高中数学第二章平面向量第1课时2.1向量的概念及表示教案苏教版必修50
高中数学第二章平面向量第一讲向量的概念及表示学案苏教版必修1(2021年整理)
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向量的概念及表示知识点课标要求题型说明向量的概念及表示1。
了解向量的实际背景,理解平面向量的概念；2. 理解零向量、单位向量、相等向量、共线（平行）向量、相反向量的含义；3. 理解向量的几何表示选择填空高考必考向量是代数和几何的知识交汇点，在选择填空题中向量的几何应用要引起足够的重视二、重难点提示重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。
难点：向量的概念和共线向量的概念。
一、向量及相关概念（1）向量:既有大小,又有方向的量叫向量，其中向量的大小称为向量的模（也就是用来表示有向线段的长度）。
注意：向量与数量的区别向量有大小有方向，数量只有大小没有方向。
故长度能比较大小，而向量不能说哪个大哪个小,只能说相等还是不相等。
（2）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0。
（3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
(4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。
（6）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量.规定零向量与任一向量平行。
【要点诠释】两个向量共线，不一定相等；而两个向量相等,则一定共线。
向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线” 的含义。
说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
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课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
江苏省高一数学下册 第二单元《平面向量》全套教案
江苏省高一数学教学案必修4_02 向量的概念及表示班级姓名目标要求1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．重点难点重点：向量、相等向量、共线向量及向量的几何表示；难点：向量、共线向量的概念．教学过程：一、问题情境二、数学建构1.向量的概念：2.向量的表示方法：3.零向量、单位向量概念：4.平行向量定义：5.相等向量定义：6.共线向量与平行向量关系：三、典例剖析例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图2-1-6所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC相等吗？C例2 在图2-1-7中的45⨯方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个（AB 除外）？图2-例3 判断下列各题是否正确：（1） 向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； （2） 若a b =，则a b =或a b =-； （3） 若a 与b 是平行向量，则a b =； （4） 若//,//a b b c ，则//a c ．（5） 已知四边形ABCD ，当且仅当AB DC =时，该四边形是平行四边形．例4 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后向西偏北走了450m 到达C 点，最后向东走了200m 到达D 点（1）作出向量,,AB BC CD （2）求A 到D 的位移例5 下列各种情况中，向量终点各构成什么图形： （1） 把所有单位向量起点平移到原点；（2） 把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一点； （3） 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点．A四、课堂练习1、 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？2、在下列结论中，哪些是正确的？（1） 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a b =；（4）两个相等向量的模相等．3、关于零向量的说法正确的是____________ ①零向量没有方向 ②零向量长度为０ ③零向量与任一向量平行 ④零向量的方向任意4、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 （1） 写出与向量相等的向量__________________ （2） 写出与向量共线的向量__________________ （3）23=，则向量EC 的长度______________ 高一数学作业(52)班级 姓名 得分1、下列说法中正确的是___________．①若||||a b >，则a b >； ②若||||a b =，则a b =；③若a b =，则//a b ； ④若a b ≠，则a 与b 不是共线向量．2、下面给出的五个命题：（１）单位向量都相等；（２）若DC AB =则=且//AB CD ；（３）若=且=，则=；（４）若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r；（５）若四边形ABCD 是平行四边形，则=． 其中真命题有 3、如图，ABC ∆和111C B A ∆是在各边的31处相交的两个全等正三角形，设正ABC ∆的边长是a ，图中列出了长度均为3a的若干个向量，则 （1）与向量CH 相等的向量是_____________（2）与向量GH 共线且模相等的向量有_________个 CDBCB1A1（3）与向量EA 平行且模相等的向量有________个4、若e 是a 方向上的单位向量，则||aa 与e 的方向 长度 ．5、在直角坐标系中，已知||2OA =，那么点A 构成的图形是_____________．6、给出以下5个条件：①b a =；②a b =；③a 与b 的方向相反；④||0a =或||0b =；⑤与都是单位向量，其中能使与共线成立的是 ．7、如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：（１） 分别写出与,AO BO 相等的向量；（２） 写出与AO 共线的向量； （３） 写出与AO 的模相等的向量； （４） 向量AO 与CO 是否相等？8、已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东 30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？FE方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有9、如图，以13多少种不同的方向？必修4_02 向量的加法班级姓名目标要求1．理解向量加法的含义，能熟练运用平行四边形法则、三角形法则作两个向量的和2．掌握向量加法的交换律、结合律，并能熟练运用3．通过向量的加法运算，让学生感受数形结合的思想重点难点重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则教学过程：一、问题情境二、建构数学1. 向量加法的定义：2. 向量加法的三角形法则：3. 向量加法的平行四边形法则：4. 向量加法所满足的运算律：三、典例剖析例 1 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +； （2）BC FE +； （3）OA FE +例2 在长江南岸某渡口处，江水以12.5/km h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？例3如图，在正六边形OABCDE 中，若,OA a OE b ==试用,a b 将,,OB OC OD 表示出来例4 点D ，E ，F 分别是⊿ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，求证：（1）1()2AE AB AC =+； （2）0EA FB DC ++=例5 点M 是ABC ∆的重心，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，则++=_________课堂练习1、以下四个命题中不正确的是_____________①若是任意非零向量，则a ∥0 ② +=+③≠⇔≠或，方向不同 ④任一非零向量的方向都是唯一的 2、在四边形ABCD 中，+=，则四边形ABCD 的形状是______________ 3、下列各等式或不等式中，可以成立的个数是______________（1+<+<- （2+=+=-（3+<+=- （4+=+< 4、化简：AB DF CD BC FA ++++=____________5、一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为_______，两次位移的和的方向为_____________，大小为_______高一数学作业(53)班级 姓名 得分1、,a b 是两向量，不等式a b a b +<+成立仅当 （ ） A 、a 与b 共线时成立 B 、a 与b 不共线时成立C 、a 与b 反向共线时成立D 、a 与b 不共线，或a 与b 均非零且反向共线时成立2、已知O 是ABCD 对角线的交点，则以下结论正确的序号是_____________ ． ①AB AC BC += ②AB CB AC +=③AO OB AB += ④ CB CD CA += ⑤ A O C OD O B O+=+ 3、在四边形ABCD 中，AB CA BD ++等于______________．