甘肃省天水市中考数学试卷(含答案)
a b12011年天水市初中毕业与升学学业考试（中考）试卷数 学相信自己！（本试卷满分为150分，考试时间为120分钟）A 卷（满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．） 1．（11·天水）图中几何体的主视图是【答案】D2．（11·天水）下列运算中，计算结果正确的是 A ．x2·x 3＝x 6 B ．x 2n ÷x n －2＝x n ＋2C ．(2x 3)2＝4x 9D ．x 3＋x 3＝x 6【答案】B3．（11·天水）如果两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，那么能反映这两圆位置关系的图是【答案】B4．（11·天水）多项式2a 2－4ab ＋2b 2分解因式的结果正确的是 A ．2(a 2－2ab ＋b 2) B ．2a (a －2b )＋2b 2 C ．2(a －b ) 2D ．(2a －2b ) 2【答案】C5．（11·天水）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 中的直线b 上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是 A ．30° B ．45°C ．40°D ．50° 【答案】DC ． B ． A ．D ．正面6．（11·天水）在a 2□4a □4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是 A ．12B ．13C ．14D ．1【答案】A7．（11·天水）将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为 A ．y ＝(x ＋1)2＋4 B ．y ＝(x －1)2＋4 C ．y ＝(x ＋1)2＋2D ．y ＝(x －1)2＋2【答案】D8．（11·天水）样本数据3、6、a 、4、2的平均数是5，则这个样本的方差是 A ．8 B ．5C ．2 2D ．3【答案】A9．（11·天水）一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 A ．13B ．12C ．34D ．1【答案】B10．（11·天水）如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则CF 的长为A ．6B ．4C ．2D ．1【答案】C二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果．） 11．（11·天水）计算8－12＝_ ▲ ． 【答案】32212．（11·天水）若x ＋y ＝3，xy ＝1，则x 2＋y 2＝_ ▲ ． 【答案】713．（11·天水）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树(AB )8.7m 的点E 处，然后观测考沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.7m ，观测者目高CD ＝1.6m ，则树高AB 约是_ ▲ ．（精确到0.1m ）DCC ECE【答案】5.214．（11·天水）如图（1），在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m 2，求道路宽为多少？设宽为x m ，从图（2）的思考方式出发列出的方程是_ ▲ ．【答案】(32－2x )(20－x )＝57015．（11·天水）如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是－4与2x ＋23x －5，且点A 、B 到原点的距离相等．则x ＝_ ▲ ．【答案】115或2.216．（11·天水）计算：sin 230°＋tan44°tan46°＋sin 260°＝_ ▲ ． 【答案】217．（11·天水）抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，若函数y ＞0值时，则x 的取值范围是_▲ ．【答案】－3＜x ＜118．（11·天水）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝6点E 在AB 上，且AE ＝2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE ＋【答案】210三、解答题（本大题共3小题，其中19题9分，20题6分，21题13分，共要的文字说明及演算过程．19．（11·天水）本题共9分（其中第Ⅰ小题4分，第Ⅱ小题5分）Ⅰ．先化简(x 2x ＋1－x ＋1)÷x x 2－1，再从－2、－1、0、1、2中选一个你认为适合的数作为x 的值代入求值．EB D（1）（2）CBAEDF 【答案】原式＝x 2－(x －1)(x ＋1)x ＋1·x 2－1x＝1x ＋1·(x －1)(x ＋1)x ………………1分＝x －1x ………………2分当x ＝2时，原式＝32 ………………4分（或当x ＝2时，原式＝2－22）Ⅱ．已知l 1：直线y ＝－x ＋3和l 2：直线y ＝2x ，l 1与x 轴交点为A ．求： （1）l 1与l 2的交点坐标．（2）经过点A 且平行于l 2的直线的解析式 【答案】解：（1）设l 1与l 2的交点为M ，则由⎩⎨⎧y ＝－x ＋3y ＝2x 解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2 ∴M (1，2) （2）设经过点A 且且平行于l 2∵l 1与x 轴交点为A (3，0) 6＋b ＝0，∴b ＝－6则：所求直线的解析式为y ＝2x －6 ………………5分其它解法参照上面的评分标准评分20．（11·天水）已知，如图E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF∥BE ，四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由．【答案】解：结论：四边形ABCD 是平行四边形 ………………2分证明：∵DF ∥BE∴∠AFD ＝∠CEB ………………3分又∵AF ＝CE DF ＝BE ，∴△AFD ≌△CEB （SAS ） ………………4分 ∴AD ＝CB ∠DAF ＝∠BCE ∴AD ∥CB∴四边形ABCD 是平行四边形 ………………6分21．（11·天水）本题共13分（其中第Ⅰ小题6分，第Ⅱ小题7分）Ⅰ．爱养花的李先生为选择一个合适的时间去参观2011年西安世界园艺博览会，他查阅了5月10日至16日是（星期一至星期日）每天的参观人数，得到图（1）、图（2）所示的统计图．其中图（1）是每天参观人数的统计图，图（2）是5月15日（星期六）这一天上午、中午、下午和晚上四个时段参观人数的扇形统计图，请你根据统计图解答下面的问题：（1）5月10日至16日这一周中，参观人数最多的是日是_ ▲ ，有_ ▲ 万人，参观人数最少的是日是_ ▲ ，有_ ▲ 万人，中位数是_ ▲ ．（2）5月15日是（星期六）这一天，上午的参观人数比下午的参观人数多多少人？（精确到1万人）（3）如果李先生想尽可能选择参观人数较少的时间参观世园会，你认为选择什么时间较合适？85509251 107829【答案】（1）15；34；10；16；22万………………………………………………………………3分（2）34×(74%－6%)≈23（万人）………………………………………………………5分 （3）答案不唯一，只要符合题意均可得分………………………………………………6分Ⅱ．如图在等腰Rt △OBA 和Rt △BCD 中，∠OBA ＝∠BCD ＝90°，点A 和点C 都在双曲线y ＝4x（k＞0）上，求点D 的坐标．【答案】点A 在双曲线y ＝4x 上，且在△OBA 中，AB ＝OB∠OBA ＝90°，则OB ·AB ＝4∴AB ＝OB ＝2分过点C 作CE ⊥x 轴于E ， CF ⊥y 轴于F 设BE ＝m 由在△BCD 中，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，则CE ＝m 又∵点C 在双曲线y ＝4x 上，∴m (m ＋2)＝4………………………………………………………………………………5分 解得m ＝±5－1，∵m ＝＞0∴m ＝5－1…………………………………………………………………………………6分 ∴OD ＝2＋25－2＝2 5∴点D 的坐标(25，0) ……………………………………………………………………7分B 卷（满分50分）西安世界园艺博览会5月15日（星期六） 四个时段参观人数的扇形统计一 二 三 四 五 六 日 星期西安世界园艺博览会5月10日至16日（星第20题图 ABCD O xy 第20题图AB CD O x y B 1C 1D 1 A B CDE G FOM N A B CD E G FO (1)A DE GF (2)四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤过程及推理过程．）22．（11·天水）（8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD 顶点都在格点上，其中，点A 的坐标为 (1，1)． （1）若将正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转90°，点B 到达点B 1，点C 到达点C 1，点D 到达点D 1，求点B 1、C 1、D 1的坐标． （2）若线段AC 1的长度．．与点D 1的横坐标．．．的差．恰好是一元二次方程 x 2＋ax ＋1＝0的一个根，求a 的值．【答案】（1）B 1 (2，－1)，C 1 (4，0)，D 1 (3，2) ……………………………………………………3分（2）由勾股定理得：AC ＝10………………………………………………………………4分则(10－3)是x 2＋ax ＋1＝0的一根(10－3)2＋a (10－3)＋1＝0 …………………………………………………………6分 a ＝－210…………………………………………………………………………………8分 另解：设另一根为x 0，则x 0(10－3)＝1x 0＝110－3＝10＋3……………………………………………………………………………6分 ∴a ＝－[(10－3)＋(10＋3)]＝－210………………………………………………………8分23．（11·天水）（10分）某校开展的一次动漫设计大赛，杨帆同学运用了数学知识进行了富有创意的图案设计，如图（1），他在边长为1的正方形ABCD 内作等边△BCE ，并与正方形的对角线交于点F 、G ，制作如图（2）的图标，请我计算一下图案中阴影图形的面积．【答案】连接FG 并延长交AB 于M 、AC 于N∵△BCE 和四边形ABCD 分别是正三角形和正方形∴MN ⊥AB ，MN ⊥CD ………………………………………………………………………2分 ∵∠BAC ＝45°，∠ABE ＝30°∴MF ＝x ，则x ＋3x ＝1……………………………………………………………………5分∴x ＝13＋1＝3－12…………………………………………………………………………7分∴S 阴影＝S 正方形－S △BCE －2S △ABF＝1－143－3－12＝6－334………………………………………………………………10分另解：S 阴影＝14S 正方形－S 四边形EGOF＝14－12(32－12)(1－2×3－12)＝6－33424．（11·天水）（10分）某电脑公司各种品牌、型号的电脑价格如下表，育才中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选择一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）．如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？（2）该中学预计购买甲、乙两种品牌电脑共36台，其中甲品牌电脑只选了A 型号，学校规定购买费用不能高于10万元，又不低于9.2万元，问购买A 型号电脑可以是多少台？或列表如下：E ）、（B ，E ）、（C ，E ）…2分P （A 型号被选中）＝13……………………………………………………………4分（2）设购买A 型号x 台，则（1）知当选用方案（A ，D ）时：由已知 92 000≤6 000x ＋5 000(36－x )≤100 000得－88≤x ≤－80 不符合题意………………………………………………………………7分 当选用方案（A ，E ）时：由已知 92 000≤6 000x ＋2 000(36－x )≤100 000得5≤x ≤7 不符合题意………………………………………………………………………9分 答：购买A 型号电脑可以是5台、6台、7台………………………………………………10分 25．（11·天水）（10分）在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 是△ABC 的外心，连接AO 并延长交BC 于D ，甲品牌 A B C乙品牌 D E D E D E交△ABC 的外接圆于E ，过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于Q ，设OQ ＝92，BQ ＝32．（1）求⊙O 的半径；（2）若DE ＝35，求四边形ACEB 的周长．【答案】（1）连接OB ，∵BQ 切⊙O 于B ，∴OB ⊥BQ ． 在Rt △OBQ 中，OQ ＝92，BQ ＝3 2∴OB ＝OQ 2－BQ 2＝32…………………………………………………………………2分即⊙O 的半径是32．（2）延长BO 交AC 于F ………………………………………………………………………………3分∵AB ＝BC ，则⌒AB ＝⌒BC ，∴BF ⊥AC又∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ACE ＝∠ABE ＝90°，∴BF ∥CE …………………………………………………………………………………………4分 （另解：∠DBF ＝∠OBA ＝∠OAB ＝∠DCE ）∴△BOD ∽△CED ………………………………………………………………………………5分 ∴BO CE ＝OD DE∴CE ＝DE ·BO OD ＝35×3232－35＝1………………………………………………………………………6分∴在Rt △ACE 中，AE ＝3，CE ＝1，则AC ＝22……………………………………………7分 又∵O 是AE 的中点，∴OF ＝12CE ＝12，则BF ＝2……………………………………………8分在Rt △ABF 中，AF ＝12AC ＝ 2 ∴AB ＝ 6在Rt △ABE 中，BE ＝ 3 ……………………………………………9分 （如用△ABQ ∽△BEQ 解得AB 、BE ，计算正确也得分）故：四边形AECB 的周长是：1＋22＋6＋3……………………………………………10分 26．（11·天水）（10分）在梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠AOC ＝60°，∠OAB ＝90°，OC ＝2，BC ＝4，以点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF ，DE 在x 轴上（如图（1）），如果让△DEF 以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D 与点A 重合，当点D 到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF 运动时间为t ，△DEF 与梯形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式． （2）探究：在△DEF 运动过程中，如果射线DF 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ，是否存在这样的时刻t ，使得△OAG 的面积与梯形OABC 的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．F【答案】解：（1）△DEF 是边长为2的等边三角形，在梯形OABC 中，OC ＝2，BC ＝4，∠AOC ＝60°，AB ⊥x 轴∴OA ＝5，AB ＝3…………………………………………………………………1分 依题意：①当0＜t ≤1时，S ＝32t 2………………………………………………2分 ②当1＜t ＜2时，S ＝34×22－32 (2－t ) 2＝－32(2－t ) 2＋ 3 ………………3分 ③当2≤t ≤5时，S ＝3……………………………………………………………4分（2）由已知点O (0，0)、C (1，3)、B (5，3)；设过点O 、C 、B 的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx则⎩⎪⎨⎪⎧3＝a ＋b3＝25a ＋5b 解得⎩⎨⎧a ＝－35b ＝635∴抛物线的解析式为:y ＝－35x 2＋635x ………………………………………………………………6分 若存在点G ，使得S △OGA ＝S 梯形OABC ；此时，设点G 的坐标为（x ，－35x 2＋635x ）…………7分 ∵射线DF 与抛物线的交点在x 轴上方 ∴12×5×(－35x 2＋635x )＝12×5×(5＋4)× 3 化简得x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3………………………………………………………………………9分 则此时点G(3，953)，作GH ⊥x 轴于H ，则：DH ＝GH ·cot60°＝953×33＝95∴此时t ＝2＋95＝195（秒）……………………………………………………………………………11分故：存在时刻t ＝195时，△OGA 与梯形OABC 的面积相等…………………………………………12分A (D ) BCD E FOxyA BCEF Ox y。
【中考真题】2016年甘肃省天水市数学中考真题(解析版)wk
