2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用9对数与对数函数课时作业文

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2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.1函数及其表示课后作业文

2.1函数及其表示E课后作业斉笑［基础送分提速狂刷练］一、选择题2231 .已知 A = {x | x = n , n € h}，给出下列关系式：① f (x ) = x ；② f (x ) = x ；③ f (x ) = x ； ④f (x ) = x 4；⑤f (x ) = x 2+1，其中能够表示函数 f ： gA 的个数是()A . 2 B. 3 C. 4 答案 C2解析对⑤，当x = 1时，x + 1?A ,故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确•故选 C.2. (2018 •吉安四校联考)已知函数f (x )= 1 — x 2 xwl ,=X 2+ X —2 x 》l ,3.已知 f (x 5)= =lg x , 则 f (2)等于()A . lg 2B. lg 3211C. lg -32D0 2答案 D15 解析令x 5= t，则x = =t(t >0),14 (2017 •山西名校联考)设函数f (x ) = lg (1 — x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A . ( — 9,+^) B. ( — 9,1) C. [ — 9,+^) D. [ — 9,1)答案 B1 — x >0,解析 f [f (X )] = f [lg (1— x )] = lg [1 — lg (1 — x )]，则 \,(r . 沖？—1—lg 1— x 旳D. 5c.27 16答案 A 解析 f (2) =5 11故选D.t.••• f(2)= 西2. ••• f (t) = lg t=_lg9<x <1.故选 B.5.若函数y = f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x ) = f (x + a ) + f (2x + a )(0< a <1)的定义域是()答案 A0 w x + a w 1, 解析 0W2X + a wi2 ~6•函数y = +的值域为( )( 1 A. —m , J71、些，J答案 C解得a= ?故 f ( — 3) = $)3+ 1 = 9,从而 f [f ( — 3)] = f (9) = log 39= 2.故选 B.& (2018 •银川模拟)已知具有性质：f £ =— f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：象可知函数y 二弓了十^的值域为j\(2，1 . 故选 C .log 3X , x >0,7. (2018 •黄冈联考)已知 f (x ) = x且 f (0) = 2, f ( — 1) = 3，则 f [f (—|a + b , x w 0,3)]=( )A . — 2B. 2C. 3D.— 3解析y = g)在(0,1]上的图1答案 B解析由题意得f (0) = a °+ b = 1+ b = 2，解得b = 1;—1— 1f ( — 1) = a + b = a + 1 = 3,A.C. [—a, 1 — a ]a 1 — a? — 2W xw —jp 故选 A.1 由于宀0,所以x2 +1> 1所以°<x 〒w 1结合函数 B. — J , 1 — ax , 0<x <1,11I 0 x = 1①y = x — x ；② y = x + x :③ y =，，z\. z\.其中满足“倒负”变换的函数是 A .①② C.②③答案 B1A . f (x ) =x —J4c. f (x ) = x + x答案 C19 9I解析 A 项，当 x = 1 时，f (x ) = 1 — 1 = 0,0 >1 不成立；B 项，当 x =— 1 时，f (x )=-— e ；25 n2/5 n \1 € ( — 1,0) , - — 1 >( — 1)不成立；D 项，当 x =〒时，f (x ) = 1, 1 > -不成立；对绘丿 4k 4 Z16 于C, f (x ) = x + - + 8>x ，符合题意.故选 C.x3x — 1, x <1, f()10.(2 017 •山东模拟)设函数f (x ) = x贝U 满足f [ f ( a )] = 2 f(a)的a 的取值2 , x > 1.范围是( )1x , x >1.B.①③ D.①解析对于①，f (x )f (x = x — x = — f (x )满足；对于②,I=2+x =f (x ),不满足；对于③,1 1x , 0<x <1,1x , x >1,, x = 1,—x , 0<x <1,故 f i 1 = — f (x ),满足. 综上可知，9. (2018 析式可以是(满足“倒负”变换的函数是①③ •故选B.•铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点 ) P (x , y )皆满足 y 2>x 2,贝U f (x )的解B. xf (x ) = e - 1 D. f (x ) = tan xA. |, 1 IB. [0,1]72 、C. 3,+s 丿D. [1 ,+s)答案C2 _解析①当a<3时,f(a) = 3a—1<1,f[f(a)] = 3(3 a- 1) -1 = 9a—4,2 f(a)= 233-1，显然 3f[f(a)]"⑺-2②当a<1 时，f(a) = 3a-1> 1, f[f (a)] = 23a—h2f(a)= 23a—III,故f[f(a)] = 2f(a)'a③当a>l 时，f(a) = 2a>1, f[f(a)] = 2 ,af( a) 2 f(a).2 = 2，故f [f (a)] = 2()2综合①②③知a> 3.故选C.二、填空题■ ■ 2* x - 35, x>3,11. 已知x € N, f(x) = £“其值域设为D.给出下列数值：一26,-f x+2 , x<3,1,9,14,27,65 ，则其中属于集合D的元素是________ .(写出所有可能的数值)答案—26,14,65解析注意函数的定义域是N*，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f(3) = 9- 35=- 26, f (4) = 16-35=- 19, f (5) = 25 - 35=- 10, f (6) = 36- 35= 1 , f (7) = 49- 35= 14, f (8) = 64- 35= 29, f (9) = 81 -35 = 46 , f(10) = 100 - 35= 65.故正确答案应填—26,14,65.1 - 2a x+ 3a, x<1,12. (2018 •厦门一模)已知函数f(x) = x-12 , x>1的值域为R,则实数a的取值范围是____________ .7 1 \答案0, 2丿x-. ' 1 —2a x+ 3a, x<1,解析当x》l时，f(x) = 2 > 1,T函数f(x) = x—1 的值域为2 , x>1R,III 得O w av 713. 定义：区间［X1, X2］(X1<X2)的长度为X2-X1.已知函数y = 2|x|的定义域为［a, b］，值域为［1,2］，则区间［a, b］的长度的最大值与最小值的差为_________ .答案1解析［a, b］的长度取得最大值时［a, b］= ［- 1,1］，区间［a, b］的长度取得最小值时［a, b］可取［0,1］或［—1,0］，因此区间［a, b］的长度的最大值与最小值的差为1.14 . (2018 •绵阳二诊)现定义一种运算“①”:对任意实数a , b , a ® b =‘1—2a>0, •••当x<1时，(1 - 2a) x + 3a必须取遍(一汽1)内的所有实数，贝厂解1 - 2a+ 3a> 1,b, a—b> 1, 2设f (x) = (x —2x) ® (x+ 3)，若函数g(x) = f (x) + k的图象与x轴恰有两a, a—b<1.个公共点，则实数k的取值范围是__________ •答案(一8,—7] U ( —3, —2) U ⑴解析因为(x2—2x) —(x + 3) — 1 = (x —4)( x+ 1)，所以f (x) = (x2—2x)® (x + 3)=x+ 3, x €—a, —1] U [4 ,+ CO ,x2—2x, x €—1，斗,作出函数y= f (x)的图象如图所示.函数g( x) = f (x) + k的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y= f(x)的图象与直线y = —k有两个公共点，结合图象可得一k=—1或2< —k<3或7W—k<8，所以实数k的取值范围是k€ ( —8, —7] U ( —3, —2) U {1}.三、解答题15. (2018 •福建六校联考)已知函数f (x) = log a(x + 2) + log a(4 —x)( a>0 且1).(1) 求函数f (x)的定义域；(2) 若函数f(x)在区间[0,3]上的最小值为一2，求实数a的值.[x + 2>0,解(1)依题意得解得—2<x<4,4 —x>0,••• f (x)的定义域为(—2,4).(2) f (x) = log a(x + 2) + log a(4 —x)=log a[( x+ 2)(4 —x)],令t = (x + 2)(4 —x)，则可变形得t =—(x —1) + 9,•/ 0< x w 3,「. 5W t w 9,若a>1，则log a5w log a t w log a9,21•- f ( x) min= log a5=— 2 ,贝a = ^<1(舍去)，若0<a<1，则log a9w log a t w log a5,•- f ( x) min= log a9=—2 ,2 1 1则a = 9,又0<a<1,.・.a=3.od o CXI H 600L X CXI 2疤宦 IE一u .n —一一宦7 (r HU ZL品・(L 二•(u二H (L+兰M4F464一+u 4u)4亘"L "A "u N X令cxr H (L) J M (A ) 4• (X )4H (A +x )4w w #9 A X J及-H w sOd o CXI "600 LX CXI 21W+星(L)r w ss•9L H Z H O)4・(L二H o +l)4h(寸二寸ocf J CXI n s A •(L)4n(CXI +L 二H 0)4寸H U H(L)4 •(L 二H(L+L 二 H (CXI二cxr H (L)4•IBB II----4十i」Ig l9一mQ 星(寸)二(e)二(CXI二怪(L)CXI H (L 二M ・ (A)4• (X 二 H (A + X 二w w Qr <u A x j及<吕・9L。