4、若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC ∆的__________心．5、正方形ABCD 的边长为1， =，=，=++= ．6、当不共线向量a ，b 满足条件________________时，使得b a +平分a ，b 间的夹角．7、若向量AB 与BC 反向共线，且2006AB =，2007BC =，则AB BC +=___________ ．8、设表示“向东走10km ”，表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，试说明下列向量的意义：（1）a b +________________________________________________． （2）a c +________________________________________________． 9、根据图形填空：b c +=______________；a d +=______________ b c d ++=______________；f e +=______________；eg +=______________．abc def gh10、设A ，B ，C 是平面内任意三点，求证：0AB BC CA ++=．11、如图在矩形ABCD 中，||43AD =设A B a =，BC b =，BD c =，求||a b c ++．12、一架飞机从甲地按北偏东20的方向飞行1500km 到达乙地，再从乙地按南偏西80的 方向飞行1500km 到达丙地。
高中数学必修第二章平面向量教案完整版
§2、1 平面向量得实际背景及基本概念1、数量与向量得区别:数量只有大小,就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小、 2、向量得表示方法:①用有向线段表示;②用字母ａ、ｂ(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;④向量得大小――长度称为向量得模,记作||、3、有向线段:具有方向得线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度、 向量与有向线段得区别:(1)向量只有大小与方向两个要素,与起点无关,只要大小与方向相同,则这两个向量就就是相同得向量;(2)有向线段有起点、大小与方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也就是不同得有向线段、4、零向量、单位向量概念:①长度为0得向量叫零向量,记作0、 0得方向就是任意得、 注意0与0得含义与书写区别、②长度为1个单位长度得向量,叫单位向量、说明:零向量、单位向量得定义都只就是限制了大小、 5、平行向量定义:①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、说明:(1)综合①、②才就是平行向量得完整定义;(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ、6、相等向量定义:长度相等且方向相同得向量叫相等向量、说明:(1)向量ａ与ｂ相等,记作ａ＝ｂ;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段得起．．．．．．．点无关．．．、 7、共线向量与平行向量关系:平行向量就就是共线向量,这就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线．．．．段得起点无关．．．．．．)．、 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线得位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上得线段得位置关系、§2、2、1 向量得加法运算及其几何意义A(起点)B(终点)aO ABaaa bb b二、探索研究:１、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、 ２、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作＝a ,＝ｂ,则向量叫做a 与ｂ得与,记作a ＋ｂ,即 a ＋ｂ,规定: a + 0-= 0 + a探究:(1)两相向量得与仍就是一个向量;(2)当向量与不共线时,+得方向不同向,且|+|<||+||;(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||>||,则+得方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+得方向与相同,且|+b|=||-||、(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量得终点为后一个向量得起点,可以推广到n 个向量连加 ３.例一、已知向量、,求作向量+ 作法:在平面内取一点,作 ,则、 ４.加法得交换律与平行四边形法则问题:上题中+得结果与+就是否相同？ 验证结果相同从而得到:１)向量加法得平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)２)向量加法得交换律:+=+ ５.向量加法得结合律:(+) +=+ (+) 证:如图:使, , 则(+) +=,+ (+) = ∴(+) +=+ (+)从而,多个向量得加法运算可以按照任意得次序、任意得组合来进行、第3课时§2、2、2 向量得减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量得减法aA BCa +ba +baab b aｂｂ ａa(1) “相反向量”得定义:与a 长度相同、方向相反得向量、记作 -a (2) 规定:零向量得相反向量仍就是零向量、-(-a ) = a 、 任一向量与它得相反向量得与就是零向量、a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 (3) 向量减法得定义:向量a 加上得b 相反向量,叫做a 与b 得差、 即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差得运算叫做向量得减法、 2． 用加法得逆运算定义向量得减法: 向量得减法就是向量加法得逆运算: 若b + x = a ,则x 叫做a 与b 得差,记作a - b 3． 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O , 作= a , = b则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 得终点指向向量a 得终点得向量、4． 探究:１）如果从向量a 得终点指向向量b 得终点作向量,那么所得向量就是b - a 、２)若a ∥b, 如何作出a - b §2、3、1平面向量基本定理复习引入:1.实数与向量得积:实数λ与向量得积就是一个向量,记作:λ(1)|λ|=|λ|||;(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ= 2.运算定律结合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ3、 向量共线定理 向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2、 探究:OabBa ba -b a -bA ABBB’Oa -b a ab bO AOBa -ba -b BA O-b(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2) 基底不惟一,关键就是不共线;(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4) 基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量§2、3、2—§2、3、3 平面向量得正交分解与坐标表示及运算一、复习引入:1.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2)基底不惟一,关键就是不共线;(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量二、讲解新课:1.平面向量得坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得…………○1我们把叫做向量得(直角)坐标,记作…………○2其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标,○2式叫做向量得坐标表示、与相等得向量得坐标也为．．．．．．．．．．．、特别地,,,、如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作,则点得位置由唯一确定、设,则向量得坐标就就是点得坐标;反过来,点得坐标也就就是向量得坐标、因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都就是可以用一对实数唯一表示、2.