2016年甘肃省天水市中考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）四个数﹣3，0，1，π中的负数是（）A．﹣3 B．0 C．1 D．π2．（4分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（）A．B．C．D．3．（4分）下列事件中，必然事件是（）A．抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上B．两直线被第三条直线所截，同位角相等C．366人中至少有2人的生日相同D．实数的绝对值是非负数4．（4分）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，直线AB∥CD，OG是∠EOB的平分线，∠EFD=70°，则∠BOG的度数是（）A．70°B．20°C．35°D．40°6．（4分）反比例函数y=﹣的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y27．（4分）已知分式的值为0，那么x的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣28．（4分）1.58×106米的百万分之一大约是（）A．初中学生小丽的身高B．教室黑板的长度C．教室中课桌的宽度D．三层楼房的高度9．（4分）有一根40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（）A．x=1，y=3 B．x=4，y=1 C．x=3，y=2 D．x=2，y=310．（4分）如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C重合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）函数中，自变量x的取值范围是．12．（4分）若点P（a，4﹣a）是第一象限的点，则a的取值范围是．13．（4分）规定一种运算“*”，a*b=a﹣b，则方程x*2=1*x的解为．14．（4分）如图，直线y1=kx（k≠0）与双曲线y2=（x＞0）交于点A（1，a），则y1＞y2的解集为．15．（4分）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=．16．（4分）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y 轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标为．17．（4分）如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是．18．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共8小题，共28分）19．（8分）（1）计算：﹣（π﹣1）0+tan 60°+||；（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．20．（10分）如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠P AB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）21．（10分）近年来，我国持续的大面积的雾霾天气让环境和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．对雾霾所了解程度的统计表：对雾霾的了解程度百分比A．非常了解5%A．比较了解15%C．基本了解45%D．不了解n请结合统计图表，回答下列问题：（1）本次参与调查的学生共有人，n=；（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是度；（3）请补全条形统计图；（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．22．（8分）先化简，再求值：，其中x=2sin 60°﹣1．23．（10分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）当OB=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．24．（10分）天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）25．（10分）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；（3）运用（1），（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长（结果保留根号）．26．（12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B （1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE 面积S的最大值；（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A【解析】四个数﹣3，0，1，π中的负数是﹣3．故选A．2．D【解析】因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，故选D.3．D【解析】A、抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上的概率为，故A错误；B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B错误；C、367人中至少有2人的生日相同，故C错误；D、实数的绝对值是非负数，故D正确；故选D．4．C【解析】A、是轴对称图形不是中心对称图形；B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形；C、既是轴对称图形又是中心对称图形；D、是轴对称图形不是中心对称图形．故选C．5．C【解析】∵AB∥CD，∴∠BOE=∠EFD=70°，∵OG平分∠EOB，∴∠BOG=∠BOE=35°；故选C．6．D【解析】∵y=﹣，∴xy=﹣1．∴x、y异号．∵x1＜0＜x2，∴y1＞0＞y2．故选D．7．B【解析】∵分式的值为0，∴（x﹣1）（x+2）=0且x2﹣1≠0，解得：x=﹣2．故选B．8．A【解析】1.58×106米的百万分之一=1.58×106÷106=1.58米．相当于初中生的身高．故选A．9．C【解析】根据题意得：7x+9y≤40，则x≤，∵40﹣9y≥0且y是正整数，∴y的值可以是：1或2或3或4．当y=1时，x≤，则x=4，此时，所剩的废料是：40﹣1×9﹣4×7=3cm；当y=2时，x≤，则x=3，此时，所剩的废料是：40﹣2×9﹣3×7=1cm；当y=3时，x≤，则x=1，此时，所剩的废料是：40﹣3×9﹣7=6cm；当y=4时，x≤，则x=0（舍去）．则最小的是：x=3，y=2．故选C．10．B【解析】如图1所示：当0＜x≤1时，过点D作DE⊥BC′．∵△ABC和△A′B′C′均为等边三角形，∴△DBC′为等边三角形．∴DE=BC′=x．∴y=BC′•DE=x2．当x=1时，y=，且抛物线的开口向上．如图2所示：1＜x≤2时，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为E．∵y=B′C′•A′E=×1×=．∴函数图象是一条平行与x轴的线段．如图3所示：2＜x≤3时，过点D作DE⊥B′C，垂足为E．y=B′C•DE=（x﹣3）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．x＞﹣1【解析】根据题意得：x+1＞0，解得x＞﹣1．12．0＜a＜4【解析】∵点P（a，4﹣a）是第一象限的点，∴，解得0＜a＜4．故答案为：0＜a＜4．13．【解析】依题意得：x﹣×2=×1﹣x，x=，x=．故答案是：．14．x＞1【解析】∵根据图象可知当x＞1时，直线在双曲线的上方，∴y1＞y2的解集为x＞1．故答案为：x＞1．15．16【解析】第一个图形有：5个○，第二个图形有：2×1+5=7个○，第三个图形有：3×2+5=11个○，第四个图形有：4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．故答案为：16．16．（，）【解析】如图，过点A′作A′D⊥x轴与点D；设A′D=λ，OD=μ；∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠OCB=90°；四边形ABA′D为梯形；设AB=OC=γ，BC=AO=ρ；∵OB=，tan∠BOC=，∴，解得：γ=2，ρ=1；由题意得：A′O=AO=1；△ABO≌△A′BO；由勾股定理得：λ2+μ2=1①，由面积公式得：②；联立①②并解得：λ=，μ=．故答案为（，）．17．6﹣π【解析】连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S扇形AEF==π，S△ABC=AD•BC=×2×6=6，∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=6﹣π．故答案为：6﹣π．18．①③④【解析】观察函数图象，发现：开口向下⇒a＜0；与y轴交点在y轴正半轴⇒c＞0；对称轴在y轴右侧⇒﹣＞0；顶点在x轴上方⇒＞0．①∵a＜0，c＞0，﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，①成立；②∵＞0，∴＜0，②不成立；③∵OA=OC，∴x A=﹣c，将点A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c中，得：ac2﹣bc+c=0，即ac﹣b+1=0，③成立；④∵OA=﹣x A，OB=x B，x A•x B=，∴OA•OB=﹣，④成立．综上可知：①③④成立．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共8小题，共28分）19．解：（1）原式=3﹣1++2﹣=2++2﹣=4；（2）由①得，x≥﹣3，由②得x≤4，故不等式的解集为：﹣3≤x≤4．20．解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=200米，∠CAO=60°，∴CO=AO•tan 60°=200（米）（2）设PE=x米，∵tan∠P AB==，∴AE=3x．在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=200﹣x，PF=OA+AE=200+3x，∵PF=CF，∴200+3x=200﹣x，解得x=50（﹣1）米．答：电视塔OC的高度是200米，所在位置点P的铅直高度是50（﹣1）米．21．解：（1）本次调查的学生有：20÷5%=400（人），n=1﹣5%﹣15%﹣45%=35%，故答案为：400，35%；（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是：360°×35%=126°，故答案为：126；（3）调查的结果为D等级的人数为：400×35%=140，故补全的条形统计图如图所示，（4）由题意可得，树状图如图所示，P（奇数）==，P（偶数）==，故游戏规则不公平．22．解：原式=÷=•=，当x=2×﹣1=﹣1时，原式==3﹣5．23．（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G ∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM（1分）∵AB∥CD∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣90°=90°（2分）∵MN∥OB∴∠NMC=∠BOC=90°即MN⊥MC且MO是⊙O的半径∴MN是⊙O的切线（4分）（2）解：连接OF，则OF⊥BC（5分）由（1）知，△BOC是直角三角形，∴BC===10，∵S△BOC=•OB•OC=•BC•OF∴6×8=10×OF∴0F=4.8cm∴⊙O的半径为4.8cm（6分）由（1）知，∠NCM=∠BCO，∠NMC=∠BOC=90°∴△NMC∽△BOC（7分）∴，即=，∴MN=9.6（cm）．（8分）24．解：（1）设李红第x天生产的粽子数量为260只，根据题意得20x+60=260，解得x=10，答：李红第10天生产的粽子数量为260只；（2）根据图象得当0≤x≤9时，p=2；当9＜x≤19时，设解析式为y=kx+b，把（9，2），（19，3）代入得，解得，所以p=x+，①当0≤x≤5时，w=（4﹣2）•32x=64x，x=5时，此时w的最大值为320（元）；②当5＜x≤9时，w=（4﹣2）•（20x+60）=40x+120，x=9时，此时w的最大值为480（元）；③当9＜x≤19时，w=[4﹣（x+）]•（20x+60）=﹣2x2+52x+174=﹣2（x﹣13）2+512，x=13时，此时w的最大值为512（元）；综上所述，第13天的利润最大，最大利润是512元．25．证明：（1）如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；（2）如图2，BE=CD，∵正方形ABFD和正方形ACGE，∴∠DAB=∠EAC=90°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；（3）由（1）（2）的解题经验可知：过点A向△ABC外作等腰直角△ABD，使∠DAB=90°，AD=AB=100，∠ABD=45°，∴BD=100，如图3，连接CD，则由（2）可得：BE=CD，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，BC=100，BD=100，∴CD==100，∴BE=CD=100，答：BE的长为100米．26．解：（1）∵B（1，0），C（0，3），∴OB=1，OC=3．∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．∴OA=OC=3，∴A（﹣3，0），∵点A，B，C在抛物线上，∴，∴，∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，（2）设点P（x，0），则PB=1﹣x，∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB=4，∵C（0，3），∴OC=3，∴S△ABC=AB×OC=6，∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC，∴，∴S△PBE=（1﹣x）2，∴S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=PB ×OC﹣（1﹣x）2=（1﹣x）×3﹣（1﹣x）2=﹣（x+1）2+，当x=﹣1时，S△PCE的最大值为．（3）∵二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标（﹣1，4），∵△OMQ为等腰三角形，OM为底，∴MQ=OQ，∴=，∴8x2+18x=7=0，∴x =，∴y=或y=，∴Q（，），或（，）．。
2020年甘肃省天水市中考数学试卷(含解析)
2020年甘肃省天水市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列四个实数中，是负数的是（）A．﹣（﹣3）B．（﹣2）2C．|﹣4| D．﹣2．天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为（）A．3.41×105B．3.41×106C．341×103D．0.341×1063．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（）A．文B．羲C．弘D．化4．某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42．该组数据的众数、中位数分别为（）A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，415．如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m9．若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣410．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．分解因式：m3n﹣mn＝．12．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为．13．已知函数y＝，则自变量x的取值范围是．14．已知a+2b＝，3a+4b＝，则a+b的值为．15．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．16．如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是．17．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．18．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为．三、解答题（共78分）19．（8分）（1）计算：4sin60°﹣|﹣2|+20200﹣+（）﹣1．（2）先化简，再求值：﹣÷，其中a＝．20．（10分）为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中的信息，解决下列问题：（1）此次调查中接受调查的人数为人；（2）请你补全条形统计图；（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为度；（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．21．（10分）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．22．（7分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：≈1.414，≈1.732）23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．24．（10分）性质探究如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2，则它的面积为；（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为．（用含α的式子表示）25．（10分）天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B 种商品每件的售价定为45元．（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．26．（13分）如图所示，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：A．﹣（﹣3）＝3，是正数，不符合题意；B．（﹣2）2＝4，是正数，不符合题意；C．|﹣4|＝4，是正数，不符合题意；D．﹣是负数，符合题意；故选：D．2．【解答】解：341000＝3.41×105，故选：A．3．【解答】解：根据正方体表面展开图可知，“相间、Z端是对面”，因此“伏与化”相对，“弘与文”相对，“扬与羲”相对，故选：D．4．【解答】解：将这组数据重新排列为39，40，40，42，42，42，43，44，所以这组数据的众数为42，中位数为＝42，故选：C．5．【解答】解：连接OA、OB，如图，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝∠AOB＝55°．故选：B．6．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．7．【解答】解：∵由函数图象交y轴的正坐标可知c＞0，∴反比例函数y＝的图象必在一、三象限，故C、D错误；∵据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，∴函数y＝ax+b的图象经过一三四象限，故A错误，B正确．故选：B．8．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．9．【解答】解：∵3x+a≤2，∴3x≤2﹣a，则x≤，∵不等式只有2个正整数解，∴不等式的正整数解为1、2，则2≤＜3，解得：﹣7＜a≤﹣4，故选：D．10．【解答】解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．二、填空题11．【解答】解：m3n﹣mn＝mn（m2﹣1）＝mn（m﹣1）（m+1），故答案为：mn（m﹣1）（m+1）．12．【解答】解：∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，∴x1＝2，x2＝6，∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．故答案为：13．13．【解答】解：根据题意得：x+2≥0且x﹣3≠0，解得：x≥﹣2且x≠3．故答案为：x≥﹣2且x≠3．14．【解答】解：a+2b＝①，3a+4b＝②，②﹣①得2a+2b＝2，解得a+b＝1．故答案为：1．15．【解答】解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为．16．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，由题意得，＝2πr，解得，r＝，故答案为：．17．【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．18．【解答】解：由题意可得，△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即CE＝2，故答案为：2．三、解答题19．【解答】解：（1）原式＝4×﹣（2﹣）+1﹣2+4＝2﹣2++1﹣2+4＝3+；（2）原式＝﹣•＝﹣＝﹣＝＝，当a＝时，原式＝＝＝＝1．20．【解答】解：（1））∵非常满意的有18人，占36%，∴此次调查中接受调查的人数：18÷36%＝50（人）；故答案为：50；（2）此次调查中结果为满意的人数为：50﹣4﹣8﹣18＝20（人）；（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为：360°×＝144°；故答案为：144°；（4）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选择回访市民为“一男一女”的有8种情况，∴选择回访的市民为“一男一女”的概率为：＝．