精选推荐2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第9讲对数与对数函数精选教案理

第9讲对数与对数函数1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__x ＝log a N __，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数．(2)几种常见对数 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0，且a ≠1)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：！！！ log b N ＝log a Nlog a b###(a ，b 均大于零，且不等于1)； ②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝__log a d __.(3)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__log a M ＋log a N __； ②log a MN＝__log a M －log a N __； ③log a M n＝__n log a M __(n ∈R )； ④log am M n ＝！！！ n mlog a M ###. 3．对数函数的图象与性质a 指数函数y ＝a x与对数函数__y ＝log a x __互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称．5．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)log a x 2＝2log a x .( × )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( × )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(4)若log a m <log a n ，则m <n .( × ) 解析 (1)错误．log a x 2＝2log a |x |. (2)错误．不符合对数函数的定义．(3)正确．函数y ＝ln 1＋x1－x 的定义域为(－1,1)，而函数y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域也为(－1,1)．(4)错误．当a ＞1时成立，而0＜a ＜1时不成立． 2．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( C ) A ．a c0，所以y ＝x c为增函数，又a >b >1，所以a c>b c，A 项错．对于选项B ，ab c<ba c⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c <ba ，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 是减函数，所以B 项错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 项错，故选C ．3．如果log 12 x <log 12 y <0，那么( D )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析由log 12 x <log 12 y <0，得log 12 x <log 12 y <log 12 1．所以x >y >1，故选D ．4．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为( C )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >34 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34<x <1C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34<x ≤1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ≤1 解析要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，则需log 0.5(4x －3)≥0，即0<4x －3≤1，解得34<x ≤1，故选C ． 5．计算：log 23·log 34＋(3)log 34＝__4__.解析 log 23·log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋312 log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4.一对数的运算对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后顺用对数的运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【例1】 (1)(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( B )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2(2)(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( D ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z(3)12lg 25＋lg 2－lg 0.1－log 29×log 32的值是！！！－12 ###. (4)已知2x＝12，log 213＝y ，则x ＋y 的值为__2__.解析 (1)(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23，又log 213＝－log 23，两者相加即为选项B ．(2)设2x＝3y＝5z＝k >1，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ， ∵2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝⎝⎛⎭⎪⎫2lg 2－3lg 3lg k ＝lg 9－lg 8lg 2·lg 3·lg k >0，∴2x >3y ；同理，5z －2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫5lg 5－2lg 2lg k ＝lg 32－lg 25lg 5·lg 2·lg k >0，∴5z >2x ，∴5z >2x >3y ，故选D ．(3)原式＝lg 5＋lg 2＋12－2＝1＋12－2＝－12.(4)∵2x＝12，∴x ＝log 212，∴x ＋y ＝log 212＋log 213＝log 24＝2.二对数函数的图象及应用在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系．【例2】 (1)函数f (x )＝lg1|x ＋1|的大致图象是( D )(2)若不等式4x 2－log a x <0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1B ．⎝⎛⎭⎪⎫1256，1C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，1256 D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，1256 解析 (1)f (x )＝lg 1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x |的图象可知选D ．(2)∵不等式4x 2－log a x <0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，函数y ＝4x 2的图象在函数y ＝log a x 的图象的下方，∴0<a <1．再根据它们的单调性可得4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142≤log a 14 ，即log a a 14 ≤log a 14 ，∴a 14 ≥14，∴a ≥1256.综上可得1256≤a <1．三对数函数的性质及应用 `(1)对数值大小比较的主要方法： ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较． (2)解决不等式有解或恒成立问题的方法：对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为： ①对不等式变形，使不等号两边对应两函数f (x )，g (x )； ②在同一坐标系下作出两函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象；③比较当x 在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况．【例3】 (1)函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( D ) A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D ．(3，＋∞)(2)设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，求|PQ |的最小值．解析 (1)∵a >0，a ≠1，∴u ＝ax －3是增函数，∴依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ×1－3>0，即a >3.(2)函数y ＝12e x与函数y ＝ln (2x )互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称，如图所示．函数y ＝12e x 图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12e x 到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12e x －x 2.设函数g (x )＝12e x －x ，g ′(x )＝12e x－1，由g ′(x )＝0得x ＝ln 2，则g (x )在(－∞，ln 2)上递减，在(ln 2，＋∞)上递增．∴g (x )min ＝1－ln 2，d min ＝1－ln 22.由图象关于直线y ＝x 对称得|PQ |的最小值为2d min ＝2(1－ln 2)．1．下列四个命题：①∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0；②∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13 x 0；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>log 12 x ；④∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<llog 13x .其中真命题是( C ) A ．①③ B ．②③ C ．②④D ．③④解析根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的，②④是正确的，故选C ． 2．已知函数y ＝lg[(a 2－1)x 2－2(a －1)x ＋3]的值域为R ，则实数a 的取值范围是( B ) A ．[－2,1] B ．[－2，－1]C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析函数的值域为R ，只需满足u ＝(a 2－1)x 2－2(a －1)x ＋3能取得(0，＋∞)的所有实数，所以当a ＝1时，不合题意，当a ＝－1时，u ＝4x ＋3成立，当a 2－1>0时，Δ＝4(a －1)2－12(a 2－1)≥0，解得－2≤a <－1．综上，－2≤a ≤－1．3．f (x )＝log 3x ·log 3(3x )的值域为！！！ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ ###.解析 f (x )＝log 3x ·log 3(3x )＝log 3x (1＋log 3x )＝(log 3x )2＋log 3x ，令log 3x ＝t ，则y ＝t 2＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14≥－14.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是__[－2,0]__.解析 ∵|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，∴由|f (x )|≥ax ，以下两种情况均成立：①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax恒成立，可得a ≥x －2恒成立，则a ≥(x －2)max ，即a ≥－2；②由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln (x ＋1)≥ax 恒成立，根据函数图象可知a ≤0.综合①②得－2≤a ≤0.易错点忽视对数的真数大于零错因分析：解决对数问题，时刻要注意真数大于零．【例1】函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞解析由2x 2－3x ＋1>0，得x >1或x <12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1或x <12在(1，＋∞)上是增函数，而y ＝log 12 (2x 2－3x ＋1)的底数0<12<1，所以该函数的递减区间为(1，＋∞)，故选A ．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)，是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围？若不存在，说明理由．解析令g (x )＝x 2－2ax ＋3，∵0<12<1，∴要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上为减函数，且恒大于0，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，7－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．课时达标第9讲[解密考纲]本考点主要考查对数的运算、对数函数的图象与性质、简单复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上．一、选择题1．函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( C )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)解析要使lg (x ＋1)x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1且x ≠1．2．若0<x <1，则下列结论正确的是( C ) A ．x >2x>lg x B ．2x>lg x >x C ．2x>x >lg xD ．lg x >x >2x解析 ∵0<x <1，∴2x>1,0<x <1，lg x <0， ∴2x>x >lg x ，故选C ．3．(2018·天津模拟)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( D )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12 t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增，故选D ．4．(2018·福建福州模拟)函数y ＝lg|x －1|的图象是( A )解析因为当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．5．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( D )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48＝173，所以M ≈10173，则M N ＝101731080＝1093，故选D ．6．(2018·四川成都一诊)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715 ，c ＝log 279，则a ，b ，c 的大小顺序是( C )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c 15，∴a >b >0，又∵c ＝log 279<0，∴c 0，2－x，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝__8__.解析 f (f (－4))＝f (24)＝log 416＝2，∵log 216<0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝2－log216＝2log 26＝6，即f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝2＋6＝8. 9．已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值为__7__. 解析由已知得f (m )＋f (2n )＝log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝log 22(m －2)(n －1)，又f (m )＋f (2n )＝3，所以log 22(m －2)(n －1)＝3，即2(m －2)(n －1)＝23＝8，因此(m －2)(n －1)＝4，所以m ＋n ＝(m －2)＋(n －1)＋3≥2(m －2)(n －1)＋3＝2×2＋3＝7，当且仅当m －2＝n －1＝2，即m ＝4，n ＝3时取等号．三、解答题10．(1)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06；(2)(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64.解析 (1)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1．(2)原式＝(log 62)2＋log 62·log 6182log 62＝log 62(log 62＋log 618)2log 62＝log 62·log 6362log 62＝2log 622log 62＝1．11．若g (x )＝log a (x 2－ax )(a >0且a ≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围．解析 ①若0<a <1，则y ＝log a x 为减函数， ∴y ＝x 2－ax 在[2,3]上应为减函数． ∵对称轴为x ＝a 2，∴a2≥3，a ≥6，不成立．②若a >1，则y ＝log a x 为增函数，∴y ＝x 2－ax 在[2,3]上为增函数，∴a2≤2，a ≤4；又∵x 2－ax >0，∴当x ＝2时，y ＝x 2－ax 的最小值也要大于0，学习K12教育资料学习K12教育资料 ∴4－2a >0，a <2，∴1<a <2.综上知，实数a 的取值范围为(1,2)．12．(2018·安徽合肥八中二模)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时，总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解析 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为点Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝－log a (1－x )(x <1)．所以g (x )＝－log a (1－x )(x <1)．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a 1＋x 1－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x 1－x，x ∈[0,1)．由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为a ＞1，故F (x )在[0,1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0.故m 的取值范围是(－∞，0]．。