平面向量得坐标运算(1) 若,,则,两个向量与与差得坐标分别等于这两个向量相应坐标得与与差、设基底为、,则即,同理可得(2)若,,则一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标、=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1)(3)若与实数,则、实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标、设基底为、,则,即第6课时§2、3、4 平面向量共线得坐标表示一、复习引入:1.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标, 特别地,,,、2.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则二、讲解新课:∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=0设=(x1, y1) ,=(x2, y2) 其中≠、由=λ得, (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ,x1y2-x2y1=0探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1, y2有可能为0, ∵≠∴x2, y2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0(3)从而向量共线得充要条件有两种形式:∥(≠)§2、4平面向量得数量积一、平面向量得数量积得物理背景及其含义一、复习引入:1. 向量共线定理向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、2.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ23.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作4.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则5.∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=06.线段得定比分点及λP1, P2就是直线l上得两点,P就是l上不同于P1, P2得任一点,存在实数λ,使=λ,λ叫做点P分所成得比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7、定比分点坐标公式:若点P１(x1,y1) ,Ｐ２(x2,y2),λ为实数,且＝λ,则点P得坐标为(),我们称λ为点P分所成得比、8、点P得位置与λ得范围得关系:①当λ＞０时,与同向共线,这时称点P为得内分点、②当λ＜０()时,与反向共线,这时称点P为得外分点、9、线段定比分点坐标公式得向量形式:在平面内任取一点O,设＝ａ,＝ｂ,可得=、10.力做得功:W = |F|⋅|s|cosθ,θ就是F与s得夹角、二、讲解新课:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、说明:(1)当θ＝０时,ａ与ｂ同向;(2)当θ＝π时,ａ与ｂ反向;(3)当θ＝时,ａ与ｂ垂直,记ａ⊥ｂ;(4)注意在两向量得夹角定义,两向量必须就是同起点得、范围0︒≤θ≤180︒C2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b= |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、⋅探究:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量得数量积就是一个实数,不就是向量,符号由cosθ得符号所决定、(2)两个向量得数量积称为内积,写成a⋅b;今后要学到两个向量得外积a×b,而a⋅b就是两个向量得数量得积,书写时要严格区分、符号“·”在向量运算中不就是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替、(3)在实数中,若a≠0,且a⋅b=0,则b=0;但就是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=0,不能推出b=0、因为其中cosθ有可能为0、(4)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc ⇒ a=c、但就是a⋅b = b⋅c a = c如右图:a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|,b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中,有(a⋅b)c = a(b⋅c),但就是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然,这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a与c不共线、3.“投影”得概念:作图定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ =5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、平面向量数量积得运算律一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.“投影”得概念:作图C 定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、讲解新课:平面向量数量积得运算律1.交换律:a⋅b = b⋅a证:设a,b夹角为θ,则a⋅b = |a||b|cosθ,b⋅a = |b||a|cosθ∴a⋅b = b⋅a2.数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)证:若> 0,(a)⋅b =|a||b|cosθ, (a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cosθ,若< 0,(a)⋅b =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ,(a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ、3.分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O,作= a, = b,= c, ∵a + b (即)在c方向上得投影等于a、b在c方向上得投影与,即|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2, ∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b即:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c说明:(1)一般地,(ａ·ｂ)с≠ａ(ｂ·с)(2)ａ·с＝ｂ·с,с≠0ａ＝ｂ(3)有如下常用性质:ａ２＝｜ａ｜２,(ａ＋ｂ)(с＋ｄ)＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积得坐标表示、模、夹角一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、4.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|5.平面向量数量积得运算律交换律:a⋅b = b⋅a数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c二、讲解新课:⒈平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,,试用与得坐标表示、设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量,那么,所以又,,,所以这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与、即2、平面内两点间得距离公式一、设,则或、(2)如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式)二、向量垂直得判定设,,则三、两向量夹角得余弦()co sθ =。
25.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§2.1向量的概念及表示
