二倍角的正弦-余弦-正切公式PPT课件
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二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
二 化简三角函数式
【例3】 化简下列各式： (1)1s－inα2csoins2αα； (2)1－1tanθ2－1＋1tanθ2. 【分析】 本题主要考查二倍角公式和三角恒等变形与代 数恒等变形能力，重点考查逆用公式的能力．
1 【解】 (1)1s－inα2csoins2αα＝2csoisn22αα＝12tan2α. (2)解法1：原式＝1＋tan1θ2－－tan12θ2－tanθ2
∴定义域不关于原点对称．
∴原函数不具有奇偶性.
cos4π＋x＝sin2π－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1659＝2143.
13
解法二：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxs4π＋x＝2sinπ4＋x. ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
(4)原式＝2sin20°cos22s0in°2co0s°40°cos80° ＝2sin40°4csoins4200°°cos80° ＝2sin88s0in°2co0s°80°＝s8isni1n6200°°＝18.
规律技巧 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另 一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.
三 给值化简求值
【例4】，0<x<
π 4
，求
cos2x cos4π＋x
的
【分析】 解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再
去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联
系，灵活求解．
【解】 解法一：∵x∈0，4π，∴4π－x∈0，4π. ∵sinπ4－x＝153，∴cos4π－x＝1123. 又cos2x＝sin2π－2x ＝2sinπ4－xcos4π－x ＝2×153×1123＝112609，
二倍角的正弦、余弦和正切公式PPT优秀课件
22 . 5 0 2 22 . 5 0
6 、1 tan 15 0 1 tan 15 0
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二倍角公式的推导
co s cc oo s ss i sn i n co 2 sco 2 ssi2 n
利用 si2 nco2s1变形为
cos22cos21 cos212sin2
22
2 22 2
继续
3． 1 1 1tan 1tan
2tan tan2 1tan2
4． 1 2 co 2 sco 2 s1 2 c2 o 2 s c2 o 1 s 2
例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值
解 ： sin2 =
tan2
2tan 1 tan2
12si2n
例 4 ssii2 2n n 1 1 cco o2 2 ss( )
1．sin2230’cos2230’ =
1 sin450 2
2
4
2. 2cos2 1 cos 2
8
42
3. sin2 co2s cos 2
8
8
42
4. 8si ncoscoscos4 si c n o cs o 2 s s ic n o s s i n 1 48 48 2412 24 24 1212 1262
2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是 如何用单角的三角函数值表示复角（和、差、倍） 的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关 系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、 化简和证明问题。
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二倍角的正弦、余弦、正切
复习
一
二 三
新课
四
五 例题
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
三角形面积公式
可以通过二倍角公式计算三 角形的面积，进一步计算体 积，这在建筑设计和航空工 程中非常有用。
浪高相关问题
科学研究
海浪通常用余弦函数来描述。 二倍角公式为了简化计算， 常常在波长和浪高相关问题 的计算中应用。
二倍角公式在科学研究中非 常有用，如过敏体质预测、 药物效应预测等。
应用
二倍角在科学、数学和 工程等领域有着广泛的 应用，是解决一些问题 的有效工具。
二倍角公式的定义
公式
二倍角的正弦公式为 $sin 2 heta = 2sin hetacos heta$，二 倍角的余弦公式为 $cos 2 heta = cos^2 heta - sin^2 heta$，二倍角的正切公式为 $tan 2 heta = \frac{2tan heta}{1-tan^2 heta}$
二倍角的正弦、余弦、正 切公式
学习二倍角的正弦、余弦、正切公式有助于更快速、更准确地解决三角函数 计算问题。
什么是二倍角
定义
二倍角是指一个角度的 两倍大小的角度，较为 常见的二倍角有 $30^{circ}$，$45^{circ}$， $60^{circ}$和$90^{circ}$。
特点
二倍角具有一些特殊的 数值和三角函数值，对 于复杂计算非常有用。
推导过程
二倍角公式的推导可以使用 三倍角公式或欧拉公式等方 法实现。
学习建议
掌握二倍角公式的定义和推 导过程，加深对三角函数的 理解，有助于你在数学学科 中取得更出色的成绩。
二倍角公式的应用
1
科学应用
2
二倍角公式可以应用到物理和工程
等领域，如电磁学、波长的计算、
机械分析等。
3
三角函数计算
课件10：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝____2_s_i_n_α_c_o_s__α___
C2α
cos 2α＝____c_o_s_2α__－__si_n_2_α__
T2α
tan 2α＝___1_－2_t_atna_n_α2α___
2.余弦的二倍角公式的变形
3．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin
αcos
α＝12sin
1.求下列各式的值：
(1))1－2tatnan125105°0°；
(3)sin110°－cos 310°；
(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
ππ
π
2sin 解：(1)原式＝
12cos 2
12＝sin2
6＝14.
