最新立方和公式

立方和公式

立方差公式

三项立方和公式

推导过程：

完全立方公式

(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³

立方和累加

正整数范围中

注：可用数学归纳法证明公式证明

迭代法一

我们知道：

0次方和的求和公式

，即

1次方和的求和公式

，即

2次方和的求和公式

，即

——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式

，迭代即得。

具体如下：

(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1

利用上面这个式子有：

23 - 13= 3×12+ 3×1 + 1

33 - 23= 3×22+ 3×2 + 1

43 - 33= 3×32+ 3×3+ 1

53 - 43= 3×42+ 3×4 + 1

……

(n+1)3 - n3= 3×n2 + 3n + 1

把上述各等式左右分别相加得到：

(n+1)3-13= 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1

n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1)其中12 + 22 + 32+ …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6

代入(1)式，整理後得 13 + 23 + 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2

迭代法二

取公式：

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

…………⑴

…………⑵

…………⑶

…………

…………(n).

于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有

左边=

右边=

把以上这已经证得的三个公式代入，

得

移项后得

等号右侧合并同类项后得

即

推导完毕。

因式分解证明

几何验证

图象化立方和公式

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

要得到

，可使用

的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

·

·

·

把三个部分加在一起，便得：

=

=

之后，把

减去它，便得：

公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：=

可透过完全平方公式，得到：

=

=

这样便可证明：