上海市宝山区2021届高三上学期教学质量监测(一模)数学学科试卷 含答案

上海市宝山区2020-2021学年高三第一学期期末教学质量监测

数学试卷

考生注意：

1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；

2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题．

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 若集合A ＝(－∞，－3)，B ＝(－4，＋∞)，则A ∩B ＝ ． 2. 抛物线y 2＝6x 的准线方程为 ．

3. 已知复数z 满足1z －1

＝i （i 为虚数单位），则z ＝ ．

4. 设向量a →＝(1，2)，b →＝(2，1)，则a →与b →

的夹角的大小为 （结果用反三角函数值

表示）． 5. 已知二项式(2x ＋1

x

)6，则其展开式中的常数项为 ．

6. 若实数x ，y 满足⎩

⎪⎨⎪⎧x ≥0，

2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为 ．

7. 已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角θ的大小为 ． 8. 方程cos2x －sin x ＝0在区间[0，π]上的所有解的和为 ．

9. 已知函数f (x )的周期为2，且当0＜x ≤1时，f (x )＝log 4x ，那么f (9

2)＝ ．

10. 设数列{x n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *，均有S n ＋x n ＝－1，则S 6＝ ． 11. 设函数f (x )＝a ▪sin2x ＋b ▪cos2x （a ，b ∈R ），给出下列结论：

①当a ＝0，b ＝1时，f (x )为偶函数；

②当a ＝1，b ＝0时，f (2x )在区间(0，π

4

)上是单调函数；

③当a ＝3，b ＝－1时，f (|x

2|)在区间(－2π，2π)上恰有3个零点；

④当a ＝3，b ＝1时，设f (x )在区间[t ，t ＋π

4]（t ∈R ）上的最大值为φ(t )，最小值为ψ(t )，则φ(t )－ψ(t )≤22．

则所有正确结论的序号是 ．

12. 若定义在N 上的函数f (x )、g (x )满足：存在x 0∈N ，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，则称f (x )与g (x )在N 上具有性质P (f ，g)．设

函数f (x )＝a x －1

2

与g (x )＝x 3，其中a ＞0，已知f (x )与g (x )在N 上不具有性质P (f ，g)，将a 的最小值记为a 0．设有穷数

列{b n }满足b 1＝1，b n +1＝1+b n （n ∈N *，n ≤504×[a 0]），这里[a 0]表示不超过a 0的最大整数．若去掉{b n }中的一项b t 后，剩下的所有项之和恰可表为m 2（m ∈N *），则b t ＋m 的值为 ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13. 直线x ＋3y －1＝0的一个法向量可以是 （ ）

（A ）(3，－1) （B ）(3，1) （C ）(1，3) （D ）(－1，3)

14. “函数f (x )＝sin(ωx )（x ，ω∈R ，且ω≠0）的最小正周期为2”是“ω＝π”的 （ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件

（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件

15. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数

的中位数为4的概率为 （ ）

（A ）121 （B ）321 （C ）521 （D ）721

16. 下列结论中错误的是 （ ）

（A ）存在实数x ，y 满足⎩⎨⎧|x |≤1，

|x ＋y |≤1，

并使得4(x ＋1)(y ＋1)＞9成立；

（B ）存在实数x ，y 满足⎩⎨⎧|x |≤1，

|x ＋y |≤1，

并使得4(x ＋1)(y ＋1)＝7成立；

（C ）满足⎩⎨

⎧|x |≤1，|x ＋y |≤1，

且使得4(x ＋1)(y ＋1)＝－9成立的实数x ，y 不存在；

（D ）满足⎩⎨⎧|x |≤1，

|x ＋y |≤1，

且使得4(x ＋1)(y ＋1)＜－9成立的实数x ，y 不存在．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分

．

如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，T 为DD 1上一点，已知DT ＝2，AB ＝4，BC ＝2， AA 1＝6．

（1）求直线TC 与平面ABCD 所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）求点C 1到平面A 1T C 的距离．

18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．

已知函数f (x )＝x ＋m

x －1（m ∈R ）．

（1）当m ＝1时，解不等式f (x )＋1＞f (x ＋1)；

（2）设x ∈[3，4]，且函数y ＝f (x )＋3存在零点，求实数m 的取值范围．

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．

设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π

2）最小正周期为2π，且f (x )的图象过坐标原点．

（1）求ω、φ的值；

（2）在△ABC 中，若2f 2(B )＋3f 2(C )＝2 f (A )▪f (B )▪f (C )＋f 2(A )，且三边a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C ．试求

b ·f (B ＋C )

c 的值．

20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．

已知F 1、F 2分别为椭圆Γ：x 2 4＋y 2

＝1的左、右焦点，M 为Γ上的一点．

（1）若点M 的坐标为(1，m )（m ＞0），求△F 1MF 2的面积；

（2）若点M 的坐标为(0，1)，且直线y ＝kx －3

5（k ∈R ）与Γ交于两不同点A 、B ，求证：MA →·MB →

为定值，并求出该定

值；

（3）如右图，设点M 的坐标为(s ，t )，过坐标原点O 作圆M ：(x －s )2＋(y －t )2＝r 2（其中r 为定值，0＜r ＜1，且|s |≠r ）的两条切线，分别交Γ于点P 、Q ，直线OP 、OQ 的斜率分别记为k 1、k 2．如果k 1k 2为定值．试问：是否存在锐角θ，使得2|OP |▪|OQ |＝5▪sec θ？若存在，试求出θ的一个值；若不存在，请说明理由．

21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．

若有穷数列{x n }：x 1，x 2，…，x n 满足x i +1≥x i ＋t ，x i ＞0（这里i ，n ∈N *，n ≥3，1≤i ≤n －1，常数t ＞0），则称有穷数列{x n }具有性质P (t )．

（1）已知有穷数列{x n }具有性质P (t )（常数t ≥12），且|x 2－x 1|＋|x 3－x 2|＋…＋|x n －x n －1|≤n －12，试求t 的值；

（2）设a i +1＝2|a i +t +2|－|a i +t －2|（i ，n ∈N *，n ≥3，1≤i ≤n －1，常数t ＞2），判断有穷数列{a n }是否具有性质P (t －2)，并说明理由；

（3）若有穷数列{y n }：y 1，y 2，…，y n 具有性质P (1)，其各项的和为2000，将y 1，y 2，…，y n 中的最大值记为A ．当A ∈N *时，求A ＋n 的最小值．