人教版九年级上册数学 圆 几何综合章末练习卷(Word版 含解析)

人教版九年级上册数学 圆 几何综合章末练习卷（Word 版 含解

析）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．已知：

图1 图2 图3

（1）初步思考： 如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12

PN PC = （2）问题提出：

如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求

12

PD PC +的最小值． （3）推广运用：

如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12

PD PC -的最大值． 【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】

【分析】

（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到

PN BN PC BP =，即可得到结论成立；

（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =

，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =

，当点P 在DG 的延长线上时，12

PD PC -

的值最大，即可得到答案. 【详解】

（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，

∴2

4,4PB BN BC =⋅=，

∴2PB BN BC =⋅， ∴

BN BP BP BC

=， ∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽，

∴12PN BN PC BP ==， ∴12

PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，

∵

242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BC PBG PBC BG PB

=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽，

∴12

PG BG PC PB ==， ∴12

PG PC =， ∴12

PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +

的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；

（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，

与（2）同理，可证

1

2

PG PC

=，

在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，

∴DF=CD•sin60°=23，CF=2，

在Rt△GDF中，DG=22

(23)537

+=，

∴

1

2

PD PC PD PG DG -=-≤，

当点P在DG的延长线上时，

1

2

PD PC

-的值最大，

∴最大值为：37

DG=.

【点睛】

本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．

2．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．

（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．

（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．

（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．

【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；

（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；

（3）点D、E均在抛物线上；

（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．

【解析】

试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；

（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；

（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．

试题分析：（1）∵⊙C经过原点O

∴AB为⊙C的直径

∴C为AB的中点

过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1

∴圆心C的坐标为（1，）．

（2）∵抛物线过O、A两点，

∴抛物线的对称轴为x=1，

∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，

∴顶点坐标为（1，﹣）．

把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．

（3）∵OA=2，OB=2，

∴AB==4，即⊙C的半径r=2，

∴D（3，），E（﹣1，），

代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．

（4）∵AB为直径，

∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，

∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．

考点：二次函数综合题．

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．

（1）求∠ADB的度数；

（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；

（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO 于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．

【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）62

【解析】

【分析】

（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；

（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，

∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB （SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；

（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，

S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设

BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．

【详解】

解：（1）如图1，

∵AC为直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB+∠BAC＝90°，

∵AB＝BC，