高2020届高2017级高三文科数学三维设计一轮复习课时跟踪检测(六)函数的奇偶性与周期性

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课时跟踪检测(六) 函数的奇偶性与周期性

A 级——保大分专练

1.下列函数为奇函数的是( ) A.f (x )=x 3+1 B.f (x )=ln 1-x

1+x

C.f (x )=e x

D.f (x )=x sin x

解析:选B 对于A,f (-x )=-x 3+1≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于B,f (-x )=ln

1+x

1-x =-ln 1-x 1+x =-f (x ),所以其是奇函数;对于C,f (-x )=e -

x ≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于

D,f (-x )=-x sin(-x )=x sin x =f (x ),所以其不是奇函数.故选B.

2.(2019·南昌联考)函数f (x )=9x +1

3x 的图象( )

A.关于x 轴对称

B.关于y 轴对称

C.关于坐标原点对称

D.关于直线y =x 对称

解析:选B 因为f (x )=9x +13x =3x +3-x

,易知f (x )为偶函数,所以函数f (x )的图象关于y

轴对称.

3.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩

⎪⎨⎪⎧

log 2(x +1),x ≥0,

g (x ),x <0,则f (-7)=( )

A.3

B.-3

C.2

D.-2

解析:选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,

且f (x )=⎩

⎪⎨⎪

log 2(x +1),x ≥0,g (x ),x <0,

所以f (-7)=-f (7)=-log 2(7+1)=-3.

4.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )+g (x )=e x ,则g (x )=( ) A.e x -e -

x

B.12(e x +e -

x )

C.12

(e -

x -e x ) D.12

(e x -e -

x )

解析:选D 因为f (x )+g (x )=e x ,所以f (-x )+g (-x )=f (x )-g (x )=e -

x , 所以g (x )=12

(e x -e -

x ).

5.设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x 2-x ,则f ⎝⎛⎭

⎫-5

2=( )

A.-14

B.-12

C.14

D.12

解析:选C 因为f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数,所以f ⎝⎛⎭⎫-52=-f ⎝⎛⎭⎫52=-f ⎝⎛⎭⎫12.又当0≤x ≤1时,f (x )=x 2-x ,所以f ⎝⎛⎭⎫12=⎝⎛⎭⎫122-12=-14

,则f ⎝⎛⎭⎫-52=14. 6.(2019·益阳、湘潭调研)定义在R 上的函数f (x ),满足f (x +5)=f (x ),当x ∈(-3,0]时,f (x )=-x -1,当x ∈(0,2]时,f (x )=log 2x ,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 019)的值等于( )

A.403

B.405

C.806

D.809

解析:选B 定义在R 上的函数f (x ),满足f (x +5)=f (x ),即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0,2]时,f (x )=log 2x ,所以f (1)=log 21=0,f (2)=log 22=1.当x ∈(-3,0]时,f (x )=-x -1,所以f (3)=f (-2)=1,f (4)=f (-1)=0,f (5)=f (0)=-1.故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 019)=403×[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)]+f (2 016)+f (2 017)+f (2 018)+f (2 019)=403×1+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=403+0+1+1+0=405.

7.已知函数f (x )是偶函数,当x >0时,f (x )=ln x ,则f ⎝⎛⎭

⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________. 解析:由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2=ln 1

e

2=-2, 所以f ⎝⎛⎭

⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2=f (-2). 又因为f (x )是偶函数,

所以f ⎝⎛⎭

⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2=f (-2)=f (2)=ln 2. 答案:ln 2

8.(2019·惠州调研)已知函数f (x )=x +1

x -1,f (a )=2,则f (-a )=________. 解析:法一:因为f (x )+1=x +1x ,

设g (x )=f (x )+1=x +1

x , 易判断g (x )=x +1

x 为奇函数, 故g (x )+g (-x )=x +1x -x -1

x =0,

即f (x )+1+f (-x )+1=0,故f (x )+f (-x )=-2. 所以f (a )+f (-a )=-2,故f (-a )=-4.

法二:由已知得f (a )=a +1

a

-1=2,

即a +1a =3,所以f (-a )=-a -1

a -1=-⎝⎛⎭⎫a +1a -1=-3-1=-4. 答案:-4

9.(2019·陕西一测)若函数f (x )=ax +b ,x ∈[a -4,a ]的图象关于原点对称,则函数g (x )=bx +a

x

,x ∈[-4,-1]的值域为________. 解析:由函数f (x )的图象关于原点对称,可得a -4+a =0,即a =2,则函数f (x )=2x +b ,其定义域为[-2,2],所以f (0)=0,所以b =0,所以g (x )=2

x ,易知g (x )在[-4,-1]上单调递减,故值

域为[g (-1),g (-4)],即⎣

⎡⎦⎤-2,-1

2. 答案:⎣

⎡⎦⎤-2,-1

2 10.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是____________.

解析:当x >0时,lg x >0,所以x >1, 当x <0时,由奇函数的对称性得-1

11.f (x )为R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=-2x 2+3x +1,求f (x )的解析式. 解:当x <0时,-x >0,则f (-x )=-2(-x )2+3(-x )+1=-2x 2-3x +1. 由于f (x )是奇函数,故f (x )=-f (-x ), 所以当x <0时,f (x )=2x 2+3x -1. 因为f (x )为R 上的奇函数,故f (0)=0.

综上可得f (x )的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪

-2x 2

+3x +1,x >0,0,x =0,

2x 2+3x -1,x <0.

12.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32+x =-f ⎝⎛⎭⎫3

2-x 成立. (1)证明y =f (x )是周期函数,并指出其周期; (2)若f (1)=2,求f (2)+f (3)的值. 解:(1)证明:由f ⎝⎛⎭⎫32+x =-f ⎝⎛⎭

⎫3

2-x , 且f (-x )=-f (x ),知f (3+x )=f ⎣⎡⎦⎤32+⎝⎛⎭⎫32+x =-f ⎣⎡⎦⎤32-⎝⎛⎭⎫32+x =-f (-x )=f (x ), 所以y =f (x )是周期函数,且T =3是其一个周期.

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