2019届高考数学一轮复习讲义及课时作业(全国通用)第二章第6节对数与对数函数

第6节对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b ＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [常用结论与微点提醒] 1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝nm log a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1. ∴c >a >b . 答案 D3.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D4.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C5.计算：log 222＝________；2log 23＋log 43＝________.解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案－12 3 3考点一对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2xD.3y <2x <5z解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1. 则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z . 答案 (1)－20 (2)D规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)(2016·浙江卷)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.(2)(2018·日照调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析 (1)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b＝b a，所以b 2b＝b b2，即2b ＝b 2，解得b ＝2，a ＝4.(2)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 (1)4 2 (2)A考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)(2018·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a表示直线在y轴上截距.由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点.答案(1)B(2)(1，＋∞)规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】(1)(2018·湛江模拟)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A.0<a－1<b<1B.0<b<a－1<1C.0<b－1<a<1D.0<a－1<b－1<1(2)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0解析(1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，即log a a－1<log a b<log a1，所以，a－1<b<1.综上有0<a－1<b<1.(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示.∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.答案(1)A(2)B考点三对数函数的性质及应用(多维探究)命题角度1比较对数值的大小【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c c b解析由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确； log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 答案 B命题角度2 解对数不等式【例3－2】若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)解析由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 C命题角度3 对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b(2)(2018·长春模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )有最小值12，则实数a 的值等于________.解析 (1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1，又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大.由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]. ①若a >1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最小值a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6，当x ＝6时，取最小值a －6，因此有⎩⎨⎧a >1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0<a <1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意，综上，实数a ＝9. 答案 (1)D (2)9基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·濮阳检测)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 log 2(2x －3)<1⇔32<x <52. 又4x >8⇔x >32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，故“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件. 答案 A2.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10B.10C.20D.100解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m＝10.答案 A3.(2018·大连双基测试)函数f(x)＝x a满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a(x＋1)|的图象大致为()解析由f(2)＝2a＝4，得a＝2.所以g(x)＝|log2(x＋1)|，则g(x)的图象由y＝|log2x|的图象向左平移一个单位得到，C满足.答案 C4.(2018·广东省际名校联考)已知f(x)满足对∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝1e x＋k(k为常数)，则f(ln 5)的值为()A.4B.－4C.6D.－6解析易知函数f(x)是奇函数，故f(0)＝e0＋k＝1＋k＝0，即k＝－1，所以f(ln 5)＝－f(－ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4.答案 B5.已知a，b>0且a≠1，b≠1，若log a b>1，则()A.(a－1)(b－1)<0B.(a－1)(a－b)>0C.(b－1)(b－a)<0D.(b－1)(b－a)>0解析∵a>0，b>0且a≠1，b≠1.由log a b>1得log a b a>0.∴a>1，且ba>1或0<a<1且0<ba<1，则b>a>1或0<b<a<1.故(b－a)(b－1)>0.答案 D二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 答案－17.(2018·山西康杰中学联考)设函数f (x )＝lg(x 2－x )－lg(x －1)，且f (x 0)＝2，则x 0＝________.解析易知x >1，且f (x )＝lg(x 2－x )－lg(x －1)＝lg x ，∴f (x 0)＝lg x 0＝2，则x 0＝100. 答案 1008.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).答案 (0，＋∞)三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝ln(a x ＋b )(a >0且a ≠1)是R 上的奇函数，则不等式f (x )>a ln a 的解集是( )A.(a ，＋∞)B.(－∞，a )C.当a >1时，解集是(a ，＋∞)，当0<a <1时，解集是(－∞，a )D.当a >1时，解集是(－∞，a )，当0<a <1时，解集是(a ，＋∞)解析依题意，f (0)＝ln(1＋b )＝0，解得b ＝0，于是f (x )＝ln a x ＝x ln a .∴f (x )>a ln a ⇔x ln a >a ln a .当a >1时，x >a ；当0<a <1时，x <a .答案 C12.(2018·九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________.解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a 2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4，4).答案 [－4，4)13.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1 ＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数. (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立，∴x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ）>0， ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立.令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).。

2019版高考数学总复习第二章函数导数及其应用11函数与方程课时作业文

