【小初高学习]2017秋八年级数学上册 4.2 一次函数与正比例函数学案(无答案)(新版)北师大版
4.2 一次函数与正比例函数
3
3
y是x的正比例函数．
（来自《点拨》）
知3－练
1 下列说法中正确的是( D )
A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数不是一次函数 C．不是正比例函数就不是一次函数 D．不是一次函数就不是正比例函数
2 若函数y＝(6＋3m)x＋n－4是一次函数，则满足__m__≠_－__2_； 若该函数是正比例函数，则满足___m_≠_－___2_且__n_＝__4__； 若m＝1，n＝－2，则函数关系式是___y_＝__9_x_－___6___．
（来自教材）
知3－讲
例知4识已点知函数y＝(m－1)x＋1－3m.
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
解：(1) 根据一次函数的定义可得：m－1≠0，所以
m≠1，即当m≠1时，y是x的一次函数．
(2) 根据正比例函数的定义可得：m－1≠0且
1－3m＝0，所以m＝ 1 ，即当m＝ 1 时，
知3－讲
知识点
例3 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断： y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程 y( km )与行驶时间x (h)之间的关系；
(2)圆的面积y（cm2)与它的半径x (cm)之间的关 系；
(3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水，进水 速度为5 m3/h, x h后这个水池内有水ym3.
式．
1.必做: 完成教材P82，习题T1-T5 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
谢谢欣赏
总结
知1－讲
根据一次函数定义求待定字母的值时，要注意： (1) 函数关系式是自变量的一次式，若含有一次以上
北师大版八年级数学上册 4.2 一次函数与正比例函数 导学案(含答案)
北师大版八年级数学上册第四章一次函数 4.2 一次函数与正比例函数导学案核心知识提要1．若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，即关系式为y＝kx，则称y是x的正比例函数．2．正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．精讲精练【例1】已知函数y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4.(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？解：(1)根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，解得m＝±1.又因为m＋1≠0，即m≠－1，所以当m＝1，n为任意实数时，此函数是一次函数．(2)根据正比例函数的定义，得2－|m|＝1，n＋4＝0，解得m＝±1，n＝－4.又因为m＋1≠0，即m≠－1，所以当m＝1，n＝－4时，此函数是正比例函数．【跟踪训练1】(1)下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是(B)A．y＝－2x B．y＝x－12C．y＝－2xD．y＝x2－23(2)已知函数y＝(k＋1)x＋k2－1，当k≠－1时，它是一次函数；当k＝1时，它是正比例函数．【例2】生态公园计划在园内的坡地上造一片有A，B两种树的混合林，需要购买这两种树苗2000棵，种植A，B两种树苗的相关信息如表：设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元，解答下列问题：(1)写出y(元)与x(棵)之间的函数关系式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵，则造这片林的总费用为多少元？解：(1)y＝(15＋3)x＋(20＋4)(2000－x)＝18x＋48000－24x＝－6x＋48000.(2)由题意，得95%x＋99%(2 000－x)＝1960，解得x＝500.当x＝500时，y＝－6×500＋48 000＝45000.答：造这片林的总费用为45 000元．【跟踪训练2】某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，现在每桶水的销售价格为8元，如果用x(桶)表示每天的销售数量，用y(元)表示每天的利润(利润＝总销售额－固定成本－售出水的成本)．(1)试写出y与x的函数关系式；(2)若现在固定成本增加了5%，每桶水的进价增加了1元，求此时y与x的函数关系式．解：(1)由题意，得y＝8x－5x－200＝3x－200.(2)y与x的函数关系式为y＝8x－6x－200×(1＋5%)＝2x－210.【例3】 已知y －2与x ＋1成正比例函数关系，且x ＝1时，y ＝6.(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当x ＝－2时，y ＝0；(3)当y ＝4时，x ＝0．解：设y －2＝k(x ＋1)．将x ＝1，y ＝6代入，得6－2＝k(1＋1)，解得k ＝2.所以y ＝2x ＋4.【跟踪训练3】 已知y ＋2与x －1成正比例函数关系，且当x ＝3时，y ＝4.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当y ＝1时，x ＝2．解：设y ＋2＝k(x －1)，把x ＝3，y ＝4代入，得4＋2＝k(3－1)，解得k ＝3.所以y 与x 之间的关系式为y ＋2＝3(x －1)，即y ＝3x －5.课堂巩固训练1．下列关于x 的函数中，一次函数是(D)A ．y ＝kx ＋1B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝－3xD ．y ＝－5x 2．若y 关于x 的函数y ＝(a －2)x ＋b 是正比例函数，则a ，b 应满足的条件是(D)A ．