21．【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4，∴|k|＝4，解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），∴反比例函数的关系式为y＝﹣，把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y＝﹣得，a＝4，b＝8；答：a＝4，b＝8；（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜8；（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，设直线A′B的关系式为y＝cx+d，则有，解得，，∴直线A′B的关系式为y＝﹣x+，∴直线y＝﹣x+与y轴的交点坐标为（0，），即点P的坐标为（0，）．22．【解答】解：（1）由题意得，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠APB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝180°﹣30°﹣135°＝15°；（2）作PH⊥AB于H，如图：则△PBH是等腰直角三角形，∴BH＝PH，设BH＝PH＝x海里，由题意得：AB＝40×＝20（海里），在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan30°＝＝，即＝，解得：x＝10+10≈27.32＞25，且符合题意，∴海监船继续向正东方向航行安全．23．【解答】（1）证明：连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，即BC⊥OD，又∵OD为⊙O的半径，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝6﹣r，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，∴r2+（2）2＝（6﹣r）2，解得：r＝2，∴OB＝4，∴OD＝＝＝2，∴OD＝OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOF＝×2 ×2﹣＝2﹣．24．【解答】解：性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∴AB＝2AD＝2AC•cos30°＝AC，∴AB：AC＝：1．故答案为：1．理解运用：（1）设CA＝CB＝m，则AB＝m，由题意2m+m＝4+2，∴m＝2，∴AC＝CB＝2，AB＝2，∴AD＝DB＝，CD＝AC•sin30°＝1，∴S△ABC＝•AB•CD＝．故答案为．（2）如图2中，连接FH．∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°，∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，∴FH＝EF＝20，∵FM＝MG．GN＝GH，∴MN＝FH＝10．类比拓展：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α∴AB＝2AD＝2AC•sinα∴AB：AC＝2sinα：1．故答案为2sinα：1．25．【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，由题意得：，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，50﹣20＝30，答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元；（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（40﹣a）件，由题意得：，解得，∵a为正整数，∴a＝14、15、16、17、18，∴商店共有5种进货方案；（3）设销售A、B两种商品共获利y元，由题意得：y＝（80﹣50﹣m）a+（45﹣30）（40﹣a）＝（15﹣m）a+600，①当10＜m＜15时，15﹣m＞0，y随a的增大而增大，∴当a＝18时，获利最大，即买18件A商品，22件B商品，②当m＝15时，15﹣m＝0，y与a的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，③当15＜m＜20时，15﹣m＜0，y随a的增大而减小，∴当a＝14时，获利最大，即买14件A商品，26件B商品．26．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+6；（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6，∴S△AOC＝OA•OC＝×2×6＝6，∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点B的坐标为（4，0），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n，则，解得：，∴直线BC的函数表达式为：y＝﹣x+6，∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），∴点D的坐标为：（m，﹣m2+m+6），点G的坐标为：（m，﹣m+6），∴DG＝﹣m2+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG•CF+DG•BE＝DG×（CF+BE）＝×（﹣m2+3m）×（m+4﹣m）＝﹣m2+6m，∴﹣m2+6m＝，解得：m1＝1（不合题意舍去），m2＝3，∴m的值为3；（3）由（2）得：m＝3，﹣m2+m+6＝﹣×32+×3+6＝，∴点D的坐标为：（3，），分三种情况讨论：①当DB为对角线时，如图2所示：∵四边形BNDM是平行四边形，∴DN∥BM，∴DN∥x轴，∴点D与点N关于直线x＝1对称，∴N（﹣1，），∴DN＝3﹣（﹣1）＝4，∴BM＝4，∵B（4，0），∴M（8，0）；②当DM为对角线时，如图3所示：由①得：N（﹣1，），DN＝4，∵四边形BNDM是平行四边形，∴DN＝BM＝4，∵B（4，0），∴M（0，0）；③当DN为对角线时，∵四边形BNDM是平行四边形，∴DM＝BN，DM∥BN，∴∠DMB＝∠MBN，∴点D与点N的纵坐标相等，∵点D（3，），∴点N的纵坐标为：﹣，将y＝﹣代入y＝﹣x2+x+6中，得：﹣x2+x+6＝﹣，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，当x＝1+时，如图4所示：则N（1+，﹣），分别过点D、N作x轴的垂线，垂足分别为E、Q，在Rt△DEM和Rt△NQB中，，∴Rt△DEM≌Rt△NQB（HL），∴BQ＝EM，∵BQ＝1+﹣4＝﹣3，∴EM＝﹣3，∵E（3，0），∴M（，0）；当x＝1﹣时，如图5所示：则N（1﹣，﹣），同理得点M（﹣，0）；综上所述，点M的坐标为（8，0）或（0，0）或（，0）或（﹣，0）．。
2020年甘肃省天水市中考数学试卷及答案
2020年甘肃省天水市中考数学试卷及答案A 卷(100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来)1.下列四个实数中，是负数的是()A.()3-- B.()22- C.|4|- D.2.天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为()A.53.4110⨯ B.63.4110⨯ C.334110⨯ D.60.34110⨯3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是()A.文B.羲C.弘D.化4.某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42.该组数据的众数、中位数分别为()A.40，42B.42，43C.42，42D.42，415.如图所示，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，点C 为O 上一点，连接AC 、BC ，若70P ∠=︒，则ACB ∠的度数为()A.50︒B.55︒C.60︒D.65︒6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B. C. D.7.若函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则函数y ax b =+和cy x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是()A. B. C. D.8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高1.5m ，测得 1.2AB m =，12.8BC m =，则建筑物CD 的高是()A.17.5mB.17mC.16.5mD.18m9.若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为()A.74a -<<- B.74a -≤≤- C.74a -≤<- D.74a -<≤-10.观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-；…已知按一定规律排列的一组数：1001011021992002,2,2,,2,2 ，若1002S =，用含S 的式子表示这组数据的和是()A.22S S- B.22S S+ C.222S S- D.2222S S --二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果)11.分解因式：3m n mn -=_________．12.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程28120x x -+=的根，则该三角形的周长为_______．13.函数3x y x =-中，自变量x 的取值范围是___________．14.已知1023a b +=，16343a b +=，则+a b 的值为_________．15.如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是________．16.如图所示，若用半径为8，圆心角为120︒的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是_________．17.如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F 的坐标为_____．18.如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．三、解答题(本大题共3小题，共28分．解答时写出必要的文字说明及演算过程)19.（1）计算：1014sin 6032|2020124-︒⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭．（2）先化简，再求值：21111211a a a a a a ---÷-+++，其中3a =20.为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中的信息，解决下列问题：（1）此次调查中接受调查的人数为__________人；（2）请你补全条形统计图；（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为__________度；（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．21.如图所示，一次函数()0y mx n m =+≠的图象与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于第二、四象限的点()2,A a -和点(),1B b -，过A 点作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC △的面积为4．（1）分别求出a 和b 的值；（2）结合图象直接写出kmx n x+>中x 的取值范围；（3）在y 轴上取点P ，使PB PA -取得最大值时，求出点P 的坐标．B 卷四、解答题(本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程)22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60︒方向上，继续航行30分钟后到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东45︒方向上．（1）求APB ∠的度数；（2）已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：1.414≈ 1.732≈)23.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．（1）试判断直线BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若BD =6AB =，求阴影部分的面积(结果保留π)．24.性质探究如图（1），在等腰三角形ABC 中，120ACB ∠=︒，则底边AB 与腰AC 的长度之比为_________．理解运用（1）若顶角为120︒的等腰三角形的周长为4+，则它的面积为_________；（2）如图（2），在四边形EFGH 中，EF EG EH ==.在边FG ，GH 上分别取中点,M N ，连接MN .若120FGH ∠=︒，20EF =，求线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为__________(用含α的式子表示)25.天水市某商店准备购进A 、B 两种商品，A 种商品每件的进价比B 种商品每件的进价多20元，用2000元购进A 种商品和用1200元购进B 种商品的数量相同．商店将A 种商品每件的售价定为80元，B 种商品每件的售价定为45元．（1）A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A 、B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠()1020m m <<元，B 种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m 的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．26.如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()2,0A -，点C 的坐标为()0,6C ，对称轴为直线1x =.点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为()14m m <<，连接AC ，BC ，DC ，DB ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当BCD 的面积等于AOC 的面积的34时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点,,,B D M N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．数学试题参考答案1-10DADCB CBADA 11、()()11mn m m +-12、13132x ≥-且3x ≠．14、115、2216、8317（﹣1，5）18219（1）原式34(2142=⨯--+-+，214=-+-，3=+；（2）原式21111(1)1a a a a a -+=-⨯-+-，1111a a =--+，11(1)(1)a a a a +-+=-+，221a =-，当a ==()222213121===--．20（1）1836%50÷=(人)，故答案为：50；（2）()50481820-++=补全图形如下：（3）2036014450⨯︒=︒，故答案为：144；（4）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，其中是“一男一女”的有8种情况，∴一男一女的概率为：P （一男一女）=82=123．21（1）由题意得：1||42AOC S k ∆==∴||8k =，8k =±又∵反比例函数图象经过第二、四象限∴8k =-，8y x -=当2x =-时，842a -==-；当1y =-时，81b-=-，解得8b =（2）由图象可以看出kmx n x+>的解集为2x <-或08x <<（3）如图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，直线A ′B 与y 轴交于P ，此时PA -PB 最大（PB -PA =PB -PA ′≤A ′B ，共线时差最大）∵()2,4A -关于y 轴的对称点为()2,4A '，又()8,1B -，则直线A B '与y 轴的交点即为所求P 点．设直线A B '的解析式为y cx d=+则2481c d c d +=⎧⎨+=-⎩解得56173c d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线A B '的解析式为51763y x =-+∴直线A B '与y 轴的交点为(170,3)．即点P 的坐标为()170,3P ．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了轴对称以及待定系数法求函数的关系式、线段的最值等知识，理解作点A 关于y 轴的对称点A ′，直线A ′B 与y 轴交于P ，此时PA -PB 最大．22解：（1）作PH AB ⊥交AB 的延长线于点H ∵906030PAB ∠=︒-︒=︒，904545PBH ∠=︒-︒=︒∴453015APB PBH PAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）设PH x =海里，则BH PH x ==海里，30402060AB =⨯=海里∵在Rt APH ∆中，tan 30PHAH︒=∴3203x x =+解得：1027.3225x =≈>．∴海监船继续向正东方向航行安全．23解：（1）BC 与O 相切．理由如下：如图，连接OD ．∵AD 平分BAC ∠，∴CAD OAD ∠=∠，又∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，∴CAD ODA ∠=∠，∴//OD AC ，∴90BDO C ∠=∠=︒又∵OD 为O 的半径，∴BC 与O 相切．（2）设O 的半径为r ，则OA OD r ==，6OB r =-，由（1）知90BDO ∠=︒，在Rt BOD ∆中，222OD BD OB +=，即222(6)r r +=-，解得2r =．∵23tan 2BD BOD OD ∠===，∴60BOD ∠=︒．∴21602360BOD ODF r S S S OD BD π∆=-=⋅⋅-阴影扇形，2160222360π⨯⨯=⨯⨯，23π=．24性质探究解：作CD ⊥AB 于D ，如图①所示：则∠ADC=∠BDC=90°，∵AC=BC ，∠ACB=120°，∴AD=BD ，∠A=∠B=30°，∴AC=2CD ，CD ，∴CD ，∴232AB AC CD==；(；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：AC=2CD ，CD ，∵∴，解得：CD=1，∴，∴△ABC 的面积=12AB×CD=12；（2）①证明：∵EF=EG=EH ，∴∠EFG=∠EGF ，∠EGH=∠EHG ，∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH ；②解：连接FH ，作EP ⊥FH 于P ，如图②所示：则PF=PH ，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，∵EF=EH ，∴∠EFH=30°，∴PE=12EF=10，∴，∴，∵点M 、N 分别是FG 、GH 的中点，∴MN 是△FGH 的中位线，∴MN=12类比拓展解：如图③所示：作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，∴BD=CD ，∠BAD=12∠BAC=α，∵sin BD AB α=，∴BD=AB×sinα，∴BC=2BD=2AB×sinα，∴2sin 2sin BC AB AB ABαα⋅==；故答案为：2sinα（或2sin :1α）．