课时作业11 函数与方程一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x <0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，解得x ＝－1，令x －1＝0，解得x ＝1，所以函数f (x )存在两个零点1和－1，其和为0.答案：C2．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12x B ．y ＝2x－1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：函数y ＝log 12x 在定义域上是减函数，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x－1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x－1在R 上单调递增．故选B.答案：B3．函数f (x )＝x －4x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：方法一：令f (x )＝x －4x ＝0，∴x ＝4x，∴x 2＝4，∴x ＝±2，有2个零点．方法二：令f (x )＝x －4x ＝0，∴x ＝4x，令y 1＝x ，y 2＝4x结合图象有2个零点．答案：C4．(2018·豫南十校联考)函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：因为f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，则f (0)·f (1)＝－2<0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．答案：A5．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 答案：C6．根据下面表格中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为( )x－1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋212345A.(1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(2,3)解析：本题考查二分法的应用．令f (x )＝e x－x －2，则由表中数据可得f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，所以函数f (x )的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．答案：A7．(2018·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x12的交点横坐标所在区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝⎛⎭⎪⎫12，23D.⎝⎛⎭⎪⎫23，1解析：设f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫13x－x12，∵f⎝⎛⎭⎪⎫13＝⎝⎛⎭⎪⎫1313－⎝⎛⎭⎪⎫1312>0，f⎝⎛⎭⎪⎫12＝⎝⎛⎭⎪⎫1312－⎝⎛⎭⎪⎫1212<0，∴f⎝⎛⎭⎪⎫13·f⎝⎛⎭⎪⎫12<0，根据函数零点存在性定理可得函数零点所在区间为⎝⎛⎭⎪⎫13，12，即交点横坐标所在区间为⎝⎛⎭⎪⎫13，12，故选B.答案：B8．(2018·云南省第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )A．a>c>b>d B．a>b>c>dC．c>d>a>b D．c>a>b>d解析：f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可以在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.答案：D9．(2018·河南新乡三模)若函数f(x)＝log2(x＋a)与g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零点，则a的值为( )A．4或－52B．4或－2C．5或－2 D．6或－52解析：g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令g(x)＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4)＝log2(－4＋a)＝0或f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得a＝5或a＝－2.答案：C10．(2018·四川绵阳模拟)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0，f2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3.答案：C二、填空题11．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．解析：因为f (0)<0，f (0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0,0.5)；第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．答案：(0,0.5) f (0.25)12．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的范围为________．解析：由题意f (1)·f (0)<0.∴a (2＋a )<0. ∴－2<a <0. 答案：(－2,0)13．(2018·陕西省宝鸡市高三质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x <1log 2x ，x ≥1，若函数y ＝f (x )－k 有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：∵当x <1时，2－x >12，当x ≥1时，log 2x ≥0，依题意函数y ＝f (x )的图象和直线y＝k 的交点有两个，∴k >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 14．(2018·南京二模)若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8＝0有唯一零点，则满足条件的实数m 所组成的集合为________．解析：本题考查函数的性质、导数在研究函数中的应用．因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数，所以函数f (x )的唯一零点只能是0，即f (0)＝m 2＋2m －8＝0，解得m ＝2或m ＝－4.当m ＝2时，f (x )＝x 2－2cos x ＋2，易证f ′(x )＝2x ＋2sin x >0，x ∈(0，＋∞)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．此时f (x )有唯一零点；当m ＝－4时，f (x )＝x 2＋4cos x －4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π32－2<0，f (π)＝π2－8>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π上有零点不符合，舍去，故实数m 的取值集合为{2}．灵活应用偶函数图象的对称性是解答本题的关键．答案：{2}[能力挑战]15．(2018·四川成都市高中毕业班第一次诊断预测)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cosπx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3 D ．－1解析：因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cosπx |的图象，如图所示．由图知关于x 的方程f (x )＝|cosπx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cosπx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.答案：A16．(2018·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，若函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26∪⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26 D.⎝⎛⎭⎪⎫1－ln 28，ln 2－16 解析：本题考查函数与方程、导数的应用．由f (2－x )＝f (x )得f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是偶函数，所以f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x ＋1，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx≤0，f (x )在[1,2]上单调递减，作出f (x )在(0，＋∞)上的部分图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，等价于f (x )的图象与直线y ＝－mx 有7个交点，由图易得ln 2－16<－m <ln 2－18，同理，在(－∞，0)上有ln 2－1－8<－m <ln 2－1－6，所以1－ln 28<m <1－ln 26或ln 2－16<m <ln 2－18，故选A.答案：A17．(2018·天津十二县区联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋m －1，x ≥0，ax ＋b ，x <0，其中m <－1，对于任意x 1∈R 且x 1≠0，均存在唯一实数x 2，使得f (x 2)＝f (x 1)，且x 1≠x 2，若|f (x )|＝f (m )有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(－2，－1)∪(－1,0)D ．(－2，－1)解析：本题考查函数的性质、函数与方程．当a ＝0时，显然不符合题意；当a ≠0时，函数y ＝e x＋m －1(x ≥0)和函数y ＝ax ＋b (x <0)都是定义域内的单调函数，且函数y ＝e x＋m －1(x ≥0)的值域为[m ，＋∞)，则由题意得函数y ＝ax ＋b (x <0)的值域为(m ，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝m ，a <0，则函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋m －1，x ≥0，ax ＋b ，x <0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋m －1，x ≥0，ax ＋m ，x <0的值域为[m ，＋∞)，|f (x )|的大致图象如图所示，由函数图象易得要使方程|f (x )|＝f (m )有4个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧f m >0，|f m |<|m |，即⎩⎪⎨⎪⎧am ＋m >0，|am ＋m |<|m |，又因为m <－1，解得－2<a <－1，故选D.根据题意确定函数的值域和函数的大致图象是解题的关键．答案：D。