第二章平面向量§2.1 向量的概念及表示教学目标：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示.教学难点：向量概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，还有单位圆中的三角函数线等等，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家先通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.提问：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量称为向量．2.向量的表示方法：①用有向线段表示，如“向量常用一条有向线段来表示（这里应理解为几何的表示），有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．”――――课本上的语言；②用字母a 、b 等表示（这才是符号语言）；（注意：这是一个不太好做到的一项规定，“粗体”在手工书写中是很难象印刷体那么区分的，故实际应用中变通为字母上方加箭头，如：a 、b 、c，特别强调“字母上的箭头绝不能丢掉”．）③用有向线段的起点与终点字母再加上箭头表示，如：AB（这也是符号语言）.3.零向量、单位向量、向量的长度的概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；③向量AB （a ）的大小称为向量的长度（或称为模），记作||AB （||a）．说明：01．零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.02．向量的模是一个标量，它是一个非负的数量．4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量a 、b 、c平行，记作a b c .5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量a 、b 相等，记作a =b；(2)零向量与零向量相等； (3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上；说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量,记作-a ，a与－a 互为相反向量．并规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a 有－（－a ）＝a ．练习1. 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA uu r 、OB uu u r 、OC uuu r相等的向量.解析: 与OA uu r 相等的向量有CB uu r 、DO uuu r ，与OB uu u r 相等的向量有EO uu u r、DC uuu r ，与OC uuu r 相等的向量有FO uu u r 、AB uu u r 、ED uu u r .分析：与AB相等的向量应当满足“等长且同向”，首先要确定这些向量的起点，在方格纸格点中，除去Ａ点外，符合题意的点还有7个，如图2-1-7(2).与AB 长度相等的共线的向量除与AB 方向相同的向量外，还有与AB 方向相反的向量．7.上面一共定义了几个概念？向量、零向量、单位向量、向量的长度、平行向量( 别名“共线向量” )、相等向量和相反向量，共七个．8.出现了几种类型的符号?向量的符号、零向量的符号、向量的模的符号共三种类型．练习2. 如图,O 为正方形的中心. (1) 向量AB uu u r 与向量CD uu u r 是相等向量吗?(2) 向量OA uu r 与向量CA uu r 是平行向量吗? (3) 向量AD u u u r 的长度与向量AC uuu r 的长度之比是多少?解:(1)不相等. (2) 是 (3) 1:2 .辨析1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形,则有AB ＝DC，反之亦然；⑤模为0是判断一个向量方向不确定的唯一条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、CD在同一直线上；②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定；③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图，AC →与BC →共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系，必须把握好.辨析2．下列命题正确的是 ( )A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c也共线；B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.几点说明：1.向量有三个要素：起点、方向、长度；2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小；3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘；4.向量a与实数a 必须分清；5.零向量0与实数0必须分清； 6.注意下列写法是错误的： ①a －a ＝0； ②a ＋0＝a ；7.平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定0 ＝0.平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即：两个向量平行⇒两个向量相等，反过来则有：两个向量相等⇒两个向量平行．为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练. Ⅲ.课堂练习练习：（课本P59练习1、2、3、4.）说明:带领同学们观看一下，作为对概念的应用的感受，结论留给同学们课后自己得出．- 11 -Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业1.课外练习：课本P59习题2.1 第1、2、3、4题；2.课时训练P39第1课时 向量的概念及表示．。
教案：平面向量的坐标运算
教案：平面向量的坐标运算第一章：向量的概念及坐标表示1.1 向量的定义解释向量的概念，即有大小和方向的量。
强调向量与标量的区别。
1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头和粗体字母表示。
解释在坐标系中表示向量的方法。
1.3 向量的坐标运算介绍向量的加法、减法、数乘和点积等基本运算。
强调坐标运算的规则和性质。
第二章：向量的加法和减法2.1 向量加法解释向量加法的概念和几何意义。
给出向量加法的坐标表示公式。
2.2 向量减法解释向量减法的概念和几何意义。
给出向量减法的坐标表示公式。
2.3 相反向量和数乘解释相反向量的概念和性质。
解释数乘的概念和性质。
第三章：向量的数乘和点积3.1 数乘向量解释数乘向量的概念和几何意义。
给出数乘向量的坐标表示公式。
3.2 向量的点积解释向量点积的概念和几何意义。
给出向量点积的坐标表示公式。
3.3 点积的性质和应用介绍点积的性质，如交换律、分配律等。
解释点积在几何上的应用，如求夹角、判断垂直等。
第四章：向量的叉积和叉积的性质4.1 向量的叉积解释向量叉积的概念和几何意义。
给出向量叉积的坐标表示公式。
4.2 叉积的性质介绍叉积的性质，如交换律、分配律等。
解释叉积在几何上的应用，如求平行四边形的面积等。
4.3 叉积与向量垂直的判断解释叉积用于判断两个向量是否垂直。
给出叉积为零的条件。
第五章：向量的模和单位向量5.1 向量的模解释向量模的概念和几何意义。
给出向量模的坐标表示公式。
5.2 单位向量解释单位向量的概念和几何意义。
给出单位向量的坐标表示公式。
5.3 模和单位向量的应用解释模和单位向量在几何上的应用，如求向量的长度、求单位向量等。
第六章：向量的线性组合与基底6.1 向量的线性组合介绍向量的线性组合的概念。
给出向量的线性组合的坐标表示方法。
6.2 基底的概念解释基底的概念和作用。
给出确定一个向量空间的一组基底的方法。
6.3 向量在基底上的表示解释向量在基底上的表示方法。
高中数学必修第二章平面向量教案完整版
高中数学必修 4 第二章平面向量教案（12 课时）本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第 1 课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由 A 向西北逃窜，猫在 B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4 、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2. 向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.起点、方向、长度3. 有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：向量与有向线段的区别：1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段4、零向量、单位向量概念：①长度为0 的向量叫零向量，记作0.0 的方向是任意的注意0与0 的含义与书写区别.②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ ｂ∥ ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向．线．段．的．起．点．无．关．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与．有．向．线．段．的．起．点．无．关．）．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例 1 书本86页例 1.