25（1）设A 种商品每件的进价为x 元，B 种商品每件的进价为()20x -元．依题意得2000120020x x =-，解得50x =，经检验50x =是原方程的解且符合题意当50x =时，2030x -=．答：A 种商品每件的进价为50元，B 种商品每件的进价为30元；（2）设购进A 种商品a 件，购进B 种商品()40a -件，依题意得5030(40)15601(40)2a a a a +-⎧⎪⎨-⎪⎩ 解得40183a ，∵a 为整数∴14,15,16,17,18a =．∴该商店有5种进货方案；（3）设销售A 、B 两种商品总获利y 元，则()()()()805045304015600y m a a m a =--+--=-+．①当15m =时，150m -=，y 与a 的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；②当1015m <<时，150m ->，y 随a 的增大而增大，∴当18a =时，获利最大，即在（2）的条件下，购进A 种商品18件，购进B 种商品22件，获利最大；③当1520m <<时，150m -<，y 随a 的增大而减小，∴当14a =时，获利最大，∴在（2）的条件下，购进A 种商品14件，购进B 种商品26件，获利最大．26（1）由题意得124206b a a b c c ⎧-=⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩，解得34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩故抛物线的函数表达式为233642y x x =-++（2）过点D 作DE x ⊥轴于点E ，交BC 于点G ，过点C 作CF ED ⊥交ED 的延长线于点F．∵点A 的坐标为()2,0-，∴2OA =∵点C 的坐标为()0,6∴6OC =∴1126622AOC S OA OC ∆=⋅=⨯⨯=∴3396442BCD AOC S S ∆∆==⨯=当0y =时，2336042x x -++=，解得12x =-，24x =.∴()4,0B 设直线BC 的函数表达式为y kx n=+则406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+．则点D 的坐标为236,342m m D m -++，点G 的坐标为3,62()G m m -+，∴2233336634224DG m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭∵点B 的坐标为()4,0，∴4OB =．∴1122BCD CDG BDG S S S DG CF DG BE ∆∆∆=+=⋅+⋅2211133()34622242DG CF BE DG BO m m m m ⎛⎫=+=⋅=⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭．则有239622m m -+=解得11m =(不合题意，舍去)，23m =．∴m 的值为3．（3）存在，点M 的坐标为()8,0，()0,0，，()在233642y x x =-++中，当3x =时，154y =，∴43,15D ．分三种情况讨论：①当DB 为对角线时，如图（1），易知点D 与点N 关于直线1x =对称．∴151,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，4DN =，∴4BM =，又∵()4,0B ，∴()18,0M ②当DM 为对角线时，如图（2），151,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，4DN =，∴4BM =．又∵()4,0B ，∴()20,0M ③当DN 为对角线时．∵43,15D ，易知点N 的纵坐标为154-．将154y =-代入233642y x x =-++中，得233156424x x -++=-，解得1114x =+，2114x =-．当114x =+时，点N 的位置如图（3）所示，则15114,4N ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭分别过点,D N 作x 轴的垂线，垂足分别为点,E Q ，易证DEM NQB ∆∆≌．∵1144143BQ =-=，∴143EM =，又∵()3,0E ，∴)314,0M 当114x =时，点N 的位置如图（4）所示，则15114,4N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。
2020年甘肃天水中考数学试卷(解析版)
2020年甘肃天水中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列四个实数中，是负数的是（ ）．A. B. C. D.2.天水市某网店年父亲节这天的营业额为元，将数用科学记数法表示为（ ）．A. B. C. D.3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（ ）．弘扬伏羲文化A.文B.羲C.弘D.化4.某小组名学生的中考体育分数如下：，，，，，，，．该组数据的众数、中位数分别为（ ）．A.，B.，C.，D.，5.如图所示，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接，，若，则的度数为（ ）．A.B.C.D.6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．A.B.C.D.7.若函数（）的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）．A.B.C.D.8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）．A.B.C.D.9.若关于的不等式只有个正整数解，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.10.观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：， ，，，，，若，用含的式子表示这组数据的和是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11.分解因式： ．12.一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ．13.已知函数，则自变量的取值范围是 ．14.已知，，则的值为 ．15.如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 ．16.如图所示，若用半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．17.如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为 ．18.如图，在边长为的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．若，则的长为 ．三、解答题（本大题共8小题，共78分）（1）（2）19.解答下列问题．计算：．先化简，再求值：，其中．20.为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中的信息，解决下列问题：（1）（2）（3）（4）不满意一般满意非常满意满意人数程度非常满意不满意一般满意此次调查中接受调查的人数为 人．请你补全条形统计图．扇形统计图中“满意”部分的圆心角为 度．该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的位市民中随机选择位进行回访，已知这位市民中有位男性，位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．（1）（2）（3）21.如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为．分别求出和的值．结合图象直接写出中的取值范围．在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．北东北22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．（1）（2）求的度数．已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：）（1）（2）23.如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．OBACDFE试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由．若，，求阴影部分的面积（结果保留）．（1）12（2）（3）24.请回答下列各题性质探究如图，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为 ．图理解运用若顶角为的等腰三角形的周长为则它的面积为 ．如图，在四边形中，．在边，上分别取中点，，连接．若，，求线段的长．图M 类比拓展顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 ．（用含的式子表示）25.（1）（2）（3）天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多元，用元购进种商品和用元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为元，种商品每件的售价定为元．种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？商店计划用不超过元的资金购进、两种商品共件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这件商品获得总利润最大的进货方案．（1）（2）（3）26.如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．求抛物线的函数表达式．当的面积等于的面积的时，求的值．在（）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解析:．故选．解析:正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，“弘”与“文”是相对面；“扬”与“羲”是相对面；“伏”与“化”是相对面．故选．解析:个数据中出现三次，出现次数最多，所以众数为，将个数据按大小顺序排列为：、、、、、、、，则中位数为第、个数的平均数，所以中位数为，综上所述，这组数据的众数、中位数分别为、．故选．解析:连接、，∵、分别与相切于，两点，∴，，∴，D 1.A 2.D 3.C 4.B 5.∴，∴．故选．解析:由函数的图象可得：，，，∴，∴函数的图象经过一、三、四象限，函数的图象经过一、三象限，故选．解析:根据题意可知：，∴，∵，，，∴，∴，解得：．故选．解析:解不等式：，又∵原不等只有个正整数解，∴，∴，C 6.B 7.A 8.D 9.∴，∴．故选．解析:由题意可知：，，∴，∵，∴原式．故选．解析:．故答案为：．解析:解方程，，∴或，当第三边长为时，三角形三边长为，，，，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，舍去；A 10.11.12.当第三边长为时，三角形三边长为，，，符合三角形三边关系，可以组成三角形，则该三角形的周长为．故答案为：．解析:得且．解析:由题可得，即，则．解析:如图所示，连接，取格点和格点，∴，，，，，，在和中，，∴≌，∴，，∵，∴，且13.14.15.∴，又∵，∴，∴．故答案为：．16.解析:∵半径为，圆心角为，∴弧长，∴，∴底面周长为，圆的周长，∴，∴，∴底面半径为．17.解析:如图，过点作轴的垂线段，垂足为．过点作轴的垂线段，垂足为．连接，交于点．∵四边形是正方形，∴，，，在与中，，∴，，∴，∴，∵点与点关于点对称，∴点的坐标为．18.解析:∵绕点顺时针旋转得到，∴≌，∴，，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∴，（1）（2）∵，∴，设，则，，∴在中，，∴，解得：，∴．故答案为：．解析:．，当时，．解析:（1）．（2），．19.（1）（2）画图见解析．（3）（4）．20.（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）∵非常满意的有人，占，∴此次调查中接受调查的人数：（人）．由可知此次调查中接受调查的人数为：人，其中“满意”的人数为：（人），则补全条形统计图如下：不满意一般满意非常满意满意人数程度由可知“满意”的人数为：（人），则扇形图中“满意”部分对应扇形的圆心角为：．画树状图得：开始男男女女男女女男女女男男男男女女∵共有种等可能的结果，选择的市民刚好是“一男一女”的情况是种．∴选择的市民刚好是“一男一女”的概率为：．解析:由题意得：，∴，，又∵反比例函数图象经过第二、四象限，∴，，当时，；当时，，解得．由图象得，当或时，．∵关于轴的对称点为，又，则直线与轴的交点即为所求点．（1）， .（2）或．（3）．21.（1）（2）（1）设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，∴直线与轴的交点为，即点的坐标为．解析:作交的延长线于点，北东北则，，∴．设海里，则海里，海里，在中，，∴，解得：．∴海监船继续向正东方向航行安全．解析:连接，OBAC DF E∵平分，∴，（1）．（2）安全．22.（1）与⊙相切．证明见解析．（2）．23.（2）（1）1（2）又∵，∴，∴，∴∴又∵为⊙的半径，∴与⊙相切．设⊙的半径为，则，，由（）知，在中，，即，解得．∵，∴，∴．解析:过点作于点，图∵是等腰三角形，，∴，，∴，∴．如图所示：阴影扇形（1）或12（2）（3）或24.（2（3）图同上得：，，∴，：解得：，∴，∴的面积．∵，，∴，又∵，∴，连接，图M∵，∴为顶角为的等腰三角形，∴，∵、分别为，的中点，∴为的中位线，∴．如图所示：作于，（1）（2）（3）图3∵，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案为：．解析:设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元．依题意得，解得，经检验是原方程的解且符合题意，当时，，答：种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元．设购进种商品件，购进种商品件，依题意得，解得，∵为整数，∴，，，，，∴该商品有种进货方案．设销售、两种商品总获利元，则，①当时，，与的取值无关，即（）中五种方案都获利元，（1）种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元．（2）种．（3）①当时，与的取值无关，即（）中五种方案都获利元，②当时，获利最大，购进种商品件，购进种商品件，③当时，获利最大，购进种商品件，购进种商品件．25.（1）（2）②当时，，随的增大而增大，∴当时，获利最大，即在（）的条件下，购进种商品件，购进种商品件，获利最大，③当时，，随的增大而减小，∴当时，获利最大，即在（）的条件下，购进种商品件，购进种商品件，获利最大．解析:由题意得，解得，故抛物线的函数表达式为．过点作轴于点，交于点，过点作交的延长线于点．∵点的坐标为，∴，∵点的坐标为，∴，∴，∴，当时，，解得，，（1）．（2）．（3）点的坐标为，，，．26.（3）∴．设直线的函数表达式为，则，解得，∴直线的函数表达式为，则点的坐标为，点的坐标为，∴，∵点的坐标为，∴，∴．则有，解得（不合题意，舍去），，∴的值为．存在点的坐标为，，，．分三种情况讨论：①当为对角线时，如图（），图易知点与点关于直线对称．∴，，∴，又∵，∴，②当为对角线时，如图（），，，图∴，又∵，∴，③当为对角线时，∵，易知点的纵坐标为，将代入中，得，解得，，当时，点的位置如图（）所示，图则，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，易证≌，∵，∴，又∵，∴，当时，点的位置如图（）所示，图则，同理易得点的坐标为，综上所述，点的坐标为，，，．。
天水市中考数学试卷及答案解析
2020年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若x与3互为相反数，则|x+3|等于（）A．0 B．1 C．2 D．32．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣14．下列说法正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg 的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（）A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A．B． C． D．7．关于的叙述不正确的是（）A． =2B．面积是8的正方形的边长是C．是有理数D．在数轴上可以找到表示的点8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=．A．①②B．②③C．①③D．都不是=（）9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影A．2π B．πC．πD．π10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．若式子有意义，则x的取值范围是．12．分解因式：x3﹣x= ．13．定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= ．14．如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′=．15．观察下列的“蜂窝图”则第n个图案中的“”的个数是．（用含有n的代数式表示）16．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．17．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是．18．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是．（只填写序号）三、解答题（本大题共3小题，共28分）19．（1）计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（π﹣）0（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣1．20．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P 的最短距离．（结果保留根号）21．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．类别频数（人数）频率小说 0.5戏剧 4散文 10 0.25其他 6合计 1根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）八年级一班有多少名学生？（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．四、解答题（共50分）22．如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．23．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A 型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？25．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．26．