高考数学第二章函数、导数及其应用 9 对数与对数函数课时作业

课时作业9 对数与对数函数一、选择题1．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：f (－2)＋f (log 212)＝1＋log 24＋2log 212－1＝3＋2log 26＝3＋6＝9.答案：C2．若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 12（2x ＋1）≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，即x >－12且x ≠0，∴选C. 答案：C3．函数y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥log 22＝1(x >0)．答案：C4．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.答案：A5．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1)<f (2)<f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)<f (－2)<f (3)．答案：B6．(2015·四川卷)设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵y ＝log 2x 是增函数，∴当a >b >1时，有log 2a >log 2b >log 21＝0.另一方面，当log 2a >log 2b >0＝log 21时，有a >b >1.故选A.答案：A二、填空题7．(2015·浙江卷)若a ＝log 43，则2a ＋2－a＝________．解析：由于a ＝log 43＝12log 23＝log 23，故2a ＋2－a ＝2log 23＋2－log 23＝3＋33＝433.答案：4338．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝________．解析：∵f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，∴f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，∴f (x )＋f (－x )＝ln1＋1＋1＝2，又lg 12＝－lg2，∴f (lg2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 答案：29．(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为x ≤2时，f (x )＝－x ＋6≥4，所以x >2时，f (x )＝log a x ＋3的值域是[4，＋∞)的子集，所以a >1且log a 2＋3≥4，所以a ≤2，所以1<a ≤2.答案：(1，2]10．(2015·天津卷)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．解析：由已知条件得b ＝8a，令f (a )＝log 2a ·log 2(2b )，则f (a )＝log 2a ·log 216a＝log 2a (log 216－log 2a )＝log 2a (4－log 2a )＝－(log 2a )2＋4log 2a ＝－(log 2a －2)2＋4，当log 2a ＝2，即a ＝4时，f (a )取得最大值．答案：4三、解答题11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域． (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1，3)，所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求a 的取值范围．解：由已知f (x )＝log a x ，当0<a <1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－|f (2)| ＝log a 13＋log a 2＝log a 23>0，当a >1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23>0，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>|f (2)|总成立．则y ＝|f (x )|的图象如图．要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．1．(2016·河北唐山模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln1≤1－2a ＋3a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12.故选C. 答案：C2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，0＜x ≤e ，2－ln x ，x >e ，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为( )A ．(1＋e ，1＋e ＋e 2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋2e ，2＋e 2 C ．(21＋e 2，2＋e 2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2，1e ＋2e 解析：不妨令a <b <c ，由已知和图象可知，0<a <1<b <e<c <e 2，∵－ln a ＝ln b ，∴ab ＝1.∵ln b ＝2－ln c ，∴bc ＝e 2.∴a ＋b ＋c ＝1b ＋b ＋e 2b ＝b ＋1＋e 2b. ∵g (b )＝b ＋1＋e 2b在(1，e)单调递减，∴a ＋b ＋c 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋2e ，2＋e 2 答案：B3．(2016·广东肇庆一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a （x <1），log a x （x ≥1）在定义域R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知a >0，且a ≠1，若函数f (x )在R 上是单调递增函数，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3a －1>0，log a 1≥（3a －1）·1＋4a ，解得为空集．若函数f (x )在R 上是单调递减函数，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a －1<0，log a 1≤（3a －1）·1＋4a解得17≤a ＜13. 因为f (x )在定义域R 上不是单调函数，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，17∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，17∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞) 4．设函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋ax (a ∈R )．(1)若函数 f (x )是定义在R 上的偶函数，求a 的值；(2)若不等式 f (x )＋f (－x )≥mt ＋m 对任意x ∈R ，t ∈[－2，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (x )＝f (－x )恒成立，即log 4(4x ＋1)＋ax ＝log 4(4－x ＋1)－ax ，所以2ax ＝log 44－x ＋14x ＋1＝log 414x ＝－x ，所以(2a ＋1)x ＝0恒成立，则2a ＋1＝0，故a ＝－12. (2)f (x )＋f (－x )＝log 4(4x ＋1)＋ax ＋log 4(4－x ＋1)－ax ＝log 4(4x ＋1)＋log 4(4－x ＋1)＝log 4[(4x ＋1)·(4－x ＋1)]＝log 4(2＋4x ＋4－x )≥log 4(2＋24x ×4－x)＝1.所以mt ＋m ≤1对任意t ∈[－2，1]恒成立，令h (t )＝mt ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧h （－2）＝－2m ＋m ≤1，h （1）＝m ＋m ≤1，解得－1≤m ≤12，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.。