a ≠2B ．b ＝0C ．a ＝2且b ＝0D ．a ≠2且b ＝03．已知一根弹簧在不挂重物时长6 cm ，在一定的弹性限度内，每挂1 kg 重物弹簧伸长0.3 cm ，则该弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)的函数关系式为y ＝0.3x ＋6．4．当m ＝－2时，函数y ＝－(m －2)xm 2－3＋(m －4)是关于x 的一次函数．5．等腰三角形的周长为30 cm.(1)若底边长为x cm ，腰长为y cm ，写出y 与x 的函数关系式；(2)若腰长为x cm ，底边长为y cm ，写出y 与x 的函数关系式．解：(1)因为等腰三角形的周长为30 cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，所以x ＋2y ＝30.所以y 与x 的函数关系式为y ＝－x 2＋15. (2)因为等腰三角形的周长为30 cm ，腰长为x cm ，底边长为y cm ，所以2x ＋y ＝30.所以y 与x 的函数关系式为y ＝30－2x.课后小结一次函数y ＝kx ＋b 和正比例函数y ＝kx 中，都需要满足k ≠0这一条件．。
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要介绍了正比例函数和一次函数的定义、性质和应用。
本节课的内容是学生进一步学习函数的基础，对于学生理解函数的概念、掌握函数的性质、提高解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了比例和方程，对比例的概念和方程的解法有一定的了解。
但他们对函数的概念和性质还不够清晰，特别是对于函数图像的理解和应用。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已有的知识与函数内容相结合，通过实例和练习让学生感受函数的意义和应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解正比例函数和一次函数的定义，掌握它们的性质和图象特征，能运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生感受数学与生活的密切联系。
四. 教学重难点1.重点：正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征。
2.难点：一次函数和正比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题情境，引导学生观察、分析和解决问题；通过案例教学，让学生感受数学与生活的联系；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，以便在教学中进行案例分析和问题讨论。
2.准备一次函数和正比例函数的图象和性质的PPT，以便进行讲解和展示。
3.准备一些练习题，以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？让学生思考和讨论，引导学生认识到函数是数学建模的基础。
2.呈现（10分钟）介绍正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征，通过PPT展示相关图象，让学生直观地感受函数的性质。
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要包括一次函数和正比例函数的定义、性质和图象。
这一部分内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的一些基本概念和运算，对于图象和方程有一定的认识。
但是一次函数和正比例函数的概念和性质可能对学生来说较为抽象，需要通过具体例子和实际问题来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解一次函数和正比例函数的定义和性质。
2.学会绘制一次函数和正比例函数的图象。
3.能够运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数和正比例函数的定义和性质。
2.绘制一次函数和正比例函数的图象。
3.运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实际问题和具体例子引导学生理解和掌握一次函数和正比例函数的概念和性质，通过绘制图象和解决实际问题来巩固知识。
六. 教学准备1.教学PPT或者黑板。
2.教学案例和实际问题。
3.绘图工具，如直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次函数和正比例函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。
2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现一次函数和正比例函数的定义和性质，结合实际例子进行解释和说明。
引导学生积极参与，提出问题和困惑。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，通过绘制一次函数和正比例函数的图象来加深对概念和性质的理解。
可以给出一些具体的函数表达式，让学生根据性质来判断图象的形状和位置。
4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用一次函数和正比例函数的知识。
可以设置一些选择题、填空题或者解答题，检查学生对知识的掌握情况。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数和正比例函数的应用场景，例如：经济学中的成本和收益模型、物理学中的速度和时间模型等。
4.2 一次函数与正比例函数八年级上册数学北师大版
4.已知函数 y=(3-m)x+2m-4.
（1）当 m 为何值时，函数是正比例函数？
（2）当 m 为何值时，函数是一次函数？
分析：（1）由正比例函数的定义可知：
①3-m≠0；②2m-4=0.
（2）由一次函数的定义可知：3-m≠0.