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2020年甘肃省天水市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若x与3互为相反数，则|x+3|等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】15：绝对值；14：相反数．【分析】先求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵x与3互为相反数，∴x=﹣3，∴|x+3|=|﹣3+3|=0．故选A．2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得横着的“”字，故选C．3．下列运算正确的是（）A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1【考点】4H：整式的除法；35：合并同类项；49：单项式乘单项式．【分析】直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、2x+y无法计算，故此选项错误；B、x•2y2=2xy2，正确；C、2x÷x2=，故此选项错误；D、4x﹣5x=﹣x，故此选项错误；故选：B．4．下列说法正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次【考点】X3：概率的意义．【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；故选A．5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg 的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（）A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：130 000 000kg=1.3×108kg．故选：D．6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A．B． C． D．【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，∴cos∠B==．故选B．7．关于的叙述不正确的是（）A． =2B．面积是8的正方形的边长是C．是有理数D．在数轴上可以找到表示的点【考点】27：实数．【分析】=2，是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是8的正方形的边长，由此作判断．【解答】解：A、=2，所以此选项叙述正确；B、面积是8的正方形的边长是，所以此选项叙述正确；C、=2，它是无理数，所以此选项叙述不正确；D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示的点；所以此选项叙述正确；本题选择叙述不正确的，故选C．8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=．A．①②B．②③C．①③D．都不是【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象；R5：中心对称图形．【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点．【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形．故选C9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（）A．2π B．πC．πD．π【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算．【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE +S△BEC．【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=ED=2，又∵∠BCD=30°，∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，∴OE=DE•cot60°=2×=2，OD=2OE=4，∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE•CE=﹣2+2=．故选B．10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s 的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH=AB=2，BH=AH=2，则BC=2BH=4，利用速度公式可得点P从B点运动到C 需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，DQ=BQ=x，利用三角形面积公式得到y=x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4，DQ=CQ=（8﹣x），利用三角形面积公式得y=﹣x+8，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x ≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．【解答】解：作AH⊥BC于H，∵AB=AC=4cm，∴BH=CH，∵∠B=30°，∴AH=AB=2，BH=AH=2，∴BC=2BH=4，∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，在Rt△BDQ中，DQ=BQ=x，∴y=•x•x=x2，当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4在Rt△BDQ中，DQ=CQ=（8﹣x），∴y=•（8﹣x）•4=﹣x+8，综上所述，y=．故选D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．若式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2且x≠0 ．【考点】72：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件．【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数．【解答】解：根据题意，得x+2≥0，且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0．故答案是：x≥﹣2且x≠0．12．分解因式：x3﹣x= x（x+1）（x﹣1）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解答】解：x3﹣x，=x（x2﹣1），=x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．13．定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2 ．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，故答案为：214．如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′=40°．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，再根据翻折变换的性质判断出四边形BCEC′是正方形，根据正方形的性质可得∠BEC=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BFC，再根据翻折变换的性质可得∠BFC′=∠BFC，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD，∠DAC=65°，∴∠ACD=90°﹣∠DAC=90°﹣65°=25°，∵△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，∴四边形BCEC′是正方形，∴∠BEC=45°，由三角形的外角性质，∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°，由翻折的性质得，∠BFC′=∠BFC=70°，∴∠AFC′=180°﹣∠BFC﹣∠BFC′=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为：40°．15．观察下列的“蜂窝图”则第n个图案中的“”的个数是3n+1 ．（用含有n的代数式表示）【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13‘个图案，由此可得出规律．【解答】解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”，∴第n个图案中共有“”为：4+3（n﹣1）=3n+1故答案为：3n+116．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．【考点】SA：相似三角形的应用．【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，解得AM=5m．则小明的影长为5米．17．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是 6 ．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LE：正方形的性质．【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于AC对称，即可求得△PBE周长的最小值，本题得以解决．【解答】解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，∵BE=1，BC=CD=4，∴CE=3，DE=5，∴BP′+P′E=DE=5，∴△PBE周长的最小值是5+1=6，故答案为：6．18．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是②⑤．（只填写序号）【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，所以②⑤正确，故答案为②⑤．三、解答题（本大题共3小题，共28分）19．（1）计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（π﹣）0（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣1．【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（π﹣）0=﹣1+2×+4﹣1=5；（2）（1﹣）÷=×=，当x=﹣1时，原式=．20．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P 的最短距离．（结果保留根号）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，如图，在Rt△APC中，利用余弦的定义计算出PC=10，利用勾股定理计算出AC=10，再判断△PBC 为等腰直角三角形得到BC=PC=10，然后计算AC﹣BC即可．【解答】解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=200，在Rt△APC中，∵cos∠APC=，∴PC=20•cos60°=10，∴AC==10，在△PBC中，∵∠BPC=45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴BC=PC=10，∴AB=AC﹣BC=10﹣10（海里）．答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10﹣10）海里．21．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．类别频数（人数）频率小说 0.5戏剧 4散文 10 0.25其他 6合计 1根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）八年级一班有多少名学生？（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．【解答】解：（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0.25，∴总人数=10÷0.25=40（人）；（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为×100%=15%，故答案为：15%；（3）画树状图，如图所示：所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，∴P（丙和乙）==．四、解答题（共50分）22．如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=，得：m=8，则反比例函数解析式为y=，当x=﹣4时，y=﹣2，则点B（﹣4，﹣2），将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，得：，解得：，则一次函数解析式为y=x+2；（2）由题意知BC=2，则△ACB的面积=×2×6=6．23．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．【考点】MD：切线的判定．【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD， =，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD， =，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE===4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A 型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得，答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得，解得：≤a≤，因为a是整数，所以a=6，7，8；则（10﹣a）=4，3，2；三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．25．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质．【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．26．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D 的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴为直线x==1；（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），∴0=﹣k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，∵CD=4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣=﹣1×4，∴k=a，∴直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE =S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值=﹣a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a=，解得a=﹣；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=1，x2=4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．2020年7月2日。
2020年甘肃省天水市中考数学试卷答案版
的市民为“一男一女”的概率．
21. 如图所示，一次函数 y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 y= （k≠0）的图象交于
第二、四象限的点 A（-2，a）和点 B（b，-1），过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为点 C ，△AOC 的面积为 4． 1 分别求出 a 和 b 的值；
2 结合图象直接写出 mx+n＞ 中 x 的取值范围；
法表示为（ ）
A. 3.41×105
B. 3.41×106
C. 341×103
D. 0.341×106
3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表 面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对
面上的汉字是（ ）
A. 文
B. 羲
C. 弘
D. 化
4. 某小组 8 名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42．该组 数 据的众数、中位数分别为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 若函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数 y=ax+b 和 y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
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A.
B.
C.
D.
8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的 高度，已知标杆 BE 高 1.5m，测得 AB=1.2m，BC=12.8m，则
23. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC、AB 于点 E、F． 1 试判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； 2 若 BD=2 ，AB=6，求阴影部分的面积（结果保留 π）．
2014年甘肃省天水市初三中考数学真题试卷含答案