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课时作业6函数的奇偶性与周期性一、选择题解析：•••函数代力的定义域为R,:.函数f(x)是奇函数. •・•函数y=G)在R 上是减函数，函数y=—g)在R 上是增函数.又・・・y=3”在R 上是增函数，・・・函数f(x) =3'—(少在R 上是增函数.故选A.答案：A2. /为实数，［刃表示不超过x 的最大整数，则函数f(x)=x-W 在R 上为()A. 奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数解析：函数f^=x-［x\在R 上的图象如下图： /// V V////. 一 -3 -2 一 11 2 3 4 5 x答案：D 3. (2018 •河南安阳一模)定义在R 上的偶函数f3 ,对任意山,朋［0, +8), Xz — f X\ 皿、有 --------------- <o,贝9 ()Xz — X\A. A3XA-2XA1)B. Al)</(-2)<A3)C. A-2XA1XA3)D. f(3)<f(l)<f(-2) 解析：由题意知fd)为偶函数，所以A-2)=A2).又［o, +<-)时，fd)为减函1. (2017 •北京卷)已知函数=3 -寸，则f3()A. 是奇函数, 月•在R 上是增函数B. 是偶函数, 月•在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数代_方=3一”一x -X=-f\x)，数，且3>2>1,所以A3XA2XA1),即A3XA-2XA1).答案：A4.(2018・绵阳诊断)己知偶函数Hx)在区间［0,+-)±单调递增，则满足f(2x—1)〈占的x的取值范围是()解析:VAx)是偶函数,・・・f(x)=f(|x|),・・・f(|2x—1|)召，再根据心)的单调性，得1 1 912x— 11 <~,解得故选A.答案：A5.己知定义在R上的奇函数fd)满足f(x—4)= —f(x),且在区间［0,2］上是增函数, 则()A.r(-25)<Aii)<A80)B.A80)<f(ll)<r(-25)C・ All)<f(80)</，(-25)D. r(-25)</(80)</(ll)解析：因为fO)满足fCr—4) = _/*(%),所以f(x—8)=f(0,所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(_25)=f(_l), f(80)=f(0), All) = A3).由f(0是定义在R上的奇函数，且满足fCr—4)= —f(0,得f(ll)=f(3)= —f(—1) ⑴.因为fd)在区间［0,2］上是增函数，fd)在R上是奇函数，所以f(x)在区间［一2, 2］上是增函数，所以A-lXAOXAl)，即f(-25XA80)<f(ll).答案:D二、填空题6.(2017 •新课标全国卷II)已知函数fd)是定义在R上的奇函数，当g, 0)时，f{x) =2x+x,则f(2) = ____________ .解析：令Q0,则一*0.f( — x) =—2x+x.・・・函数fd)是定义在R上的奇函数，f( —x) = —f(x).・：f(x) =2x'—x (%>0).••• f(2)=2X23-2?=12・答案：127.若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0, 2] ±的解析式为f3 =x — x , OWxWlcos 兀x, 1〈点2,解析：因为fd)的周期为4,则8.己知定义在R上的函数满足f(x+2)=——, xW［0,2］时，f(x)=2x—l,则ADI x+ f(2) + f(3)+・・・ + f(2 017)的值为 _______ .解析：f(x+2)=—;—,I Xf(x+4) = —---- --- ------ = f3 ,・•.函数y= f{x)的周期T—\.又 /丘［0,2］时,fg=2x-\,f(l) = 1, f(2) =3, f(3) = —~ = — 1, /(4) = —~=—亍・・.f(l)+f(2)+f(3)+・・・ + f(2 017)=504 ［f(1) + f(2) + A3) + f(4)］ + f(504 X 4 +1)= 504(l + 3-1-灯+1=1 345.答案：1 345三、解答题—x +2x f x>09.己知函数f(x)=<0, x=0 是奇函数.x'+mx, KO(1)求实数加的值；(2)若函数f(x)在区间［一1,日一2］上单调递增，求实数日的取值范围.解析：(1)设水0,则一Q0,所以/( —%) = —(―^)2+2( — %) = — x—2x.又为奇函数，所以f( —0= —fd),于是x<0 时，f{x) =x + 2x=x +mx,所以/n=2.(2)由⑴知fd)在［一1, 1］上是增函数, 要使f(x)在［―1，日一2］上单调递增，日一2> — 1结合fd)的图象知 °”，日—2W1,所以1SW3.故实数a 的取值范围是(1, 3］.10. 设函数f(0是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有彳|+才(1) 证明：y=f3是周期函数，并指出其周期；(2) 若 f ⑴=2,求 f(2)+f(3)的值.解析:(2)因为f (力为定义在R 上的奇函数,所以f(0)=0,且 f( —1)=一代1)=一2,又厂=3是y=f(x)的一个周期，所以 f(2)+f(3)=f( — l)+f(0) = -2+0=—2.［能力挑战］11. (2017 •天津卷)已知奇函数/V)在R 上是增函数.若^=-^logAlog 24. 1), c=f(2°J,则自,b, c 的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. D. c<a<b解析：・・・f(x)在R 上是奇函数，1 1・°・ a= — /log 9 T =t~ 1 og ?-= Alog25). O 0又 f(0在 R 上是增函数，且 log 2 5>log 2 4. l>log 2 4=2>20 8,・•・ /Uog 2 5) >Alog 2 4. 1) >A20-8),・・・ a> b> c.故选C.答案：C的収值范围是()12.已知f(x)是定义在R 上以3为周期的偶函数，若A1)<1, A5)=2a —3 日+1 则实数日(1)证明：由/(|+且 f(—x) =_f(x),所以是周期函数, 且7=3是其一个周期.A. (-1,4)B. (-2, 1)C. (一1,2)D. (一1,0)解析：因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)=f(—l)=f(l), <1,化简得($—4) (a+1)<0, 解得-l<a<4,故选A. 答案：A13-若定义在实数集R上的偶函数心满足心)>°，心+2)=士，对任意圧R恒成立，则A2 019)=()A. 4B. 3C・2 D. 1解析：因为fd)>0, f(x+2)_ 厂f X所以f(x+4) =f((x+2) +2)=—―占-------- =—-—=f\x),即函数ZU)的周期是4.所以/'(2 019) = A505X4-l) = A-1).因为函数fd)为偶函数，所以A2 O15)=A-1)=A1).当 %= —1 时，f( —1+2)= -------- ---- ,I —得A1)= ----------- .即Al)=b 所以f(2 O19)=A1)=1.答案：D。

