高2020届高2017级高三文科数学三维设计一轮复习课时跟踪检测(六)函数的奇偶性与周期性
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课时跟踪检测(六) 函数的奇偶性与周期性
A 级——保大分专练
1.下列函数为奇函数的是( ) A.f (x )=x 3+1 B.f (x )=ln 1-x
1+x
C.f (x )=e x
D.f (x )=x sin x
解析:选B 对于A,f (-x )=-x 3+1≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于B,f (-x )=ln
1+x
1-x =-ln 1-x 1+x =-f (x ),所以其是奇函数;对于C,f (-x )=e -
x ≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于
D,f (-x )=-x sin(-x )=x sin x =f (x ),所以其不是奇函数.故选B.
2.(2019·南昌联考)函数f (x )=9x +1
3x 的图象( )
A.关于x 轴对称
B.关于y 轴对称
C.关于坐标原点对称
D.关于直线y =x 对称
解析:选B 因为f (x )=9x +13x =3x +3-x
,易知f (x )为偶函数,所以函数f (x )的图象关于y
轴对称.
3.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(x +1),x ≥0,
g (x ),x <0,则f (-7)=( )
A.3
B.-3
C.2
D.-2
解析:选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,
且f (x )=⎩
⎪⎨⎪
⎧
log 2(x +1),x ≥0,g (x ),x <0,
所以f (-7)=-f (7)=-log 2(7+1)=-3.
4.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )+g (x )=e x ,则g (x )=( ) A.e x -e -
x
B.12(e x +e -
x )
C.12
(e -
x -e x ) D.12
(e x -e -
x )
解析:选D 因为f (x )+g (x )=e x ,所以f (-x )+g (-x )=f (x )-g (x )=e -
x , 所以g (x )=12
(e x -e -
x ).
5.设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x 2-x ,则f ⎝⎛⎭
⎫-5
2=( )
A.-14
B.-12
C.14
D.12
解析:选C 因为f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数,所以f ⎝⎛⎭⎫-52=-f ⎝⎛⎭⎫52=-f ⎝⎛⎭⎫12.又当0≤x ≤1时,f (x )=x 2-x ,所以f ⎝⎛⎭⎫12=⎝⎛⎭⎫122-12=-14
,则f ⎝⎛⎭⎫-52=14. 6.(2019·益阳、湘潭调研)定义在R 上的函数f (x ),满足f (x +5)=f (x ),当x ∈(-3,0]时,f (x )=-x -1,当x ∈(0,2]时,f (x )=log 2x ,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 019)的值等于( )
A.403
B.405
C.806
D.809
解析:选B 定义在R 上的函数f (x ),满足f (x +5)=f (x ),即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0,2]时,f (x )=log 2x ,所以f (1)=log 21=0,f (2)=log 22=1.当x ∈(-3,0]时,f (x )=-x -1,所以f (3)=f (-2)=1,f (4)=f (-1)=0,f (5)=f (0)=-1.故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 019)=403×[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)]+f (2 016)+f (2 017)+f (2 018)+f (2 019)=403×1+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=403+0+1+1+0=405.
7.已知函数f (x )是偶函数,当x >0时,f (x )=ln x ,则f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________. 解析:由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2=ln 1
e
2=-2, 所以f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2=f (-2). 又因为f (x )是偶函数,
所以f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2=f (-2)=f (2)=ln 2. 答案:ln 2
8.(2019·惠州调研)已知函数f (x )=x +1
x -1,f (a )=2,则f (-a )=________. 解析:法一:因为f (x )+1=x +1x ,
设g (x )=f (x )+1=x +1
x , 易判断g (x )=x +1
x 为奇函数, 故g (x )+g (-x )=x +1x -x -1
x =0,
即f (x )+1+f (-x )+1=0,故f (x )+f (-x )=-2. 所以f (a )+f (-a )=-2,故f (-a )=-4.
法二:由已知得f (a )=a +1
a
-1=2,
即a +1a =3,所以f (-a )=-a -1
a -1=-⎝⎛⎭⎫a +1a -1=-3-1=-4. 答案:-4
9.(2019·陕西一测)若函数f (x )=ax +b ,x ∈[a -4,a ]的图象关于原点对称,则函数g (x )=bx +a
x
,x ∈[-4,-1]的值域为________. 解析:由函数f (x )的图象关于原点对称,可得a -4+a =0,即a =2,则函数f (x )=2x +b ,其定义域为[-2,2],所以f (0)=0,所以b =0,所以g (x )=2
x ,易知g (x )在[-4,-1]上单调递减,故值
域为[g (-1),g (-4)],即⎣
⎡⎦⎤-2,-1
2. 答案:⎣
⎡⎦⎤-2,-1
2 10.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是____________.
解析:当x >0时,lg x >0,所以x >1, 当x <0时,由奇函数的对称性得-1 11.f (x )为R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=-2x 2+3x +1,求f (x )的解析式. 解:当x <0时,-x >0,则f (-x )=-2(-x )2+3(-x )+1=-2x 2-3x +1. 由于f (x )是奇函数,故f (x )=-f (-x ), 所以当x <0时,f (x )=2x 2+3x -1. 因为f (x )为R 上的奇函数,故f (0)=0. 综上可得f (x )的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪ ⎧ -2x 2 +3x +1,x >0,0,x =0, 2x 2+3x -1,x <0. 12.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32+x =-f ⎝⎛⎭⎫3 2-x 成立. (1)证明y =f (x )是周期函数,并指出其周期; (2)若f (1)=2,求f (2)+f (3)的值. 解:(1)证明:由f ⎝⎛⎭⎫32+x =-f ⎝⎛⎭ ⎫3 2-x , 且f (-x )=-f (x ),知f (3+x )=f ⎣⎡⎦⎤32+⎝⎛⎭⎫32+x =-f ⎣⎡⎦⎤32-⎝⎛⎭⎫32+x =-f (-x )=f (x ), 所以y =f (x )是周期函数,且T =3是其一个周期.