2014年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）1．（4分）2014年天水市初中毕业生约47230人．将这个数用科学记数法表示为（）A．4.723×103B．4.723×104C．4.723×105D．0.4723×1052．（4分）要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x＜1C．x≤1D．x≠13．（4分）如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图（）A．B．C．D．4．（4分）把二次函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+2B．y＝﹣（x+1）2+2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2﹣25．（4分）在数据1、3、5、5、7中，中位数是（）A．3B．4C．5D．76．（4分）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（4分）已知函数y＝的图象如图，以下结论：①m＜0；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＜b；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．（4分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3B．4C．6D．89．（4分）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿线段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，是某公园的一角，∠AOB＝90°，的半径OA长是6米，点C是OA的中点，点D在上，CD∥OB，则图中草坪区（阴影部分）的面积是（）A．（3π+）平方米B．（π+）平方米C．（3π+9）平方米D．（π﹣9）平方米二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果）11．（4分）写出一个图象经过点（﹣1，2）的一次函数的解析式．12．（4分）若关于x的方程﹣1＝0有增根，则a的值为．13．（4分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为．14．（4分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cos A＝．15．（4分）如图，PA，PB分别切⊙O于点A、B，点C在⊙O上，且∠ACB＝50°，则∠P ＝．16．（4分）天水市某校从三名男生和两名女生中选出两名同学做为“伏羲文化节”的志愿者，则选出一男一女的概率为．17．（4分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y＝的图象于点C，则△OAC的面积为．18．（4分）如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（）三、解答题（本题3个小题，共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程）19．（9分）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN＝60°，∠BMN＝45°．（1）计算AB的长度．（2）通过计算判断此车是否超速．20．（9分）空气质量的优劣直接影响着人们的身体健康．天水市某校兴趣小组，于2014年5月某一周，对天水市区的空气质量指数（AQI）进行监测，监测结果如图．请你回答下列问题：（1）这一周空气质量指数的极差、众数分别是多少？（2）当0≤AQI≤50时，空气质量为优．这一周空气质量为优的频率是多少？（3）根据以上信息，谈谈你对天水市区空气质量的看法．21．（10分）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．四、解答题（本题5个小题，共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）22．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE＝∠CDF．（1）求证：AE＝CF；（2）连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．23．（9分）如图，⊙M过坐标原点O，分别交两坐标轴于A（1，O），B（0，2）两点，直线CD交x轴于点C（6，0），交y轴于点D（0，3），过点O作直线OF，分别交⊙M于点E，交直线CD于点F．（1）∠CDO＝∠BAO；（2）求证：OE•OF＝OA•OC；（3）若OE＝，试求点F的坐标．24．（9分）天水市某校为了开展“阳光体育”活动，需购买某一品牌的羽毛球，甲、乙两超市均以每只3元的价格出售，并对一次性购买这一品牌羽毛球不低于100只的用户均实行优惠：甲超市每只羽毛球按原价的八折出售；乙超市送15只羽毛球后其余羽毛球每只按原价的九折出售．（1）请你任选一超市，一次性购买x（x≥100且x为整数）只该品牌羽毛球，写出所付钱y（元）与x之间的函数关系式．（2）若共购买260只该品牌羽毛球，其中在甲超市以甲超市的优惠方式购买一部分，剩下的又在乙超市以乙超市的优惠方式购买．购买260只该品牌羽毛球至少需要付多少元钱？这时在甲、乙两超市分别购买该品牌羽毛球多少只？25．（12分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h＝2.6时，求y与x的函数关系式．（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？26．（12分）如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE＝90°，CD＝4，DE＝4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC＝h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．2014年甘肃省天水市中考数学试卷参考答案与试卷解析一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将47230用科学记数法表示为：4.723×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．3．【分析】根据三视图想象立体图形，从主视图可以看出左边的一列有两个，左视图可以看出左边的一列后面一行有两个，俯视图中右边的一列有两排，综合起来可得解．【解答】解：从主视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一个；从左视图可以看出左边的一列后面一行有两个，右边的一列只有一个；从俯视图可以看出右边的一列有两排，右边的两列只有一排（第二排）．故选：A．【点评】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．4．【分析】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），先向右平移1个单位，再向上平移2个单位那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k代入2得：y＝﹣（x﹣1）2+2．故选：A．【点评】抛物线平移不改变a的值，利用平移规律解答．5．【分析】根据中位数的概念求解．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1、3、5、5、7，则中位数为：5．故选：C．【点评】本题考查了中位数的概念，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．【分析】根据平面的性质和平行四边形的判定求解．【解答】解：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．故选：C．【点评】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系．注意图形结合的解题思想．7．【分析】利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征对每个小题逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，可得m＜0，故正确；②在每个分支上y随x的增大而增大，正确；③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＞b，错误；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上，正确，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握其性质，难度不大．8．【分析】由折叠特性可得CD＝BC′＝AB，∠FC′B＝∠EAB＝90°，∠EBC′＝∠ABC ＝90°，推出∠ABE＝∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根据△ABE和△BC′F的周长＝2△ABE的周长求解．【解答】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD＝BC′＝AB，∠FC′B＝∠EAB＝90°，∠EBC′＝∠ABC＝90°，∵∠ABE+∠EBF＝∠C′BF+∠EBF＝90°∴∠ABE＝∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝1+2＝3，△ABE和△BC′F的周长＝2△ABE的周长＝2×3＝6．故选：C．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等．9．【分析】分点P在弧AB上，在线段BO上，线段OA上三种情况讨论得到OP的长度的变化情况，即可得解．【解答】解：点P在弧AB上时，OP的长度y等于半径的长度，不变；点P在BO上时，OP的长度y从半径的长度逐渐减小至0；点P在OA上时，OP的长度从0逐渐增大至半径的长度．纵观各选项，只有D选项图象符合．故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据点P的位置分点P在弧上与两条半径上三段讨论是解题的关键．10．【分析】连接OD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠CDO＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠COD＝60°，根据两直线平行，内错角相等可得∠BOD＝∠CDO，然后根据S阴影＝S△COD+S扇形OBD列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接OD，∵∠AOB＝90°，CD∥OB，∴∠OCD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣90°＝90°，∵点C是OA的中点，∴OC＝OA＝OD＝×6＝3米，∴∠CDO＝30°，∴∠COD＝90°﹣30°＝60°，∴CD＝OC＝3，∵CD∥OB，∴∠BOD＝∠CDO＝30°，∴S阴影＝S△COD+S扇形OBD，＝×3×3+，＝+3π．故选：A．【点评】本题考查了扇形的面积计算，主要利用了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，作辅助线，把阴影部分分成直角三角形和扇形两个部分是解题的关键．二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果）11．【分析】由图象经过（﹣1，2）点可得出k与b的关系式b﹣k＝2，即可任意写出一个满足这个关系的一次函数解析式．【解答】解：设函数的解析式为y＝kx+b，将（﹣1，2）代入得b﹣k＝2，故答案可为：y＝x+3．【点评】解答本题关键是确定k与b的关系式．12．【分析】增根是将分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程后的方程中算出未知字母的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得ax+1﹣（x﹣1）＝0，（a﹣1）x＝﹣2，∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1＝0，即增根为x＝1，把x＝1代入整式方程，得a＝﹣1；a﹣1＝0时，方程无解，解得a＝1．∴关于x的方程﹣1＝0有增根，则a的值为﹣1故答案为：﹣1．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．13．【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2＝现在价格，设出未知数，列方程解答即可．【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，125（1﹣x）2＝80，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）；故答案为：20%【点评】本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2＝现在价格．14．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．【解答】解：如图，由勾股定理得AC＝2，AD＝4，cos A＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边．15．【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质求出∠OAP＝∠OBP＝90°，根据多边形的内角和定理求出即可．【解答】解：连接OA、OB，∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，点C在⊙O上，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣100°﹣90°＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质的应用，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．16．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，∴选出一男一女的概率为：＝．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】由于AB⊥x轴，根据反比例函数k的几何意义得到S△AOB＝3，S△COB＝1，然后＝S△AOB﹣S△COB进行计算．利用S△AOC【解答】解：∵AB⊥x轴，＝×|6|＝3，S△COB＝×|2|＝1，∴S△AOB＝S△AOB﹣S△COB＝2．∴S△AOC故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k ≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．18．【分析】根据旋转的性质，可得图形的大小形状没变，可得答案．【解答】解：y＝﹣x（x﹣1）（0≤x≤1），OA1＝A1A2＝1，P2P4＝P1P3＝2，P2（1.5，﹣0.25）P10的横坐标是1.5+2×[（10﹣2）÷2]＝9.5，p10的纵坐标是﹣0.25，故答案为（9.5，﹣0.25）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，注意旋转前后的图形大小与形状都没发生变化是解题关键．三、解答题（本题3个小题，共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程）19．【分析】（1）已知MN＝30m，∠AMN＝60°，∠BMN＝45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．【解答】解：（1）在Rt△AMN中，MN＝30，∠AMN＝60°，∴AN＝MN•tan∠AMN＝30．在Rt△BMN中，∵∠BMN＝45°，∴BN＝MN＝30．∴AB＝AN+BN＝（30+30）米；（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∴此车的速度为：（30+30）÷6＝5+5≈13.66，∵60千米/时≈16.66米/秒，∴13.66＜16.66∴不会超速．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．20．【分析】（1）根据极差、众数的定义求解即可；（2）先计算出当0≤AQI≤50时的天数，再除以7即可；（3）根据极差可以看出天水市区空气质量差别较大，再由众数可得出天水市区的空气质量指数较多集中在30～50之间，空气质量为一般．【解答】解：（1）把这七个数据按照从小到大排列为30，35，40，50，50，70，73，极差为73﹣30＝43，众数为50；（2）空气质量为优的天数为5天，则频率为；（3）由上面的信息可得出，天水市区的空气质量指数较多集中在30～50之间，空气质量为一般．【点评】本题考查了条形统计图、频率与频数以及众数、极差，是基础题，难度不大．21．【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDA+∠ADO ＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE＝EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即OD⊥CE，已知D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；（2）∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2+3＝5，OD＝3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD＝4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°，设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2+BC2，则（4+x）2＝x2+（5+3）2，解得：x＝6，即BE＝6．【点评】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．四、解答题（本题5个小题，共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）22．【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CF；（2）求出BE＝BF，再求出DE＝DF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得BD垂直平分EF，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF；（2）四边形DEGF是菱形．理由如下：在正方形ABCD中，AB＝BC，∵AE＝CF，∴AB﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴BD垂直平分EF，又∵OG＝OD，∴四边形DEGF是菱形．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．23．【分析】（1）利用tan∠CDO＝cot∠BAO求出∠CDO＝∠BAO，（2）连接AE，圆周角相等得出△OCF∽△OEA．再利用比例式求证．（3）先求出OF的长度，再利用方程组求出交点，得出点F的坐标．【解答】证明：（1）如图：∵C（6，0），D（0，3），∴tan∠CDO＝＝＝2，∵A（1，O），B（0，2），tan∠BAO＝＝2，∴∠CDO＝∠BAO，（2）如图，连接AE，由（1）知∠CDO＝∠BAO，∴∠OCD＝∠OBA，∵∠OBA＝∠OEA，∴∠OCD＝∠OEA，∴△OCF∽△OEA，∴＝∴OE•OF＝OA•OC；（3）由（2）得OE•OF＝OA•OC，∵OA＝1，0C＝6，OE＝，∴OF═＝＝2设F（x，y）∴x2+y2＝8，∵直线CD的函数式为：y＝﹣x+3∴组成的方程组为，解得或∴F的坐标为：（2，2）或（，）．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是利用圆周角相等得出△OCF∽△OEA．24．【分析】（1）根据题意可得出两个关系式；（2）可设在甲超市购买羽毛球a只，乙超市购买羽毛球（260﹣a）只，所花钱数为W 元，可列出W与a的函数关系式，再根据题意列出关于a的不等式组，求a的范围，然后利用一次函数的性质进行解答．【解答】解：（1）甲超市：y＝3×0.8x＝2.4x，乙超市：y＝3×0.9×（x﹣15）＝2.7x﹣40.5；（2）设在甲超市购买羽毛球a只，乙超市购买羽毛球（260﹣a）只，所花钱数为W元，W＝2.4a+2.7（260﹣a）﹣40.5＝﹣0.3a+661.5；∵∴100≤a≤160∵﹣0.3＜0，∴W随a的增大而减小，＝613.5，∴a＝160时，W最小260﹣160＝100（只）．答：至少需要付613.5元，应在甲超市购买160只，在乙超市购买100只．【点评】此题是一次函数的应用题，主要考查一次函数的性质及应用，以及解二元一次不等式的有关知识．25．