高考数学第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数

的是结合其他章节的知识，综合进行考查.
② 幂函数的考查较为基础，以常见的 5 种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、
最值等问题是高考命题的出发点．
1. (必修 1P112 测试 8 改编)已知函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若 f(2)>f(3)，则实数 a 的取值范围是________．
答案：(1) 4 (2) c＜b＜a (3) －1＜x＜0 (4) 2，2
解析：(1) ∵
a>1，∴
y＝x3
R
R
奇
增
(1，1)
1
1 2 y＝x {x|x≥0}
{y|y≥0} 非奇非偶
增
函数 f(x)＝logax 在区间[a，2a]上是增函数，∴
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2019届高考数学一轮复习第2单元函数导数及其应用第9讲对数与对数函数课件理

2 ��
+
2 ��
2=2
2.
课堂考点探究
[总结反思] (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形. (2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.
课堂考点探究
变式题 (1)求
教学参考
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2017·北京卷] 根据有关资料,围棋
状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,
而可观测宇宙中普通物质的原子总数
N 约为 1080.则下列各数中与��最接近
的是(参考数据:lg 3≈0.48) ( )
A.1033 C.1073
[答案] C [解析] 因为函数 f(x)的定义域为(0,2),f(x)=ln x+ln (2-x)=ln (-x2+2x)=ln [-(x-1)2+1],所以函数 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减, 故选项 A,B 错.由于函数 y=-(x-1)2+1,x∈(0,2) 的图像关于直线 x=1 对称,所以函数 f(x)=ln x+ln (2-x)的图像关于直线 x=1 对称.故选 C.
是
.
[答案] c>a>b
[解析] a=14=log94 9=log9 3<log8 3=c,a =log9 3>log985=b,所以 c>a>b.
课前双基巩固
8.函数 y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差
是 1,则 a=

高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数.pdf

函数与导数第9课时　指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书(文)、(理)24～25页) 考情分析考点新知① 对数函数在高考中的考查主要是图象和性质同时考查数学思想方法以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题同时也有综合性较强的解答题出现目的是结合其他章节的知识综合进行考查. 幂函数的考查较为基5种幂函数为载体考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点.知道对数函数是一类重要的函数模型. 了解指数函数y＝a与对数函数y＝的相互关系(a>0). ④ 了解幂函数的概念结合函数y＝x＝x＝x＝x－1＝x－2的图象了解它们的变化情况. 1. (必修1112测试8改编)已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)则实数a的取值范围是________答案：(0) 解析：因为f(2)>f(3)所以f(x)＝单调递减则a∈(0)．(必修1练习3改编)若幂函数y＝f(x)的图象经过点则f(25)＝________答案：解析：设f(x)＝x则＝9＝－即f(x)＝x－(25)＝(必修1习题15改编)函数f(x)＝是(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇解析：因为f(－x)＝＝＝－＝－f(x)所以f(x)是奇函数．(必修1习题13改编)不等式(x－1)<1的________. 答案：(1) 解析：由0<x－10，a≠1)叫做对数函数其中x是自变量函数的定义域是(0＋∞)．. 对数函数的图象与性质 a>100；当＜＜1时(x)<0(4) 当x＞1时(x)0(5) 是(0＋∞)上的增函数(5) 是(0＋∞)上的减函数幂函数的定义形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数其中x是自变量为常数．幂函数的图象 5. 幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x＝x＝x＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x∈R且x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞]减[0，＋∞)增增增(－∞0)减(0，＋∞)减定点(1) [备课札记] 题型1　对数函数的概念与性质例1　(1) 设a>1函数f(x)＝在区间[a]上的最大值与最小值之差是则a＝________；2) 若a＝＝＝用小于号“<”将a、b、c连结起来________；(3) 设f(x)＝是奇函数则使f(x)<0的x的取值范围是________；(4) 已知函数f(x)＝|正实数m、n满足m1函数f(x)＝在区间[a]上是增函数－＝＝4.(2) 由于a>1所以c0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或，即实数a的取值范围是a0，则方程(a－1)t－－1＝0有且只有一个正根．＝1＝－不合题意；②a≠1时＝0＝或－3.若a＝＝－2不合题意若a＝－3＝；③a≠1时一个正根与一个负根即综上实数a的取值范围是{－3}∪(1＋∞)．已知函数f(x)＝(ax－b)(a>1>b>0)．(1) 求函数y＝f(x)的定义域；(2) 在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点使过此两点的直线平行于x轴；(3) 当a、b满足什么关系时(x)在区间上恒取正值．解：(1) 由a－b得因为a>1>b>0所以所以x>0即函数f(x)的定义域为(0＋∞)．(2) 设x因为a>1>b>0所以a则－b－b所以a－b－b于是(ax1－b)>lg(ax2－bx)，即f(x)>f(x2)，因此函数(x)在区间(0＋∞)上是增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x)、B(x)，使得直线AB平行于x轴即x＝y这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过此两点的直线平行于x轴．(3) 由(2)知(x)在区间(1＋∞)上是增函数所以当x∈(1＋∞)时(x)>f(1)，故只需f1)≥0，即(a－b)≥0即a－b≥1所以当a≥b＋1时(x)在区间(1＋∞)上恒取正值． 1. (2013·南师大模拟)已知函数f(x)＝－2(x＋c)其中c>0若对任意x∈(0＋∞)都有f(x)≤1则c的取值范围是________．答案：c≥解析：由题意在x∈(0＋∞)上恒成立所以. 2. (2013·辽宁)已知函数f(x)＝＋1则f()＋f＝________．答案2 解析：f(x)＋f(－x)＝(－3x)＋(＋3x)＋2＝(1＋9x－9x)＋2＝2所以f()＋＝f()＋f(－)＝2.(2013·江西检测)已知x＋(0.5)－y(－y)＋(0.5)x，则实数x、y的关系为________．答案：x＋y<0解析：由x＋(0.5)－y(－y)＋(0.5)x，得x－(0.5)x<(－y)－(0.5)－y设f(x)＝x－(0.5)x，则(x)<f(－y)由于0<0.5<1，所以函数(x)是R上的增函数所以x<－y即x＋y0，由af(x)≥f(x)－1得a≥＝－＝≤(当且仅当f(x)＝2时等号成立)所以实数a的最小值为1. 若函数f(x)＝log－1|(a＞0)当x≠时有f(x)＝f(1－x)则a＝________．答案：2解析：由f(x)＝f(1－x)知函数f(x)的图象关于x＝对称而f(x)＝log＋log从而＝所以a＝2.已知函数f(x)＝x[－1]，函数g(x)＝ax＋2[－1]，若存在x∈[－1]，使f(x)＝g(x)成立则实数a的取值范围是________．答案：[1，＋∞)解析：分别作出函数f(x)＝x[－1]与函数gx)＝ax＋2[－1]的图象．当直线经过点(－1)时＝1；当直线经过点(8)时＝结合图象有a≤或a≥1.已知函数f(x)＝|lgx|若0(1) ＝1＋2＝3即a＋2b的取值范围是(3＋∞)．已知两条直线l：y＝m和l：y＝与函数y＝|的图象从左至右相交于点A、B与函数＝的图象从左至右相交于点C、D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b.当m变化时求的最小值．解：由题意得x＝B＝2＝＝2所以a＝|x－x＝＝|x－x＝即＝＝2＝2＋m因为＋m＝(2m＋1)＋－－＝当且仅当(2m＋1)＝，即m＝时取等号．所以的最小值为2＝8 1. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件是求解有关指数、对数问题时必须予以重视的如果底数含有参数一般需分类讨论．与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1) 确定定义域；(2) 把复合函数分解为几个初等函数；(3) 确定各个基本初等函数的单调区间；(4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性．。