5.甲乙两地相距 150 公里，张三驾驶私家车从甲地开往乙地，
课堂小结
若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 y=kx+b（k，
b 是常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
一
次
例函
函数
数与
正
比
定义
一次函数y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），当 b=0 时，
变为 y=kx，这时称y是x正比例函数.
①寻找等量关系（有时直接将公式当做等量关
列一次函
数关系式
寻找等量关系（有时直接将公式当做等量关
系).
用字母表示自变量和因变量，根据等量关系
列出等式.
将等式变形，写成一次函数的一般形式.
随堂练习
1.拖拉机开始工作时，油箱中有油 36 L，如果每小时耗油4 L，
那么油箱中剩余油量 y L 与工作时间 x h 之间的函数表达式
是 y = 36- 4x ，自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 9 ，当 x=4 时，
y=kx+b（k注意：一次函数y=kx+b(k≠0)有三个特征:①k≠0;
②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数.
知识点二 正比例函数：一次函数y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），
当 b=0 时，变为 y=kx，这时称y是x正比例函数.
秋八年级数学上册北师大版课件：4.2 一次函数与正比例函数(共13张PPT)
巩固提高
11. （3）汽车离开A站4千米，再以40千米/时 的平均速度行驶了t小时，那么汽车离开A站的 距离y（千米）与时间（小时）之间的关系；
解：（3）根据题意可得：y=4+40x，是一次函数；
（4）某车站规定旅客可以免费携带不超过20 千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行 李费用，则旅客需交的行李费y（元）与携带 行李重量x（千克）之间的关系．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
变式练习
2．（2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x （厘米）之间的关系；
解：（2）圆的面积y（平方厘米）与它的半 径x（厘米）之间的关系为：y=πx2，y不是x 的一次函数，不是x的正比例函数；
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4.2 一次函数与正比例函数
学习要求
知识与技能目标：
1.理解一次函数、正比例函数的概念.
2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．
过程与方法目标：
经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系.
情感态度与价值观：
探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力培养学的应用数学的能力.
重点难点
1.正比例函数
【剖析】
一般地,形如y=kx(k是常数且k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫比例系数.
2. 一次函数
【剖析】
（1）一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数.
（2）当b=0时, y=kx+b即为y=kx,所以说正比例函数是特殊的一次函数.
回顾与思考
1.什么叫函数?
2.函数有哪些表达方式?
议一议
在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子?
做一做
1. 某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长
度y增加0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时的长度，并填
入下表：
x
/kg 0 1 2 3 4 5
y
/cm
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(2)你能写出x与y之间的关系吗？
做一做
2.某辆汽车油箱中原有油100 L,汽车每行驶50 km耗油9 L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量y/L
(2) 你能写出x与y的关系吗?
议一议
(3) 汽车行驶的路程x可以无限增大吗?
行驶路程有没有一个取值范围?
油箱剩余油量y呢?
上面的两个函数关系式: (1)y=3+0.5
x
(2) y=100－0.18x,大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系吗?请小组间交流.
一次函数：
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(b为常数，k不等于0）的形式，则称
y
是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数
练一练
1.在函数(1)y = 3/x，（2）y=x-5, (3) y=-4
x，
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(4) y=2x -3x, (5) y=√x-2, (6) y= 1/x-2 中
是一次函数的是 ，是正比例函数的是
2.若函数 y=(6+3m)x+4n-4是一次函数，
则m,n应该满足的条件是 ,若是正比例函数，则m,n应该满足
是 .
3.当k= 时,函数y=(k+3)x k2-8 －5是关于x的一次函数 .
例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正
比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
（3）一棵树现在高5 0 cm，每个月长高2 cm，x 月后这棵树的高度为y cm.
例2 某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50
次后,每次0.2元.
(1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x＞50)的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费；
(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.
练一练
1. 下列语句中,具有正比例函数关系的是( ).
A.长方形花坛的面积不变, 长y与宽 x 之间的关系;
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B.正方形的周长不变, 边长 x与面积 S 之间的关系;
C.三角形的一条边不变, 这条边上的高h与S之间的关系;
D.圆的面积为S , 半径为r , S 与r 之间的关系.
2. 如图,在△ABC中, ∠B与∠C 的平分线交于点P, 设∠A=x, ∠BPC=y, 当∠A变化时,
求y与x之间的函数关系式,并判断y是不是x的一次函数.
P
A
B
C
注：一次函数： 若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(b为常数，k不等于0）
的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数.