(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°
80°
＝2sin
40°·cos 4sin
40°·cos 20°
80°
＝2sin88s0in°·2c0o°s 80°＝s8isnin12600°°＝18.
类型2 利用二倍角公式解决求值问题
例 2 (1)已知 sin α＝3cos α，那么 tan 2α 的值为( )
A．2
B．－2
C．34
D．－34
(2)已知 sin6π＋α＝13，则 cos23π－2α的值等于(
(3)解：①因为 α 是第三象限角，cos α＝－34，
所以 sin α＝－ 1－cos2 α＝－ 47，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×－
47×－34＝3
8
7 .
②因为 β∈π2，π，sin β＝23，
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
1. 问题一：已知角度θ的正弦值为0.6，求角度2θ 的正弦值。 2. 问题二：已知角度θ的余弦值为- 0.3，求角度2θ 的余弦值。 3. 问题三：已知角度θ的正切值为1.5，求角度2θ 的正切值。
总结和应用
二倍角的正弦、余弦和正切公式是解决与角度相关的问题时的重要工具。通 过掌握这些公式，我们可以更灵活地应用三角函数解决实际问题。
示例二
如果一个角度为45°，那么它的二 倍角就是90°。
示例三
在单位圆上，角度θ的二倍角就 是2θ 。
二倍角的正弦公式
二倍角的正弦公式是将正弦公式中的θ替换为2 θ 得到的。 sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的正弦值转化为二倍角角度的正弦值。
2 用途二
计算二倍角角度的正弦值，从而解决与角度相关的问题。
二倍角的余弦公式
二倍角的余弦公式是将余弦公式中的θ替换为2 θ 得到的。 cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的余弦值 转化为二倍角角度的余弦值。
2 用途二
计算二倍角角度的余弦值，从而解决与角度ຫໍສະໝຸດ 相关的问题。二倍角的正切公式
二倍角的正切公式是将正切公式中的θ替换为2 θ 得到的。 tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的正切值 转化为二倍角角度的正切值。
2 用途二
计算二倍角角度的正切值，从而解决与角度 相关的问题。
演示例题
通过实际问题的例题演示，我们可以更好地理解二倍角的正弦、余弦和正切 公式的应用。
• 总结一：二倍角可以简化三角函数表达式。 • 总结二：二倍角的公式可用于求解二倍角角度的正弦、余弦和正切值。 • 应用：在几何、物理、工程等领域的计算中，二倍角的公式经常被使用。
总结和应用
二倍角的正弦、余弦和正切公式是解决与角度相关的问题时的重要工具。通 过掌握这些公式，我们可以更灵活地应用三角函数解决实际问题。
示例二
如果一个角度为45°，那么它的二 倍角就是90°。
示例三
在单位圆上，角度θ的二倍角就 是2θ 。
二倍角的正弦公式
二倍角的正弦公式是将正弦公式中的θ替换为2 θ 得到的。 sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的正弦值转化为二倍角角度的正弦值。
2 用途二
计算二倍角角度的正弦值，从而解决与角度相关的问题。
二倍角的余弦公式
二倍角的余弦公式是将余弦公式中的θ替换为2 θ 得到的。 cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的余弦值 转化为二倍角角度的余弦值。
2 用途二
计算二倍角角度的余弦值，从而解决与角度ຫໍສະໝຸດ 相关的问题。二倍角的正切公式
二倍角的正切公式是将正切公式中的θ替换为2 θ 得到的。 tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的正切值 转化为二倍角角度的正切值。
2 用途二
计算二倍角角度的正切值，从而解决与角度 相关的问题。
演示例题
通过实际问题的例题演示，我们可以更好地理解二倍角的正弦、余弦和正切 公式的应用。
• 总结一：二倍角可以简化三角函数表达式。 • 总结二：二倍角的公式可用于求解二倍角角度的正弦、余弦和正切值。 • 应用：在几何、物理、工程等领域的计算中，二倍角的公式经常被使用。
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(经典公开课)
=
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
《二倍角正弦、余弦、正切公式》市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
R
倍 角
cos 2 cos2 sin2
R
公 式：
tan 2
1
2
tan tan2
k
2
4
,且
k
2
，k Z
对于C2 能否有其他表达形式？
cos 2 2cos2 1
cos 2 1 2sin2
公式中旳角是否为任意角？ 3
注意：
①二倍角公式旳作用在于用单角旳三角函数来体现二倍角 旳三角函数，它合用于二倍角与单角旳三角函数之间旳互 化问题。
2 tan150 (3) 1 tan2 150 ;
(4)1 2sin2 750.