【分析】（1）利用h＝2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点（0，2）代入解析式求出即可；（2）利用当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45，当y＝0时，（x﹣6）2+2.6＝0，分别得出即可；（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，或根据不等式即可得出答案．【解答】解：（1）∵h＝2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴抛物线y＝a（x﹣6）2+h过点（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，（2）当x＝9时，y＝（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+＞18，x2＝6﹣（舍去）故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得，此时二次函数解析式为：y＝（x﹣6）2+，此时球若不出边界h≥，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得，此时球要过网h＞，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．解法二：y＝a（x﹣6）2+h过点（0，2）点，代入解析式得：2＝36a+h，若球越过球网，则当x＝9时，y＞2.43，即9a+h＞2.43解得h＞球若不出边界，则当x＝18时，y≤0，解得h≥．故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．26．【分析】（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME＝∠CMA，所以欲求∠BME的度数，需求∠CMA的度数．根据三角形外角定理进行解答即可；（2）如图3，通过解直角△BOC来求BC的长度；（3）需要分类讨论：①h＜2时，②2≤h＜6﹣2时，③6﹣2≤h≤6时，依此即可求解．【解答】解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA＝OB，∴∠OAB＝45°，∵∠CDE＝90°，CD＝4，DE＝4，∴tan∠OCE＝＝，∴∠OCE＝60°，∴∠CMA＝∠OCE﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°，∴∠BME＝∠CMA＝15°；（2）如图3，∵∠CDE＝90°，CD＝4，DE＝4，∴∠OBC＝∠DEC＝30°，∵OB＝6，∴BC＝4；（3）①当h＜2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∵CD＝4，DE＝4，AC＝h，AN＝NM，∴CN＝4﹣FM，AN＝MN＝4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴＝，∴＝，解得FM＝4﹣，﹣S△EGM∴S＝S△EDC＝×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣h）＝﹣h2+4h+8，S最大＝15﹣．②当2≤h＜6﹣2时，S＝S△AOB﹣S△ACM＝×6×6﹣h（h+）＝18﹣h2，S最大＝15﹣．③如图3，当6﹣2＜h≤6时，S＝S△OMC＝OB×OC＝（6﹣h）2，S最大＝6．综上所述，S＝．【点评】本题考查了相似综合题．此题综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理，难度较大．对于第（3）题这类关于动点问题，需要分类讨论，以防漏解．。
2021年甘肃省天水市数学中考真题含答案解析
12021年甘肃省天水市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来）1．（4分）（2015•天水）若a与1互为相反数,则|a+1|等于（ ） A．﹣1B．0C．1D．2
2．（4分）（2015•天水）如图是某几何体的三视图,该几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．正三棱柱D．正三棱锥
3．（4分）（2015•天水）某种细胞的直径是0.000067厘米,将0.000067用科学记数法表示为（ ）
A．
6.7×10
﹣5B．6.7×10﹣6C．0.67×10﹣5D．6.7×10﹣6
4．（4分）（2015•天水）在天水市汉字听写大赛中,10名学生得分情况如表人数3421分数80859095那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是（ ）
A．85和82.5B．85.5和85C．85和85D．85.5和80
5．（4分）（2015•天水）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1,1）,则a+b+1的值是（ ） A．﹣3B．﹣1C．2D．3
6．（4分）（2015•天水）一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形,则该圆柱的底面圆半径是（ ）
A．B．C．
或D．或
7．（4分）（2015•天水）如图,将矩形纸带ABCD,沿EF折叠后,C、D两点分别落在C′、D′的位置,经测量得∠EFB=65°,则∠AED′的度数是（ ）
A．65°B．55°C．50°D．
25° 2
8．（4分）（2015•天水）如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为,则点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（4分）（2015•天水）如图,AB为半圆所在⊙O的直径,弦CD为定长且小于⊙O的半径（C点与A点不重合）,CF⊥CD交AB于点F,DE⊥CD交AB于点E,G为半圆弧上的中
【数学】2019甘肃省天水市中考真题(解析版)
2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）1．已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．﹣1或﹣3D．1或﹣3【答案】C【解析】∵|a|＝1，b是2的相反数，∴a＝1或a＝﹣1，b＝﹣2，当a＝1时，a+b＝1﹣2＝﹣1；当a＝﹣1时，a+b＝﹣1﹣2＝﹣3；综上，a+b的值为﹣1或﹣3，故选：C．2．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A．73×10﹣6B．0.73×10﹣4C．7.3×10﹣4D．7.3×10﹣5【答案】D【解析】0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5，故选：D．3．如图所示，圆锥的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．4．一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED ＝50°，那么∠BF A的大小为（）A．145°B．140°C．135°D．130°【答案】B【解析】∠FDE＝∠C+∠CED＝90°+50°＝140°，∵DE∥AF，∴∠BF A＝∠FDE＝140°．故选：B．5．下列运算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a2+a2＝a4C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a6【答案】A【解析】A选项，积的乘方：（ab）2＝a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2＝2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3＝a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3＝a5，错误故选：A．6．已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（）A．2B．﹣2C．﹣4D．﹣3【答案】B【解析】∵2a+2b﹣3＝2（a+b）﹣3，∴将a+b＝代入得：2×﹣3＝﹣2，故选：B．7．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率＝＝．故选：C．8．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）【答案】B【解析】过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH＝1，BH＝．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．10．已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM 的长有最小值．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。
2022甘肃天水中考数学解析(高波)(邱审)修改稿
2022年甘肃省天水市中考数学试卷〔总分值150分，考试时间120分钟〕A卷〔100分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来〕1．〔2022甘肃天水，1，4分〕四个数－3，0，1，π中的负数是〔〕A．－3B．0C．1D．π【答案】A．【逐步提示】此题考查了正、负数的识别，解题的关键是认识到大于0的数是正数，小于0的数是负数，在正数前面添加“－〞就得到负数．0既不是正数，也不是负数．【详细解答】解：－3是负数；0既不是正数，也不是负数；1和π都是正数．应选择A．【解后反思】解决这类问题时，不能认为只要带有“－〞的数就是负数，要从化简后的结果上看，例如－(－2)表示－2的相反数，结果是一个正数2．【关键词】正数和负数2．〔2022甘肃天水，2，4分〕以下四个几何体中，左视图为圆的是〔〕A．B．C．D．【答案】D．【逐步提示】此题考查了常见几何体的三视图问题，解题的关键是熟知常见几何体的三视图的形状．对圆柱、圆台、圆锥、球四个几何体的左视图进行确认、比较即可锁定答案．【详细解答】解：因为圆柱的左视图是长方形，圆台的左视图是等腰梯形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，应选择D．【解后反思】三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，此题是要判断左视图为圆的几何体，关键是要分清上、下、左、右、前、后各个方位．此题所用的知识是：主视图是指从立体图形的正面看到的平面图，左视图是指从立体图形的左面看到的平面图，俯视图是指从立体图形的上面看到的平面图．另外，常见几何体三视图如下表所示：常见的几何体主视图左视图俯视图球圆圆圆正方体正方形正方形正方形圆柱长方形长方形圆圆锥三角形三角形带圆心的圆三棱柱长方形长方形三角形【关键词】三视图3．〔2022甘肃天水，3，4分〕以下事件中，必然事件是〔〕A．抛掷1枚骰子，出现6点向上B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．366人中至少有2个人的生日相同D．实数的绝对值是非负数【答案】D．【逐步提示】此题考查事件的分类，解题的关键是利用三类事件的意义逐一判断．首先易知抛掷1枚骰子，出现6点向上是随机事件；然后可得，只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；其次，利用抽屉原理，知在闰年〔366天〕里，366人中不一定有2个人的生日相同；最后由绝对值是非负数的性质知D选项为必然事件．【详细解答】解：抛掷1枚骰子，可能出现6点向上，也可能出现其它点数向上，所以A 中事件是随机事件．只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以B中事件是随机事件．由于闰年有366天，有可能出现这366人的生日一人占一天的情况，所以C中事件不是必然事件．对于选项D，由于正实数的绝对值是正数，0的绝对值是0，负实数的绝对值是正数，所以实数的绝对值一定是非负数，属于必然事件．应选择D．【解后反思】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．只有分清各种事件才能做出正确的判断.对于选项B中事件，由于阅读不细致、认真，易受思维定势的影响误认为是两条平行直线被第三条直线所截，从而认定同位角必定相等而错误地判断为必然事件．【关键词】必然事件；随机事件4．〔2022甘肃天水，4，4分〕以下汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．【答案】C．【逐步提示】此题考查对轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是利用轴对称和中心对称的定义进行逐一判断即可．【详细解答】解：易知A、D两选项中的图形只是轴对称图形，非中心对称图形；B选项中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C选项中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．应选择C．【解后反思】此题是以汽车标志图片，考查对轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是理解有关概念：把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的局部能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决这类问题可以根据轴对称图形和中心对称图形的定义，借助翻折和旋转两种图形变换方法，进行思维实验或操作实践，容易作出判断．【关键词】轴对称图形；中心对称图形5．〔2022甘肃天水，5，4分〕如图，直线AB∥CD，OG是∠EOB的平分线，∠EFD＝70°，那么∠BOG的度数是〔〕A．70°B．20°C．35°D．40°第5题图【答案】C．【逐步提示】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是利用平行线的性质及角平分的定义进行解答：首先由平行线的性质，得∠BOE 的度数；然后由角平分线的定义求∠GOB 的度数．【详细解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠EOB ＝∠EFD ＝70°．又∵OG 平分∠EOB ，∴∠BOG ＝12∠EOB ＝12×70°＝35°． ∴选择C ．【解后反思】由两条直线的位置关系〔平行〕得到相应角的数量关系〔同位角相等〕，这样就求出了∠EOB 的度数，而所求问题又恰好是∠EOB 的一半，从角平分线定义可以推导出来．所以说，如何充分利用题目中的条件，进行严谨地推理是解决好几何问题的常规方法．【关键词】平行线的性质；角的平分线定义6．〔 2022甘肃天水，6，4分〕反比例函数y ＝－1x 的图像上有两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，假设x 1＜0＜x 2，那么以下结论正确的选项是〔 〕A ．y 1＜y 2＜0B ．y 1＜0＜y 2C ．y 1＞y 2＞0D ．y 1＞0＞y 2 【答案】D ．【逐步提示】此题考查反比例函的性质，解题的关键是画出函数图像，采用数形结合的思想，直接观察获解．或者利用特殊值法进行求解：取第二、四两个象限的两点的横坐标，通过计算其纵坐标的大小即可．【详细解答】解：如以下列图所示：观察图像，发现假设x 1＜0＜x 2，那么y 1＞0＞y 2，应选择D ．【解后反思】此题是选择题型，求解时也可以采用特殊值法，可以令x 1＝－1，x 2＝1，然后将它们分别代入y ＝－1x求得y 1＝1，y 2＝－1，进而由1＞0＞－1得到y 1＞0＞y 2．所谓特殊值法，就是根据条件或答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断．当然，采用数形结合的思想，可直接观察获解．【关键词】反比例函数的图像；反比例函数的性质；数形结合思想；作图法；特殊值法 7．〔 2022甘肃天水，7，4分〕分式2(1)(2)1x x x -+-的值为0．那么x 的值是〔 〕 A ．－1 B ．－2C ．1D ．1或－2【答案】B ．【逐步提示】此题考查了分式的值为0的条件，解题的关键是根据这个条件列出方程和不等式．此题涉及到的知识：分式有意义的条件是分母不为0；分式的值为0的条件是分子为0，且分母不为0． 【详细解答】解：根据题意，得()()212010x x x ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解之得x ＝－2，应选择B ． 【解后反思】实际求解中，学生易无视分母不等于0的条件而错误地选择D ．【关键词】分式；分式值为0的条件8．〔 2022甘肃天水，8，4分〕1.58×106米的百万分之一大约是 〔 〕A ．初中学生小丽的身高B ．教室黑板的长度C ．教室中课桌的宽度D ．三层楼房的高度【答案】A ．【逐步提示】此题考查了学生对生活中的数据的认识及对科学记数法的掌握情况，解题的关键是先计算出1.58×106米的百万分之一具体等于多少，再结合生活实际估算．其中百万分之一＝6110． 【详细解答】解：1.58×106米的百万分之一＝1.58×106×6110＝1.58米，这和一位初中学生的身高相近，应选择A ．【解后反思】解决这类问题，一要对生活中各种物体的高度有一定的感性认识，可以用自己的身高展开比照、联想；二要熟练掌握幂的运算性质；三要掌握科学记数法．计算时，也可根据“1.58×106米的百万分之一＝1580000×11000000＝1.58米〞获解，只是书写较为烦琐． 【关键词】科学记数法；有理数的乘法法那么；估算法9．〔 2022甘肃天水，9，4分〕有一根40cm 的金属棒，欲将其截成x 根7cm 的小段和y 根9cm 的小段，剩余局部作废料处理，假设使废料最少，那么正整数x 、y 应分别为〔 〕A ．x ＝1，y ＝3B ．x ＝4，y ＝1C ．x ＝3，y ＝2D ．x ＝2，y ＝3【答案】C ．【逐步提示】此题考查了根据实际问题列代数式和求代数式的值的能力，解题的关键是把剩余局部的长度用含x 、y 的代数式表示出来，并把各选项中的数值一一代入，比较剩余局部代数式的值最小就选谁．【详细解答】解：在A 选项中，当x ＝1，y ＝3时，40－(1×7＋3×9)＝6〔cm 〕；在B 选项中，当x ＝4，y ＝1时，40－(4×7＋1×9)＝3〔cm 〕；在C 选项中，当x ＝3，y ＝2时，40－(3×7＋2×9)＝1〔cm 〕；在D 选项中，当x ＝2，y ＝3时，40－(2×7＋3×9)＝－1〔cm 〕，不合生活实际．应选择C ．【解后反思】此题系最优化方案设计问题，通过列代数式并求代数式的值进行比较来解决问题的．在解题过程中，其中D 选项中的数值代入计算获得的是负数，虽然是最小的，但要注意这不符合实际生活情境，不予考虑的．【关键词】列代数式；代数式的值；最值问题；最优化方案设计问题10．〔 2022甘肃天水，10，4分〕如图，边长为2的等边△ABC 和边长为1的等边△A ′B ′C ′，它们的边B ′C ′，BC 位于同一条直线l 上．开始时，点C ′与B 重合，△ABC 固定不动，然后把△A ′B ′C ′自左向右沿直线l 平移，移出△ABC 外〔点B ′与C 重合〕停止，设△A ′B ′C ′平移的距离为x ，两个三角形重合局部的面积为y ，那么y 关于x 的函数图像是〔 〕【答案】B ．【详细解答】解：如图1，由平移知PB ∥A ′B ′，PC ′∥AC ，∴∠PBC ′＝∠A ′B ′C ′，∠PC ′B ＝∠ACB ．图1又△A ′B ′C ′与△ABC 都是等边三角形，∴∠A ′B ′C ′＝60°，∠ACB ＝60°．∴∠PBC ′＝60°，∠PC ′B ＝60°．∴∠BPC ′＝180°－∠PBC ′－∠PC ′B ＝60°．∴△PBC ′是等边三角形．同理，可知图2中的△PB ′C 也是等边三角形．于是有：〔1〕当0≤x ＜1时，BC ′＝x ，yBC ′2x 2． 〔2〕当1≤x ≤2时，重合局部的面积就是△A ′B ′C ′的面积，yB ′C ′2＝． 