例 2 判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例 3 下列命题正确的是（）A. ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与 c 也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选 C.OA 、OB 、OC 相例 4 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB, DO,FE ）课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确. 零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确. ⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同. 2．书本88 页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88 页习题 2.1 第3、5 题第 2 课时2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量， 培养数形结合解 决问题的能力；3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比， 使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点： 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量 . 教学难点：理解向量加法的定义 . 学 法： 数能进行运算， 向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们， 从运算的角度看， 位移 的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加 法，让学生顺理成章接受向量的加法定义 .结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则 .联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律 .教 具 ：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型： 新授课教学思路：一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调： 向量是既有大小又有方向的量 .长度相等、 方向相同的向量相等 .因此， 我们研 究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提 下，移到任何位置2、 情景设置：1）某人从 A 到 B ，再从 B 按原方向到 C ，则两次的位移和： AB BC AC（4）船速为 AB ，水速为 BC ，则两速度和：二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法A 到B ，再从 B 按反方向到C ，则两次的位移和： AB BC AC3）某车从 A 到 B ，再从 B 改变方向到C ，则两次的位移和： AB BC AC2）若上题改为从探究：（ 1）两相向量的和仍是一个向量；2）当向量 a 与 b 不共线时， a +b 的方向不同向，且 |a +b |<|a |+| b |；（3）当 a 与b 同向时， 则a +b 、a 、b 同向，且| a + b |=| a |+|b |，当a 与b 反向时，若 | a |>|b|， 则 a +b 的方向与 a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若| a |<| b |，则a + b 的方向与 b 相同，且 | a +b|=| b |-| a |.（ 4）“向量平移”（自由向量） ：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n 个向量连加３．例一、已知向量 a 、 b ，求作向量 a +b作法：在平面内取一点，作 OA a AB b ，则 OB a b .４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中 b + a 的结果与 a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律a ： a +b =b +a５．向量加法的结合律： （a +b ） +c =a + （b +c ）２、 三角形法则（ “首尾相接，首尾连” ）如图，已知向量 a 、ｂ .在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a ， BC ＝ｂ ，则向量 AC 叫做a 与 ｂ 的和，记作 a ＋ｂ ，即 a ＋ｂ AB BC AC ，规定： a + 0-= 0 + ab a+baba+b∴ (a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行三、应用举例：例二（ P94— 95）略练习： P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律； ３、注|a +b | ≤ |a | + | b |，当且仅当方向相同时取等号五、课后作业：P103 第２、３题六、板书设计（略） 七、备用习题1、一艘船从 A 点出发以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的 速度的大小为 4km / h ，求水流的速度 .2、一艘船距对岸 4 3km ，以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时， 船的实际航程为 8km ，求河水的流速 .3、一艘船从 A 点出发以 v 1 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 v 2，船 的实际航行的速度的大小为 4km/ h ，方向与水流间的夹角是 60 ，求 v 1和 v 2.4、一艘船以 5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为 2km/h ，则船的实际航行速度大小 最大是 km/h ，最小是 km/h５、已知两个力 F 1，F 2 的夹角是直角， 且已知它们的合力 F 与 F 1的夹角是 60 ，|F|=10N 求 F 1 和 F 2 的大小 .６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形证：如图：使 AB a ， BC b ， CD c则 (a +b ) +c = AC CDAD ， a + ( b +c ) = AB BD AD第 3 课时2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算， 使学生理解事物之间可以相互转 化的辩证思想 . 教学重点： 向量减法的概念和向量减法的作图法 . 教学难点：减法运算时方向的确定 . 学 法： 减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运 算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量 .教 具 ：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型： 新授课教学思路：复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中， CB BA BA .解： CB BA BA CB BA AD CD提出课题：向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算：若 b + x = a ，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b∵ (a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点 O ，ab1．用“相反向量”定义向量的减法 1) 相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量 . 记作 a2．2) 3) 规定：零向量的相反向量仍是零向量 . ( a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量 .a + ( a) = 0如果 a 、 b 互为相反向量，则 a = b ， b = a ， a + b = 0向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差 .即： a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法用加法的逆运算定义向量的减法： 3． 求作差向量：已知向量 a 、 b ，求作向量作OA= a ，AB = b则BA = a b即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量a ab a bO B A B' O B Aba ab a bb O A b B B O A２）若a∥ b，如何作出 a b ？