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1
课时作业9 对数与对数函数
一、选择题
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )

A．log2x B.12x
C．log12x D．2x－2
解析：f(x)＝logax，∴f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
答案：A

2．函数f(x)＝x＋1－2x的定义域是( )
A．(－3,0)
B．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(－3,0)

解析：∵f(x)＝x＋1－2x，
∴要使函数f(x)有意义，
需使 x＋3>01－2x>0，即－3答案：A
3．(2018·河南新乡二模，4)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大
小关系是( )
A．aC．c解析：∵a＝60.4>1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4<0，∴a>b>c.故选B.
答案：B

4．(2018·金华模拟)已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝12，则f(－a)＝( )
A．2 B．－2
C.12 D．－12

解析：∵f(x)＝lg 1－x1＋x的定义域为－1∴f(－x)＝lg 1＋x1－x＝－lg 1－x1＋x＝－f(x)，
2

∴f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－12.
答案：D
5．如果log12x

A．yC．1解析：log12xy>1.

答案：D
6．(2018·河南平顶山模拟)函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0，a≠1)，当x∈(－1,0)时，
恒有f(x)>0，则( )
A．f(x)在(－∞，0)上是减函数
B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
解析：由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－
1对称，当x∈(－1,0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0,1)，f(x)>0，则01|在(－∞，－1)上是减函数，(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f(x)
在(－∞，－1)上是增函数．
答案：D

7．(2018·郑州模拟)已知a＝log29－log23，b＝1＋log27，c＝12＋log213，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
解析：a＝log29－log23＝log233，

b＝1＋log27＝log227，c
＝12＋log213＝log226，

因为函数y＝log2x是增函数，且27>33>26，所以b>a>c.
答案：B

8．(2018·河北正定质检)设函数f(x)＝ 1＋－x，x<1，10x－1，x≥1，则f(－98)＋f(lg
30)＝( )
A．5 B．6
C．9 D．22
3

解析：f(－98)＋f(lg 30)＝1＋lg[2－(－98)]＋10lg 30－1＝1＋lg 100＋10lg 3010＝1＋2＋3
＝6，故选B.
答案：B
9．(2018·江西九江七校联考，7)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]
上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－4,4]
C．(－∞，4)∪[2，＋∞) D．[－4,4)
解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－

∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，
选D.
答案：D
10．若实数a，b，c满足loga2A．aC．c解析：由loga2②0作出函数的图象(如图所示)．

由图象可知选项A不可能成立．
答案：A
二、填空题

11．(2018·山东济南一模)函数f(x)＝1－x2＋3lg x－2的定义域是________．
4

解析：
 －x2＋3lg x－2>0，x>0⇒ 10⇒





10

x
>0

⇒

10答案：{x|10

12．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y的值为________．

解析：由2x＝3，log483＝y得x＝log23，y＝log483＝12log283，所以x＋2y＝log23＋log283＝
log28＝3.
答案：3
13．若f(x)＝lgx，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)＞g(1)时，x的取值范围是________．
解析：当g(lgx)＞g(1)时，f(|lgx|)＞f(1)，
由f(x)为增函数得|lgx|＞1，
从而lgx＞1或lgx＜－1，

解得0＜x＜110或x＞10.

答案：0，110∪()10，＋∞
14．(2018·天津河西区模拟)若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间0，12上
恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间0，12上恒有f(x)>0，由x∈0，12，

得2x2＋x∈(0,1)．又在区间0，12上恒有f(x)>0，故a∈(0,1)，易得f(x)的定义域为



－∞，－
1

2
∪(0，＋∞)，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为




－∞，－
1

2
.

答案：－∞，－12
[能力挑战]
15．当0

A.0，22 B.22，1
C．(1，2) D．(2，2)
5

解析：
方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0两个函数在0，12上的图象，可知，f1222，所以a的取值范围为




2

2
，1
.

方法二：∵04x>1，
∴0

则有412＝2，log1212＝1，显然4x答案：B
16．(2018·宁波模拟)已知函数f(x)＝ －x2＋2x，x≤0，lnx＋，x>0.若|f(x)|≥ax，则a的
取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]

解析：方法一：数形结合法
由y＝|f(x)|的图象知：
①当x>0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax.

②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.
故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立．
当x<0时，不等式等价于x－2≤a.
6

∵x－2<－2，∴a≥－2.
综上可知，a∈[－2,0]．
方法二：分离参数法

∵|f(x)|＝ x2－2x，x≤0，x＋，x>0，
∴由|f(x)|≥ax，分两种情况：
(1) x≤0，x2－2x≥ax恒成立，可得a≥x－2恒成立，
则a≥(x－2)max，即a≥－2.
(2)由 x>0，x＋ax恒成立，根据函数图象可知a≤0.
综合(1)(2)得－2≤a≤0，故选D.
答案：D
17．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m[m2，n]上的最大值为2，则n＋m＝________.
解析：

根据已知函数f(x)＝|log2x|的图象知，0当x＝m2时取得最大值，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，又0

求得n＝2，所以n＋m＝52.
答案：52