高一数学必修四平面向量知识与题型归类

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（1）

一．向量有关概念：

1、向量的概念：既有大小又有方向的量，

2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向不确定；

3、①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；

②a 的单位向量：与a 同方向且长度等于1的向量，记作0a 并且0a a a

=

；

③与a 共线的单位向量：与a 方向相同或相反且长度等于1的向量，可表示为a a

±。

4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；

5、平行向量（也叫共线向量）：向量的基线平行或重合，称为向量共线或平行，记作：a ∥b ； 即共线的向量方向相同或相反；规定：零向量和任意向量平行。

6、相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。 二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平

面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．向量的运算： 1．几何运算：

（1）向量加法运算：

①三角形法则的特点：首尾相连． ②平行四边形法则的特点：共起点．

（2）向量的减法：三角形法则的特点：共起点，方向指向被减向量

2、向量的数乘运算：

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： ①,a a λλ=

②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，

3、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则： ①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 ④向量的模： 22||,a x y =

+ 2

222||a a x y ==+

四．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，记作,a b ，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝

2

π

时，a ，b 垂直。 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，

注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 3．a 在b 方向上的正射影的数量为||cos ,a a b =b

b

a b a b a

a =

，它是一个实数，但不一定大于0。

4．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔•=；

②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，222

,a a a a a a =•==；

当a 与b 反向时，a •b ＝－a b ； ③||||||a b a b •≤。

④θ为锐角⇔a •b ＞0，且 a b 、不同向，； θ为钝角⇔a •b ＜0，且 a b 、

不反向； b

a C

B

A

a b C C

-=A -AB =B

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（2）

5、平面向量数量积的坐标运算：

设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则 ①1212a b x x y y ⋅=+．

②若(),a x y =，则2

2

2

a x y =+，或2a x y =

+

③设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．

④设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则

121

cos x x a b a b

x θ⋅=

=

+．

五．向量的运算律：

1．交换律：a b b a +=+，()

()a a λμλμ=，a b b a •=•；

2．结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ•=•=•； 3．分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +•=•+•。

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()(•≠•。 六、向量共线与垂直的条件

①平行向量基本定理：若//a b a b λ=⇒，反之，若//(0)a b b a b λ≠⇒=（其中λ是唯一的实数） ②向量共线的坐标表示：设两个向量()11,a x y =，()22,b x y =，

12120

//x y y a b x =⇔-则

③三点共线：不重合的三点A B C 、、共线AB AC λ⇔=

⇔存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=.

④向量垂直的条件：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=.

七、平面向量的基本定理：如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，

有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=＋。其中不共线向量12,e e 叫做一组基底，记作{}

12,e e 。

八、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）||||||||

||||a b a b a b -≤±≤+，特别地，前面等号成立的条件是 a b 、同向或有0；后面等号成立的条

件是 a b 、

反向或有0 （3）在ABC ∆中，

①重心：中线的交点且重心将中线分成2：1两段； 外心：中垂线的交点； 垂心：高线的交点； 内心：角平分线的交点。 ②0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；

③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；

④222

PA PB PC P ABC ==⇔∆为的外心;

⑤若向量AP =()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≥,则点P 的轨迹一定过ABC ∆的内心；