三、例题：例一、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量 a b、c d.解：在平面上取一点O，作OA= a，OB = b，OC = c，OD = d，显然，此法作图较繁，但最后作图可统4．探究：１）如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 b a.A B注 1 AB 表示 a b.强调：差向量“箭头”指向被减数2 用“相反向量”定义法作差向量， a b = a + （ b）例二、平行四边形 ABCD 中， AB a ， AD b ，用 a 、 b 表示向量 AC 、 DB . 解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AB AD = a b变式一：当 a ， b 满足什么条件时， a+b 与 a b 垂直？（ |a| = |b|） 变式二：当 a ，b 满足什么条件时， |a+b| = |a b|？（ a ， b 互相垂直） 变式三： a+b 与 a b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ 98 四、 小结：向量减法的定义、作图法 | 五、 作业： P103 第 4、５题 六、 板书设计（略） 七、 备用习题：1.在△ ABC 中， BC =a ， CA =b ，则 AB 等于( )a+b=， b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .４、如图所示， O 是四边形 ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定 d 的方向（用箭头表示） ，使 a+b= AB ， c-d= DC ，并画出 b-c 和 a+d.2.3平面向量的基本定理及坐标表示第 4 课时§2.3.1 平面向量基本定理教学目的：第３题A.a+bB.- a+(- b)C.a-bD.b-a2.O 为平行四边形 ABCD 平面上的点，设 OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则 A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C. a+ b -c-d =0D.a-b-c+d=0３.如图，在四边形 ABCD 中，根据图示填空：a 、b 、c 、(1)了解平面向量基本定理；(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；(3)能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λ a(1)|λ a|=|λ||a|；(2)λ>0 时λ a与a方向相同；λ <0时λ a与a方向相反；λ =0时λ a=0 2．运算定律结合律：λ ( μa )=( λ μ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b )=λa+λb3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λ a.、讲解新课：平面向量基本定理：如果e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1，λ2使a=λ1e1+λ2e2 .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1λ，λ2是被a，e1 ，e2唯一确定的数量三、讲解范例：例 1 已知向量 e 1，e 2 求作向量 2.5 e 1 +3 e 2 .例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点 M ，且 AB = a ，AD =b ，用 a ，b 表示 MA ，MB ，MC 和MD 例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E ， O 是 任意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE例 4（1）如图， OA ，OB 不共线， AP =t ABOB 表示 OP .（2）设 OA 、OB 不共线，点 P 在 O 、A 、B 所在的平面内，且 uuur uuur uuur OP （1 t ）OA tOB （t R ） .求证： A 、B 、P 三点共线 .例 5 已知 a=2 e 1 -3e 2， b= 2e 1+3e 2，其中 e 1， e 2不共线，向量 c=2e 1-9e 2，问是否存在这样的 实数 、 ,使d a b 与 c 共线.四、课堂练习 ：1.设 e 1、 e 2 是同一平面内的两个向量，则有 （ ） A. e 1、 e 2 一定平行 B. e 1、 e 2的模相等C. 同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe 1+ μe 2 （λ、 μ∈ R ）D. 若 e 1、e 2 不共线，则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe 1+ue 2（λ、u ∈R ） 2. 已知矢量 a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中 e 1、 e 2不共线，则 a+b 与 c =6 e 1-2e 2 的关系 A. 不共线B.共线C.相等D. 无法确定3. 已知向量 e 1、e 2不共线，实数 x 、y 满足（3x-4y ）e 1+（2x-3y ）e 2=6e 1+3e 2，则 x-y 的值等于 （ ）A.3B.-3C.0D.2 4.已知 a 、b 不共线，且 c =λ1a+λ2b （λ1，λ2∈R ），若 c 与 b 共线，则 λ1=.5. _________________________________________________________ 已知 λ1> 0，λ2> 0，e 1、e 2是一组基底， 且 a =λ1e 1+λ2e 2，则 a 与 e1 _________________ ，a 与 e2 _______ （填共线或不共线 ）. 五、小结 （略） 六、课后作业 （略）：七、板书设计 （略） 八、课后记：(t R)用 OA ，uuur uur第 5 课时2.3.2—§ 2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：(1)理解平面向量的坐标的概念；(2)掌握平面向量的坐标运算；(3)会根据向量的坐标，判断向量是否共线教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1，λ2使a=λ1e1+λ2e2(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1λ，λ2是被a，e1 ，e2 唯一确定的数量、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj ⋯⋯⋯⋯○1我们把(x, y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作a (x, y) ⋯⋯⋯⋯○2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相．等．的．向．量．的．坐．标．也．为．(x,y).特别地， i (1,0) ， j (0,1)， 0 (0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点 O 为起点作 OA a ，则点 A 的位置由 a 唯一确定 .设 OA xi yj ，则向量 OA 的坐标 (x,y) 就是点 A 的坐标；反过来，点 A 的坐标 (x,y) 也 就是向量 OA 的坐标 .因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯 一表示 .2．平面向量的坐标运算( 1 ) 若a (x 1,y 1) ，b (x 2, y 2) ， 则 a b (x 1 x 2,y 1 y 2) ，a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 .设基底为i 、 j，则ab (x 1i y 1 j )(x 2i y 2 j ) (x 1 x 2)i (y 1 y 2)j即a b (x 1 x 2,y 1 y 2) ，同理可得 a b(x 1x 2,y 1y 2)2) 若A (x 1,y 1)， B(x 2,y 2)，则 AB x 2 x 1,y 2 y 1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= (x 2 x 1， y 2 y 1)3)若 a (x,y) 和实数 ，则 a ( x, y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 (xi yj) xi yj ，即 a ( x, y)uuurB(x 2， y 2) ，求 AB 的坐标 . r r r r r r r b =(-3 ，4)，求 a +b ，a -b ，3a +4b 的坐 例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A( 2， 1)， B( 1， 3)， C(3 ， 4)，求点 D 的坐标使 这四点构成平行四边形四个顶点当平行四边形为 ACDB 时，得 D 2=（4 ， 6），当平行四边形为 DACB 时，得 D 3=（ 6，0） 例4已知三个力 F 1 （3， 4）， F 2（2， 5）， F 3 （x ， y ）的合力 F 1+F 2 +F 3 =0，求F 3的 坐标 .