期末考试监考的安排

数

学

建

模

论

文

姓名：朱大照

胡亚静

王丽丽

期末考试监考的安排

摘要

本文针对监考安排问题，设置一般假设、确定约束条件，建立了整数规划模型和逐级优化模型，并且结合人工排考的4种考试模式，进一步优化排考问题。本文模型一：以利用考场最少为目标，确定多重约束条件，建立整数规划数学模型，通过MA TLAB编程求解，得到一个监考安排方案。模型二：以考试时间最短为目标，从时间安排，考场安排、教师安排三个方面建立数学模型，针对时间安排，用枚举法列举所有合理的考试时间模式4种（模式表见附录一），采用线性规划确定采用的考试模式。对考场安排和教师安排，在假设监考教师充足的前提下，用0-1规划和不同教师监考场数差值最小，建立考场安排与监考教师安排模型。通过用LINGO编程求解，求出最短考试时间为2.33天，并得出考场安排（见表二）。

此外，我们建立平均考场容量利用率的评价模型来评价各时间段考场安排的合理程度，得出模型二所建模式的平均考场容量利用率约为93%，远高于模型一的平均考场容量利用率，因此，模型二所得方案为良好考场安排方案。

关键词：逐级优化，0-1规划，枚举法，多重约束条件，平均考场容量利用率

问题重述：

考场安排是高校考务管理活动的主要组成部分，由于排考冲突条件多，数据量大，人工排考无疑是一种繁复、琐碎的工作。随着高校进一步扩招，人工排考的问题更显得突出。研究自动排考算法，解决现阶段存在的问题，实现考试安排的快捷高效具有一定的现实意义。

我们从数学方面分析该问题，以期能给各院系教务人员有所帮助，假设某学院期末考试现有的监考教师有120位，考试课程有100门，并且各课程的考试时间有90、120分钟两种情况，同时每位学生相邻两场考试间隔为1.5-100小时，该学院有50个专业参与考试，该学院共有50个考场。由于选修课程，可在一周时间内进行随堂考试，所以以下只针对必修课程和基础课程的考试安排。

一、模型假设

1上同一门课的学生分在不同的考场；

2.每场考试需参加考试的学生均到场；

3.每个安排有考试的考场均能正常进行考试。

二、符号说明

n

a ：表示监考老师的编号，n =1,2,3, (120)

b

：表示课程编号，b =1,2,3, (100)

c ：表示专业编号，c =1,2,3， (50)

d

：表示考场编号，d =1,2,3, (50)

i ： 表示某种考试模式，i =1,2，3,4

d

P ：第d 个考场的容量； k C W ：表示C 专业k 班的学生；

tb B ：表示第b 门课程在t 时间是否考试（取1表示是，取0表示否）； b

R ：表示考第b 门课程的人数；

i x ：表示采用第i 种考试模式（i =1,2，3,4）所需天数； id y ：表示第d

考场采用i 模式；

0T ：表示安排所有考试的时间段集合;{}01,2,34,5,6T ⊆， atd

h ：表示第a 位教师在t 时间段是否监考第d 个考场（取1表示是，取0表示否）；

td z ：在时间t 考场d 是否使用（取1表示有，取0表示否）；

tbd

y ：表示时间t 课程b 在第d 考场考试；

cb A ：表示第c 个专业是否有b 门考试课程（取1表示有，取0表示否）；

t

：表示考试的时间

三、模型建立与求解

1.模型一 在上同一门课的学生分在不同的考场的条件下求最少考场数量。

每个教室要么作为考场，要么不做考场，对教室进行编号，设为l s .当做考场时，赋值为1，否则为0，题中要求Min 50

1l l s =∑ ，我们可以用0-1规划（参考大连海事大学数学建模讲义（张运杰编））模型进行求解，模型如下： 最少教室数量,目标函数为： Min 50

1l l s =∑

Subject to

1,0,l l s l ⎧=⎨⎩表示第间教室作为考场；

表示第间教室不作为考场；

由于每个考场又必须有两名教师监考，因此教师的人数要大于考场数的二倍：

50

120

1

1

2l n

l n s a ==≤

∑∑

假设学生连续两场考试间隔最短为1.5小时最长为100小时，又每个学生相邻两门课考试时间间隔需满足：

11.5100k j k j C W t C W t +≤-≤

综上所述，建立的模型：

Min 50

1

l l s =∑

s.t.

1,0,l l s l ⎧=⎨⎩表示第间教室作为考场； 表示第间教室不作为考场；

50120

1

1

2l n

l n s a

==≤

∑∑

11.5100k j k j C W t C W t +≤-≤

2.模型二 在监考老师充足(120人)前提下求出期末考试的最短时间 2.1 模型建立 2.1.1考试时间安排

用i x 表示采用第i 种考试模式（i =1,2，3，4）所用的天数，i x 是非负整数。由此以采用某些合理考试模式所需的考试天数最少为目标，得到目标函数：

4

1

m in i

i z x ==

∑

为使考场容量最大化，假设采用考场D21-D50，每场考试所有考场可容纳1500人考试。为满足90min,120min 各个考试时间段的考试人数要求，即考试人数不超过考场容量，有以下约束条件：

1）采取某些合理考试模式下，参加考试时间为90min 科目考试总人数不应超过考场容量：

4

121500438000i i x x =⎛⎫

+≥ ⎪⎝⎭

∑

2）采取某些合理考试模式下，参加考试时间为120min 科目考试总人数不应超过

考场容量：

4

2

15003500i i x =≥∑

综上所述，建立模型：

4

1

m in i

i z x ==

∑

..s t 4

121500438000i i x x =⎛⎫

+≥ ⎪⎝⎭

∑