对数与对数函数专题

对数与对数函数

1. log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6

2. 已知a ＝2－1

3，b ＝log 213，c ＝log 1

21

3

，则( )

A.a >b >c

B.a >c >b

C.c >b >a

D.c >a >b

3. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b

4. 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )

A.a >1，c >1

B.a >1，0

C.01

D.0

5. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ，且

f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝2，则m ＝________.

考点一 对数的运算

【例1】 (1)设2a ＝5b

＝m ，且1a ＋1b

＝2，则m 等于( )

A.10

B.10

C.20

D.100

(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618

log 64＝________.

【训练1】 (1) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1

E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知

太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1

C.lg 10.1

D.10－10.1

(2) 272

3＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎫

14log2

3

－log 81

4

＝________.

考点二 对数函数的图象及应用

【例2】 (1) 已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( )

(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x

，x <1，

log 2x ，x ≥1，

若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数

a 的取值范围是________.

【训练2】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则

f （a ）a ，f （b ）

b

，f （c ）

c 的大小关系是( ) A.f （a ）a >f （b ）b >f （c ）

c B.f （c ）c >f （b ）b >f （a ）

a C.

f （b ）b >f （a ）a >f （c ）

c

D.

f （a ）a >f （c ）c >f （b ）

b

(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2

⎛

⎭⎪⎫0，12

考点三 解决与对数函数性质有关的问题

角度1 比较大小

【例3－1】 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，

b ，

c 的大小关系是( ) A.a ＝b

B.a ＝b >c

C.a

D.a >b >c

(2) 已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c

角度2 解简单的对数不等式

【例3－2】 (1) 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )

A.(2，＋∞)

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，22∪(2，＋∞) D.(2，＋

∞)

(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.

角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫

12x ＋a .

(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；

(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；

(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.

【训练3】 (1) 已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫141

3

，c ＝log 1

3 15，则a ，b ，c 的大小关系为

( )

A.a >b >c

B.b >a >c

C.c >b >a

D.c >a >b

(2) 设f (x )＝lg ⎝

⎛⎭⎪⎫

21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. (3) 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是________.

【典例】 已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋1

2，对任意a ∈R，存在b ∈(0，＋

∞)，使f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( )

A.2e －1

B.e 2

－1

2

C.2－ln 2

D.2＋ln 2

【训练】 若存在正数x ，使得2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)

一、选择题

1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x

，x ≥4，

f （x ＋1），x <4，

则f (2＋log 23)的值为( )

A.24

B.16

C.12

D.8

2. 设a ＝log 35，b ＝1.51.5

，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c

D.a

3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )