能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
2、3、4、5、6、7、8、9、11、13、17、19、23、29的倍数特征
2、3、4、5、6、7、8、9、11、13、17、19、23、29 的倍数特征2 的倍数：若一个整数的个位数字是0、2、4、6 或8，则这个数就能被2 整除3 的倍数：若一个整数的各位数字的和能被3 整除，则这个整数就能被3 整除4 的倍数：若一个整数的末尾两位数能被4 整除，则这个数就能被4 整除。
5 的倍数：若一个整数的末位是0或5，则这个数就能被5整除。
6 的倍数：若一个整数能被2 和3 整除，则这个数能被6 整除。
7 的倍数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。
如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13- 3X2=乙所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613- 9X2 = 595, 59 —5X 2= 49,所以6139 是7 的倍数,余类推。
8的倍数：若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8 整除。
9的倍数：若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
11的倍数：两种方法：① 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11 整除，则这个数能被11 整除。
②若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11 的倍数，则原数能被11 整除。
如果差太大或心算不易看出是否11 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断165 是否11 的倍数的过程如下：1 6－5=1 1，所以165是11 的倍数；又例如判断2112是否11的倍数的过程如下：211-2= 209, 20 —9= 11,所以2112是11的倍数，余类推。
13 的倍数：若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被1 3整除。
能被特殊数整除的特征
能被特殊数整除的特征1、能被2整除的数的特征。
如果一个数能被2整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。
2、能被3整除的数的特征。
如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是3的倍数。
例如：225能被3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍数，所以225能被3整除。
3、能被4整除的数的特征。
如果一个数的末尾两位能被4整除，这个数就能被4整除。
例如：15692512能不能被4整除呢？因为15692512的末尾两位12，能被4整除，所以15692512能被4整除。
4、能被5整除的数的特征。
若一个数的末尾是0或5则这个数能被5整除。
5、能被7整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否是7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，以此类推。
方法二：如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，是7的倍数，那么这个数就能被7整除。
例如：280678末三位数是678，末三位以前数字所组成的数是280,679-280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。
方法三：首位缩小法，减少7的倍数。
例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。
可对32669继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被7整除所以452669能被7整除。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征整除是数学中常见的概念，指的是某个数能够被另一个数整除，不留下余数。
在计算机编程和数据分析等领域中，也经常需要判断一个数是否能被另一个数整除。
本文将探讨能被整除的数的特征和相关的数论知识。
整数的定义在数学中，整数是没有小数部分的数，可以是正数、负数和零。
整数分为自然数、负整数和零三种情况。
自然数是从1开始的正整数，负整数是正整数的相反数，零是一个特殊的整数，不属于自然数和负整数。
整除的定义在数学中，整除指的是一个整数能够被另一个整数整除，不留下余数。
例如，4能够被2整除，因为4÷2=2，没有余数；而5不能被2整除，因为5÷2=2余1。
可以用符号“|”表示整除的关系，例如，a|b表示a能够被b整除。
能被整除的数的特征在数论中，有许多关于能被整除的数的特征的研究。
下面列举了一些比较常见的特征。
奇偶性整数可以分为奇数和偶数两类。
其中，奇数是不被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数。
有一个是，如果一个整数是偶数，那么它一定能被2整除；反之，如果一个整数能被2整除，那么它一定是偶数。
因此，判断一个整数是否是偶数，就相当于判断它是否能被2整除。
能被哪些数整除一个整数能否被另一个整数整除，往往取决于这两个数的约数关系。
所谓约数，就是能够整除另一个数的数。
例如，6的约数是1、2、3和6。
一个数能够被整除，当且仅当它是另一个数的倍数，即除以那个数所得到的商是一个整数。
例如，9能够被3整除，因为9÷3=3；而8不能被3整除，因为8÷3=2余2。
质数和合数质数是只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7、11、13等。
合数是不是质数的正整数，例如4、6、8、9、10等。
有一个是，一个正整数大于1且不是质数，则它一定可以分解成几个质数的乘积。
例如，12可以分解成2x2x3的形式，其中2和3都是质数。
因此，判断一个数是否是质数，就相当于判断它能否被分解成质数的乘积。
数的整除特征
数的整除特征1)被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2)被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3)被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4)被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5)被7整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6)被11整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
第二种方法：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
第三种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7)被13整除第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
8)被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。
9)被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
10)被17整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
11)被19整除第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
12)被23整除：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
2345789125的倍数特征
2345789125的倍数特征在数学中，倍数是指一个数能够被另一个数整除，因此对于给定数列中的数字2、3、4、5、7、8、9和125的倍数特征，我们可以分别讨论如下：1.2的倍数特征：-偶数都是2的倍数，因此数列中的数字2、4、8等都是2的倍数。
2.3的倍数特征：-如果一个数字的各位数字之和能够整除3，那么这个数字就是3的倍数。
例如，362的各位数字之和为3+6+2=11，11不能整除3，所以362不是3的倍数，而366的各位数字之和为3+6+6=15，15可以整除3，所以366是3的倍数。
3.4的倍数特征：-如果一个数字的倒数两位能够被4整除，那么这个数字就是4的倍数。