解：由题设 F 1+F 2 +F 3=0 得：（3， 4）+ （2， 5）+（x ， y ）=（0 ， 0）设基底为 i 、j ，则 a 三、讲解范例： 例 1已知 A(x 1， y 1)， r 例 2 已知 a =(2 ，1) ，标.解：当平行四边形为ABCD 时，由AB DC 得D1=(2，2) 32x0x5即：F3 ( 5，1) 45y0∴y1四、课堂练习：1．若M （3 ，-2)N(-5，-1) 且MP12MN ，求P 点的坐标2．若A（0 ，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB 2BC =3．已知：四点A（5 ，1），B（3，4），C（1，3），D（5，-3），求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：第 6 课时2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ： 一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底 .任作一个向量 a ，由平面 向量基本定理知，有且只有一对实数 x 、 y ，使得 a xi yj 把 (x,y)叫做向量 a 的(直角)坐标，记作 a (x,y) 其中 x 叫做a 在x 轴上的坐标， y 叫做a 在 y 轴上的坐标， 特别地， i (1,0) ， j (0,1)， 0(0,0).2．平面向量的坐标运算若a (x 1,y 1) ，b (x 2,y 2)，则a b (x 1 x 2,y 1 y 2)，a b (x 1 x 2,y 1 y 2) ， a若A (x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则 AB x 2 x 1,y 2 y 1二、讲解新课：a ∥b (b 0 )的充要条件是 x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中 b a .一个不为 0三、讲解范例：例 1已知 a =(4， 2)， b =(6， y)，且 a ∥b ，求 y.例 2 已知 A(-1， -1)， B(1 ，3) ， C(2，5)，试判断 A ，B ，C 三点之间的位置关系( x, y) .由 a =λ b 得， (x 1， y 1) = λ(x 2， y 2)x 1 x 2消去λ， x 1y 2-x 2y 1=0y 1y 2探究：(1)消去λ时不能两式相除，y 1， y 2 有可能为 0， ∵ b 0∴x 2， y 2 中至少有2)充要条件不能写成y 1x 1y 2 x 2∵x 1， x 2 有可能为 0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b 0 )x 1y 2 x 2 y 1 0例 3 设点P 是线段P1P2 上的一点，P1、P2 的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）.（1）当点P 是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例 4 若向量a=（-1，x）与b =（-x ，2）共线且方向相同，求x解：∵ a =（-1，x）与b=（-x ，2）共线∴（-1）× 2- x?（-x）=0∴ x=± 2 ∵a与b 方向相同∴ x= 2例 5 已知A（-1 ，-1），B（1 ，3），C（1，5），D（2 ，7），向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD吗？解：∵ AB =（1-（-1），3-（-1））=（2 ，4），CD =（2-1 ，7-5）=（1，2）又∵ AC =（1-（-1），5-（-1））=（2 ，6），AB =（2，4），2× 4-2×6 0 ∴ AC 与AB 不平行∴A，B，C不共线∴AB 与CD 不重合∴AB∥CD四、课堂练习：1. 若a=（2 ，3），b=（4，-1+y），且a∥ b，则y=（）A.6B.5C.7D.82. 若A（x，-1），B（1，3），C （2，5）三点共线，则x 的值为（）A.-3B.-1C.1D.33. 若AB =i+2j，DC =（3-x）i+（4-y）j（其中i、j 的方向分别与x、y 轴正方向相同且为单位向量）.AB 与DC 共线，则x、y 的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3， 2D.2 ，44. 已知a=（4，2），b=（6，y），且a∥b，则y= .5. 已知a=（1，2），b=（x，1），若a+2b与2a-b平行，则x的值为.6. 已知□ABCD四个顶点的坐标为A（5，7），B（3，x），C（2，3），D（4，x），则x=五、小结（略）又∵2×2-4× 1=0 ∴ AB ∥ CD六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：§2.4平面向量的数量积第7 课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义；2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4. 掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的 5 个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λ a .2．平面向量基本定理：如果e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1，λ2使a=λ1e1+λ2e23．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a (x,y)4．平面向量的坐标运算若a (x1,y1)，b (x2,y2)，则a b (x1 x2,y1 y2) ，a b (x1 a ( x, y) . x2,y1 y2) ，若A( x1, y1 )，B(x2,y2)，则AB x2 x1,y2 y15．a ∥ b(b 0 )的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使P1P = λ PP2 ，λ 叫做点P 分P1P2 所成的比，有种情况λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1< λ <0)7. 定比分点坐标公式：若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且P1P ＝λPP2，则点 ( x1x2, y1 y2)，我们称λ为点P 分P1P2所成的比.118. 点P 的位置与λ的范围的关系：P 的坐标为①当λ>０时，P1P与PP2 同向共线，这时称点P 为P1P2的内分点.②当λ<０( 1)时，P1P与PP2 反向共线，这时称点P为P1P2 的外分点9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设OP1＝ａ，OP2 可得OP=a b 1a b .1 1 110．力做的功：W = |F||s|cos ，是F 与s的夹角.、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝时，2ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab= |a||b|cos ，（０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成 a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.3）在实数中，若 a 0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若 a 0，且 a b=0，不能推出b=0.因为其中cos 有可能为0.4)已知实数a、b、c(b 0)，则ab=bc a=c .但是ab = bc a = c 如右图：ab =|a||b|cos = |b||OA|，b c = |b||c|cos = |b||OA|ab = bc 但 a c（5）在实数中，有（ab）c = a（b c），但是（ab）c a（bc）显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而线.3．般a与c不共投影”。
平面向量概念教学设计
篇一：平面向量概念教案平面向量概念教案一．课题：平面向量概念二、教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣三．教学类型：新知课四、教学重点、难点1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。
2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。
五、教学过程（一）、问题引入1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。
在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。
而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。