〔3〕当2＜x ≤3时，B ′C ＝3－x ，y(3－x )2，即y(x －3)2． 综上，发现y 关于x 的函数图像由三局部组成，第一局部是抛物线yx 2的对称轴右侧的局部图像，中间局部是直线y＝上的一局部，第三局部是抛物线y(x －3)2的对称轴左侧的局部图像，只有选项B 符合要求，应选择B ．【关键词】等边三角形；二次函数的表达式；二次函数的图像；二次函数的性质；动面题型；分类讨论思想；数形结合思想．二、填空题〔本大题共8小题，每题4分，共32分．只要求填写最后结果〕11．〔 2022甘肃天水，11，4分〕函数y的自变量x 的取值范围是______． 【答案】x ＞－1．【逐步提示】求a ≥0；对于分式A B，要求B ≠0，综合这两点列不等式求解． 【详细解答】解：根据题意，得x ＋1＞0，解得x ＞－1．故答案为x ＞－1．【解后反思】解决这类问题：1．假设解析式是整式，那么自变量取全体实数；2．假设解析式是分式，那么自变量取使分母不为0的所有实数；3．假设解析式是偶次根式，那么自变量只取使被开方数为非负数的全体实数；4．假设解析式含有零指数或负整数指数幂，那么自变量应是使底数不等于0的所有实数；5．假设解析式是由多个条件限制，必须首先求出式子中各局部自变量的取值范围，然后再取其公共局部．此类问题要特别注意，只能就的解析式进行求解，而不能进行化简变形，特别是不能轻易地乘或除以含自变量的因式．【关键词】函数定义及其取值范围；二次根式；解一元一次不等式12．〔 2022甘肃天水，12，4分〕假设点P (a ，4－a )是第一象限的点，那么a 的取值范围图2是______．【答案】0＜a＜4．【逐步提示】此题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，解题的关键是根据第一象限的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，列一元一次不等式组求解．【详细解答】解：根据题意，得40aa>⎧⎨->⎩，解得0＜a＜4．故答案为0＜a＜4．【解后反思】点的坐标特点：设点P(m，n)，有：①假设点P在x轴上，那么n＝0；②假设点P在y轴上，那么m＝0；③假设点P在第一象限，那么m＞0，n＞0；④假设点P在第二象限，那么m＜0，n＞0；⑤假设点P在第三象限，那么m＜0，n＜0；⑥假设点P在第四象限，那么m＞0，n＜0．【关键词】象限坐标特征；一元一次不等式组的解法13．〔2022甘肃天水，13，4分〕规定一种运算“*〞，a * b＝13a－14b，那么方程x * 2＝1 * x 的解为______．【答案】x＝107．【逐步提示】此题以新定义的面貌，在考查学生阅读理解能力的同时，也考查了解一元一次方程，解题的关键是按规定a * b＝13a－14b，分别得到x * 2＝13x－14×2，1 * x＝13×1－14x，然后列方程、解方程获解．【详细解答】解：根据题意，得13x－14×2＝13×1－14x，解得x＝107．故答案为x＝107．【解后反思】看懂新定义的运算规那么，然后照葫芦画瓢是解答这类问题的常用思路和方法．在此题中如何将a * b的运算转化为常规的运算，由题意知是前一个数的13与后一个数的14的差，这样就将原新定义运算下的方程转化为普通的一元一次方程了，从而获解．【关键词】解一元一次方程；新定义题型14．〔2022甘肃天水，14，4分〕如图，直线y1＝kx(k≠0)与双曲线y2＝2x(x＞0)交于点A(1，a)，那么y1＞y2的解集为______．【答案】x＞1．【逐步提示】此题考查了一次函数和反比例函数，解题的关键是利用图像法进行解答：由y1＞y2，知直线在双曲线的上方，从而锁定自变量x的取值范围．第14题图【详细解答】解：如下列图，观察图像，发现在直线x＝1的右侧，直线y1＝kx的图像在双曲线y2＝2x(x＞0)的上方，即当x＞1时，y1＞y2，故答案为x＞1．【解后反思】此题是一次函数和反比例函数综合题型，比较同一坐标系下不同图像上同一自变量对应的函数值的大小比较是各地中考热点问题，考查了运用数形结合思想观图、识图，获取图像信息的能力，求解关键是把y1＞y2的问题转化为y1的图像与y2的图像的位置关系的问题．可以先找到两函数图像的分界点，然后确定出一次函数图像在反比例函数图像上方的局部所对应的自变量取值范围即可．在解答过程中，有局部学生会先求出a＝2，k＝2，然后由y1＞y2列得不等式2x＞2x，从而陷入陌生的问题中，不知如何求解或错误求解．再就是，对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝kx(k≠0)的函数值的大小比较中，要把x的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四局部进行分析．【关键词】一次函数的图像性质；反比例函数的图像性质；数形结合思想15．〔2022甘肃天水，15，4分〕将一些相同的“○〞按如下列图的规律依次摆放，观察每个“龟图〞中“○〞的个数，假设第n个“龟图〞中有245个“○〞，那么n＝______．【答案】16．【逐步提示】此题考查了从图形规律中得出数字规律以及解一元二次方程，解题的关键是通过归纳与总结，并结合图形得出数字之间的规律．解题时，首先认真观察图，寻找图形中蕴含的规律，并用不完全归纳法，用含有图形序号n的代数式表示出来；再根据第n个“龟图〞中有245个“○〞，得到关于n的方程，最后解方程即可求解．【详细解答】解：观察图形，发现每个“龟图〞中“○〞的个数为：第一个：1＋4＝1＋4＋0×1；第二个：1＋4＋2＝1＋4＋1×2；第三个：1＋4＋6＝1＋4＋2×3；第四个：1＋4＋12＝1＋4＋3×4；……第n个：1＋4＋(n－1)·n＝n2－n＋5．所以n2－n＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15〔舍去〕，故答案为16．【解后反思】实际中，局部学生在求解时没有仔细研究图形，仅是就每个图形数出个数，从而导致无法发现规律．另外，此题还有如下两种其他解法，现介绍如下：解二：先设第n个图形有y个“○〞，然后设y＝an2＋bn＋c，接下来，由n＝1时，y=5；n=2时，y=7；n=3时，y=11，列三元一次方程组54279311a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得115abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，从而得到y＝n2－n＋5．最后，把y=245代入获解，后续过程同上．第15题图解三：观察图中四个图形，图形分四块找规律：最上面都有1个，最下面都有2个，第二行有(n＋1)个，第二行下面是一个正方形，有(n－1)2个，故第n个图形中共有[1＋2＋(n ＋1)＋(n－1)2]个，即有(n2－n＋5)个，从而n2－n＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15〔舍去〕，故答案为16．【关键词】规律探索型问题；一元二次方程的解法——因式分解法；特殊与一般思想16．〔2022甘肃天水，16，4分〕如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB翻折，点A落在A′位置，假设OB＝5，tan∠BOC＝12，那么A′的坐标为______．【答案】(－35，45)．【逐步提示】此题是坐标系中的图形折叠问题，考查了坐标与图形的性质，主要涉及轴对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定等知识以及勾股定理的灵活运用．解题的关键是过点A′作A′E⊥OC于点E，将问题转化为求线段A′E和OE的长，然后根据第二象限的点的坐标特征得到点A′的坐标．其中最关键的是求线段A′E和OE的长．先根据OB＝5，tan∠BOC＝12，求出BC＝1，OC＝2．再设OC与A′B交于点F，由折叠及矩形的性质可证FO＝FB．然后设OF＝x，得FB＝x，CF＝2－x，进而在Rt△BCF中运用勾股定理构建方程求出x值，得到线段OF的长．最后，在Rt△OA′F中，结合A′E是斜边OF上的高及折叠产生的OA′＝OA＝1，综合运用勾定理及面积的不同表示方法就可求得A′E和OE的长．【详细解答】解：如图，过点A′作A′E⊥OC于点E，设OC与A′B交于点F．∵OB＝5，tan∠BOC＝BCOC＝12，∴BC＝1，OC＝2．∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，AB∥OC，OA＝BC＝1．∴∠OBA＝∠FOB．由折叠，知∠OBA＝∠FBO，∴∠FOB＝∠FBO．∴FO＝FB．设OF＝x，那么FB＝x，CF＝OC－OF＝2－x．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC2＋CF2＝FB2．∴12＋(2－x)2＝x2，解得x＝54．第16题图∴OF ＝54． 又由折叠，知OA ′＝OA ＝1，∠OA ′F ＝∠OAB ＝90°， ∴A ′F ＝22'OF A O -＝225()14-＝34． ∴S △OA ′F ＝12OA ′·A ′F ＝12OF ·A ′E ． ∴1×34＝54×A ′E ，解得A ′E ＝35． 又在Rt △OA ′E 中，OE ＝22''A O A E -＝2231()5-＝45． ∴点A ′的坐标是(－35，45)． 故答案为(－35，45)． 【解后反思】此题还可以从相似三角形的角度思考解决．如在求出OF ＝BF ＝54后，可得CF ＝OC －OF ＝2－54＝34，然后通过证明△OA ′E ∽△BFC ，产生相似比A E FC ′＝OE BC ＝OA BF ′，得到34A E ′＝1OE ＝154，从而求出线段A ′E 和OE 的长．这类沿着矩形对角线翻折的矩形折叠问题中，“等腰三角形△FOB 〞是一个根本图形结构，必须熟识并掌握其证明方法．【关键词】矩形的性质；轴对称变换；锐角三角函数的定义；勾股定理；在坐标系中求解几何图形中点的坐标；方程思想；数形结合思想；面积法17．〔 2022甘肃天水，17，4分〕如图，在△ABC 中，BC ＝6，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是优弧EF 上的一点，且∠EPF ＝50°，那么图中阴影局部的面积是______．【答案】6－109π． 【逐步提示】此题考查了切线的性质、扇形的面积公式、圆周角定理等知识，解题的关键是求出△ABC 的面积和扇形AEF 的面积．在解题时，〔1〕连结AD ，可得AD ⊥BC ，那么有AD ＝2，这样就能求得△ABC 的面积．〔2〕根据圆周角定理求得∠EAF ＝2∠EPF ＝100°，而半径，就可求得扇形EAF 的面积．〔3〕根据阴影局部的面积＝△ABC 的面积－扇形EAF 的面积求解．【详细解答】解：连结AD ，第17题图∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC，AD＝2．∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×2＝6．∵圆周角∠EPF与圆心角∠EAF对的是同一条弧，∴∠EPF＝12∠EAF．而∠EPF＝50°，∴∠EAF＝2∠EPF＝100°．∴S扇形EAF＝21002360π⨯＝109π．∴S阴影＝S△ABC－S扇形EAF＝6－109π．故答案为6－109π．【解后反思】求阴影局部面积时，一般考虑将不规那么的阴影图形，割〔或补〕成几个规那么图形的面积之和〔或差〕，从而代入公式求值．遇切点，连半径，是解关于圆的切线问题的最常用方法，此时，就得到△ABC的底边BC上的高与圆的半径了，只要再求出扇形的圆心角，一切问题就都迎刃而解了．【关键词】圆心角、圆周角定理；切线的判定与性质；扇形与弓形；面积法．18．〔2022甘肃天水，18，4分〕如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，那么以下结论：①abc＜0；②244b aca-＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－ca．其中正确的结论是______．〔只填写序号〕【答案】①③④．【逐步提示】此题考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是一元二次方程的根与系数的关系的灵活运用．在解题时，〔1〕由抛物线开口向下，得a＜0．由抛物线的对称轴在y轴的右侧，知a、b异号，从而b＞0；由抛物线与y轴交于正半轴，得c＞0，再由有理数乘法法那么即可判断出abc的符号了；〔2〕由抛物线与x轴的交点有两个，得b2－4ac＞0，而a＜0，从而244b aca-的符号由有理数的除法法那么易得；〔3〕由OA＝OC，得A(－c，0)，代入二次函数解析式，化简后即得a、b、c的数量关系了；〔4〕将OA·OB转化为A，B两点的横坐标的积，然后运用一元二次方程的根与系数的关系求解判断．【详细解答】解：〔1〕观察抛物线，分别根据其开口方向向下，对称轴在y轴的右侧及与y 第18题图轴交于正半轴，知a ＜0，b ＞0，c ＞0，所以abc ＜0，故结论①正确．〔2〕由于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0，而4a ＜0，那么244b ac a-＜0，故结论②错误． 〔3〕在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令x ＝0，得y ＝c ，所以OC ＝|c |＝c ．因为OA ＝OC ，所以OA ＝c ，点A 的坐标是(－c ，0)，将它代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0．又c ＞0，所以在两边同时除以c ，得ac －b ＋1＝0，故结论③正确．〔4〕设A (x 1，0)，B (x 2，0)(x 1＜0＜x 2)，那么x 1，x 2是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．根据根与系数的关系，得x 1·x 2＝c a ．又OA ·OB ＝|x 1|·|x 2|＝－x 1·x 2＝－c a ，即OA ·OB ＝－c a，故结论④正确． 综上，正确的结论是①③④，故答案为①③④．【解后反思】由抛物线在直角坐标系中的位置，容易确定a 、b 、c 的符号：抛物线开口方向决定a 的符号，当开口向上时，a ＞0，否那么a ＜0．由抛物线与y 轴的交点位置易知c 的符号：交于y 轴的正半轴，那么c ＞0；交于y 轴的负半轴，那么c ＜0；过原点，那么c ＝0．顶点横坐标〔或对称轴的位置〕可以确定b 的符号：假设对称轴为y 轴，那么b ＝0；假设对称轴在y 轴的右侧，那么a 、b 异号；假设对称轴在y 轴的左侧，那么a 、b 同号．抛物线与x 轴的交点个数由判别式的正负决定：有两个交点说明△＞0，有一个交点说明△＝0，无交点说明△＜0．【关键词】二次函数的图像；二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；函数图像型；数形结合思想三、解答题〔本大题共3小题，共28分．解答时写出必要的文字说明及演算过程〕19．〔 2022甘肃天水，19，8分〕〔1〕〔 2022甘肃天水，19〔1〕，4分〕(π－1)0＋tan60°＋2|．【逐步提示】此题考查实数运算，涉及二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点．解题的关键是先把式子中的每一局部计算出来，然后直接进行加减即可．【详细解答】(π－1)0＋tan60°＋2|＝3－12＝3－1＋2＝4．【解后反思】3；二是记错特殊角60°的三角函数值；三是去掉绝对值时忽略里面的是一个整体而忘加括号，从而发生符号变化错误．【关键词】实数的四那么运算；二次根式的化简；零指数幂；特殊角三角函数值的运用；绝对值〔2〕〔2022甘肃天水，19〔2〕，4分〕解不等式组()213 1 138 22x x x x -+⎧⎪⎨-⎪⎩①②，并把解集在数轴上表示出来．【逐步提示】此题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是先确定不等式组中的每一个不等式的解集，再确定其公共解集．【详细解答】解：解不等式①，得x≥－3．解不等式②，得x≤4．∴原不等式组的解集为－3≤x≤4，表示在数轴上，如下列图：【解后反思】在解一元一次不等式组时，我们遵循“分开解，集中求〞的原那么，而确定不等式组的解集通常有两种方法：〔1〕口诀歌：根据规律“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找〞．〔2〕数轴法：将不等组的两个不等式的解集在数轴上表示上，就可直观看出原不等式组的解集．另外，正确解不等式，注意是否要变号；在数轴上表示分两步，其一看是否含等号，有等号用实心圆点表示，无那么用空心圆圈表示；其二看不等号方向，“＜〞开口方同向左，反之那么开口向右．【关键词】一元一次不等式组的解法；数形结合思想20．〔2022甘肃天水，20，10分〕如下列图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C 的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，OA＝200米，山坡坡度为1 3〔即tan∠P AB＝13〕，且O、A、B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的垂直高度．〔测倾器的高度忽略不计，结果保存根号〕【逐步提示】此题考查解直角三角形的应用，解题的关键是通过作辅助线，将有关数据转化在直角三角形中用解三角形的知识进行解答．〔1〕在Rt△AOC中，直接利用三角函数容易求得电视塔OC的高度．〔2〕如何求此人所在位置点P的垂直高度呢解题的关键有三步：一是过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，产生两个新的直角三角形P AE和PFC；二是利用60°、45°以及坡度，发现AE＝3PE，PF＝CF＝OC－PE，PF＝OA＋AE；三选取PE 为未知数，通过设元列方程求解．【详细解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，OA＝200，∠CAO＝60°，∴OC＝OA·tan∠CAO＝200×tan60°＝2003〔米〕．设PE＝x米，∵tan∠P AB＝PEAE＝13，∴AE＝3x．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝2003－x，PF＝OA＋AE＝200＋3x．第20题图∵tan∠CPF＝CF PF，∴CFPF＝tan45°＝1，那么PF＝CF．∴200＋3x＝2003－x，解得x＝503－50．∴PE＝(503－50)米．答：电视塔OC的高度为2003米，此人所在位置点P的垂直高度为(503－50)米．【解后反思】此题涉及仰角、俯角和坡度等数学专用术语，应理解它们的含义，并能将非直角三角形问题转化为直角三角形来解，这是锐角三角函数的常规应用．直角三角形中一边和一锐角或两边，那么此直角三角形可解．因此，要能把所求的线段或角置于一些特殊的直角三角形中．假设无直角三角形，那么需要添加辅助线构造直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解．运用方程思想，寻元、设元、构造方程时常穿插其中．【关键词】解直角三角形；仰角、俯角问题；坡度、坡角问题；化归思想21．〔2022甘肃天水，21，10分〕近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．根本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如下列图的不完整的三种统计图表．请结合统计图表，答复以下问题：〔1〕〔2分〕本次参与调查的学生共有______人，n＝_______；〔2〕〔2分〕扇形统计图中D局部扇形所对应的圆心角是_________度；〔3〕〔2分〕请补全条形统计图；〔4〕〔4分〕根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解〞程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规那么是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．假设摸出的两个球上的数字和为奇数，那么小明去，否那么小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规那么是否公平．第21题图。