(5)8sin cos cos cos
48 48 24 12
6
练习 同类题 (1) sin cos 44
(2) sin4 cos4
2
2
1 tan2 3
(3)
2
tan 3
2
(4) sin( ) cos( )
13
4
例1
已知cos
12 ,
(
, )，求sin，
2 13 2 2
cos ，tan 的值。
已知sin 2 5 , ( , )，求sin 4，
13
42
cos 4，tan 4的值。
5
例2 求下列各式旳值：
(1) sin 22.50 cos 22.50; (2) cos2 sin2 ;
8
8
4
4
(5)、cos cos 5
12 12
(6)、cos 36 cos 72
7
引申：公式变形：
1 sin 2 (sin cos )2
1 cos 2 2cos2
二倍角的正弦余弦正切公式示范课市公开课一等奖省优质课获奖课件
证明：左边
1 1
2 sin 2 sin
cos cos
(1 2sin2 ) (2cos2 1)
2sin (cos sin )
2cos (cos sin )
sin cos
tan 右边
原式成立.
第9页
求证：
1 sin 4 cos 4 2 tan
1
sin 4 cos 1 tan2
③二倍角公式是从两角和三角函数公式中，取两角相 等时推导出来，记忆时可联想对应角公式。
第4页
试 求以下各式值：
一 试
(1)sin 22.50 cos 22.50; (2) cos2 sin2 ;
8
8
(3) 2 tan150 ; 1 tan2 150
(4)1 2sin2 750.
(5)8sin cos cos cos
48 48 24 12
第5页
变 (1) 1 sin 40;
(2) 1 sin 40; (3) 1 cos 20; (4) 1 cos 20
cos 20 sin 20
cos 20 sin 20
2 cos10
2 sin10
第6页
例1
已求s知ins2inαα，＝cos11223α，，αt∈an(2α值，2. π)，
二倍角正弦、 余弦、 正切
楚水试验学校高一数学备课组
第2页
二 sin 2 2sin cos
倍 角
cos 2 cos2 sin2
公 式：
tan 2
2 tan 1 tan2
R
R
k
2
4
,且
k
2
，k Z
对于1
cos 2 1 2sin2
高中课件 二倍角的正弦、余弦和正切公式
解： sin 2 5 ，2 （ ，），
13
2
cos 2 12
13 sin 4 2sin 2 cos 2 2 5 (12) 120
13 13 169
cos4 1 2sin2 2 1 2( 5 )2 119
13 169
tan 4 sin 4 (120)169 120 cos4 169 119 119
R
cos2 cos2 sin2
R
2cos2 11 2sin2
tan 2
2 tan 1 tan2
k 2
4
,且
k
2
，k Z
2、注意正用 、逆用、变形用
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂升角公式
1．P157 习题3.1A组 15,16,18,19
26
4
8
88
5 5 25
cos a cos(2 a ) cos2 a sin2 a ( 4)2 ( 3)2 7 ,
4
8
8
85
5 25
tan
a 4
sin a 4
cos a
24
25 7
24 . 7
4 25
练习
已知sin( ) 3 ,求cos2的值。
5
解：∵sin( ) sin 3 ,
令 tan t,则，t 2 6t 1 0,
解得：t1 3 10或t2 3 10，即：tan 3 10
已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值； (2)若 f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求 cos 2x0 的值．
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
第三章 三角恒等变换
题型二 二倍角公式的活用 例2 求下列各式的值：
(1)(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1π2)； (2)2cos 105°cos 15°； (3)1－tatnan1251°5°； (4)12－cos2π8.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【解】 (1)(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1π2)
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
精彩推荐典例展示
名师解题
破解三角函数的综合问题
例4 已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈R.求：
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；
(2)函数f(x)的单调递增区间．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
抓信息 破难点 (1)首先，运用倍角公式将 sin2x 化为1－c2os 2x，将 2sin xcos x 化为 sin 2x，将 cos2x 化为1＋c2os 2x，然后将 f(x)转化为 Asin(ωx ＋φ)＋b 的形式． (2)利用 sin x 的性质研究 Asin(ωx＋φ)＋b 的性质．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)令－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，得 －38π＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，即函数 f(x)的单调递增区间 为[－38π＋kπ，π8＋kπ](k∈Z)．
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第三章 三角恒等变换
跟踪训练
4．(2012·高考安徽卷节选)设函数 f(x)＝ 22cos(2x＋π4)＋sin2x. 求 f(x)的最小正周期．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
cos 2φ＝2cos2 φ－1＝2×(－ 33)2－1＝－13，