个具体问题，通过建立概率模型，产生随机数不胜数及对概率模型所进行的随机抽样试验，即得到所需要的模拟结果。蒙特卡罗方法最终以算术平均数作为所求解的近似平均数，并对其精度即方差哐标准差进行计算。

6 计算机模拟研究

20世纪60年代以来，利用计算机模拟研究生物群众的变化过程已经广泛开展起来，已有的研究结果表明，利用这种方法以研究植物遗传育种理论与实践问题，不仅可行，而且可靠。众所周知，植物遗传育种工作主要在田间进行，对其进行研究会受到试验材料、试验规模、试验条件等人物力因素的限制；而蒙特卡罗模拟的内容和范围可以人工设定，不受自然条件的限制，因而受到植物遗传育种学家的广泛关注。

利用计算机模拟植物遗传育种时，为保证模拟结果的准确可靠，需注意改进模拟方法。首行忽建立的遗传模型必须准确可靠；其次必须利用能产生周期长且统计性质优的伪随机数产生方法；最后还要先用合适的计算机语言，运用程序设计技巧，设计出高效率的计算机模拟算法，以减少机器占用内存和提高机器运转效率。

7 修饰回交育种方法的计算机模拟研究

修饰回交育种方法是简单回交育种方法的扩展，其特点是在育种过程中采用不同的轮回亲本进行回交。作为常规育种方法以，修饰回交法在植物育种实践中作了一些探索，取得了一些成果，但很不全面，尤其是在对轮回亲本的多基因性状的改进作用方面的研究更少，并且缺乏与其它育种方法其主要影响因素进行研究，内容涉及：

不同育种群体大小、误差的相对大小、造反比例和微效基因信点数以及非轮回亲本目标主基因性状的显示隐性、轮回亲本多基因估系的构成及其在回交中的搭配方式，引进目标主基因性状对由多基因性状改良的影响。

为了对修饰回交育种方法作更全面细臻的比较分析，在模拟试验中还设立了简单回交法及三产法的对照模拟试验。

模拟试验的基本方法

采用了改良混合同集体利益法以产生（0，1）之间均匀分布的伪随机数，其公式为：

产生的伪随机数序列，经参数检验（平均数、方差、二阶原点距），独立性检验，均匀性检验，符合均匀随机数的统计要求，该随机数序列通过函数变换为正态随机数后，其次数检验结果符合正态分布。

在模拟试验之中，设某一个体多基因性状的表型值为P，则有：（略）

模拟程序采用FORTRAN语言编制，整个模拟处理工作在CV-386SX计算机上进行。计算机程序的编写思路与田间育种的一般思路基本相同，其中的随机过程和随机分布，如配子的形成等，是通过随机数来解决的。修饰回交育种方法的计算机模拟流程框图见图1。

为了方便对源程序进行调虎离山试和修改，增强源程序的可阅读性，在程序的编制过程中采用了模块化设计方法，整个模拟源程序由1个模拟主程序，22个例行子程序和6个函数子程序组成。

模拟试验结果在育种实践中的意义和应用