（二）讲授新课1、向量的概念练习1 对于下列各量：①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度其中，是向量的有：②③④⑤2、向量的几何表示请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。
思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？（1）有向线段及有向线段的三要素（2）向量的模（4）零向量，记作＿＿＿＿；（5）单位向量练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。
2）、用字母表示。
3、相等向量与共线向量（1）相等向量的定义（2）共线向量的定义六．教具：黑板七．作业八．教学后记篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计平面向量的实际背景及基本概念教学设计本节课的内容是数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节平面向量的实际背景及基本概念两部分，所需课时为1课时。
一教材分析向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。
苏教版 高中数学必修第二册 向量概念 课件1
1.向量的定义及表示 向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移 (1)定义：既有 大小又有 方向 的量叫做向量. (2)表示： ①有向线段：带有 方向的线段，它包含三个要素： 起点 、方向、长度；
②向量的表示：
|AB|
长度
→a ,→b ,→c
2.向量的有关概念 相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝_0_
例 1 (多选)下列说法中，正确的是
√A.向量A→B与向量B→A的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
√C.零向量的方向不确定 √D.两个相等向量的起点相同，则终点也相同
解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同， 终点也不一定相同；零向量的方向不确定；故B错误，ACD正确.
零向量
长度为 0 的向量，记作 0
单位向量
长度等于 1个单位 长度的向量
方向 相同或相反 的非零向量，向量 a，b 平行，记作
平行向量(共线向量) a∥b，规定：零向量与任一向量
平行
相等向量
长度 相等 且方向 相同 的向量；向量 a，b 相等， 记作 a＝b
相反向量
定义 规定
结论
与向量a长度相__等__，方向相__反__的向量，叫作a的相反向量，记 作－__a_ 零向量的相反向量仍是零向量 a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝_a_ a＋(－a)＝(－a)＋a＝_0_
【解析】选B.①根据作用力与反作用力的概念可知作用力与反作用力是一对共 线向量；②温度只有大小没有方向，所以不是向量；③如图可知，是共线向量； ④x轴和y轴只有方向，没有大小，所以不是向量．所以只有①③正确．
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示教案 苏教版必修4(2021年最新整理)
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2.1 向量的概念及表示错误!教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子说明它的应用．位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础．2．在类比数量的抽象过程引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量"，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较,可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的,数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示,给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量,赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢?一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念,为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中,引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等"，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此,用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础,由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上,只要两个向量平行就是共线向量．当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆,教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性．4．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教具准备实物投影仪，多媒体课件．课时安排1课时错误!导入新课思路1。
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第1课时§2.1 向量的概念及表示
【教学目标】
一、知识与技能
1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向），能正确地表示向量；
2．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）；
3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
二、过程与方法
（1）从对不同问题的思考中感受什么是向量。
（2）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.
三、情感、态度与价值观
（1）通过向量包含大小和方向，概念的学习感知数学美。
（2）向量的方向包含正反两方面，正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维
【教学重点难点】：1．向量、相等向量、共线向量等概念；
2．向量的几何表示
【教学过程】
一、问题情境：
问题1、湖面上有3个景点O，A，B，如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同？
问题2、下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：
（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；
（2）物体所受重力；
（3）物体的质量为a千克；
（4）1月1日的4级偏南风的风速。
问题3、上述的物理量中有什么区别吗？
二、新课讲解：
（一）概念辨析：
（1）向量的定义：
（2）向量的表示：
（3）向量的大小及表示
（4）零向量：
（5）单位向量：
（二）向量的关系：
问题4：在平行四边形ABCD中，向量与，与有什么关系？
（1）平行向量
（2）相等向量
（3）相反向量
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a；
；
（2）零向量与零向量相等，记作00
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
问题5：1.向量能否平移？
2. 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？
二、例题分析：
例1、已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，所标出的向量中：
（1）试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3）OA与BC向量相等么？
例2、判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？
例3、如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个？（AB 除外）
课时小结：
（1） 向量是既有大小又有方向的量，向量有两个要素：方向和长度，称为自由向量；
有向线段具有三个要素：起点，方向和长度；
（2） 数量（标量）与向量的区别与联系：向量不同于数量。
数量是只有大小的量，
而向量是既有大小又有方向的量；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模可以比较大小；记号“a b ”是没有意义的，而|a |＞|b |才有意义。
B A。