例如，256可以被4整除，所以256是4的倍数，而257不能被4整除，所以257不是4的倍数。
4.5的倍数特征：-如果一个数字的个位数字是0或者是5，那么这个数字就是5的倍数。
例如，245的个位数字是5，所以245是5的倍数，而246的个位数字是6，所以246不是5的倍数。
5.7的倍数特征：-一个数字除以7，如果能够整除或者余数是0，那么这个数字就是7的倍数。
例如，315除以7等于45，45可以整除7，所以315是7的倍数，而316除以7等于45余1，所以316不是7的倍数。
6.8的倍数特征：-如果一个数字的倒数三位能够被8整除，那么这个数字就是8的倍数。
例如，1232的倒数三位是232，232可以被8整除，所以1232是8的倍数，而1233的倒数三位是233，233不能被8整除，所以1233不是8的倍数。
7.9的倍数特征：-如果一个数字的各位数字之和能够整除9，那么这个数字就是9的倍数。
例如，513的各位数字之和是5+1+3=9，9可以整除9，所以513是9的倍数，而514的各位数字之和是5+1+4=10，10不能整除9，所以514不是9的倍数。
8.125的倍数特征：-如果一个数字的后三位是125或者是其倍数，那么这个数字就是125的倍数。
数的整除性
数的整除性我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征;数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除;例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除;性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除;例如,21与15都能被3整除,那么21＋15及21-15都能被3整除;性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除;例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7＝63整除;利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题;为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：1一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除;2一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除;3一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除;4一个数的末两位数如果能被4或25整除,那么这个数就能被4或25整除;5一个数的末三位数如果能被8或125整除,那么这个数就能被8或125整除;6一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除;例1在下面的数中,哪些能被4整除哪些能被8整除哪些能被9整除234,789,7756,8865,3728,8064;例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列;例4五位数能被72整除,问：A与B各代表什么数字例5六位数是6的倍数,这样的六位数有多少个例6 要使六位数能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字练习11. 6个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个2.个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个3.一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除;在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少4.五位数能被12整除,求这个五位数;5.从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数6.学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□□元,你知道每只小足球多少钱吗。
能被2整除的数的特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为64不是25的倍数，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为5不是11的倍数，所以11不是123456789的因数。
再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
能被11整除的数的特征
能被11 整除的数的特征能被11 整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11 的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11 整除.例如:判断491678 能不能被11 整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678 能被11 整除."奇偶位差法".这种方法叫除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11 的10 倍,20 倍,30 倍⋯⋯到余下一个100 以内的数为止.如果余数能被11 整除,那么,原来这个数就一定能被11 整除.又如:判断583 能不能被11 整除.用583 减去11 的50 倍(583- 11×50=33)余数是33, 33 能被11整除,583 也一定能被11 整除.（1）1 与0 的特性：1 是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0 是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6 或8，则这个数能被 2 整除。
（3）若一个整数的数字和能被 3 整除，则这个整数能被 3 整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。
（5）若一个整数的末位是0 或5，则这个数能被 5 整除。
（6）若一个整数能被 2 和3 整除，则这个数能被 6 整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7 整除。
如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133 是否7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133 是7 的倍数；又例如判断6139 是否7 的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49 ，所以6139 是7 的倍数，余类推。
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能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除
能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除
能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除
能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除
能被6整除的数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除
能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除
能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除
能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）
能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除
能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除
能被19整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除
能被23整除的数，若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
能被25整除的数，十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。